Mines Maths 1 PSI 2004

Thème de l'épreuve Suites de réels positifs (an)n∈ N telles que n=0an=1
Principaux outils utilisés suites, manipulation de séries, séries entières

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l--Filière PSI.

Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Ce problème met en évidence par une méthode originale une propriété et une 
méthode de
calcul de la moyenne et de la variance bien connues en Probabilités.

Soit S l'ensemble des suites réelles U = (un)"eN dont tous les tenues u,, sont 
positifs ou nuls et
la somme égale à 1 :

S={U|U=(un)oeN, Vn,u,,20, Zun=l}.
n=0

Soit F l'ensemble des fonctions réelles f qui sont des sommes de série entière 
de rayon de
convergence R supérieur ou égal à l ; ces séries entières sont convergentes 
lorsque le 1e'el x est égal

à l et leur somme vaut 1 en ce point ; toutes les dérivées des fonctions f en 0 
sont positives ou
nulles :

F= {] } f(x) = Eaux", Za,, =], R _>_ 1, Vn,fl'°(0) _>_ O}.
n==0 n=0

À une suite U = (u,, ),,GN, appartenant à S, est associée la fonction f définie 
par la relation
suivante :

f(x) = Êu,, x".
n--=O

Soit j l'application ainsi définie : U r---+ f = j(U) ; la fonction j(U) est 
notée Ü.

Propriétés des fonctions de F et des suites de S :

l. Démontrer que toute fonction _fl qui appartient à l'ensemble F, est, sur 
l'intervalle ouvert
1 = ]-----1 , l [, une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le 
segment [0,1] et convexe sur
l'intervalle semi--ouvert [O, 1 [.

2. Démontrer que toute fonction fi qui appartient à l'ensemble F, est continue 
à gauche en 1.

Exemples : soient G, E' et Vles trois suites définies par les relations 
suivantes :
. G est la suite géométrique de terme général g,, = 1/2"+ ' :

G = (%)....

- Étant donné un entier naturel q, E'" est la suite dont tous les tenues sont 
nuls sauf le terme de
rang q égal à 1 :

54 == (0,...,0,1,0,-----).

- V = (v,, ),",N est la suite de réels définie par les relations suivantes :

«, --1
vo =1/2;pourn31, v,, = ---Ë--aveca= (2ë-ä;) .

3. Montrer que les suites G, Eq et Vsont dans S. Déterminer les images @ =j(G), 
ËÏ == j(E'1 )
des suites G et E' ; calculer la dérivée V' de la fonction V = j(V) image de la 
suite V; puis donner
l'expression de V(x) à l'aide d'une intégrale.

4. Soit f une fonction appartenant à l'ensemble F.

Démontrer que, si la fonction f est nulle en 0 ()'(0) = 0), la fonction f est, 
soit égale à x sur le
segment [O, 1], soit strictement majorée par x sur l'intervalle ouvert ]0, ][
(Of(x)  O), 
l'équation
fût) = x

a, dans l'intervalle ouvert ]0, l [, au plus une solution.

5. Démontrer que, pour toute suite U appartenant à l'ensemble S, la fonction 
j(U) appartient à
l'ensemble F. Démontrer que l'application j est une application bijective de 
l'ensemble S sur
l'ensemble F.

Une loi de com position dans l'ensemble S :
Etant données deux suites U : (u,,)m_ZN et V = (vu)",EN appartenant à 
l'ensemble S, soit U * V
la suite, dont les termes w,,, 11 6 N, sont défmis par la relation suivante :

n
pat)

6. Démontrer que la suite U * V a (w,,),,eN ainsi définie appartient à 
l'ensemble S.

7. Démontrer qu'étant données deux suites U et Vde S, àla composée U * Vde ces 
suites
correspond par l'application j le produit des fonctions j(U) et j( V) :

A
.

J'(U*V)=J'(U)j(V) ou ÜW=Ü.V

8. Démontrer que la loi de composition * définie ci--dessus est associative, a 
un élément neutre
et est commutafive.

Étant donnés un réel p, strictement compris entre 0 et 1 (0 < p < 1 ) et un 
réel À strictement
positif, soient BP , I'? et FF1 les suites définies de la manière suivante :

. BP est la suite dont tous les tenues 135, n e N, sont nuls sauf les deux 
premiers : fif,' = l --- p
afii=p=

Æ=Ûengam...)

- I'" est la suite de terme général 75 = (l --- p) p", n e N :

PP-= ((1--p)p"),æN.

- HÂ est la suite de terme général rtf; = %-- e"'*, n e N :

H"= -------Ân e") .
"! neN

Produit de composition * de chacune de ces suites q fois avec elle--même :

9. Démontrer que les trois suites BP , PP et II' appartiennent à l'ensemble S. 
Déterminer leurs
images @, Î"Ï et II'1 par l'application j.

10. Étant donné un entier naturel q strictement positif, déterminer les suites 
BP*q, PP"? et II""
obtenues respectivement à partir des suites B", F" et Il par composition q 
fois avec elle--même.
Préciser les tenues de ces suites notés respectivement fi£*" , $*" et 7rä*", n 
e N.

Pour un réel À donné, limite de la suite B'Ë'*q lorsque l'entier q croît vers 
l'infini.

11. Le réel strictement positif A est donné ; lorsque l'entier q est 
suffisamment grand, le rapport
Àlq est un réel strictement compris entre 0 et 1.
Déterminer, pour tout entier n fixé, la limite du tenue

_1. .
B,? "' de rang n de la suite B'Ê'*'1 ,

lorsque l'entier q croît vers l'infini. Exprimer cette limite à l'aide du terme 
it,/} de rang n de la suite
Il".

Suite d'éléments de S :

12. Soit une suite (U'1 ) qu d'éléments de l'ensemble S. Soit u?, le terme de 
rang n de la suite
U" :

U'1 : (u'i',)fiGN .

Cette suite d'éléments de S est supposée telle que chacune des suites des 
termes de rang n
(u3 ) M est, lorsque l'entier q croît vers l'infmi, une suite convergente de 
limite v,,.

Démontrer que la série de terme général v... n G N , est une série de terme 
général positif ou
nul, convergente, de somme inférieure ou égale à l :

oe

Zv,, S 1.

n=0

Donner un exemple de suite (U" ) @ d'éléments de l'ensemble S telle que chacune 
des suites
(uZ ) @ définie par les termes de rang n soit convergente et de limite v,1 
nulle.

Étant donné un réel r strictement positif (r > 0), soit S, le sous--ensemble 
des éléments
U = (un)"ëN de l'ensemble S tels que la série de terme général u,, n'", n e N, 
soit convergente.

Sr: {Ul UGS, U=(un)nEN--, zunnr 0, s > O) , 
démontrer que, si les

réels r et s sont distincts l'un de l'autre (r := s), l'un des deux 
sous--ensembles Sr et Ss est contenu
dans l'autre.

À une suite U = (un)"eN appartenant à l'ensemble S ] , est associé le réel 
M(U), appelé
moyenne de U, défini par la relation suivante :

M(U) == fin un.
n=l

À une suite U = (un)"ëN appartenant à l'ensemble SZ, est associé le réel V(U), 
appelé
variance de U, défini par la relation suivante :

V(U) == Ên2 un --M(U)2.
n=l

Dans toute la suite du problème l'élément U de S appartient au sous-ensemble Sg.

Posifivité de la variance :
14. Un résultat préliminaire : soient N un entier strictement positif et A = 
(a,- ) ISiSN une suite de

N réels strictement positifs (1 5 i S N, a,-- > O) . Démontrer que 
l'application q) qui, à deux
vecteurs de R" , X = (xi)1ggv et Y = (Vi)1sisN associe le réel

N
(0(X»Y) = Zai xiYi,
i=l

est un produit scalaire dans R" .

15. Pour tout élément U de SZ, démontrer l'existence des deux grandeurs M(U) et 
V(U).
Démontrer que la variance V(U) est positive ou nulle :

«mae

Indication : comparer, pour tout entier N, les deux expressions suivantes :

(Ënun)z et (È...)(âfi u,).

Une expression approchée de la fonction Üà l'aide de la moyenne et de la 
variance :

. ' A I A ' ' A ' '
16. Démontrer que les dérivées premiere U et seconde U de U admettent une lnmte 
lorsque

le réel x tend vers 1 par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, 
notées Ü'( 1 ) et Ü"(l ),
en fonction de M(U) et V(U).

17. Soit x +----> e(x) la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]---1 , 1 [ 
par la relation suivante :
e(x) == 'Ù"(1) - 'Ü"(x).

Démontrer, pour tout réel x compris strictement entre 0 et l, l'inégalité 
suivante :

Ü(x)---1--M(U)(x--l>--â--(V(U)+M
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Walter
Appel (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose une étude des suites « stochastiques », qui sont des suites à
termes positifs dont la série numérique associée a pour somme 1. En dépit des
apparences, ces suites sont tout à fait naturelles : à partir de toute suite 
dont
la série associée est convergente, on obtient une suite stochastique en 
divisant chaque
terme de la suite par la somme de la série.
Le problème est divisé en neuf étapes, qui peuvent être regroupées en trois 
temps :
· On montre d'abord que l'ensemble S des suites stochastiques est en bijection 
avec une certaine classe de fonctions développables en série entière. Des
exemples permettent de se faire la main sur les notations introduites.
· On étudie ensuite une loi de composition sur S, qui n'est autre qu'un 
classique
produit de Cauchy, dont on étudie les premières propriétés sur des exemples.
On introduit ainsi la moyenne et la variance d'une suite de S. On montre que
la variance est une quantité positive.
· Enfin, les résultats obtenus permettent de construire une méthode de calcul
effectif de la moyenne et de la variance, méthode qui est mise en oeuvre sur les
exemples précédemment étudiés.
Le fait que le sujet porte sur des notions reliées aux probabilités ne doit pas
effrayer le candidat : toutes les questions s'appuient exclusivement sur le 
programme
des classes préparatoires. Les probabilités jouent ici un rôle de fil 
conducteur qui
donne de l'enjeu à l'étude, ce qui est toujours appréciable.

Indications
2 Étudier la convergence absolue de la série en 1.
3 Ne pas oublier de préciser les rayons de convergence. Pour l'expression 
intégrale
b on cherchera à exprimer sa dérivée à l'aide de fonctions usuelles.
de V,

4 Utiliser la convexité des éléments de F en exploitant le fait que le graphe
d'une fonction convexe est en-dessous de toutes ses cordes. Pour la deuxième
partie, on se ramènera au cas précédent à partir d'une solution de l'équation.
5 Vérifier le bien-fondé de j en remarquant que l'image de tout élément de S
est un élément de F. Pour l'injectivité, penser à l'unicité du développement
en série entière.
6 Utiliser le produit de Cauchy.

8 Pour démontrer l'associativité, on pourra utiliser la bijection j et 
l'associativité
du produit sur F.
9 Là encore, ne pas oublier de préciser les rayons de convergence.
10 Utiliser les résultats de la question précédente, l'importante relation 
trouvée
à la question 7 ainsi que la bijection entre les ensembles S et F établie
à la question 5.
11 Utiliser le résultat de la question précédente pour passer à la limite.
12 Pour la suite d'éléments de S, penser aux exemples étudiés dans les questions
précédentes.
15 On cherchera à appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec la forme 
bilinéaire,
symétrique et positive étudiée à la question précédente.
16 Utiliser les mêmes arguments qu'à la question 2.
17 Appliquer le théorème de Taylor avec reste intégral.
19 Utiliser les résultats des questions 9 et 16.

Propriétés des fonctions de F et des suites de S
1 Soit f une fonction appartenant à l'ensemble F. Par définition, f est la somme
d'une série entière de rayon de convergence R supérieur à 1 : grâce au théorème 
d'infinie dérivabilité des séries entières sur leur disque de convergence, on 
sait que f
est de classe C  sur l'intervalle ouvert ] -R ; R [ et donc, en particulier, f 
est indéfiniment dérivable sur ] -1 ; 1 [.
En effet, rappelons qu'une série entière converge normalement sur tout compact 
inclus dans le disque ouvert de convergence. On en déduit alors le résultat, 
puisqu'une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence.

x  ] -R ; R [

f (x) =

P

an xn

n=0

où an est positif ou nul pour tout n puisque f (n) (0) est également positive 
ou nulle.
On en déduit donc, par croissance de la fonction puissance,

P
0 6 x < x 6 1 = f (x ) - f (x) =
an (xn - xn ) > 0
n=0

Ainsi, f est croissante sur le segment [ 0 ; 1 ].
Bien entendu, on aurait pu étudier la monotonie de f en examinant le signe
de sa dérivée pour en déduire ses variations.
Pour établir la convexité de f , étudions le signe de sa dérivée seconde.
P

+

x  [ 0 ; 1 [

f  (x) =

n(n - 1)an x(n-2) > 0

n=2

Toute fonction appartenant à F est indéfiniment dérivable sur l'intervalle
] -1 ; 1 [, croissante sur [ 0 ; 1 ] et convexe sur [ 0 ; 1 [.
Pour traiter cette question, on peut également remarquer que f est une
somme de fonctions toutes croissantes et convexes sur [ 0 ; 1 ]. Or, on montre
facilement qu'une somme (finie) de fonctions croissantes (respectivement
convexes) est une fonction croissante (resp. convexe). Le résultat s'en déduit
aussitôt par passage à la limite : la convergence simple préserve donc la 
croissance et la convexité des fonctions.

2 Si f désigne un élément de F, on a
P

+

x  ] -R ; R [

f (x) =

an xn

n=0

Or,

n  N

x  [ -1 ; 1 ]

|an xn | 6 |an |

Par hypothèse, la série de terme général
P an est convergente (sa somme vaut précisément 1). On en déduit que la série 
an xn converge normalement sur [ -1 ; 1 ].

En particulier, la convergence est uniforme sur [ -1 ; 1 ] et f est donc 
continue
sur ce segment.
Toute fonction appartenant à l'ensemble F est continue à gauche en 1.
Il s'agit d'un résultat général : si une série est absolument
convergente
P
sur le cercle d'incertitude (c'est-à-dire que la série
|an | Rn converge),
alors elle est normalement convergente sur le disque fermé de convergence.
Exemples
3 Montrons que les suites G, Eq et V ainsi définies sont dans S.
· La suite G est bien dans S : en effet, tous les termes de la somme sont 
positifs et

P

gn =

n=0

P
n=0

1
2n+1

=

1
2

1
1-

1
2

=1

Calculons l'image de G par j : le théorème de d'Alembert assure que le rayon
b est 2 et
de convergence de G
b
G(x)
=

x  ] -2 ; 2 [

donc

x  ] -2 ; 2 [

 xn
P
1 1
=
x
n+1
2
2
n=0
1-
2

b
G(x)
=

1
2-x

Rappelons que pour une série à termes strictement positifs
le théorème de d'Alembert assure la convergence dès que
an+1
lim
<1
n an

P

an ,

(sous réserve d'existence de la limite bien entendu).
· Étant donné un entier naturel q, Eq appartient à S puisque tous les termes
de cette suite sont nuls, excepté le q e qui vaut 1. On en déduit
x  R

b q = xq
E

· Enfin, la suite V appartient elle aussi à S car tous ses termes sont positifs 
et

P

vn =

n=0

 1
P
1
1 1
+a
= + =1
2
2
n
2 2
n=1

b
Le théorème de d'Alembert permet d'affirmer que le rayon de convergence de V
est 1 et
 xn
P
1
b
x  ] -1 ; 1 [
V(x)
= +a
2
2
n=1 n