Centrale Maths 2 PSI 2000

Thème de l'épreuve Caractérisation des polygones convexes de R2 à l'aide de familles de droites π-rationnelles
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, géométrie affine, géométrie euclidienne

Corrigé

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MA THÉMA TIQUES Il Filière PSI

MATHÉMATIQUES ||

Le but du problème est d'établir certains résultats sur les polytopes de IR" 
(voir
définition plus loin) notamment lorsque n = 2 .

° Dans le problème on considère àla fois la structure vectorielle et la 
structure
affine de IR" ; ainsi les éléments de IR" pourront être considérés soit comme
des vecteurs, soit comme des points, ce qui permettra d'utiliser les notations
classiques résultant de ce double point de vue :

--> --> -->
AB : B--A ; O = 0 (origine); OM : M--O : M,etc...

° L'espace ]R" est muni de sa structure euclidienne canonique. Il est orienté 
(si
nécessaire) par la base canonique, considérée comme base orthonormale
directe. Ainsi, le produit scalaire s'écrit :

n
(U|V) = 2 u,u,,si U = (u1,...,un) et V = (v,, ...,vn).

i=1
n
2
"U" = Eu, ;
i=1

la longueur du segment [A, B] est, par définition, la distance euclidienne entre
A et B , c'est-à--dire "Æ" .

La norme de U est notée

° On rappelle qu'une application affine de IR" dans lui-même est une applica-
tion f , telle qu'il existe A & IR" et cp & fÏ(IR") pour lesquels,

VM e IR", f(M) = f(A) +  .

Dans ce cas, (p est appelée la partie linéaire de f .
Définitions

° Combinaison affine, combinaison convexe : soient M1> Mp p points
de IR" , À1, ..., À p réels de somme égale à 1 , on appelle combinaison affine

Concours Centrale-Supé/ec 2000 1/8

MATHÉMATIQUES // Filière PSI

Fil'ère PSI

des points Mi(Ài) le point M : À1Ml + +ÀpMp barycentre des points M,-
affectés des coefficients À, , ce qui se traduit vectoriellement par la relation

-->

p
_)
i = 1
Lorsque les À,-- sont tous positifs (Vi,À,- 2 O) , on parle de combinaison 
convexe.

° Ensemble convexe : soit C un sous--ensemble non vide de points de IR" . On
dit que C est convexe s'il est stable par combinaison convexe. Cela signifie
que pour tout p de IN*, pour tout p-- uplet (M 1, ..., M I,) de points de C et
pour tout p-- uplet (À], Àp) de réels positifs, de somme égale à 1 on a

p
2 À,Mi & C .
i = 1
° Polytope : on appelle polytope l'ensemble des combinaisons convexes d'une

partie finie {M1,...,Mp} de IR" (p entier le). Cet ensemble, noté
conv(Ml, Mp) , est défini par

p p
conv(Ml, ...,Mp) : {Me IR"| EI(À1,...,Àp) EUR lRÎ, E Ài=1 et M: E ÀiMi}
i = 1 i = 1
Par exemple conv(Ml, M2) est le segment [M1, M2] .
0 en dimension 2, on parle de polygone convexe,
. en dimension 3, on parle de polyèdre convexe.

° Point extrémal: soit C un sous-ensemble convexe de IR" , on dit qu'un
point A e C est extrémal si C\{A} est encore convexe.

Partie I - Quelques propriétés des polytopes

I.A -

I.A.1) Montrer que tout seg1nent de IR est convexe.

I.A.2) Montrer que tout demi-plan fermé ou ouvert F de IR2 est convexe. On
rappelle qu'un demi-plan fermé, respectivement ouvert, de IR2 peut être défini
de la façon suivante :

2 --)
E|Ue IR\{O} ,3ae1R,(Me F@(OM| U)M(t) : (t, t2,...,tn).

p 7

° Préciser la courbe obtenue lorsque n = 2.

° Soit P le polytope, ensemble des combinaisons convexes des points
M(tl),...,M(tp), où t1,..., tp sont p réels distincts. Montrer que les points
extrémaux de P sont les points M(t1),..., M(tp) .

Indication : on pourra prendre pour chaque point M (ti) le vecteur

. , n _) 2
Ui : (2ti, --1, O, O) , et pour dem1--espace ferme Fi : {Me IR |(OM|U,) Sti }.

Partie II - Représentation complexe des endomorphismes de IR2

On assimile le plan vectoriel euclidien IR2 au corps 43 des nombres complexes
en identifiant tout couple (x, y) & IR2 au nombre complexe z = x + iy .

II.A -

II.A.1) Soit f : z r--> f (2) une application de 03 vers 03. Montrer que les 
asser-
tions suivantes sont équivalentes :

° f est IR-- linéaire,
° il existe des complexes oc et [3 tels que Vz & C, f (2) = ocz + 55.

II.A.2) On considère une application IR-- linéaire de C vers C définie par
f (2) : ocz + 62 . Montrer que det f : lool2 -- |[3l2 et en déduire une 
condition néces-
saire et suffisante pour que f soit un automorphisme.

II.A.3) Exemple : donner l'écriture complexe de la réflexion vectorielle (Le. la
symétrie vectorielle orthogonale) f de IR2 dans IR2, d'axe la droite

Concours Centrale-Supé/ec 2000 4/8

MATHÉMATIQUES II Filière PSI

vgctorielle ô(9) d'angle polaire Ge [O,n[, c'est-à--dire de vecteur directeur
U(9) : (cos6,sin6) .

II.B -

II.B.1) Soit p un entier p 2 3 . Montrer que le sous-ensemble
H : {(zl,...,zp)e Cp 21+ +zp : O}

de Cp est un hyperplan vectoriel.
II.B.2) Soit w l'endomorphisme de Cp défini par
111 : (21,22,....,Zp)l-->(22,....,2p,21).

On pose, pour tout k entier de [O,p-- 1] , Qk : (1, (ok, oe2k,..., oe(p_l)k) , 
avec

(» = e p .
° Calculer wp . En déduire que q; est un automorphisme diagonalisable.
° Calculer w(Qk) . Que dire du résultat obtenu ?

II.B.3) En déduire une base de l'hyperplan H .
II.C - On suppose, au cours de cette question, que le vecteur
V =(a1,...,ap)e cp

appartient à l'hyperplan H , autrement dit que a1 + + a = 0 .

p
II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de (À], ...,Àp_1)e Cp _1 tel que
p--1
V = E À.ka .
k: 1 p 1 1 p 1
II.C.2) Montrer que À1 : 1--9 2 w "a, et que Àp_1 : ; z m" ar.
r =1 r =1

II.C.3) On suppose que, |À1| : |Àp_1| ce qui signifie que
(395 [O, 2n[),Àp_1 = ei9}tl.

On pose:
Vre [1,p1n1N, ocr = sin|î(r--I)ÊE--Q] .
p 2
Montrer que:
p p
2 our : 0 etque 2 O°rar : O.
r=1 r=1

Concours Centrale-Supélec 2000 5/8

MATHÉMATIQUES // Filière PSI

Partie III -- Étude des familles n-- rationnelles de droites vectorielles

Toutes les droites considérées dans cette partie sont des droites vectorielles 
de IR2

On rappelle que, pour tout élément 9 de IR , on note ô(9) la droite vectorielle
d'angle polaire 9 e [O, n[ du plan vectoriel IR2. Soit p un entier p 21. Une
famille J: (d,... ,d p) 2de droites, est dite n-- rationnelle s'il existe
un automorphisme f de IR2 tel que

{d1,...,dp} = {f(ô('%D\ ke [O, p-11}.

III.A - Exemples de familles de droites n-- rationnelles.

III.A.1) Montrer qu'une famille (011) réduite à une droite ainsi qu'une famille
(dl, dz) constituée de deux droites distinctes sont 71:-- rationnelles.

III.A.2) Montrer qu'une famille (d1,d2,d3) constituée de trois droites deux à
deux distinctes est elle aussi n-- rationnelle.
III.B - Existence de familles de droites non n-- rationnelles.

Soit ?: (d 1, d2, d3, d4) une famille constituée de quatre droites deux à deux
distinctes.

III.B.1) Pour tout j EUR [1,4] on note UJ. un vecteur directeur de la droite dj.
Montrer que le rapport

% : det(U1,U3) - det(U2,U4)
det(U1,U4 )-det(U2,U3 )

ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs UJ.. Il est recommandé, pourC la
suite du problème, de les choisir unitaires en les écrivant U -- _j,(cose sin9 
).

j J
rapport sera noté 9? (/ )

III.B.2) Soit f un automorphisme de 1R2. On pose :
f(% = (f(d1), f(d2), f(d3), f(d4)) .
Montrer que 9Y(f(%) =.9ËÜÏ).

III.C -

III.C.I) Justifier l'existence, pour tout k & IN , d'un polynôme Tk à 
coefficients
dans 1 tel que V6EUR IR, cos(k6)= Tk(cose).

III. C. 2) Soit p un entier, p > 4. On considère une famille @_ -- (dl, d2, d3, 
d4) de
quatre droites deux à deux distinctes extraites d'une famille n-- rationnelle ./
de p droites. Montrer l'existence d'une fraction rationnelle G à coefficients 
dans

Concours Centrale--Supélec 2000 6/8

MATHÉMATIQUES // Filière PSI

le corps @ des nombres rationnels, c'est-à-dire appartenant à ®(X ) , telle que
l'on ait

ÆQ)-- - G(cosp).

III.C.3) On admet l'existence de nombres réels n'appartenant pas à l'ensemble

8 : U{G(cos --)
qZ4 q

Montrer que, pour tout entier p 2 4 ,il existe des familles non n-- 
rationnelles de
p droites.

GEQ(X)}-

Partie IV - Identification par des rayons d'un polygone convexe.

Dans toute cette partie on se placze dans IRZ.

Soient @ un polygone convexe de IR2 et 9 un réel de [ O, 7t[. Pour tout réel x,
on note A9 x'e la droite affine de vecteur directeur d'affixe e 6passant par le 
point
d'affixe xie'e .On rappelle (cf. I. E. 4. que l'intersection A6,xñ mÿ , 
lorsqu'elle est
non vide, est un segment. On note /(Ae'xñÿ ) sa longueur, que l'on prend nulle
lorsque cette intersection est vide. On définit ensuite l'application

Le, 93 : xe lRl-->/(Ae,xfiÿ)e IR.

On considère deux polygones convexes @ et Q' de IR2.

0 Soit ô(9) une droite vectorielle fixée, où Be[ O, 7t[. .? et ÿ' sont dits
ô(6)-- identifiables si les applications Le 9, et L9 93, sont égales.

0 Soit ?: (ô(91),..., ô(9p)) une famille de p droites vectorielles, avec p 2 1 
. @
et ÿ' sont dits %identifiables si pour tout ie [1, p] les polygones @ et
ÿ' sont ô(6i)-- identifiables, c'est-à-dire si

(Vze [l,p]), LG.-,?" = LG.-,ÿ'"

L'objectif de la partie IV - est de montrer qu'une famille convenablement 
choisie
de quatre droites vectorielles suffit pour savoir si deux polygones convexes 
sont
distincts.

IV.A -
IV.A.1) Trouver l'équation polaire de la droite A9,x .
IV.A.2) Illustrer par un dessin la définition de la fonction Le ÿ, .

Concours Centrale-Supélec 2000 7/8

MATHÉMATIQUES II Filière PSI

IV.B - Le but de cette question est de montrer que si 97 est une famille de 
droi--
tes vectorielles permettant de savoir si deux polygones convexes ? et ÿ' sont
distincts alors ? n'est pas n-- rationnelle.

IV.B.1) Montrer que si f est une bijection affine de m2 de partie linéaire (p , 
et
si .? et ÿ' sont des polygones convexes ô(9)-- identifiables, alors les 
polygones
convexes f (
			

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Centrale Maths 2 PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Brice Goglin (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas
Chomette (ENS Ulm), Gilles Radenne (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm).

L'épreuve se compose de quatre parties. Les trois premières sont indépendantes,
tandis que la dernière utilise certains résultats des précédentes.
­ On s'intéresse tout d'abord aux propriétés des polytopes (qui sont en fait des
polygones convexes), dont on étudie tout particulièrement les points extrémaux.
­ Ensuite, on se place dans C pour représenter des automorphismes, les 
réflexions,
puis un hyperplan particulier.
­ Dans la troisième partie, on étudie des familles de droites -rationnelles et 
on
précise notamment un rapport caractéristique de quatre droites extraites d'une
telle famille.
­ Enfin, on s'intéresse à l'identification des polytopes de R2 en utilisant les 
résultats des trois parties précédentes.
Cette épreuve très longue est parfois assez calculatoire. Mais elle ne requiert 
que
quelques connaissances en algèbre (essentiellement linéaire) et en topologie.

Indications
I.C.1 Faire apparaître i dans la décomposition d'un point dans une base de 
vecteurs simples.
I.C.2 Supposer qu'un segment n'est pas inclus dans le polygone pour en déduire 
le
placement incorrect de ses extrémités.
I.E.1 Montrer que T est fermé et borné.
I.E.4 Montrer que l'intersection est convexe, fermée, bornée et incluse dans une
droite.
I.F.1 Si un segment n'est pas dans le polygone privé de M1 , ce segment contient
M1 . Une des extrémités du segment ne vérifie alors pas la relation définissant
le demi-plan.
I.F.2 Pour qu'une moyenne soit égale à a, il faut qu'une des valeurs que l'on
moyenne vaille au moins a.
II.C.2 Remarquer que les k forment une base orthogonale de Cn .
III.A.1 Dans le cas de deux droites, choisir une base «proche» des droites , 
puis
déterminer son image pour que l'automorphisme convienne.

III.A.2 Utiliser une application linéaire qui à -
i et -
u  associe des vecteurs directeurs
3

des deux premières droites. Etudier ensuite, en utilisant la linéarité, l'image

qui doit diriger la troisième droite.
de -
u 2
3
III.B.2 Faire apparaître le déterminant de f dans chacun des déterminants du 
rapport étudié.
III.C.1 On peut raisonner par récurrence.
III.C.2 Représenter les vecteurs directeurs unitaires avec des fonctions 
trigonométriques, puis utiliser des relations classiques pour simplifier 
l'expression du
rapport étudié.
III.C.3 Prendre trois droites simples, puis choisir la quatrième pour obtenir 
le rapport
recherché.
IV.B.2 Utiliser la question II.A.3 .
IV.B.3 Utiliser des directions orthogonales à celles utilisées pour faire des 
réflexions.
IV.B.4 Utiliser la question IV.B.2 .
IV.C Supposer les polygones différents, puis utiliser la propriété donnée par 
l'énoncé,
et enfin la question III.C.2 pour obtenir une contradiction.

Partie I

Quelques propriétés des polytopes

I.A.1 Considérons un segment [x, y] de R et deux points u et v dans ce segment.
Une combinaison convexe de ces deux points s'écrit :

 > 0
µ>0
t = u + µv
avec

+µ=1

soit

t = u + (1 - )v
(

Or

donc

(

  [ 0 ; 1 ]

avec

0661

x6u6y
x6v6y

x 6 u 6 y
(1 - )x 6 (1 - )v 6 (1 - )y

En additionnant les deux lignes du système, on obtient x 6 t 6 y, et par suite
t  [x, y].
Conclusion :

Tout segment de R est convexe.

I.A.2
Une erreur s'est glissée dans l'énoncé : la caractérisation des demi-plans 
fermés fait bien sûr intervenir une inégalité large.

M

La caractérisation proposée par l'énoncé est
intuitive, contrairement aux apparences. Une
droite quelconque, notons-la D, partage le plan
en deux demi-plans, qui sont fermés ou ouverts
suivant qu'ils contiennent ou non la droite D.

U
A

P2
O

P1

D

-
Si U est un vecteur normal à D (on pose V = -U), et si a = (OA | U) et
-
b = (OA | V), alors les deux demi-plans fermés définis par D, notons-les P1
et P2 , sont caractérisés par
--
M  P1  (OM | U) 6 a
M  P2

--
(OM | V) 6 b

Montrons qu'un demi-plan de R2 est convexe. Considérons un demi-plan ouvert F
caractérisé par la relation
--
M  F  (OM | U) < a

Soient X et Y deux points de F et   [0, 1]. Comme  et 1- sont tous deux 
positifs,
on a, par linéarité du produit scalaire :
-
-
( OX | U) < a
et
((1 - ) OY | U) < (1 - )a
En sommant ces deux inégalités et en notant Z la combinaison convexe X+(1-)Y,
on obtient :
-
(OZ | U) < a
Conclusion :

Le demi-plan ouvert est convexe.

Comme on peut appliquer la même méthode avec des inégalités larges,
Le demi-plan fermé est convexe.
I.A.3 Soient A un ensemble non-vide d'indices et une famille (C )A de convexes
de Rn , d'intersection C non vide.
Pour montrer que C est convexe, considérons n points x1 , . . . , xn de C (c'est
possible car C n'est pas vide). Soit z une combinaison convexe de ces points ; 
les
xi étant dans l'intersection des C , ils appartiennent à chaque C . Or ces 
derniers
sont convexes, donc la combinaison convexe z appartient à chacun d'entre eux, et
par suite elle appartient à leur intersection C, qui est donc stable par 
combinaison
convexe.
L'intersection d'une famille de convexes est convexe.
Ce résultat est valable pour une intersection quelconque, y compris si la
famille (C ) n'est pas dénombrable.
I.B Soit C un sous-ensemble non-vide vérifiant M, N  C
par récurrence que la propriété
P(p) :

[M, N]  C. Montrons

C est stable par combinaison convexe de p éléments.

est vraie pour tout p > 2.
­ P(2) est vraie, puisque toute combinaison convexe de deux éléments M et N
appartient au segment [M, N] (d'après la question I.A.1), qui est inclus dans C
par hypothèse.
­ P(p) = P(p + 1) : supposons P(p) vraie (p > 2) et montrons P(p + 1).
p+1
P
Soit M =
i Mi une combinaison convexe à p + 1 éléments de points Mi  C.
i=1

Si l'un des i est nul, on a fini ; sinon, posons
µi =

i
,
p
P
j

16i6p

j=1

Par construction,
convexe N =

p
P

p
P

µi = 1. D'après l'hypothèse de récurrence, la combinaison

i=1

µi Mi est dans C. On a

i=1