E3A Maths B PSI 2012

Thème de l'épreuve Intégrale de Gauss. Rotation dans R3. Liens entre suites et séries. Sous-groupes de GLn(C).
Principaux outils utilisés intégrabilité, comparaison série-intégrale, équivalents de suites, polynômes, matrices de rotation, matrices nilpotentes, réduction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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E 3 c3
CONCOURS ARTS ET METIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non 
justifiés
ne seront pas pris en compte.

EXERCICE 1

+00
1. Étudier la convergence de l'intégrale / e"'"2dm = / e_æzdæ.
]R --00

1132

TL
2. Pour tout n E N* et m E R on pose fn(æ) = (l -- ;) si |x| < \/5 et fn(oe) : 
0 sinon.

2.1 Donner, sur un même schéma, l'allure des représentations graphiques de fl 
et f4.

2.2 Etudier la convergence simple sur R de la suite de fonctions ( fn)neN*-

: o ; . ) ° \ u n
2.3 Montrer que SI 77. E N'" et 81 u est un reel strictement superieur a --n 
alors (1 + --) < e".
71

+00
2.4 Prouver l'existence de un : fn (a:) das.
00

2.5 Montrer que la suite (un)...5Nu' converge vers une limite EUR que l'on 
exprimera sous la forme d'une intégrale.

7T/2
3. On pose, pour tout k E N, Jk = / cos"(t) dt.
0
3.1 Calculer J0, J1, J2.

3.2 Trouver une relation de récurrence reliant Jk et Jk+2.

* " % 246.8. . -- 277.
3.3 Montrer que : V'ÏL E N ,J2n+1 : H "(fic--+1) = OEn--(2îlq--Llî

k=1
3.4 En déduire une expression de J2n+1 faisant intervenir (n!)2 et (271 + 1)!.

3.5 Rappeler la formule de Stirling et déduire de ce qui précède un équivalent 
de J2n+1 lorsque n --> +00.

4. À l'aide d'un changement de variable donner, pour tout 71 E N*, une relation 
simple entre J2n+1 et un.

+00 2
5. En déduire la valeur de / e'"' du}.
--00
0 0 1
1. Dans R3 euclidien orienté usuel, on note u l'endomorphisme dont la matrice 
canoniquement associée est B = 0 --1 0
1 0 0

Donner la nature géométrique de u et ses éléments caractéristiques.
2. Soient d EUR R et P(X ) = X 3 + X 2 + d. Déterminer les valeurs de d telles 
que le polynôme P soit scindé sur R.

3. Soit Q(X) = X3 + aX2 + bX + EUR EUR Rg[X] dont on note a, ,5 et 'y les 
racines dans C.
3.1 Exprimer les coefficients a, b et c à l'aide des racines a, 5 et 7.

3.2 Déterminer tous les triplets (a, b, EUR) E R3 tels que la matrice A =

Q'OEQ
Q--2OE

"/
a soit la matrice d'une rotation de R3
[3

euclidien orienté usuel.

EXERCICE 3

Soit (an)nEURN* une suite de nombres réels.
. al ? 1;

- la suite (an) est bornée,
On dit que la suite (an) Vérifie la propriété (P) si à la fois : , Vn E N* a" > 
0
7 ?

o la série E a" diverge.
n>0

On note alors :

'n n
VnEURN*,An=Zak et Vn22,bn= 1 za--k
Ic=l

Dans tout l'exercice, on utilisera sans le démontrer la propriété suivante, 
notée (R) :

Soient (un) et ('Un) deux suites réelles à termes strictement positifs.

(a) un +"Ô'Ô Un

et

(b) la série 2 un diverge
n>1

TL
. , . , . 1
1. Pour tout n ent1er naturel superieur ou egal a l, on pose Hn = 2 É.

k=1

. 1
En utilisant les séries de terme général un : -- et vn : ln(n + 1) -- ln(n) et 
la propriété (R), prouver que :

n

En +Ëo ln(n)

2. 2.1 De façon analogue, montrer que :

2.2 En déduire la nature de la série de terme général wn :
2.3 Retrouver ce résultat sans utiliser la propriété (R).

3. Etude de deux exemples.

3.1 On prend dans cette question : Vn E N*, a" = l.
- Vérifier que la suite (an) ainsi définie satisfait à. la propriété (P).
. Déterminer nlir_noe bn.

3.2 On prend dans cette question : Vn E N*, a" = %.
0 Vérifier que la suite (an) ainsi définie satisfait à la propriété (P).

- En utilisant la propriété (R) et la série 2 w... déterminer lim bn.
n>2 n--++oo

4. On revient au cas général et on considère une suite (an) qui satisfait à la 
propriété (F).

4.1 Montrer que An ... An_1
+oo

4.2 Prouver que :

. - , . a
4.3 Determmer alors la nature de la serie : E A--".
7.22 "

4.4 A l'aide de la propriété (R) et des questions précédentes, déterminer alors 
lir_ln bn.
7L--) 00

5. Soit (un) le terme général d'une série à termes strictement positifs 
divergente.

. "un +=oe o(un)

. la série E vn diverge
n>1

Montrer qu'il existe une suite (v..) a termes positifs tels que :

6. Soit (an) une suite vérifiant la propriété (P).

Donner le rayon de convergence de la série entière E anæ".
n21

EXERCICE 4

Soit 11 un entier naturel supérieur ou égal à 2 et (G, X) un sous--groupe de 
GLn(C).

On suppose qu'il existe p E N* tel que :
VX G G , XP = In

où Ïn désigne la matrice unité de J//n(C).
Soit E = Vect(G) le sous--espace vectoriel de .///n(C) engendré par la partie G.
Une matrice N E .//{n(C) est dite nilpotente s'il existe le EUR N* tel que N '" 
= On (matrice nulle de .///n(C)).

1. Quel est le spectre d'une matrice nilpotente ?

2. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables ?

3. Soit A & ///2(C).

3.1 Déterminer deux nombres complexes a et ,8 tels que : A2 = aA + E 12.

3.2 Prouver l'équivalence :
A nilpotente (=> tr(A) = tr(A2) = 0

On admettm dans toute la suite de l'eæercice que cette propriété se généralise 
pour tout entier naturel n supérieur ou

égal à 2, c'est--à--dire que pour toute matrice A E .fln(C) :

A nilpotente (=> tr(A) = tr(A2) = = tr(A") = 0

4. 4.1 Vérifier que E est un espace vectoriel de dimension finie.
4.2 Montrer qu'il existe r EUR N* et une famille (M1,M2, ..., M,...) d'éléments 
de G tels que (Ml, ..., M,.) soit une base de E.
On ne cherchera pas à calculer 1' ni à déterminer les matrices Mj.
5. On note ÏU23 l'ensemble des racines p--ièmes de l'unité.
5.1 Préciser le cardinal de UP et expliciter ses éléments.
5.2 Soit X une matrice élément de G et À une valeur propre de X. Montrer que /\ 
EUR Up.
6. Prouver que tout élément de G est diagonalisable.

7. Prouver que l'ensemble .5" = {tr(X ), X E G} est fini. Donner un majorant du 
cardinal de .5" .

On considère alors l'application :

(p : X G G ._. 
			

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E3A Maths B PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Louet (ENS Cachan) ; il a été relu par Nicolas
Weiss (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants.
· Le premier exercice est consacré au calcul de l'intégrale de Gauss
Z +
2
e -x dx
-

On l'exprime comme la limite d'une suite définie par une intégrale que l'on 
calcule de deux façons différentes, en utilisant les techniques d'intégration 
usuelles
(changement de variable, intégration par parties, convergence dominée), d'étude
de suites et d'équivalents.
· Le deuxième exercice commence par étudier géométriquement un endomorphisme de 
R3 , puis établit une condition sur un polynôme Q pour qu'une matrice dont les 
coefficients sont donnés par les racines de Q soit une rotation
dans R3 . On y exploite l'analyse à une variable pour montrer qu'un polynôme
est scindé sur R, ainsi que les définitions et propriétés des matrices de 
rotation
dans R3 .
· Le troisième exercice aborde les liens entre le comportement de suites 
strictement positives et la convergence des séries associées. On y utilise les 
techniques
usuelles pour les séries à termes positifs, essentiellement la manipulation 
d'équivalents et de développements limités et la comparaison entre série et 
intégrale.
· Dans le quatrième exercice, on montre que tout sous-groupe G de Mn (C) 
d'exposant fini (ie tel qu'il existe un entier p vérifiant Xp = In pour tout 
élément X
de G) est fini. On commence pour cela par quelques considérations sur les
matrices nilpotentes puis on montre que tout élément de G est diagonalisable.
Il faut bien connaître le cours sur les matrices, la réduction des 
endomorphismes
et un peu d'algèbre générale (sur le groupe des racines de l'unité).
Ces quatre exercices utilisent des outils classiques et abordent des parties 
variées
du programme : calcul intégral, suites et séries numériques, algèbre linéaire 
et rotations dans R3 , algèbre générale dans Mn (C). En dehors d'un ou deux 
points de
l'exercice 3, la plupart des questions ne sont pas difficiles ; il fallait donc 
bien soigner
la rédaction.

Indications

I.2.2 Pour tout x, il existe un entier n tel que - n 6 x 6 n ; prendre alors le
logarithme de l'expression donnant fn (x).
I.2.3 Passer au logarithme et exploiter l'inégalité ln(1+x) 6 x valable pour x 
> -1.
I.2.5 Utiliser les questions I.2.2, I.2.3 et le théorème de convergence dominée.
I.3.2 Écrire cos2 t = 1 - sin2 t, puis exprimer cosk t sin t comme une dérivée.
I.3.4 Dans le numérateur, « factoriser » chaque terme par 2. Dans le 
dénominateur,
insérer les termes pairs manquants pour faire apparaître (2n + 1)!.
I.3.5 La formule de Stirling donne le terme (n/(2n + 1))2n . Utiliser le fait 
que la
limite de (1 + 1/2n)2n est e .

I.4 Le changement de variable à effectuer est x = n sin t.
I.5 Exploiter la question I.4, l'équivalent de J2n+1 trouvé à la question I.3.5 
et le
fait que (un )nN admet une limite qui est l'intégrale cherchée.
II.2 Étudier les variations de P. Remarquer que P ne peut avoir de racine triple
et est scindé sur R si et seulement s'il admet 2 racines réelles distinctes.
II.3.1 Développer (X - )(X - )(X - ).
t
II.3.2 Écrire A A et det A en fonction de a, b et c. Pour calculer 2 +  2 +  2 
, on
peut le faire apparaître dans le développement de ( +  + )2 . Pour calculer
3 +  3 +  3 , se souvenir que ,  et  sont les racines de X3 + aX2 + bX + c.
Ne pas oublier que pour que A soit réelle, il faut que ,  et  soient réels !
III.1 Puisque ln(a/b) = ln a - ln b, établir que un  vn , puis conclure (sans
n+

III.2.1
III.2.3
III.3.2
III.4.1
III.4.2
III.5

IV.3.1
IV.3.2
IV.6
IV.7
IV.8.3
IV.8.4
IV.10

oublier de préciser que l'une des séries diverge, par télescopage par exemple).
1
Pour un =
et vn = ln(ln(n)) - ln(ln(n - 1)), montrer que un  vn .
n+
n ln(n)
Pour tout n, wn = f (n) avec f strictement décroissante ; effectuer une 
comparaison série-intégrale.
Pour la limite de bn , écrire son expression en faisant apparaître Hn et 
exploiter
les équivalents trouvés aux questions III.1, III.2.1 et III.2.2.
Ne pas oublier que An = An-1 + an .
Pour tout n, ln(An /An-1 ) est égal à l'intégrale de t 7 1/t entre An-1 et An ;
l'encadrer en utilisant une méthode analogue à la comparaison série-intégrale.
Si (un )nN est bornée, se ramener à la propriété
(P) et considérer vn = un /Un
P
où Un est la n-ième somme partielle de un . Sinon, extraire de (un )nN une
sous-suite tendant vers l'infini ; poser alors vn = 1 si n est l'un des indices
correspondants et 0 sinon.
Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2.
Montrer que si A est nilpotente de taille 2, alors Tr (A) = 0 et A2 = 0.
Pour tout élément A  G, Ap = In . En déduire un polynôme annulateur de A.
Les traces des éléments de G sont les sommes des valeurs propres possibles
des éléments de G, que l'on connaît grâce à la question IV.5.2.
Appliquer la question IV.8.2 avec X = (AB-1 )k-1 , puis X = (AB-1 )k-2 , etc.
Pour calculer Tr Nk , utiliser la formule du binôme avec AB-1 et -In .
On vient de montrer que si A et B sont deux éléments de G ayant même
image par , alors AB-1 - In est nulle.
Utiliser l'injectivité de  (question IV.8.4) et la finitude de S (question 
IV.7).

Exercice I
2

I.1 La fonction x 7 e -x est continue sur R ; elle est en particulier 
intégrable sur
le segment [ -1 ; 1 ], et pour |x| > 1 on a l'inégalité
2

0 6 e -x 6 e -|x|
où le membre de droite est intégrable sur ] - ; -1 ] et [ 1 ; + [. On en déduit 
que
2
x 7 e -x est intégrable sur R. Ainsi,
Z
2
L'intégrale e -x dx est convergente.
R

I.2.1 L'allure des fonctions f1 et f4 , qui sont nulles en dehors de [ -1 ; 1 ] 
et [ -2 ; 2 ]
respectivement, est la suivante :
y
1
f4
f1

-2

-1

0

1

I.2.2 Soit x  R. Pour n assez grand, on a |x| <
grand que x2 ) et, par définition de fn ,

n
x2
fn (x) = 1 -
n
Puisque fn (x) > 0,

2

x

n (il suffit de prendre n plus

n
x2
ln(fn (x)) = ln 1 -
n

x2
= n ln 1 -
n
 2
 2 
x
x
ln(fn (x)) = n - + o
n+
n
n

qui tend vers -x2 quand n  +. Par continuité de l'exponentielle, pour tout réel 
x,
2
fn (x) ----- e -x , soit
n+

La suite de fonctions (fn )nN converge simplement
2
sur R vers la fonction x 7 e -x .

I.2.3 Soient n > 1 et u > -n. Alors 1 + u/n est strictement positif et l'on a

u n
u
ln 1 +
= n ln 1 +
n
n
Montrons l'inégalité usuelle, valable pour tout réel x > -1,
ln(1 + x) 6 x
Pour cela, étudions la fonction  : x 7 x - ln(1 + x) définie sur ] -1 ; + [. 
Elle y est
indéfiniment dérivable, et pour tout réel x de cet intervalle,
 (x) = 1 -

1
1+x

qui est strictement positif pour x > 0 et strictement négatif pour x < 0. Ainsi,
la fonction  admet un minimum global en 0, où elle vaut 0. On en déduit que  est
toujours positive, d'où l'inégalité cherchée.
En l'appliquant à x = u/n, qui est bien dans l'intervalle ] -1 ; + [ puisque
u > -n, on obtient

u n
u
ln 1 +
6n 6u
n
n
puis, en composant par la fonction exponentielle qui est strictement croissante
 n  N

 u > -n

1+

u n
6 eu
n

I.2.4 Pour tout n  N , fn est continue sur R et nulle en dehors de [ - n ; n ].
On en déduit que
L'intégrale

Z

fn (x) dx existe.
R

I.2.5 Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée :
· Pour tout n  N , fn est continue et intégrable sur R d'après la question 
I.2.4.
· D'après la question I.2.2, (fn )nN converge simplement sur R vers la fonction
2
x 7 e -x , qui est intégrable sur R d'après la question I.1.

· Vérifions l'hypothèse de domination. Soient n  N et x  R. Si |x| < n,
l'inégalité de la question I.2.3 appliquée à u = -x2 donne
fn (x) 6 e -x
ce qui reste vrai si x >

2

n puisque, par définition de fn , fn (x) est alors nul.

D'après le théorème de convergence dominée, l'intégrale de fn converge donc vers
l'intégrale de la limite simple des fn . Autrement dit,
La suite (un )nN converge vers

Z

2

e -x dx.

R