E3A Maths B PSI 2008

Thème de l'épreuve Zéros d'une fonction, racines d'un polynôme. Matrices symétriques positives et séries entières. Intégrales dépendant d'un paramètre.
Principaux outils utilisés théorème de Rolle, réduction des matrices symétriques, inégalité de convexité, formules de Cramer, théorème de Leibniz, théorème de convergence dominée

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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3
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

B47H

3 a
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

o , r o \ o o A
S:, au cours de ] epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'énoncé,
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copie et poursuit sa
compos1tmn en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

___--___"

L'usage de calculatrices est interdit.
...

R désigne l'ensemble des nombres réels et I est un intervalle de R non vide et 
non réduit à un
point.

1° Enoncer le Théorème de Rolle.
2° Soit h une application de 1 vers R, dérivable sur I, et p un entier naturel, 
p _>_ 2. On suppose

que h s'annule p fois sur ], démontrer que h' s'annule au moins p -----1 fois 
sur I.
3° On considère les applications a et b de ]O,+ oe[ vers R définies par :

a(x) = 3x"20 + x"... + 4x10 + 2x20 +11x30 et b(x) : ----150x"51 - 40x"41 - 
80x"21 --- 20x_11.
On suppose que b s'annule au plus 3 fois dans ]0,+ oo [. Montrer que a s'annule 
au plus 4 fois
dans ]O,+ oo [.

4° Soit n un entier naturel, n ?. 1 , (a1,(x2, ..... ,ou") un élément de R" 
avec ou] < (12 < ..... < or,, ,

(À1,À2, ..... ,Àn) un élément de (R* ) n et f,, l'application de ]O,+ oe[ vers 
R définie par :

fn(x) = ZM: xak-
k=1

Démontrer que f,, s'annule au plus n ---1 fois dans ]0,+ oo [.

5° On considère le polynôme P de R[X] suivant : P = X 400 -- 7X201 -- 4)(101 +1.
Prouver que P admet au plus 6 racines réelles.

Exercice 2

R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel, n 2 2.
On introduit les notations suivantes :

M n (R) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, M 
,...(R) est

l'ensemble des matrices à n lignes, une colonne et à coefficients réels,
GLn (R) est l'ensemble des matrices inversibles de M ,, (R) ,

O,, (R) est l'ensemble des matrices oflhogonales de M n (R) ,

S,, (R) est l'ensemble des matrices symétriques de M ,, (R) , S,Ï (R) est 
l'ensemble des

matrices de S,, (R) dont toute valeur propre est positive ou nulle, S,Î+ (R) 
est l'ensemble des

matrices de S,, (R) dont toute valeur propre est strictement positive.

Pour toute matrice M on note : [ M la transposée de M , mÿ- le coefficient de M 
situé dans la

i--ème ligne et la j-ème colonne de M , det(M ) le déterminant de M lorsque M 
est une matrice

carrée.
Partie A

Soit S une matrice de S,Ï (R). Le but de cette partie est d'établir l'inégalité 
(l) :

n
det(S) s Hs, .
i=1

Soit S une matrice de S,, (R) . On rappelle qu'il existe une matrice P de O,, 
(R) et un élément

(À1 ,k2 , ...... ,À,,)de R"tels que : 'PSP=D où Dest la matrice diagonale de M 
,,(R) telle
que V i & {l,2,....,n }, dil-- =)»,-- .

1° Soit S une matrice de S;',' (R).
Déduire du rappel précédent :

a) qu'il existe M élément de M ,, (R) tel que : S : tM M .
b) que pour toutXélément de Mn,1(R)z l'XSX 2 0.
c) que :V i & {l,2,....,n }, si,-- 20.

2° Soit S une matrice de S,Î+ (R) démontrer :

a) qu'il existe M élément de GL,, (R) tel que : S : tM M .

b) que pour toutX élément non nul de M ,...(R) : t X S X > 0 .

c) que :V i & {l,2,....,n }, sil-- > 0.

3° Soit S une matrice de S,Ï (R) n'appartenant pas à S,Î" (R) . Etablir 
l'inégalité (l) pour S.
4° Soit Sune matrice de S,Ï"(R) telle que: V i & {l,2,....,n }, sil-- : l .

a) Prouver que la fonction exponentielle est convexe sur R.

1 n
En déduire que: n,/k17t2 ..... I.,, S--[ZM].
" i=l

b) Démontrer que l'inégalité (l) est vérifiée par S.
5° Soit S une matrice quelconque de S,," (R). Soit T la matrice diagonale de M 
,, (R) telle
1

Sii

que :V i E {l,2,....,n}, til-- : etBlamatrice de M,,(R)définîe par B=TST.

a) Montrer que pour tout X élément non nul de Mn,1(R)ï ' X BX > 0 .

b) En déduire que B appartient à S ; + (R) .
c) Démontrer que l'inégalité (l) est vérifiée par S.

Partie B
Dans cette partie on utilise l'inégalité (l) de la Partie A pour établir 
l'inégalité d'Hadamard .

Soit A une matrice de M n (R).

1° Vérifier que l'on peut appliquer l'inégalité (l) à ' A A.

n n
2° En déduire l'inégalité d'Hadamard : ldet(A) | _<_ [[ Z(a ,a.)2 .
'=1 k=l

Partie C
Dans cette partie on utilise l'inégalité d'Hadamard pour établir un résultat 
concernant les

fonctions développables en série entière en 0 .
Soit (an)n_>_0 une suite réelle telle que ao # 0 . Soit (b,, ) nZO l'unique 
suite réelle vérifiant :

n
00b0 =1 et Vïl 2.1, Eakbn_k =0.
k=0

1° Pour n ..>. 1 , on considère la matrice A de M ,, +1 (R) suivante :

ao () 0 () bo
al ao ". () bl
a '. °. !
A = :2 ,_ __ ,_ : . Calculer A
00 0 .
a a a a bn
n 2 l 0

Vérifier que A appartient à GL" +1 (R) . Appliquer les formules de Cramer pour 
en déduire que
det(A')

bn =
det(A)
2° On suppose qu'il existe un réel r strictement positif tel que la série de 
terme général

où A' est une matrice de M ,, H (R) à préciser .

+oo
la,, ] r" converge. On pose : 2! an ] r" = C . Montrer que la série de terme 
général (an )2 r2"

n==0

+oo
converge et que îl(an)2 r2n S C2 .

n==0
3° Utiliser alors l'expression de bn établie à la question 1° de la Partie C et 
l'inégalité
1 . . . ,
d'Hadamard pour démontrer que : Vn _>_1, lbn {S ...ou" où on est un réel 
p051tlf mdependant
"0

de n à préciser ( on pourra considérer la matrice A" de M ,, +1(R) obtenue à 
partir de A' en

multipliant la i-ème ligne de A' par r'"1 , pour tout i élément de {l,2,....,n 
+1 }).

4° Soit f une fonction de R vers R développahle en série entière en 0 telle que 
f (0) =# 0 .

Montrer que la fonctron ---- defime au vmsmage de 0 est developpable en sene 
ent1ere en 0.

f

Exercice3

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction numérique F de la variable 
réelle x telle que :
F(x) = Jgoee"x°h' dt.

1° Question préliminaire

Soit a une application de R vers R telle que lim a(t) : +oe . Soit p un entier 
naturel non nul,
t-->+oo

pourquoi l'égalité e"... = o 1 est--elle vérifiée '?
+°° (a(t))p

2° Montrer que l'ensemble de définition de F est ]0, + oo [.

3° Prouver que F est de classe C2 sur ]O,+ oo [.

4° Montrer que F est solution sur]0,+ oo[ de l'équation différentielle : y" + 
-1--- y' -- y = 0 (E).
x

5° Etude de F (x) quand x tend vers 0+ .

Dans cette question, x est un réel vérifiant : 0 < x < 1.

a) On pose H (x)= L+oe e'x" ( 21 1 -------î;--]du.
u .--

Montrer que H est définie et bornée sur 10,1 [.

----v
EUR

b) On pose K(x) : [: dv.

Prouver que pour v élément de [x,1] on a : 0 _<. 1 -- e"" .<. v . En déduire 
que K (x) est

équivalent à --- ln(x) quand x tend vers O'" .

---xu

+00 3

c) Montrer que F (x) = L 2 du.
u -----1

d) Déterminer un équivalent de F (x) quand x tend vers 0+ .

6° Etablir que : lim x F (x) = 0 et que lim x F '(x) = O( indication : on 
pourra considérer
x----)+oo x--->+oo

une suite quelconque (x,, ),, d'éléments de [1,+ oo [ qui tend vers + co et 
utiliser le théorème

de la convergence dominée ).

7° Soit G une solution non nulle de (E) sur]0,+ oo[ vérifiant lim G(x) : lim 
G'(x) : O.
x-->+oe x----)+oe

On rappelle que le wronskien de F et G est l'application notée Wde ]O, + oo[ 
sur R définie
par: W=FG'--F'G.

. . , . , 1
a) Vérifier que W est solution sur ]0, + oo[ de l'équat10n d1fferent1elle : y + 
----- y = 0 et pour
x

x > O , calculer W(x) .
b) En déduire qu'il existe un réel ?» tel que pour tout x de ]O,+ oo[ , G(x) = 
X F (x) .

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths B PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Emmanuel Bougnol (Professeur en CPGE) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).

Le sujet est composé de trois exercices de longueurs et difficultés variables, 
complètement indépendants et abordant différentes parties du programme.
· Le premier exercice s'intéresse au théorème de Rolle et à ses applications aux
équations algébriques et à certaines fonctions. Sans grande difficulté, il 
offre une
possibilité intéressante de revoir ce point fondamental du programme d'analyse
de la classe supérieure.
· Le deuxième exercice porte sur l'algèbre euclidienne et commence par les 
classiques incontournables sur les matrices symétriques positives et définies 
positives. Fait inhabituel, ces dernières sont définies comme les matrices 
symétriques
dont le spectre est dans R+ ou R+ . On démontre ensuite une inégalité entre
le déterminant d'une matrice symétrique réelle (qui est en fait le produit des
valeurs propres) et le produit des termes diagonaux de la matrice. Il y a dans
cette partie une intervention intéressante de l'inégalité de convexité 
généralisée,
encore un point du cours de première année qu'il est bon de revoir. La partie B,
très courte, est l'application de l'inégalité précédente pour démontrer une 
majoration de la valeur absolue du déterminant d'une matrice carrée d'ordre n 
quelconque. La partie C donne une application étonnante de l'inégalité 
précédente,
puisqu'on l'utilise pour démontrer que l'inverse d'une fonction développable en
série entière au voisinage de 0 et non nulle en 0 est développable en série 
entière
au voisinage de 0. C'est un bon exercice de synthèse de l'algèbre euclidienne,
à faire dès que le chapitre du cours est terminé.
· Le troisième exercice consiste en l'étude d'une intégrale généralisée 
dépendante
d'un paramètre et on utilise, dans un contexte assez simple, les résultats 
classiques sur le sujet pour démontrer que la fonction est de classe C 2 . On 
détermine
ensuite une équation différentielle vérifiée par la fonction étudiée, puis on en
calcule un équivalent en 0. On passe ensuite à l'étude en +. L'énoncé donnait 
deux indices, l'utilisation de la caractérisation séquentielle d'une limite et
le théorème de convergence dominée ; encore des résultats classiques du 
programme d'analyse de spéciale que l'on a l'occasion de mettre en oeuvre dans
un cadre assez simple. On termine par une petite application à l'équation 
différentielle. On a là un exercice intéressant à travailler à la fin du 
chapitre sur les
séries de fonctions, en laissant éventuellement de côté la dernière question si 
les
équations différentielles linéaires du second ordre n'ont pas encore été 
traitées.

Indications
Exercice 1
2 Appliquer le théorème de Rolle à la fonction f , entre deux points consécutifs
où elle s'annule.
3 Poser h(x) = 10-30 a(x) puis appliquer la question précédente à h.
4 Procéder par récurrence, en posant fn+1 (x) = xn+1 f (x), puis appliquer la
question précédente à la fonction f .
5 Appliquer la question précédente en séparant les racines positives et les 
racines
négatives.
Exercice 2

t
A.1.a Poser D = diag( 1 , . . . , n ) puis M = PD P.
t

A.1.b Poser Y = MX puis vérifier que X SX = kYk2 , où k · k désigne la norme
euclidienne de Rn .
A.1.b En désignant par (E1 , E2 , . . . , En ) la base canonique de Mn,1 (R), 
vérifier que
t
Ej SEj = sjj puis appliquer la question précédente.
A.2 Reprendre la question précédente, mutatis mutandis 1 .
++
A.3 Si S est dans S+
n (R) et pas Sn (R), elle a une valeur propre nulle.

A.4.a Utiliser la caractérisation des fonctions convexes de classe C 2 , puis 
appliquer
l'inégalité de convexité aux réels ln(i ).
A.4.b Penser que la somme des valeurs propres est égale (dans le cas présent) à 
la
trace.
A.5.a Utiliser la question A.2.b.
A.5.b Se servir de la question précédente avec X vecteur propre de S.
A.5.c Appliquer le résultat de la question A.4 à la matrice B.
t

B.1 Vérifier que A A est symétrique positive.
t

2

B.2 Penser que det( A A) = [det(A)] .
   
b0
1
 b1  0
   
C.1 Vérifier que A  .  =  . .
 ..   .. 
bn
0

C.2 Penser que |an | rn 6 1 à partir d'un certain rang puis montrer que
N
P

an 2 r2n 6 C2

n=0

C.3 Vérifier que det(A ) = det(A )/rn(n+1)/2 puis appliquer l'inégalité 
d'Hadamard aux colonnes de A .
P
C.4 Montrer que la série entière bn xn a un rayon de convergence non nul, puis,
en faisant un produit de Cauchy, qu'elle répond à la question.
1 Pour ceux qui auraient préféré l'option cuisine à l'option latin, cela veut 
dire « en changeant ce
qui doit être changé ».

Exercice 3
p

1 Revenir à la définition de o (1/ [a(t)] ).
2 La fonction F est définie si et seulement si la fonction t 7 e -x ch (t) est 
intégrable sur R+ .
3 Appliquer le théorème de Leibniz.
4 Exprimer F(x) - F (x) sous forme d'une intégrale, puis faire une intégration
par parties.
5.a Pour montrer que H est définie, prouver que

1
1
1
1
-xu

e
-
6

6
2
2
2
2
u -1 u
u u2 - 1
u u -1 u+ u -1
Pour démontrer le caractère borné de H, intégrer l'inégalité

1
1
1
1
-xu

e
-
6 
-
2
2
u -1 u
u -1 u

1 e -v
5.b Se servir de la convexité de l'exponentielle pour prouver que -
6 1,
v
v
puis intégrer.
5.c Utiliser le changement de variable u = ch (t)
5.d Poser le changement de variable v = xu.
6 Pour les hypothèses de domination, remarquer que
xn e -xn ch (t) =

et

xn ch (t) e -xn ch (t) =

1
xn ch (t) e -xn ch (t)
ch (t)
1
xn 2 [ch (t)]2 e -xn ch (t)
xn ch (t)

7.b Si le wronskien de deux solutions est nul, ces solutions sont linéairement
dépendantes.

Exercice 1
1 Le théorème de Rolle s'exprime comme suit
Soit f une fonction continue sur un segment [ a ; b ] et
dérivable sur l'intervalle ] a ; b [ telle que f (a) = f (b).
Alors il existe un réel c  ] a ; b [ tel que f  (c) = 0.
Vérifiez que vous connaissez bien le théorème avec ses hypothèses minimales :
on apprend par le rapport du jury qu'un tiers seulement des candidats le cite
correctement et qu'un tiers l'ignore totalement.
2 Soit a1 < a2 < · · · < ap les p éléments de I en lesquels h est nulle. Étant 
donné
que h est dérivable, on peut appliquer le théorème de Rolle à h entre ai et 
ai+1 où
1 6 i 6 p - 1. On en déduit l'existence de p - 1 réels bi  ] ai ; ai+1 [, où 1 
6 i 6 p - 1,
tels que h (bi ) = 0.
Si h s'annule p fois sur I, h s'annule au moins p - 1 fois sur I.
3 Posons a(x) = x30 h(x) avec h(x) = 3 x-50 +x-40 +4 x-20 +2 x-10 +11. Supposons
par l'absurde que la fonction a s'annule au moins 5 fois sur ] 0 ; + [. Il en 
est de même
pour h. La fonction h étant dérivable sur ] 0 ; + [, d'après la question 
précédente,
h s'annule au moins 4 fois sur ] 0 ; + [. Comme
h (x) = -150 x-51 - 40 x-41 - 80 x-21 - 20 x-11 = b(x)
ceci est contraire à l'hypothèse qui dit que b s'annule trois fois au plus sur 
] 0 ; + [.
La fonction a s'annule au plus 4 fois sur ] 0 ; + [.
Remarquons qu'il est clair sur les expressions de a et b qu'elles ne s'annulent
ni l'une ni l'autre sur ] 0 ; + [. Malgré cela on peut quand même démontrer
que si b s'était annulée au plus 3 fois, a se serait annulée au plus 4 fois.
4 Démontrons ce résultat par récurrence. Soit n  N . On note P(n) la propriété
« Pour tout élément (1 , 2 , . . . , n ) de Rn et tout élément
(1 , 2 , . . . , n ) de R n , la fonction fn définie sur ] 0 ; + [ par
n
P
fn (x) =
k xk s'annule au plus n - 1 fois. »
k=1

· La propriété P(1) est vraie car f1 est une application de ] 0 ; + [ dans R 
définie
par f1 (x) = 1 x1 avec 1 réel non nul, donc f1 ne s'annule pas dans ] 0 ; + [.
· Soit n > 1. Supposons P(n) vraie et montrons P(n + 1). Comme
n+1
n
P
P
fn+1 (x) =
k xk = xn+1 f (x)
où
f (x) = n+1 +
k xk -n+1
k=1

k=1

fn+1 et f ont les mêmes zéros. Si fn+1 s'annule n + 1 fois au moins, il en est
de même de f et d'après la question 2, f  s'annule n fois au moins. De plus,
n
P
f  (x) =
(k - n+1 ) k xk -n+1 -1
k=1

Pour tout entier k  [[ 1 ; n ]], k (k - n+1 ) est un réel non nul et les 
exposants
sont rangés par ordre croissant. La fonction f  vérifie donc l'hypothèse de 
récurrence à l'ordre n et s'annule ainsi au plus n - 1 fois. La contradiction 
assure
que fn+1 s'annule au plus n fois et le résultat est démontré par récurrence.