E3A Maths A PSI 2013

Thème de l'épreuve Calcul de l'intégrale d'une fonction rationnelle en sinus et cosinus à paramètre
Principaux outils utilisés intégration sur un segment, intégrales à paramètre, algèbre linéaire, racines n-ièmes de l'unité

Corrigé

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7) Démontrer que n est de classe C1 sur ] -- 1,1[ et donner, pour tout a: E] -- 
1,1[,
une expression de h'(æ) et de h(a:).

Tournez la page S.V.P.

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&) Justifier que (p est bien définie sur R.

Dans cette question, on pose cp(t) = où a E C avec |a| < 1.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths A PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (ENS Cachan) ; il a été relu par
Alexei Tsygvintsev (ENS Lyon) et Nicolas Martin (ENS Lyon).

L'énoncé se compose d'une partie préliminaire et d'un problème en quatre 
parties.
Les questions préliminaires portent sur des résultats élémentaires à propos des
racines n-ièmes de l'unité, du calcul matriciel et de la réduction. Elles 
permettaient
de tester la connaissance du cours par les candidats.
Prétextant le calcul d'une intégrale d'une fonction rationnelle en cosinus et 
sinus,
le problème permet de passer en revue les théorèmes importants d'analyse réelle 
et
d'algèbre linéaire. Les parties B et C sont indépendantes de la partie A alors 
que la
dernière utilise toutes les autres.
· La première partie donne une réponse, purement analytique, au calcul de 
l'intégrale à paramètre définie pour tout x  ] -1 ; 1 [ par
Z 

h(x) =
ln 1 - 2x cos(t) + x2 dt
0

Par exemple, on applique ici les théorèmes classiques de continuité et de 
dérivation des intégrales à paramètre.

· La deuxième partie aborde les propriétés de réduction des matrices dites 
circulantes grâce aux propriétés arithmétiques des racines n-ièmes de l'unité.
On prouve que ces matrices sont diagonalisables et on calcule leurs spectres.
· Puis le sujet effectue, sans vraiment le dire, une transformée de Fourier 
discrète
d'une fonction et étudie par l'exemple les propriétés de cette transformation.
On fait le lien entre la transformée et les matrices circulantes de la partie
précédente.
· La dernière partie regroupe les résultats des parties B et C pour calculer 
d'une
autre manière l'intégrale de la partie A.
Le problème est relativement facile, classique, et nécessite pas mal de calculs.
Il convient donc d'être particulièrement soigneux et précis lors de la 
rédaction.
C'est une bonne occasion de s'assurer de son aptitude aux calculs dans un 
contexte
théorique simplifié ; savoir mener à bien un calcul long est important dans 
l'appréciation d'une copie, indépendamment de la sélectivité concours.

Indications
Questions préliminaires
1.c Reconnaître une somme géométrique et bien distinguer le cas où la raison
vaut 1.
2.c Prouver que si M = PDP-1 alors p(M) = Pp(D)P-1 .
Partie A
A.1 Au lieu d'essayer de calculer directement l'intégrale, faire un changement 
de
variable adéquat sur le second facteur.
A.2 Il suffit d'écrire la formule d'Euler e i t = cos(t) + i sin(t).
A.4 Effectuer le changement de variable u =  - t.
A.7 Faire bien attention aux valeurs possibles de x. Respectivement, on 
considère
les trois cas x  [ 0 ; 1 [, x  [ -1 ; 1 ] r {0} et x  ] -1 ; 1 [ aux questions 
5, 6
et 7. Toutefois h est continue et paire...
Partie B
B.1 Effectuer pour j variant de n à 2, l'opération suivante sur les colonnes :
Cj  Cj - aCj-1
B.2.b Faire un développement suivant la première colonne.
B.4 Reprendre la preuve de la question préliminaire 2.c.
Partie C
C.1.b Appliquer la question préliminaire 1.c.
C.2.c Montrer pour tout k  [[ 0 ; n - 1 ]]

P
2s
1 n-1

 -ks = ak
n s=0
n
Partie D
D.1 C'est une somme de Riemann.
D.2.b On relie facilement la fonction F à la fonction  de la question C.2 par
F(t) = ln(|(t)|) - ln(1 - an )
Utiliser ensuite cette relation pour calculer les sommes de Riemann.

Questions préliminaires
Dans la suite, utilisons la notation D = Diag (a1 , . . . , an ) pour désigner 
la matrice
diagonale de taille n dont les éléments diagonaux sont Dii = ai pour tout i  [[ 
1 ; n ]].
1.a L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est
Un = {e i 2k/n | k  [[ 0 ; n - 1 ]]}
Comme  k = e i 2k/n , on trouve
Un = { k | k  [[ 0 ; n - 1 ]]}
1.b La factorisation est donnée par
n-1

Xn - 1 =

 (X - k )

k=0

1.c Tout d'abord, remarquons que la somme recherchée est une somme géométrique
n-1
P

 rk =

k=0

n-1
P

k

( r )

k=0

Il faut donc regarder si la raison  r est égale ou non à 1. Or
r = 1

 e i r2/n = 1

2r/n = 0 mod (2)

r  nZ

r/n  Z

Par conséquent si r  nZ alors
n-1
P

 rk =

k=0

Sinon, r 
/ nZ, on obtient
n-1
P

 rk =

k=0

En résumé,

n-1
P

n-1
P

1k =

k=0

k

( r ) =

k=0

n-1
P

n-1
P

1=n

k=0

1 -  rn
1 - ( n )r
1 - 1r
=
=
=0
r
r
1-
1- 
1 - r

rk

=

k=0

(

0

si r 
/ nZ

n

si r  nZ

2.a Par définition, M est diagonalisable s'il existe une matrice complexe 
inversible P
et une matrice D diagonale telles que
M = PDP-1

et

D = Diag (0 , . . . , n-1 )

Par suite, en utilisant la propriété multiplicative du déterminant, on a

det(M) = det PDP-1

= det(P) det(D) det P-1

= det(P) det P-1 det(D)
det(M) = det(D)

car det P-1 = det(P)-1

Or on sait que le déterminant d'une matrice diagonale vaut le produit de ses 
coeffin-1

cients diagonaux. Dans notre cas, on obtient det(D) =

 k . Finalement,

k=0

n-1

det(M) =

 k

k=0

2.b Avec les notations de l'énoncé, on dispose de la relation
MV = V
Prouvons par récurrence que la propriété
P() :

M V =  V

est vraie pour tout   N.
· P(0) est vraie, puisque par définition, on a M0 = In , 0 = 1 et In V = V.
· P() = P( + 1) : calculons

M+1 V = M M V = M  V =  MV = +1 V
· Conclusion :

Ainsi,

M V =  V

  N

V est un vecteur propre de M associé à la valeur propre  .

Autrement dit, si l'on considère un monôme p(X) = X , on vient de démontrer
que p(M)V = p()V. Par linéarité, on en déduit que
p  C[X]

p(M)V = p()V

Cette relation implique, par exemple, que toute valeur propre est racine de
n'importe quel polynôme annulateur de M.
2.c Reprenons les notations de la question 2.a. Il existe une matrice P 
inversible et
une matrice D diagonale telles que
M = PDP-1

et D = Diag (0 , . . . , n-1 )

Dans un premier temps, on a
-1
-1
k -1
Mk = (PDP-1 ) · · · (PDP-1 ) = PD |P-1
{z P} D · · · P
| {z P} DP = PD P
|
{z
}
=Ip

k fois

Dans un second temps, si p(X) =

n
P

=Ip

ak Xk  C[X], on obtient

k=0

p(M) =

n
P

k=0

k

ak M =

n
P

k

ak PD P

k=0

avec p(D) une matrice diagonale

-1

=P

n
P

k=0

k

ak D

P-1 = Pp(D)P-1

p(D) = Diag (p(1 ), . . . , p(n ))
Ainsi,

Pour tout polynôme p  C[X], p(M) est diagonalisable.