Centrale Maths 1 PSI 2013

Thème de l'épreuve Étude des coefficients de Fourier d'une famille de fonctions
Principaux outils utilisés séries de Fourier, séries entières, équations différentielles
Mots clefs Fonction de Bessel, Coefficient de Fourier, Théorie de Sturm-Liouville

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Mathématiques 1

"à «
_/ PSI

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

On considère la famille de fonctions Goe : R --> @ définies pour 96 E R par
Vt E R Goe(t) : e'oe Sint

Ces fonctions sont C°° sur R, 27r--périodiques.
Pour tout 96 E R, on note (90n(OE))nez la famille des coefficients de Fourier 
exponentiels de la fonction Goe.

POUI' tout I'éEURl $ 011 a dOHC !
( ) 1 / (t) --int ?Î
vn EUR Z SÛn OE : -- (ça: 6 (l
271

Le but du problème est d'étudier quelques propriétés des fonctions g0n ainsi 
définies.

I Questions préliminaires
Soit 96 un réel fixé.

I.A --
I.A.1) Justifier l'égalité

+oo
Vt E R Goe(t) : e'oe Sint : î: g0n(oe)e...t

n=--oo
Que peut--on dire de la convergence de la série de Fourier de GE ?
1
I.A.2) Montrer que pour tout k dans N*, lg0n(oe)l : 0 (--k) lorsque n tend vers 
--l--oo.
n

On utilisera des séries de Fourier des dérivées successives de GE.

I.B -- En exprimant Goe(--t) en fonction de Goe(t), montrer que pour n dans Z, 
g0n(oe) E R.

I. C' -- Exprimer Goe(t + 7r) et en déduire les égalités suivantes pour n dans 
Z :
%(--OE) = (--U"%(OE) = 90--n(fL')

Que peut--on dire de la parité de go.... pour n EUR Z ?
+oo
I.D -- Calculer î: lg0n(oe)l2.

n=--oo

L'étude préliminaire permet de restreindre l'étude des fonctions réelles @... & 
R+ et de se limiter au cas où n > 0.

II Forme intégrale et développement en série entière

Soit n un entier naturel.

II.A -- Justifier que pour 96 réel, lg0n(oe)l { 1.
II .B -- Montrer que pour 96 réel,

+00 [EUR 1 W

90n(96) = 2 î--'In,k avec I...k : % i'EURe_'f'"""(sint)lEUR dt
k=0 ' _7T

2013-03-25 11:38:52 Page 1/4 GC) BY-NC-SA

II.C --
II.C.1) À l'aide de la formule d'Euler, justifier que pour (n, k) dans N >< N,

71"

le
A ,. .t
_ E ...: 'L (2m--k--n)
In,]EUR -- 271" /EUR dt
m=0

--7T

avec A...)k des constantes a préciser.
II.C.2) Vérifier que

In,k=0 sin>k ou sik--n est impair
_ (--1)" "+21? . _
In,;ç-- 2n+2p n+p s1k-n+2p avecp>0

II.C.3) En déduire le développement en série entière, pour n > 0 et 36 E R :

%(OE) = ï & (Ï)n+2p (111)

p=0 p!(n +19)! 2

Préciser le rayon de convergence.
II.C.4) Montrer que gon est de classe COO sur R.

II.D -- Relation de dérivation

Soit n dans N* vérifier ue our oe réel
7

& > = æwn_1<æ>

II.E -- Calcul numérique de gon(oe) avec 96 > 0 fioeé
On approche gon(oe) a l'aide des sommes partielles

m
1 +2
S... = î:(--1)pqp avec m E N et % = _ (£)" p

p=0 p!(n + p)! 2

II.E.1) À partir de quelle valeur po de 19 la suite (ap)pEURN est--elle 
décroissante ?

II.E.2) On suppose N > po. Majorer lRNl en fonction de (N,n,oe) avec
+oo
RN = 2 (-1)p %
p=N+1
En déduire, pour 5 > 0 fixé, une condition suffisante sur N pour que lgon(oe) 
-- S Nl < 5.

La somme partielle S N est dite alors valeur approchée de gon(oe) & 5 près.

II.E.3) Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d'arguments 
(n,oe,e) retournant une valeur
approchée de gon(oe) a 5 près. Les coefficients % seront calculés par 
récurrence.

III Équation différentielle et étude de gon quand a: --> +oo

Soit n un entier naturel. On étudie l'équation différentielle d'inconnue y
35%" + oey' + (5152 -- n2)y : 0 (111.1)
On recherche des solutions dans l'ensemble E : C2(]0, +oo[).

III.A -- Résolution et propriété des solutions

III.A.1) En utilisant le développement de gon en série entière (II.1), montrer 
que gon est solution sur [O, +oo[
de (111.1).

2013-03-25 11:38:52 Page 2/4 GC) BY-NC-SA

III.A.2) Soit y une solution dans E de (111.1). On pose z(oe) : fly(oe) pour 
tout 96 EUR ]0, +oo[.

Montrer que 27 est solution dans E d'une équation différentielle du type

avec q E E.

Préciser l'expression de la fonction q et vérifier que lim q(oe) : 1.
oe-->+oo

III.A.3) Justifier que si 27 est une solution non nulle de (111.2), alors pour 
96 > O, (z(oe), z'(oe)) # (O, 0).

En déduire que si oz est un zéro de z, alors il existe un réel strictement 
positif 77 tel que oz soit le seul point
d'annulation de z sur I = ]a -- 77, oz + 77[.

On dit dans ce cas que oz est un zéro isolé de z.

III.A.4) Vérifier que les zéros de go.... sur ]0, +oo[ sont isolés.

III.B -- Comportement asymptotique de go" en +oo

On étudie ici le comportement asymptotique au voisinage de +00 d'une solution 
27 E E de l'équation différentielle
définie sur ]0, +oo[, avec À E R* :

A
z" + (1 + ?) z = 0 (111.3)

Soit 960 dans ]0, +oo[.

III.B.1) En considérant l'équation différentielle (111.3) sous la forme z" + z 
= g avec g(oe) : oe--â'z(oe), la
résoudre sur ]0, +oo[ par la méthode de variation des constantes.

En déduire qu'il existe deux réels A et B tels que

33

WC EUR ]07 +oo[ z(oe) : Acos(oe) + Bsin(oe) + À / z(u) sin(u -- æ)%

5130

III.B.2) On pose pour 96 > 0
$ du
Mac) = / lz(u) @
330

a) Montrer qu'il existe des constantes réelles ,u et M telles que h vérifie 
l'inégalité différentielle pour 96 > 960

Préciser les constantes ,u et M en fonction de A, B et À.
b) En déduire que h est bornée sur [oe0, +oo[ puis que 27 est bornée sur ce 
même intervalle.
Multiplier par ell/33 et intégrer l'inégalité de la question précédente.

III.B.3) Justifier que

+oo

/ z(u) sin(u -- oe)î--Ë = o (à)

33

au voisinage de +00.

En déduire l'existence de constantes oz et @ telles qu'au voisinage de +00,
1
z(oe) : acos(oe -- 5) + O(--)
90
III.B.4) Soit n E N. Montrer qu'il existe un couple de réels (oz... fin) tel 
que pour 96 --> +oo,

g0n(oe) : & cos(oe -- fin) + 0(

fl )

1
oefl

2013-03-25 11:38:52 Page 3/4 GC) BY-NC-SA

IV Étude des zéros de gon

On introduit l'équation différentielle
z{'(oe) + 02z1(oe) : 0 avec c > 0 (IV.1)

L'objectif de cette partie est de comparer les solutions des équations 
différentielles (111.2) et (IV.1) afin d'obtenir
des informations sur les zéros des fonctions go...

I V.A -- En utilisant l'encadrement de la question II.E.2, montrer que goo(3) < 
0. En déduire que go0 possède
un zéro oz0 EUR ]0, 3[.

On admettra que c'est le premier zéro de go... c'est-â-dire que go0 ne s'annule 
pas sur ]0, d0[.

I V.B -- En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout 
entier n > 1 la fonction gon est
strictement positive sur ]0, ad.

IV.C -- Dans cette question, on fixe n E N et e E ]0,1[. On pose z(oe) : 
flgon(oe), pour sa > O.

IV.C.1) Justifier qu'il existe un réel A > 0 tel que pour sa > A, q(oe) > c2 (q 
définie en III.A.2).

IV.C.2) Soit & > A. On pose pour sa > O, z1(oe) : sin(c(oe -- a)), solution de 
IV.1. On définit la fonction
W = z z{ -- z1 z' .

Vérifier que pour sa > O, W'(oe) : (q(oe) -- c2)z(oe)z1(oe).

IV.C.3) On note I = la, a + 7r/c[ et on suppose que gon ne possède pas de zéros 
sur Ia.

Déterminer les signes de W(a), W(a + 7r/c) et de W' sur la et aboutir a une 
contradiction. En déduire que gon
possède un zéro dans tout intervalle la avec a > A.

On pourra distinguer les cas suivant le signe de gon sur la.
IV.D -- Soit n E N.

IV.D.1) Montrer qu'on peut ordonner les zéros de go... c'est--à--dire qu'il 
existe une suite (aén') strictement
kEURN

croissante de zéros de go... telle que gon ne s'annule pas sur ]0, ozén'[ et 
sur tout intervalle ]oz,ïn', oz,îî'1[ avec le dans

('n)
le

N et que lim oz : +oo.
Ic-->oo

Construire la suite (oz,£"') par récurrence sur le en montrant que l'ensemble 
Zk des zéros de gon
keN

dans l'intervalle ]oz,ï"', +oo[ possède un plus petit élément.

IV.D.2) En déduire que la suite (aén')keN vérifie la propriété de répartition 
asymptotique :

. (") (") 7T
VcEUR]0,1[, E|jEURN telque VkEURN,0
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Émilie
Liboz (Professeur agrégé à l'université) et Laëtitia Borel-Mathurin (Professeur 
en
CPGE).

Cette épreuve est consacrée à l'étude des coefficients de Fourier exponentiels,
notés (n (x))nZ , de la fonction
(
R - C
Gx :
t 7- e i x sin t

où x est un réel. Les fonctions (x 7- n (x))nZ sont appelées fonctions de 
Bessel de
première espèce.

· La première partie établit des propriétés simples des fonctions n qui 
autorisent
ensuite à restreindre leur étude à R+ et au cas n > 0. Cette partie utilise
l'ensemble des théorèmes associés aux séries de Fourier.
· La deuxième partie permet d'obtenir le développement en série entière des
fonctions n . On s'en sert ensuite pour écrire un programme qui permet de
calculer la valeur de n (x) à une précision arbitraire.
· Les deux dernières parties utilisent la théorie des équations 
différentielles, plus
particulièrement des résultats dits de Sturm-Liouville, pour étudier la 
répartition des zéros des fonctions n .
Ce sujet constitue un bon moyen de faire le point sur ses connaissances en 
analyse,
car il utilise une grande partie du programme : séries de Fourier, séries 
entières, séries
de fonctions, intégration sur un intervalle quelconque et équations 
différentielles.

Indications
Partie I
I.C Si la fonction f est continue 2-périodique sur R, son intégrale sur un
intervalle de longueur 2 est indépendante du choix de l'intervalle.
I.D Penser à l'identité de Parseval.
Partie II
II.A On pourra raisonner par l'absurde et utiliser la question I.D.
II.B Utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle 
ainsi
que le théorème d'intégration terme à terme.
II.C.2 Ne pas oublier que, pour (k, l)  Z,

Z 
2
e i kt e -i lt dt =
0
-

si k = l
sinon

II.C.3 Se servir des questions II.B et II.C.2.
II.D Que vaut la dérivée d'une fonction développable en série entière ?
II.E.2 Se souvenir du critère spécial des séries alternées.
Partie III
III.A.2 Dériver
 deux fois l'expression de z et diviser, pour x > 0, l'équation III.1
par x x.
III.A.3 Supposer par l'absurde qu'il existe x > 0 tel que (z(x), z  (x)) = (0, 
0)
et arriver à une contradiction grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz.
III.A.4 Utiliser la question III.A.3 pour la fonction z associée à la fonction 
y = n .
III.B.2.a Majorer l'expression obtenue à la question III.B.1 en fonction de A, 
B, 
et h.
III.B.3 Penser au résultat de la question III.B.2.b.
III.B.4 La question III.B.3 pour la fonction z associée à la fonction y = n 
permet
de conclure.
Partie IV
IV.C.1 Ne pas oublier que la fonction q tend vers 1 en +.
IV.C.2 La fonction z est solution de l'équation III.2.

(n) 
kN

IV.D.2 L'inégalité provient de la stricte croissance de la suite k
question IV.C.3.

et de la

I. Questions préliminaires
I.A.1 Soit x  R. Soit p  N. Notons

 R - C
p
Sp (Gx ) :
P

n (x)e i nt
 t 7-
n=-p

la somme partielle de rang p de la série Fourier de la fonction Gx . La 
fonction Gx
étant continue sur R et 2-périodique,
La suite des sommes partielles (Sp (Gx ))pN
converge en moyenne quadratique vers Gx .
De plus la fonction Gx est C 1 sur R, le théorème de convergence normale 
s'applique
et par conséquent
La suite des sommes partielles (Sp (Gx ))pN converge normalement sur R vers Gx .
Comme la convergence normale d'une série de fonctions implique la convergence
simple, on obtient
t  R

P

Gx (t) = e i x sin t =

n (x)e i nt

n=-

I.A.2 Soit x  R. Soit k  N . La fonction Gx est C k sur R. On en déduit que

(k)
n  Z
cn Gx
= (in)k cn (Gx ) = (in)k n (x)
(k)

Or la fonction Gx est aussi continue et de classe C 1 sur R.En reprenant
 les notations
(k) 
de la question I.A.1, on sait que les sommes partielles Sp Gx
convergent
pN

(k)

normalement vers Gx

et en particulier

(k)
cn Gx
----- 0
n+

Finalement

|n (Gx )| =

(k)
cn Gx
nk

=

o

n+

1
nk

I.B Soit x  R. Soit n  Z. D'après la relation de Chasles,
Z 

Z 0
1
-i nt
-i nt
n (x) =
Gx (t)e
dt +
Gx (t)e
dt
2
0
-

soit en effectuant le changement de variable u = -t dans la seconde intégrale
Z 

Z 
1
-i nt
i nu
n (x) =
Gx (t)e
dt +
Gx (-u)e
dt
2
0
0
Par imparité de la fonction sinus,
Gx (-t) = e i x sin(-t) = e -i x sin t = Gx (t)
Z 

Z 
1
-i nt
i nu
n (x) =
Gx (t)e
dt +
Gx (u)e
dt
2
0
0
t  R

ainsi

Remarquons ensuite que e -i nu = e i nu , d'où
Z 

Z 
1
Gx (t)e -i nt dt +
Gx (u) e -i nu du
n (x) =
2
0
0
Puis comme pour tout (z, z  )  C2 , zz  = zz 
Z 

Z 
1
n (x) =
Gx (t)e -i nt dt +
Gx (u)e -i nu du
2
0
0
et de plus pour tout z  C, z + z = 2 Re z  R et par suite,
Z

1 
2 Re Gx (t)e -i nt dt  R
n  Z
n (x) =
2 0

I.C Soit x  R. D'après la relation sin(t + ) = - sin(t) valable pour tout t  R,
on a
t  R

Gx (t + ) = e i x sin(t+) = e -i x sin t = G-x (t)

et aussi d'après le résultat de la question I.B
t  R

Gx (t + ) = e i x sin(t+) = e -i x sin t = Gx (-t)

Soit n  Z. D'après le fait que Gx (t + ) = G-x (t), on obtient
Z
Z
1 
1 
n (-x) =
G-x (t)e -i nt dt =
Gx (t + )e -i nt dt
2 -
2 -

puis en utilisant le changement de variable u = t + ,
Z
1 2
n (-x) =
Gx (u)e -i n(u-) du
2 0

Or pour tout u  [ 0 ; 2 ], e -i n(u-) = e -i nu e i n = (-1)n e -i nu et par 
conséquent,
Z
(-1)n 2
n (-x) =
Gx (u)e -i nu du
2 0

Remarquons ensuite que l'intégrale d'une fonction f continue 2-périodique sur un
intervalle de longueur 2 est indépendante du choix de l'intervalle. En 
appliquant
ceci à la fonction 2-périodique u 7- Gx (u)e-inu , il vient
Z
(-1)n 
n (-x) =
Gx (u)e -i nu du = (-1)n n (x)
2 -

Cette égalité implique en particulier que la fonction n de la variable x est 
paire si
l'entier n pair et impaire sinon. Autrement dit
La fonction n a la parité de n  Z.

Considérons maintenant

-n (x) =

1
2

Z

Gx (t)e i nt dt

-

Le changement de variable u = -t donne par conséquent
Z
Z
1 
1 
-n (x) =
Gx (-u)e -i nu du =
G-x (u)e -i nu du = n (-x)
2 -
2 -
d'après le fait que G-x (t) = Gx (-t) pour tout t  R.