Centrale Maths 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Valeurs singulières et pseudo-inverse d'une matrice
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques, quadriques
Mots clefs produit scalaire euclidien, diagonalisation, matrices symétriques, matrices orthogonales, valeurs singulières, pseudo-inverse

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 12 mars 2009 10h51

2

2

l'endomorphisme f dans la base B.

On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible.

I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer
que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI).
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou 
complexes, avec le même ordre de multiplicité.

I.B - Soit  une valeur propre réelle non nulle de AB, X  R n un vecteur propre 
de
AB associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA.
I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.

I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
propre de BA.

Page 1/3

En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice 
de

2

PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 .
Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 
l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, 
c'est-à-dire la matrice

dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B ,
f (e2 ) B , . . . ,
f (en ) B .

Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de 
coordonnées
(x1 , . . . , xn ) dans la base B.
Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases 
de R n , on note

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs
p X et Y de R
p
t
sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX.
Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n )  Mn (R) la matrice 
diagonale
avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux.
On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).

n

Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R).
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
même ordre de multiplicité.

PSI

Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne 
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
L'espace vectoriel
euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace 
vectoriel R n
et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n.

Filière

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

MATHÉMATIQUES II

Préliminaires

trs trsés

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 12 mars 2009 10h51

2

2

l'endomorphisme f dans la base B.

On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible.

I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer
que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI).
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou 
complexes, avec le même ordre de multiplicité.

I.B - Soit  une valeur propre réelle non nulle de AB, X  R n un vecteur propre 
de
AB associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA.
I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.

I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
propre de BA.

Page 1/3

En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice 
de

2

PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 .
Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 
l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, 
c'est-à-dire la matrice

dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B ,
f (e2 ) B , . . . ,
f (en ) B .

Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de 
coordonnées
(x1 , . . . , xn ) dans la base B.
Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases 
de R n , on note

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs
p X et Y de R
p
t
sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX.
Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n )  Mn (R) la matrice 
diagonale
avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux.
On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).

n

Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R).
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
même ordre de multiplicité.

PSI

Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne 
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
L'espace vectoriel
euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace 
vectoriel R n
et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n.

Filière

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

MATHÉMATIQUES II

Préliminaires

trs trsés

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 12 mars 2009 10h51

2

2

l'endomorphisme f dans la base B.

On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible.

I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer
que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI).
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou 
complexes, avec le même ordre de multiplicité.

I.B - Soit  une valeur propre réelle non nulle de AB, X  R n un vecteur propre 
de
AB associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA.
I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.

I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
propre de BA.

Page 1/3

En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice 
de

2

PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 .
Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 
l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, 
c'est-à-dire la matrice

dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B ,
f (e2 ) B , . . . ,
f (en ) B .

Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de 
coordonnées
(x1 , . . . , xn ) dans la base B.
Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases 
de R n , on note

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs
p X et Y de R
p
t
sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX.
Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n )  Mn (R) la matrice 
diagonale
avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux.
On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).

n

Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R).
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
même ordre de multiplicité.

PSI

Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne 
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
L'espace vectoriel
euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace 
vectoriel R n
et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n.

Filière

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

MATHÉMATIQUES II

Préliminaires

trs trsés

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

Filière PSI

-1 0
0 1 .
0 0

III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie 
II.
III.A.1) Déterminer le rang de A et calculer tAA.
III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de A que l'on notera 1 , 2 , 3
avec 1 > 2 > 3 .

On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A et B la base 
canonique de R3 .

1
Dans cette partie, on pose A =  1
0

Partie III - Étude géométrique d'un exemple

II.C II.C.1) Soient 1 , . . . , n  R + des réels positifs.
Démontrer qu'il existe deux matrices Q1 et Q2 dans O(n) telles que :
A = Q1 · Diag(1 , . . . , n ) · Q2  1 , . . . , n sont les valeurs singulières 
de A.
II.C.2) Soient A, B  Mn (R) deux matrices réelles. Démontrer que :
A et B ont les mêmes valeurs singulières  (R1 , R2 )  O(n)2 , A = R1 BR2 .

II.B - On rappelle que A = MatB ( f ) et tAA = MatB (g) et dans cette section, 
on
note  = rg (tAA) = rg (g).
II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de R n notée B1 = (X1 , . 
. . , Xn )
telle que :
· Pour tout entier i  [1, ], tAAXi = i Xi ;
· (X+1 , . . . , Xn ) soit une base de Ker f .
II.B.2) Démontrer que la famille (AX1 , . . . , AX ) est une famille 
orthogonale de
vecteurs non nuls et une base de Im ( f ).
II.B.3) Pour tout entier i  [1, ], calculer ||AXi ||.
II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée B2 de R n telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , . . . , n ).
II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales P1 , P2  O(n) telles 
que
A = P1 · Diag(1 , . . . , n ) · P2 .

Page 2/3

On suppose par la suite que 1 , . . . , r sont non nuls et donc
r+1 = · · · = n = 0.
II.A.5)
a) En utilisant tAA = PD tP, démontrer qu'on peut écrire D sous la forme tMM,
avec M  Mn (R).
b) Démontrer que 1 , . . . , n  [0, +[.
Pour i  p
{1, . . . , n}, on appelle « valeurs singulières de A » les n nombres i définis
par i = i .
II.A.6) Soient U, V  O(n).
Démontrer que les valeurs singulières de U AV sont exactement celles de A.
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A  Mn (R) est une matrice 
symétrique réelle.
Déterminer les valeurs singulières de A en fonction des valeurs propres de A.

II.A - Diagonalisation de AtA et de tAA.
II.A.1)
a) Démontrer que pour tout X  R n , AX = 0 = tAAX = 0.
b) On suppose que X  R n est tel que tAAX = 0.
Calculer tX tAAX et en déduire que AX = 0.
c) En déduire que Ker g = Ker f puis que rg(A) = rg (tAA).
II.A.2) Démontrer que tAA et A tA sont deux matrices symétriques.
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe P, Q  O(n) et D  Mn (R)
diagonale telles que
t
AA = PD tP et A tA = QD tQ
On pose D = Diag(1 , . . . , n )
II.A.4) Démontrer que D possède exactement r termes diagonaux non nuls.

Dans cette partie II, on fixe un entier n, n > 2, une matrice A appartenant à 
Mn (R)
et on pose r = rg (A).
On note f et g les deux endomorphismes de R n dont les matrices dans la base
canonique B sont respectivement A et tAA.

Partie II - Valeurs singulières d'une matrice

MATHÉMATIQUES II

Filière PSI

-1 0
0 1 .
0 0

III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie 
II.
III.A.1) Déterminer le rang de A et calculer tAA.
III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de A que l'on notera 1 , 2 , 3
avec 1 > 2 > 3 .

On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A et B la base 
canonique de R3 .

1
Dans cette partie, on pose A =  1
0

Partie III - Étude géométrique d'un exemple

II.C II.C.1) Soient 1 , . . . , n  R + des réels positifs.
Démontrer qu'il existe deux matrices Q1 et Q2 dans O(n) telles que :
A = Q1 · Diag(1 , . . . , n ) · Q2  1 , . . . , n sont les valeurs singulières 
de A.
II.C.2) Soient A, B  Mn (R) deux matrices réelles. Démontrer que :
A et B ont les mêmes valeurs singulières  (R1 , R2 )  O(n)2 , A = R1 BR2 .

II.B - On rappelle que A = MatB ( f ) et tAA = MatB (g) et dans cette section, 
on
note  = rg (tAA) = rg (g).
II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de R n notée B1 = (X1 , . 
. . , Xn )
telle que :
· Pour tout entier i  [1, ], tAAXi = i Xi ;
· (X+1 , . . . , Xn ) soit une base de Ker f .
II.B.2) Démontrer que la famille (AX1 , . . . , AX ) est une famille 
orthogonale de
vecteurs non nuls et une base de Im ( f ).
II.B.3) Pour tout entier i  [1, ], calculer ||AXi ||.
II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée B2 de R n telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , . . . , n ).
II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales P1 , P2  O(n) telles 
que
A = P1 · Diag(1 , . . . , n ) · P2 .

Page 2/3

On suppose par la suite que 1 , . . . , r sont non nuls et donc
r+1 = · · · = n = 0.
II.A.5)
a) En utilisant tAA = PD tP, démontrer qu'on peut écrire D sous la forme tMM,
avec M  Mn (R).
b) Démontrer que 1 , . . . , n  [0, +[.
Pour i  p
{1, . . . , n}, on appelle « valeurs singulières de A » les n nombres i définis
par i = i .
II.A.6) Soient U, V  O(n).
Démontrer que les valeurs singulières de U AV sont exactement celles de A.
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A  Mn (R) est une matrice 
symétrique réelle.
Déterminer les valeurs singulières de A en fonction des valeurs propres de A.

II.A - Diagonalisation de AtA et de tAA.
II.A.1)
a) Démontrer que pour tout X  R n , AX = 0 = tAAX = 0.
b) On suppose que X  R n est tel que tAAX = 0.
Calculer tX tAAX et en déduire que AX = 0.
c) En déduire que Ker g = Ker f puis que rg(A) = rg (tAA).
II.A.2) Démontrer que tAA et A tA sont deux matrices symétriques.
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe P, Q  O(n) et D  Mn (R)
diagonale telles que
t
AA = PD tP et A tA = QD tQ
On pose D = Diag(1 , . . . , n )
II.A.4) Démontrer que D possède exactement r termes diagonaux non nuls.

Dans cette partie II, on fixe un entier n, n > 2, une matrice A appartenant à 
Mn (R)
et on pose r = rg (A).
On note f et g les deux endomorphismes de R n dont les matrices dans la base
canonique B sont respectivement A et tAA.

Partie II - Valeurs singulières d'une matrice

MATHÉMATIQUES II

Partie IV - Image de la sphère unité

y2
y2
y2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S  12 + 22 + 32 = 1
1
2
3
IV.A.3) Préciser la nature géométrique de S .

Filière PSI

· · · FIN · · ·

V.E - Soit Y  R n fixé.
On considère le système linéaire AX = Y, où X  R n est l'inconnu. On suppose
que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs X 
tels que
la norme de Y - AX soit minimale.
Démontrer que X = A+ Y est l'un de ces vecteurs.

V.D - Démontrer que Im ( f ) = Im (h).

V.C - On note f et h les endomorphismes R n dont les matrices dans la base 
canonique sont respectivement A et P.
Démontrer que h est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.

V.B - Simplifier le produit matriciel AA+ et en déduire que, si A est une 
matrice
inversible, A+ = A-1 .

V.A - Démontrer que rg(A) = p.

On pose P = AA+ .

On définit le pseudo-inverse A+ de A par

1,
1, ,
+
t
,
,
···
0 · · · 0 · t Q1
A = Q2 · Diag
1
p

forme A = Q1 · Diag(1 , . . . , p , 0, . . . , 0) · Q2 , où Q1 , Q2  O(n) sont 
deux matrices
orthogonales et 1 , . . . , p des réels strictement positifs.

Soit n un entier, n > 2 et A  Mn (R), qu'on écrit, comme dans la Partie II, 
sous la

Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice

IV.B Dans cette section, on suppose que rg (A) = 1.
IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de A est non nulle.
On la note 1 .
IV.B.2) Démontrer que S est un segment dont on donnera la longueur.

Page 3/3

IV.A Dans cette section on suppose que rg (A) = 3.
IV.A.1) Démontrer que A admet trois valeurs singulières 1 , 2 , 3 strictement 
positives, distinctes ou non.
IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de R3 notée B  telle que :

Dans cette partie, comme dans la Partie III, A est une matrice de M3 (R) et on 
étudie
S l'ensemble S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1}.

III.B.2)
III.B.3)

Démontrer que S = {QDX  , X   R3 , ||X  || = 1}.
Démontrer que dans une base adaptée B  à déterminer,
 2
y2
 y1
+ 22 6 1
2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S 
2
 1
y3 = 0
III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble S.

S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1} = { f (x) ; x  R3 , ||x|| = 1}.
C'est donc l'ensemble décrit par f (x) quand x décrit l'ensemble des vecteurs de
norme 1 (sphère unité de R3 ).
III.B.1) Démontrer que S est une partie d'un plan dont on déterminera une base
et une équation cartésienne.

III.B - On étudie la partie S de R3 définie par

III.A.5) Démontrer que A = PB B2 · Diag(1 , 2 , 3 ) · tPB B1 .
On pose pour la suite P = PB B1 , Q = PB B2 et D = Diag(1 , 2 , 3 ).

III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de tAA que l'on
notera B1 = (X1 , X2 , X3 ).
On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres 
correspondantes.
III.A.4) Déterminer une base orthonormée B2 = (Y1 , Y2 , Y3 ) telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , 2 , 3 ).

MATHÉMATIQUES II

Partie IV - Image de la sphère unité

y2
y2
y2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S  12 + 22 + 32 = 1
1
2
3
IV.A.3) Préciser la nature géométrique de S .

Filière PSI

· · · FIN · · ·

V.E - Soit Y  R n fixé.
On considère le système linéaire AX = Y, où X  R n est l'inconnu. On suppose
que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs X 
tels que
la norme de Y - AX soit minimale.
Démontrer que X = A+ Y est l'un de ces vecteurs.

V.D - Démontrer que Im ( f ) = Im (h).

V.C - On note f et h les endomorphismes R n dont les matrices dans la base 
canonique sont respectivement A et P.
Démontrer que h est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.

V.B - Simplifier le produit matriciel AA+ et en déduire que, si A est une 
matrice
inversible, A+ = A-1 .

V.A - Démontrer que rg(A) = p.

On pose P = AA+ .

On définit le pseudo-inverse A+ de A par

1,
1, ,
+
t
,
,
···
0 · · · 0 · t Q1
A = Q2 · Diag
1
p

forme A = Q1 · Diag(1 , . . . , p , 0, . . . , 0) · Q2 , où Q1 , Q2  O(n) sont 
deux matrices
orthogonales et 1 , . . . , p des réels strictement positifs.

Soit n un entier, n > 2 et A  Mn (R), qu'on écrit, comme dans la Partie II, 
sous la

Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice

IV.B Dans cette section, on suppose que rg (A) = 1.
IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de A est non nulle.
On la note 1 .
IV.B.2) Démontrer que S est un segment dont on donnera la longueur.

Page 3/3

IV.A Dans cette section on suppose que rg (A) = 3.
IV.A.1) Démontrer que A admet trois valeurs singulières 1 , 2 , 3 strictement 
positives, distinctes ou non.
IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de R3 notée B  telle que :

Dans cette partie, comme dans la Partie III, A est une matrice de M3 (R) et on 
étudie
S l'ensemble S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1}.

III.B.2)
III.B.3)

Démontrer que S = {QDX  , X   R3 , ||X  || = 1}.
Démontrer que dans une base adaptée B  à déterminer,
 2
y2
 y1
+ 22 6 1
2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S 
2
 1
y3 = 0
III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble S.

S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1} = { f (x) ; x  R3 , ||x|| = 1}.
C'est donc l'ensemble décrit par f (x) quand x décrit l'ensemble des vecteurs de
norme 1 (sphère unité de R3 ).
III.B.1) Démontrer que S est une partie d'un plan dont on déterminera une base
et une équation cartésienne.

III.B - On étudie la partie S de R3 définie par

III.A.5) Démontrer que A = PB B2 · Diag(1 , 2 , 3 ) · tPB B1 .
On pose pour la suite P = PB B1 , Q = PB B2 et D = Diag(1 , 2 , 3 ).

III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de tAA que l'on
notera B1 = (X1 , X2 , X3 ).
On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres 
correspondantes.
III.A.4) Déterminer une base orthonormée B2 = (Y1 , Y2 , Y3 ) telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , 2 , 3 ).

MATHÉMATIQUES II

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Grandpierre (ENS Cachan) ; il a été relu par
Julien Reygner (École Polytechnique) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet d'algèbre bilinéaire introduit la notion de valeur singulière d'une 
matrice,
puis des applications à la géométrie et à la résolution approchée d'un système 
linéaire.
Il fait appel à la réduction de matrices symétriques à l'aide d'une matrice de 
passage
orthogonale.
· La première partie est consacrée à la comparaison des valeurs propres de AB
et de BA, où A et B sont deux matrices carrées à coefficients réels. Après une
approche initiale reposant sur la manipulation directe des vecteurs propres,
on utilise finalement les polynômes caractéristiques.
t

t

· Dans la deuxième partie, coeur du sujet, on étudie les matrices A A et A A
afin d'introduire la notion de valeur singulière d'une matrice A. Pour cela,
on réduit d'abord t A A à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, puis on
démontre la positivité de ses valeurs propres. Les valeurs singulières de A sont
t
les racines carrées des valeurs propres de A A. Cette partie s'achève sur un
critère indiquant si deux matrices possèdent les mêmes valeurs singulières.
· La partie III est consacrée à l'étude d'un cas particulier, dans lequel A est 
une
matrice de M3 (R) de rang 2 donnée. Dans un premier temps, on détermine
explicitement les valeurs singulières et les matrices orthogonales utilisées en
suivant le même cheminement que dans la partie II. Dans un second temps,
on étudie l'image de la sphère unité par A en déterminant une équation de cet
ensemble.
· Dans la partie IV, l'étude de l'image de la sphère unité est reprise, dans le 
cas
où A est une matrice de M3 (R) de rang 1 ou 3.
· Enfin, dans la partie V, on fait usage des valeurs singulières d'une matrice
pour définir une matrice notée A+ et dite pseudo-inverse de la matrice A.
Concrètement, le produit de A avec sa pseudo-inverse est un projecteur dont
le rang est égal à celui de A. Une application remarquable est l'utilisation
de ces matrices pour obtenir une solution approchée d'un système linéaire.
En effet, à défaut de résoudre exactement un système AX = Y pour A  Mn (R),
X, Y  Rn , on peut chercher les vecteurs X  Rn minimisant la norme de
Y - AX. Poser X = A+ Y convient.
Ce problème d'algèbre bilinéaire, certes assez long, constitue une excellente 
mise
en oeuvre de la réduction des endomorphismes symétriques. La variété des 
applications, essentiellement géométriques, est appréciable.

Indications
I.

Valeurs propres de AB et BA

I.B.1 Utiliser la définition d'un vecteur propre pour le premier vecteur, puis
raisonner par l'absurde pour le second.
I.B.3 Procéder par inclusion, puis échanger les rôles de A et B dans les 
questions
précédentes.
I.C.2 Comparer les polynômes caractéristiques de ces deux matrices. Faire le 
lien
entre les racines (et leur multiplicité) du polynôme caractéristique d'une
matrice et ses valeurs propres.
II.

Valeurs singulières d'une matrice

II.A.1.c Utiliser les deux questions précédentes et penser au théorème du rang.
II.A.3 Utiliser la question précédente ainsi que le théorème de diagonalisation 
des
t
t
matrices symétriques pour A A, puis pour A A. En utilisant la partie I,
comparer les valeurs propres de ces deux matrices (il peut s'avérer judicieux
de ranger les valeurs propres dans l'ordre croissant). Conclure.
II.A.4 Faire le lien entre le nombre de termes diagonaux non nuls de D et son 
rang.
II.A.5.b Expliciter les termes diagonaux de D à partir de l'expression obtenue 
à la
question précédente.
II.A.7 Diagonaliser A à l'aide d'une matrice orthogonale puis calculer t A A.
II.B.1 Reformuler la réponse à la question II.A.3 et faire le lien entre Ker f 
et
Ker g.
II.B.4 Calculer les vecteurs colonnes AXi , et utiliser les questions II.B.2 et 
II.B.3.
II.C.1 Récapituler la démarche suivie dans la partie II.B.
II.C.2 Utiliser la question II.A.6.
III.

Étude géométrique d'un exemple

III.A.4 On peut s'inspirer largement de la question II.B.4.
III.B.1 Expliciter les coordonnées de Y  S en fonction de celles de X, sans 
tenir
compte de la condition kXk = 1.
III.B.2 Procéder par double inclusion en utilisant l'écriture de la question 
III.A.5.
III.B.3 Obtenir une relation entre l'écriture de y dans une base B  et 
l'écriture de y
sous la forme QDX avec kX k = 1. Calculer la matrice QD et construire B 
à l'aide de vecteurs colinéaires aux vecteurs colonnes de QD.
IV.

Image de la sphère unité

IV.A.2 Procéder comme à la question III.B.3.
IV.B.2 Procéder également comme à la question III.B.3.
V.

Pseudo-inverse d'une matrice

V.B Obtenir AA sous forme d'un produit de trois matrices : une matrice 
orthogonale, une diagonale avec des 0 et des 1 sur la diagonale et la transposée
de la première matrice.
V.C Utiliser la caractérisation matricielle des endomorphismes autoadjoints.
V.E Reformuler la question en terme de projecteur orthogonal et utiliser la 
question précédente.
+

Le rapport du jury note que « le sujet comporte des parties "faciles",
découlant directement des définitions ou de théorèmes classiques du cours,
notamment toute la première partie et le début de la seconde. Les notes sont
donc, en moyenne, relativement élevées. Les parties III, IV et V sont, en
revanche, plus difficiles et permettent de bien sélectionner les bons candidats
(moins d'un sur cent a pu aborder l'ensemble du sujet). » Le jury précise
que ces parties étaient plus « techniques » et que « les candidats devaient
montrer leurs capacités à mener un calcul maîtrisé ». Finalement, « l'écarttype 
est donc important, environ le tiers de la moyenne ; ce qui permet à
l'épreuve d'être "discriminante". Les très bons candidats font preuve, tout
à la fois de maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des
enjeux. » Le jury regrette en revanche avoir vu « dans d'autres copies des
fautes de raisonnement grossières et des erreurs portant sur des notions de
base ; certains candidats n'hésitent pas à "inventer" des théorèmes (faux) qui
donnent miraculeusement réponse à la question qu'ils ne savent résoudre. »
Attention également à la présentation de votre copie. Le jury déplore
la qualité de « l'orthographe, très souvent lamentable, qui peut changer le
sens d'une assertion » et se demande à juste titre ce que sera « la crédibilité,
voire la compréhensibilité des rapports de ces futurs ingénieurs »... Enfin, ne
compliquez pas le travail de votre correcteur : « numérote[z] les pages ou les
feuilles et écri[vez] le numéro de la question traitée, par exemple II.A.3.a ;
un a, tout seul, en haut d'une nouvelle feuille non numérotée, oblige le 
correcteur à faire une enquête minutieuse et fastidieuse ».

I. Valeurs propres de AB et BA
I.A.1 Supposons que 0 est valeur propre de AB. En d'autres termes, il existe
X  Rn , X 6= 0, tel que AB X = 0. Notons g l'endomorphisme de Rn canoniquement
associé à la matrice AB et x  Rn l'élément canoniquement associé à X. Ce qui
précède implique que g(x) = 0 avec x 6= 0, en particulier g n'est pas injectif, 
donc
pas bijectif. Matriciellement, cela signifie que AB n'est pas inversible et 
finalement
det(AB) = 0.
Inversement, supposons que det(AB) = 0, alors AB n'est pas inversible. Soit g
l'endomorphisme de Rn canoniquement associé à la matrice AB. Rn étant de 
dimension finie et g étant un endomorphisme de Rn , g non inversible équivaut à 
g non
injectif. Ainsi, il existe x  Rn , x 6= 0, tel que g(x) = 0. Matriciellement, 
cela signifie
qu'il existe X  Rn tel que AB X = 0 et, par définition, cela veut dire que 0 
est valeur
propre de AB. Finalement, on a montré l'équivalence :
0 est valeur propre de AB si et seulement si det(AB) = 0.

« 0 est valeur propre d'un endomorphisme g » signifie que Ker g 6= {0}.
Notons également qu'en dimension finie, l'inversibilité, l'injectivité et la 
surjectivité d'un endomorphisme sont équivalentes.
Le rapport du jury rappelle que « sur le corps des réels, les polynômes
ne sont pas tous scindés ; par conséquent le déterminant n'est pas le produit
des valeurs propres. »

I.A.2 D'après la question précédente, 0 est valeur propre de AB si et seulement 
si
det(AB) = 0. En échangeant les rôles de A et B, on déduit que 0 est valeur 
propre
de BA si et seulement si det(BA) = 0. Or,
det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA)
si bien que det(AB) = 0 si et seulement si det(BA) = 0. Par conséquent,
0 est valeur propre de AB si et seulement si 0 est valeur propre de BA.
Rappel du cours : le déterminant est multiplicatif. Pour toutes matrices
A, B  Mn (R), det(AB) = det(A) det(B).
Le rapport du jury note que « l'affirmation "det(AB) = det(BA) par propriété du 
déterminant" dans de nombreuses copies est un peu succinte et que
le correcteur aimerait que le candidat précise de quelle propriété il s'agit. »
I.B.1 Par hypothèse, X  Rn est vecteur propre de AB associé à la valeur propre
réelle non nulle . En particulier, X 6= 0 et
AB X = (AB)X = |{z}
 |{z}
X 6= 0
6=0

6=0

Le vecteur AB X est non nul.
Supposons ensuite par l'absurde que BX = 0. Alors, nécessairement,
AB X = A(BX) = A0 = 0
ce qui contredit la conclusion précédente.
Le vecteur BX est lui aussi non nul.
Dans la définition d'un vecteur propre, ne pas oublier que le vecteur doit être
non nul ; c'est primordial.
I.B.2 On vient de montrer que le vecteur BX est non nul. Il suffit maintenant
de calculer

(BA)(BX) = B (AB)X = B(X) =  BX
BX est vecteur propre de BA associé à la valeur propre .
I.B.3 Procédons par double inclusion. Soit  une valeur propre réelle de AB,
et X  Rn un vecteur propre associé. D'après la question I.A.2, si  = 0,  est
aussi valeur propre de BA. Sinon, on a montré dans la réponse à la question 
I.B.2
que  est valeur propre réelle non nulle de BA (associée au vecteur non nul BX).
Par conséquent, le spectre réel de AB est inclus dans le spectre réel de BA.
En échangeant maintenant les rôles de A et de B, on montre que le spectre réel
de BA est inclus dans le spectre réel de AB.
Ainsi, AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.