E3A Maths A PSI 2007

Thème de l'épreuve Étude d'endomorphismes nilpotents
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, calcul matriciel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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QT7O

e 23
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Questions de cours.

1. Donner la définition du rang d'une matrice.
2. Citer sans démonstration le théorème du rang.

3. Quand dit-on que deux matrices sont semblables ? Ont--elles alors même rang 
? (On ne demande

pas de justifier votre réponse)
4. Qu'appeIIe--t--on polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice '?

Problème.
Dans tout le problème, n est un entier naturel non nul et M H ((C) désigne 
l'espace vectoriel normé
des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes.
GL n(
m

k
PourMEURMn(C), soita(M)lamatricez a(M)= lim S... avec Sm = E , --Aî,

m++oe
k=O

On rappelle que pour calculer cette limite, il suffit de calculer la limite de 
chacun des termes de la
matrice S ....

On admettra et on utilisera sans le démontrer que cette matrice existe toujours 
et que si A et B sont
deux matrices de M " ((C) qui commutent, alors a (A + B) = a (A) a (B).

Partie 1 : Quelques calculs préliminaires.

2 -3 3
1.SoitA= _3 3 _4 EURM3(C).
--3 4 --5

Déterminer les éléments propres de la matrice A.

2. Vérifierque : ker (A +13)2 EB ker (A--213) = C3.

--1 l 0
3. En déduire que la matrice A est semblable à la matrice : O --1 O
O O 2

Partie 2 : Quelques propriétés de la matrice J(0).

1. Déterminer le rang de J(O).

2.1. Déterminer J(O) k pour k EUR N, k < n-- 1, puis pour toutk EUR N, k > n.

2.2. Vérifier que toutes les puissances de J(O) sont des matrices nilpotentes.

3. Déterminer a(J(O)) puis U = a(J(O)) --In.

4. Montrer que toute combinaison linéaire de deux matrices nilpotentes qui 
commutent est encore
une matrice nilpotente.

5. Montrer que U est une matrice nilpotente de rang n -- 1.

Partie 3 : Quelques résultats sur les noyaux itérés d'un endomorphisme.

Soit u un endomorphisme de E.

1. Prouver que \7' (i,j) EUR NZ, ker (u') c ker (M").
2. Pour toutm EUR N, on note tm = dim (keru '").

Prouver que : r = inf {m EUR N, tm = tm+1} existe.

Page 2/4

3. Montrer que :

(i ) V m < r ker (u "") est strictement inclus dans ker (u m+l ),
ker

(ii) ker(u ) (u ...)

(iii) Vm>r, ker (um) =ker (um+l).

Partie 4 : Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n -- 1.

Soit Vune matrice de Mn ((C), de rang n -- l et vérifiant : V " = On.

On note v l'endomorphisme de E associé à V.

1. Soient p et q deux entiers naturels et w la restriction de v 51 à Im( v 1" ).

1.1. Déterminer Im (w).

1.2. Prouver que : ker (w) c ker (v Cl).

1.3. Vérifier alors que l'on a:
dim( ker (vp+q)) < dim( ker (vp) ) +dim( ker (vq) ).
1.4. En déduire:
V i EUR {l,...,n}, dim ( ker (v ') ) EUR I'.
1.5. Démontrer qu'en fait : V i EUR {l,...,n}, dim ( ker (v ') ) = i.

2. Prouver alors que v "_1 = 9.

3. En déduire qu'il existe un vecteur e de E tel que :
B] (e, v(e), v 2(e), , v "_1(e))

soit une base de E.

4. Ecrire la matrice de v dans cette base.
Interpréter le résultat obtenu à l'aide des matrices J(À).

5. Déterminer alors tous les endomorphismes nilpotents de rang n -- 1 et 
montrer que les matrices
de deux tels endomorphismes sont semblables.

Partie 5 : Résolution de l'équation J(y) = a(X) d'inconnue X EUR M,, (C).
1. Montrer que : V M EUR MMC), V P EUR GLn((C),

P--1a(M)P = a(P"1MP).
2. Résoudre dans (C les équations :
eZ=i, eZ=--l, eZ=--3--4i.

3. Plus généralement, soit M EUR @.

Déterminer, lorsque cela est possible, tous les nombres complexes 2 = x + i y 
EUR @ tels que :

ZZ"-
Page 3/4

S

4. On prend alors y = O et on note 3 un des nombres complexes tel que : e = ,u.

4.1. Déterminer : (1 (sin ).

4.2. On écrit alors J(s) sous la forme :J(s) = sin +J(O).

Exprimer & (J(s)) à l'aide de a (J(O)) et de ,u.

4.3. Vérifier que la matrice : ul: a (J(O)) -- ln ] est nilpotente de rang n -- 
1.

4.4. En déduire qu'il existe une matrice inversible Q EUR GL "((C) telle que :

Q --1 a> Q = J.

5. Donner alors dans M n ((C) une solution à l'équation proposée : (1 (X) = 
J(u).

6. En déduire dans M " ((C) une solution à l'équation : a (X) = ' J(,u).
7. Applications
i

7.1. On considère la matrice T = ( 0 _
z

1 _2
EUR M2(C), z = --1.

Déterminer une matrice X 1 telle que : & (X 1 ) = T.

7.2. On va chercher une matrice X 2 EUR M 3 (EUR) telle que : (1 (X 2) = A où A 
désigne la matrice de
M 3 ((C) définie àla partie 1.

--l 1
7.2.1. Déterminer une matrice 81 EUR M2 ((C) telle que : a(Bl ) = ( ).

O --1
B] 0
7.2.2. SoitH = () EUR M3 (C). Calculer a(H).
O O ln2

7.2.3. Déterminer alors une matrice X 2 EUR M 3 (C) telle que : 05 (X 2) = A.

Fin de l'épreuve.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths A PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florence Monna (ENSTA) ; il a été relu par Guillaume
Batog (ENS Cachan) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).
L'épreuve se compose de quatre questions de cours et d'un problème portant
exclusivement sur l'algèbre linéaire et la réduction des endomorphismes. Il 
comporte
cinq parties relativement indépendantes.
· La première partie est essentiellement calculatoire. Elle commence par l'étude
d'un exemple, avec la recherche des valeurs propres et sous-espaces propres d'un
endomorphisme de R3 identifié à sa matrice dans la base canonique. On termine
par une réduction par blocs de Jordan de la matrice.
· La deuxième partie étudie la matrice de Jordan J(0)
 d'ordre n, jusqu'au calcul
de son exponentielle, pour en déduire que exp J(0) - In est nilpotente. Il n'y a
pas de difficulté majeure dans ces questions, à l'exception de la manipulation,
dans un contexte assez simple, de matrices n × n.
· On passe ensuite à des propriétés très classiques des noyaux itérés d'un 
endomorphisme, dans une partie très courte, proche du cours.
· La partie IV détermine tous les endomorphismes nilpotents de rang n - 1 sur
un espace vectoriel de dimension n. Cette étude un peu théorique au départ est
nettement plus difficile que les précédentes. Elle nécessite une bonne maîtrise
de l'algèbre linéaire et utilise des résultats de la partie précédente, qu'il 
faut
donc avoir bien compris.
· La dernière partie propose la résolution d'une équation matricielle, 
consistant à
chercher les matrices dont l'exponentielle est une matrice donnée. On est amené
à utiliser un petit peu de topologie des espaces vectoriels normés, puis 
l'exponentielle complexe et quelques résultats antérieurs du problème. Cette 
étude
assez originale se termine par des applications numériques.
Au final, c'est un problème intéressant malgré quelques passages calculatoires.
On peut le traiter dès la fin du chapitre portant sur la réduction des 
endomorphismes,
à condition que le cours de topologie ait été fait avant.

Indications
Partie I
I.1 Calculer le polynôme caractéristique de A.
I.3 Construire une base adaptée à l'aide de la question I.2.
Partie II
II.2.1 Considérer l'endomorphisme  canoniquement associé à J(0) et regarder les
images des vecteurs de la base canonique par ,  2 , etc.
II.3 Utiliser le fait que J(0) est nilpotente.
II.5 Généraliser le résultat de la question II.4 pour une combinaison linéaire 
quelconque.
Partie III
III.2 Montrer que (tn )nN est une suite d'entiers croissante majorée.
Partie IV
IV.1.3 Appliquer le théorème du rang à w : Im (v p ) - E.
IV.1.4 Utiliser l'inégalité de la question précédente avec p = i - 1 et q = 1.

IV.1.5 Montrer la propriété dim Ker (v i ) = i pour i  [[ 1 ; r ]] puis 
supposer que
r < n pour aboutir à une contradiction.

IV.3 Montrer que B1 est libre dans E en composant d'abord par v n-1 une 
combinaison linéaire nulle des vecteurs de B1 .
IV.5 Donner une caractérisation faisant intervenir J(0).
Partie V
V.1 Ne pas oublier le fait que l'application M 7 P-1 MP est continue pour passer
à la limite.
V.2 Écrire e z = e x e i y et résoudre en séparant module et argument.

V.4.1 Penser au fait que e s = µ.
V.4.2 Utiliser la propriété de  donnée au début du sujet : si A et B commutent,
alors (A + B) = (A)(B).
V.4.3 Penser à la question II.5.
V.4.4 Utiliser la question IV.5 ainsi que les questions II.1 et II.2.2.
V.5 Utiliser la question V.1.
V.6 Ne pas oublier que la transposition est continue.
V.7.2.2 Calculer Hk à l'aide d'un produit matriciel par blocs puis sommer et 
passer
à la limite.
V.7.2.3 Utiliser le résultat de la question I.3 pour relier A à (H).

Questions de cours
1 Par définition,

rg (M) = dim(Im M)

avec Im M l'espace vectoriel engendré par les colonnes de M.
Notons également que la taille du plus grand déterminant non nul extrait de
la matrice est égal au rang de cette matrice.
2 Le théorème du rang s'énonce ainsi :
Soit f une application linéaire entre deux espaces
vectoriels E et F de dimension finie. Alors
rg (f ) + dim(Ker f ) = dim E
3 Deux matrices carrées A et B de même taille sont semblables si et seulement 
s'il
existe une matrice inversible P telle que
A = PBP-1
Dans ce cas, A et B ont même rang.
Les matrices A et B représentent le même endomorphisme dans deux bases
différentes. Elles ont même rang car le rang d'une application linéaire est
inchangé en le composant avec un isomorphisme.
4 Pour un endomorphisme u, (Xk )(u) = uk est la composée k fois de u.
Un polynôme P est dit annulateur de u endomorphisme d'un espace vectoriel E 
lorsqu'il vérifie
P(u) = 0L (E)
De la même manière,
Un polynôme P est dit annulateur d'une matrice
carrée A de taille n lorsqu'il vérifie
P(A) = On
où On est la matrice nulle de Mn (R).
Un polynôme annulateur d'un endomorphisme u : E - E est un élément du
noyau du morphisme d'algèbres  : (K[X], +, ×, ·) - (L (E), +, , ·) défini
par (X) = u. Il en est de même pour les matrices de (Mn (K), +, ×, ·).

Problème
I. Quelques calculs préliminaires
I.1 Les valeurs propres de A sont exactement les racines de son polynôme 
caractéristique. Calculons-le :
P(X) = det(A - XI3 )
= (-1)3 det(XI3 - A)
=-

X-2
3
3

3
-3
X-3
4
-4
X+5

=-

X-2
3
3

0
-3
X+1
4
X+1 X+5

C2  C2 + C3

= -(X + 1)

X-2
3
3

0
-3
1
4
1 X+5

= -(X + 1)

X-2
3
0

0
-3
1
4
0 X+1

= -(X + 1)2

X-2
3

0
1

L3  L3 - L2

en développant selon L3

P(X) = -(X + 1)2 (X - 2)
Les valeurs propres de A sont 2 (valeur propre
simple) et -1 (valeur propre double).
Déterminons le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 2.

0 -3 3
A - 2I3 = -3 1 -4
-3 4 -7

Soit X dans M3 , 1(C) de coordonnées (x1 , x2 , x3 ). On a les équivalences 
suivantes
X  Ker (A - 2I3 )

X  Ker (A - 2I3 )

Ainsi,

Ker (A - 2I3 ) = Vect

(A - 2I3 )X = 0

-3x2 + 3x3 = 0

-3x1 + x2 - 4x3 = 0

-3x1 + 4x2 - 7x3 = 0
(
x2 = x3
x1 = -x2
t

(-1, 1, 1)