Mines Maths 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve Étude de la réduction et de la diagonalisation des applications semi-linéaires
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, convolution, polynômes orthogonaux, interpolation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math PSI 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏ'IQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
. MATHEMATIQUES l-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Dans tout ce problème l'entier n est supérieur ou égal à 1 (n 2 1) ; E est un 
espace vectoriel
complexe de dimension n. Le but de ce problème est d'étudier les applications 
semi--linéaires de
l'espace vectoriel complexe E dans lui--même. Une application u de E dans 
lui--même est
semi-linéaire si elle possède la propriété suivante :

Pour tout scalaire a et tout couple de vecteurs x et y de l'espace vectoriel E 
la relation
ci-dessous est vérifiée :

u(ax+y) = â' u(x) + u(y).

Le nombre complexe 22 est le nombre complexe conjugué de a.

Un nombre complexe Il est une valeur co-propre de l'application semi--linéaire 
u s'il existe un
vecteur x différent de 0 tel que la relation ci--dessous soit vérifiée :

u(x) : px.

Le vecteur x est un vecteur co--propre associé àla valeur co--propre p.

Tournez la page S.V.P.
- 1/5 -

Première partie

Le but de cette partie est d'étudier, pour une application semi--linéaire u 
donnée, les valeurs et
vecteurs co-propres.

1--1. Premières propriétés.
Soit u une application semi--linéaire de l'espace vectoriel E.

a. Démontrer qu'étant donné un vecteur x, différent de O, appartenant à 
l'espace E, il existe au
plus un nombre complexe # tel que la relation u(x) : u x ait lieu.

b. Démontrer que, si le nombre complexe il est une valeur co--propre de 
l'application
semi--linéaire u, pour tout réel 9, le nombre complexe u e" " est encore valeur 
co--propre de
l'application semi-linéaire u. Exprimer un vecteur co--pr0pre associé à la 
valeur co-propre ,u ei " en
fonction d'un vecteur co-propre x associé àla valeur co-propre ,u et du réel 9.

c. Étant donnée une valeur co-propre ,u de l'application semi-linéaire u, soit 
E # l'ensemble des
vecteurs x de l'espace vectoriel E qui vérifient la relation u(x) : ,u x :

E}} = {x eE | u(x) : ux}.
Est--ce que l'ensemble E ,1 est un espace vectoriel complexe ? réel ?

d. Étant données deux applications semi--linéaires u et v, étudier la linéarité 
de l'application
composée u 0 v.

1--2. Matrice associée à une application semi-linéaire :

Soit u une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E ; soit (e,--) 
l_<_iSn une base de l'espace
vectoriel E. À un vecteur x, de coordonnées xl , x2, ..., x... est associée une 
matrice-colonne X,
d'éléments xl, x2, ..., x... appelée (abusivement) vecteur.

a. Démontrer qu'à l'application semi--linéaire u est associée dans la base 
(e,--)ISËn de E une
matrice A, carrée complexe d'ordre n, telle que la relation y = u(x) s'écrive :

Y : AÎ(.
La matrice colonne X' est la matrice complexe conjuguée de la matrice--colonne 
X.

b. SoientA et B les matrices associées à une même application semi-linéaire u 
dans les bases
(e ,-) 155" et (f,--)ISËn respectivement. Soit S la matrice de passage de la 
base (e ,--) 151511 à la base
(fi)15fsn- Exprimer la matrice B en fonction des matrices A et S.

Étant donnée une matrice carrée A, complexe, d'ordre n, le vecteurX , différent 
de 0, (X #= O)
est un vecteur co--propre de la matrice A, associé à la valeur co-propre ,a, si 
le vecteur X et le
nombre complexe # vérifient la relation matricielle ci-dessous :

AÏ=,uX.

Dans la suite toutes les matrices considérées sont des matrices carrées 
complexes.

--2/5--

1--3. Exemples :

. . . . 0 --1
a. SoitA la matnce d'ordre 2 défime par la relaüon su1vante : A = 1 0 . 
Rechercher
a _ ,
les valeurs co--propres ,u et les vecteurs co--propres X = b assoc1es.

b. Démontrer que, si une matrice A est réelle et admet une valeur propre réelle 
À, cette matrice
a au moins une valeur co-propre.

1--4. Correspondance entre les valeurs co--propres de la matrice A et les 
valeurs propres

de la matrice AÂ :
SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n.

a. Démontrer que, si le scalaire # est une valeur co--propre de la matrice A, 
le nombre réel | pl2
est une valeur propre de la matrice AA.

b. Soit ). une valeur propre positive ou nulle (Â Z O) de la matrice AÂ et X un 
vecteur propre
associé :

AÂX= ÀX.

Démontrer que le réel JÎ est une valeur co--propre de la matrice A en 
envisageant les deux cas

suivants :
i. les vecteurs AX etX sont liés ;
ii. les vecteurs AX etX sont indépendants ;

c. En déduire que, pour que le réel positif ou nul ,u soit __valeur co--propre 
de la matrice A, il faut
et il suffit que le réel #2 soit valeur propre de la matrice AA.

(1. Étant donné un réel m, soitA... la matrice définie par la relation suivante 
:

m--1
10

A...:

Déterminer les valeurs co--propres réelles positives ; discuter suivant les 
valeurs du réel m.

1--5. Cas d'une matrice triangulaire supérieure :
Dans cette question la matrice A est une matrice triangulaire supérieure (les 
éléments situés
en--dessous de la diagonale principale sont nuls).

a. Démontrer que, si À est une valeur propre de la matrice A, pour tout réel 9, 
le nombre
complexe À ei " est une valeur co-propre de la matrice A.

b. Démontrer que, si y est une valeur co--propre de la matrice A, il existe un 
réel 9 tel que le
nombre complexe # ei " soit valeur propre de la matrice A.

Tournez la page S.V.P.
- 3/5 -

c. SoitA la matrice définie par la relation ci-dessous :

A=
Oi

Démontrer que le réel 1 est valeur co--propre de cette matrice et déterminer un 
vecteur X

. , a + il)
co-propre associe. Poser :X = _
c + Id

1--6. Une caractérisation des valeurs co-propres :
SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n ; soient B et C les matrices 
réelles définies par la

relation suivante :
A = B + i C.

Démontrer que le nombre complexe il est valeur co--propre de la matrice A si et 
seulement si le
nombre réel lu| est une valeur propre de la matrice D, carrée réelle d'ordre 
2n, définie par blocs

par la relation suivante :

B C
D =

C ----B
Seconde partie

Étant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, s'il existe une 
matrice carrée
complexe S d'ordre n inversible (S EUR GL,,(C)) telle que la relation

-----1

B = SA.S

soit vérifiée, les deux matrices A et B sont dites co--semblables. Si une 
matrice A est co--semblable à
une matn'ce diagonale, la matrice A est dite co--OEagonalisable Le but de cette 
partie est de
rechercher à quelles conditions une matrice est co--diagonalisable

II--l. Une relation d'équivalence :
Etant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, ces matrices 
sont dites

satisfaire la relation a: si et seulement si ces deux matrices sont 
co-semblables :

---1

AÆBOEHSEGLn(C)ZB=SA.S .

Démontrer que la relation % est une relation d'équivalence dans l'ensemble des 
matrices
carrées complexes d'ordre n.

II--2. Indépendance des vecteurs co--propres :
SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n, soient X 1, X 2, ..., X k, k 
vecteurs co--propres de

la matriceA associés à des valeurs co--propres ... , p2, pk ; l'entier k est 
inférieur ou égal à
l'entier 11 (k 5 n). Démontrer que, si les valeurs co--propres ,u,,, p = l, 2, 
...,k ont des modules

-4/5 -

différents les uns des autres (p #= q => |pp| #: H...), la famille (X1, X2,..., 
Xk) est libre.

- En déduire que, si la matrice AZ a n valeurs propres À, p = 1, 2, ..., n , 
positives ou nulles,
(AP 2 O), distinctes les unes des autres (p #= q :> A.}, =}: lq), la matriceA 
est co--diagonalisable.

11--3. Quelques propriétés :
a. Soit S une matrice carrée complexe d'ordre n inversible (S G GL,,(C )) ; 
soit A la matrice
définie par la relation

A=S.S .

Calculer la matrice produit AÂ .

b. SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n telle que
AZ : I...

démontrer qu'il existe au moins un réel 9 tel que la matrice S (9) définie par 
la relation
ci-dessous

S(9) : e"'A +e'"' [,,,

soit inversible. Calculer, en donnant au réel 9 cette valeur, la matrice A.S(6) 
; en déduire la

-------1

matrice S(9).S(8) .

II-4. Une condition nécessaire :

Soit A une matrice d'ordre n co--diagonalisable Il existe par suite une matrice 
S inversible telle
que la matrice S"1A.Ë soit diagonale. Démontrer que la matrice AÂ est 
diagonalisable, que ses
valeurs propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice A est 
égal au rang de la matrice

AÂ .
II-S. Exemples :
a. SoitA une matrice symétrique réelle d'ordre n ; est--elle co--diagonalisable 
?

b. SoientA, B, C etD les matrices d'ordre 2 suivantes :

il 1-1
A: ,B_-_- ,
(or) (11)
01 1'
,D= '.
(00) (il)

Est-ce que ces matrices sont diagonalisahles ? co--diagonalisables ?

FIN DU PROBLÈME

-5/5--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Beck (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent
Puyhaubert (ENS Cachan) et Sébastien Gadat (ENS Cachan).

Ce problème traite d'une notion nouvelle, par rapport au programme, d'algèbre
linéaire : les valeurs co-propres et les vecteurs co-propres. La principale 
difficulté du
problème réside donc dans la nouveauté et non dans la théorie elle-même.
· La première partie permet de se familiariser avec cette nouvelle notion et de 
la
relier à celles de matrice, de valeur propre et de vecteur propre. Elle offre 
des
exemples et des contre-exemples permettant d'éclairer les théorèmes démontrés.
· La deuxième partie est consacrée à la co-diagonalisation et à ses liens avec 
la
diagonalisation. Elle se termine par des exemples qui illustrent les différents
théorèmes vus dans cette partie.

Indications

Partie I
I-1.a Choisir deux valeurs co-propres pour un même vecteur co-propre et vérifier
qu'elles sont égales.
i
I-1.b Prendre x = e- 2 x.
I-1.c Utiliser la question I-1.b.
I-1.d Calculer u(v(ax + y)).
I-2.a Prendre les vecteurs u(ei ), 1 6 i 6 n, comme colonnes de la matrice.
I-2.b Écrire les changements de base X = PX , Y = PY puis utiliser les égalités
AX = Y et BX = Y .
I-3.a Résoudre à la main le système AX = µX et trouver pour quelles valeurs de
µ il possède une solution non nulle.
I-3.b Considérer un vecteur propre associé à la valeur propre .
I-4.a Conjuguer l'expression AX = µX.
I-4.b.i Montrer qu'on peut écrire AX = X puis montrer que ||2 =  ; enfin, 
utiliser
la question I-1.b.

I-4.b.ii Calculer A AX + X et choisir  et  convenablement.
I-4.c Utiliser la question I-4.a, puis la question I-4.b.
I-4.d Calculer Am Am et utiliser la question I-4.c.
I-5.a Remarquer que les valeurs propres de A sont les éléments diagonaux de la
matrice A. Ensuite, utiliser la question I-4.b et la question I-1.b.
I-5.b Selon le même raisonnement qu'à la question I-5.a, |µ|2 est valeur propre 
de
AA. On utilise ensuite les questions I-4.b et I-1.b.
I-5.c Utiliser la question I-5.a, puis résoudre le système AX = X.
I-6 Utiliser la question I-1.b pour montrer que |µ| est une valeur co-propre de 
A,
puis écrire X = X1 + iX2 où X1 et X2 sont réels. Pour la réciproque, découper
le vecteur propre X en deux vecteurs X1 et X2 de taille n et prendre X1 +iX2 ;
utiliser enfin la question I-1.b.
Partie II
II-1 Vérifier la réflexivité, la symétrie et la transitivité.
II-2 Utiliser la question I-4.a et ce qu'on sait sur les vecteurs propres d'une 
matrice. Pour la deuxième partie, effectuer un changement de base et utiliser la
question I-2.b.
-1

II-3.a Remarquer que S-1 = S .

II-3.b det(S()) = eni A -e-2i , où A est le polynôme caractéristique de A. Il
a donc un nombre fini de racines.
II-4 Écrire que S-1 AS = D et S-1 AS = D, puis calculer le produit.
II-5.a La matrice A se diagonalise en base orthonormée (réelle).
II-5.b Pour les co-diagonalisations, utiliser la question II-4 ou raisonner à 
la main.
Pour la diagonalisation de B et D, calculer B et D .

Partie I
I-1.a Soient  et µ tels que u(x) = x = µx. On a alors ( - µ)x = 0 donc, comme
x 6= 0,  - µ = 0. D'où  = µ.
Il existe donc au plus un nombre complexe µ tel que u(x) = µx.
i

I-1.b Soit x un vecteur co-propre pour la valeur co-propre µ, posons x = e- 2 x.
i

Alors

i

u (x ) = e- 2 u(x) = e 2 µx = ei µx

Comme x 6= 0, alors x 6= 0 et
x est un vecteur co-propre pour la valeur co-propre ei µ.
On a en fait montré que si on avait une valeur co-propre, alors tous les
nombres de même module étaient aussi valeur co-propre. L'ensemble des
valeurs co-propres de u est donc formé de cercles de centre O dans le plan
complexe.
i

I-1.c Si µ est non nul et si x appartient à Eµ , d'après la question I-1.b, 
alors e- 2 x
appartient à Eei µ . Comme µ 6= 0, si  6 0 [2] alors µ 6= ei µ. Et d'après la 
question
i
I-1.a, x = e- 2 x ne peut appartenir à Eµ quand x est colinéaire à x.
Si µ est non nul, Eµ n'est pas un espace vectoriel complexe.
Si µ est nul et si x et y appartiennent à E0 , alors
(, )  C2

u(x + y) = u(x) + u(y) = 0

D'où x + y appartient à E0 .
E0 est un espace vectoriel complexe.
Si x et y appartiennent à Eµ alors
(, )  R2

u(x + y) = u(x) + u(y) = µx + µy

Or  et  sont réels et donc égaux à leur conjugué, ce qui donne
u(x + y) = µ(x + y)
D'où x + y appartient à Eµ .
Les Eµ sont des espaces vectoriels réels.
I-1.d u  v est linéaire. En effet
(, )  C2
Or
donc

u  v(x + y) = u(v(x) + v(y)) = u  v(x) + u  v(y)
z  C

z=z

u  v(x + y) = u  v(x) + u  v(y)

u  v est une application linéaire.
n
P

I-2.a Pour tout j, on a u(ej ) =

aij ei . Posons alors A = (aij )16i,j6n . Les vecteurs

i=1

colonnes de la matrice A sont en fait les {u(ej )}16j6n . Ainsi, on a
x =

n
P

xj ej

u(x) =

j=1

soit

y = u(x) =

n
P

j=1

D'où

xj

n
P

xj u(ej )

j=1

n
P

aij ei

i=1

yi =

n
P

=

n
P

i=1

n
P

aij xj

j=1

!

ei

aij xj

j=1

On reconnaît l'écriture matricielle de l'expression de Y = AX.
I-2.b Soit x dans E, on appelle X (respectivement X ) la matrice colonne 
associée
à x dans la base (ei )16i6n (respectivement (fi )16i6n ).
De même pour y = u(x), on appelle Y (respectivement Y ) la matrice colonne
associée à y dans la base (ei )16i6n (respectivement (fi )16i6n ).
Le changement de base s'écrit X = SX et Y = SY . De plus, on a AX = Y. On
en déduit que SY = ASX puis que Y = S-1 ASX . Or on a aussi par définition de
B, BX = Y . D'où
B = S-1 AS
I-3.a On résout le système AX = µX. Ce système s'écrit

-b = µa
a = µb
La deuxième équation donne a = µb. En reportant cette expression de a dans la
première équation, on obtient (1 + |µ|2 )b = 0. Comme 1 + |µ|2 6= 0, on en 
déduit que
b = 0 et, par conséquent, a = 0. Ainsi, X = 0. Finalement,
A n'a aucune valeur co-propre, ni aucun vecteur co-propre.
I-3.b A est une matrice réelle avec une valeur propre  réelle ; il existe alors 
des
vecteurs propres, associés à cette valeur propre, à coordonnées réelles.
Soit X un vecteur propre non nul associé à  à coordonnées réelles. On a donc
X = X et AX = X. D'où AX = X.
 est valeur co-propre de A.