e3a Maths 2 PSI 2015

Thme de l'preuve tude d'endomorphismes symtriques de rang au plus 1
Principaux outils utiliss endomorphismes, espaces euclidiens
Mots clefs produit scalaire, lments propres, borne infrieure

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


 

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



e3a Maths 2 PSI 2015 -- Corrig
Ce corrig est propos par Cline Chevalier (Enseignant-chercheur  
l'universit) ;
il a t relu par Matthias Moreno (ENS Lyon) et Sophie Rainero (Professeur en
CPGE).

Ce problme, divis en quatre parties trs lies, traite d'algbre bilinaire 
euclidienne. Il s'intresse en particulier  l'ensemble T(E) des endomorphismes 
u symtriques de rang infrieur ou gal  1 vrifiant
x  E
(u(x) | x) > 0
 La partie prliminaire dmontre quelques rsultats pralables, certains 
n'ayant
rien  voir avec la suite (question 3) mais permettant simplement d'identifier
les candidats  l'aise avec le sujet ; d'autres rsultats sont largement 
rutiliss
dans la suite, comme la question 4 dans laquelle on montre que l'application

S (E)2 - R
(f, g) 7- < f, g >= tr(f  g)
est un produit scalaire.  part la question 1 qui requiert un peu d'intuition,
c'est une partie proche du cours et facile si l'on a bien compris l'algbre 
linaire.
 La partie 1 propose une caractrisation des endomorphismes de T(E). Tout 
endomorphisme v de T(E) peut s'crire v = ua avec a  E, o ua est 
l'endomorphisme de E dfini par
x  E

ua (x) = (x | a)a

Malgr quelques difficults techniques, cette partie reste abordable.
 La partie 2 dfinit, pour un endomorphisme symtrique f de E fix, 
l'application
 : x  E 7- [N(f - ux )]2 . Elle tudie alors la valeur de m(f ) = Inf (x)
xE

en utilisant la fonction intermdiaire, dfinie pour tout vecteur x de E et tout
vecteur y de E de norme 1, hx : t  R 7- (x + ty). Notons que m(f ) est
la distance de f  l'espace T(E). C'est sans doute la partie la plus difficile
du problme, o la multiplicit des fonctions dfinies peut drouter.
 Enfin, la partie 3 applique les rsultats de la partie 2 dans certains cas 
particuliers : tout d'abord les matrices stochastiques (c'est--dire celles 
dont les coefficients sont positifs et telles que la somme des coefficients de 
chaque ligne
est gale  1) et ensuite deux exemples de matrices simples. Il faut avoir bien
compris les rsultats obtenus dans la partie 2 avant de pouvoir les appliquer
dans cette partie.
Ce problme est d'un niveau lev pour le concours E3A, en grande partie parce
que certaines questions (par exemple I.2.2 , II.3 , II.5 , II.6) sont ouvertes 
et rutilises
dans la suite, ce qui les rend bloquantes pour tout candidat ne les ayant pas 
rsolues.
Il offre une occasion de faire le point sur l'algbre euclidienne et de 
s'entraner  suivre
le droulement d'un nonc complexe.

Indications
1 Montrer que l'ensemble T(E) n'est pas stable par combinaisons linaires
en considrant par exemple l'application u dfinie par u(e1 ) = e1 et u(ei ) = 0
pour tout i 6= 1, o (e1 , . . . , ep ) est une base orthonormale pour le 
produit
scalaire dfini dans l'nonc.
3 Pour l'assertion (3), se ramener  la prcdente. Pour les assertions (4) et 
(5),
utiliser le thorme du rang.
4 Un produit scalaire est une application bilinaire symtrique dfinie 
positive.
5 Comme la somme de chaque ligne de A vaut -3, on sait que -3 est valeur

t
1 1 1 . On peut dterminer
propre de A, associe au vecteur propre
les deux autres valeurs propres en utilisant les relations entre leur somme
et la trace de A, ainsi que leur produit et le dterminant de A.
(f (a) | a)

I.2.3 Dcomposer f (a) dans la base B : f (a) =
a+b, avec b  (Vect (a)) .
kak2
I.3.1 Exploiter le fait que u est de rang infrieur ou gal  1 pour en dduire 
que
Im (u) = Vect (b).
I.3.2 Pour tout x  E, il existe   R tel que u(x) =  b. Conclure en prenant
le produit scalaire des deux membres de cette galit avec b.
I.3.4 D'aprs la question I.3.2 , le vecteur a cherch est un multiple de b.
I.4 Montrer que u-a = ua pour tout a  E.
II.3 Utiliser l'galit de la question II.2 : dvelopper chaque terme en 
utilisant
l'galit kyk = 1 et les (bi)linarits et symtries des applications en jeu.
II.5 D'aprs la question 2.3 des prliminaires, la trace de f  f est gale  la 
trace
de la matrice reprsentative de f  f dans une base bien choisie.
II.6 Si z  E est de norme 1, il existe (z1 , . . . , zp )  Rp tel que z = z1 e1 
+  +zp ep
avec z1 2 +    + zp 2 = 1. Dvelopper alors le produit (z | f (z)).
II.7.1 La fonction ha est minimale en 0.
II.7.2 Calculer ha (0) avec l'expression trouve  la question II.3 .
II.7.3 Utiliser  nouveau l'expression de la question II.3 .
II.9.1 Montrer
p que les conditions de la question II.7.4 sont satisfaites pour le vecteur
a = p ep . Exploiter ensuite les rsultats des questions II.7.3 et II.5 .

II.9.2 Pour le sens direct, la question II.7.2 montre que x est un vecteur 
propre
de f . La valeur propre associe est p par maximalit.
III.1.3 Utiliser les conditions de la question II.2.2 .
III.2 Comme B est de rang 1, 0 est valeur propre de B de multiplicit p-1. 
L'autre
valeur propre est dtermine comme dans la question 5 des prliminaires.
La valeur de m(fB ) est donne dans la question II.9.1 .
III.3.1 Remarquer que C = B - Ip .
III.3.3 Chercher un vecteur satisfaisant aux conditions de la question II.9.2 .
III.3.4 Si w  T(E) est un autre endomorphisme vrifiant l'galit, utiliser la 
surjectivit de l'application  puis les conditions de la question II.9.2 .

Prliminaires
1 Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormale pour le produit scalaire donn 
dans
l'nonc, et u l'endomorphisme dfini par
(
u(e1 ) = e1
u(ei ) = 0 si i > 1
Puisque (e1 , . . . , ep ) est une base, on a rg (u) = rg (u(e1 ), . . . , u(ep 
)) = rg ((e1 )) = 1.
En outre, si x  E, il existe (x1 , . . . , xp )  Rp tel que x = x1 e1 +    + 
xp ep . Ainsi,
 p

p
P
P
(u(x) | x) =
xi u(ei )
xj ej
i=1

j=1

p
P
= x1 e1
xj ej
j=1

=

p
P

x1 xj (e1 |ej )

j=1

(u(x) | x) = x1 2 > 0
On en dduit l'appartenance de u  T(E).
Notons v = -u. Alors v  S (E) et
(v(e1 ) | e1 ) = -(u(e1 ) | e1 ) = -ke1 k2 < 0
d'o l'on dduit que v 
/ T(E) puis que T(E) n'est pas stable par combinaisons
linaires. Finalement,
L'ensemble T(E) n'est pas un sous-espace vectoriel de L (E).
2.1 Si (i, j)  {1, . . . , p}2 ,
(AB)ij =

p
P

Aik Bkj

et

(BA)ij =

k=1

d'o
et

tr(AB) =
tr(BA) =

p
P

i=1
p
P
i=1

p
P

Bik Akj

k=1

(AB)ii =
(BA)ii =

p P
p
P

i=1k=1
p P
p
P

Aik Bki
Bik Aki =

i=1k=1

p P
p
P

Aki Bik

k=1i=1

en inversant les deux dernires sommes (ce qui est autoris puisque les sommes 
sont
finies). En remarquant que les rles de i et k sont inverss,
tr(AB) = tr(BA)
2.2 Si B est semblable  A, il existe une matrice P inversible telle que B = 
P-1 AP.
Ainsi,
tr(B) = tr(P-1 AP) = tr[P-1 (AP)] = tr[(AP)P-1 ] = tr(A)
d'aprs la question prcdente. En conclusion,
tr(B) = tr(A)

2.3 Soit u un endomorphisme de E. Si A et B sont deux matrices reprsentant u
dans deux bases diffrentes, alors A et B sont semblables (thorme du 
changement
de base). On en dduit d'aprs la question prcdente que tr(A) = tr(B). On peut
donc poser tr(u) = tr(A).
La trace d'un endomorphisme de E est gale  la trace
de la matrice reprsentant u dans une base quelconque de E.
3 Par dfinition,
Un hyperplan de l'espace vectoriel E de dimension p
est un sous-espace vectoriel de E de dimension p - 1.
Le complmentaire d'un espace vectoriel n'est jamais un espace vectoriel 
puisqu'il ne contient pas le vecteur nul. A fortiori, l'espace G ne peut donc 
pas tre
le supplmentaire de H.
L'assertion (1) est fausse.
Soient a  G et x  H  Vect (a). Il existe alors un scalaire k  R tel que x = ka.
Si k 6= 0, il vient a = x/k  H, ce qui est impossible puisque a  G et que G et H
sont complmentaires. Par suite, k = 0, puis x est le vecteur nul. Ainsi, H et 
Vect (a)
sont en somme directe. Comme dim(H) + dim(Vect (a)) = p, on en dduit qu'ils 
sont
supplmentaires. Par consquent,
L'assertion (2) est vraie.
Si a est un vecteur non nul et orthogonal  H, alors il n'appartient pas  H. 
Il appartient donc  son complmentaire, c'est--dire G. Ainsi, on est ramen  
l'assertion
prcdente, ce qui signifie que
L'assertion (3) est vraie.
L'application tr est une application non nulle de Mp (R) dans R, son image
est donc de dimension 1, ce qui signifie que son rang vaut 1. D'aprs le 
thorme
du rang, en notant Ker (tr) le noyau de cette application, on a l'galit
dim(Ker (tr)) = dim(Mp (R)) - rg (tr) = dim(Mp (R)) - 1
c'est--dire que le noyau de l'application tr est un hyperplan de Mp (R).
L'assertion (4) est vraie.
La preuve de l'assertion prcdente est vraie quelle que soit l'application 
considre : en utilisant le thorme du rang, un endomorphisme de E est de 
rang 1
si, et seulement si, son noyau est de dimension p - 1, c'est--dire si et, 
seulement si,
c'est un hyperplan.
L'assertion (5) est vraie.
4 Montrons que l'application propose est un produit scalaire, c'est--dire une 
forme
bilinaire symtrique dfinie positive de S (E)2 dans R.
 Tout d'abord, elle est bien  valeurs dans R car la trace l'est aussi.
 Elle est symtrique d'aprs les questions 2.1 et 2.3 .