Centrale Maths 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve La lettre C dans les mathématiques
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, équations fonctionnelles, équations différentielles non linéaires, paramétrisation et tracé de courbes

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- version du 18 fevrier 2010 10h20

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES I

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 M7 ( R )

Montrer que F est stable par c.

I.C.1)

Pourquoi 1 est-il valeur propre de  ?

Filière

PSI

I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes 
linéaires
f sur R7 qui appartiennent à S .

I.E.4) Pour f  S , calculer la matrice jacobienne de f  c2 en X = ( x1 , x2 , 
x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).
Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . 
. , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente.

I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7
vers R telles que f  c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f  cn = f pour tout entier n > 1.
I.E.3) Soit f  S . Calculer la matrice jacobienne de f  c en X = ( x1 , x2 , x3 
, x4 , x5 , x6 , x7 ).
En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . 
. . , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1
de R7 vers R qui vérifient la condition f  c = f , c'est-à-dire telles que
f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , 
x4 , x5 , x6 , x7 )
pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )  R7 .

Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers 
R, on
note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par 
rapport à
sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur 
de la dérivée
partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , 
xd )  U .

I.E - Étude d'une équation fonctionnelle

I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une
matrice diagonale semblable à C.

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre 
de
multiplicité des valeurs propres.

I.D - Étude du caractère diagonalisable de C

La matrice  est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ?

I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le
calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de .

I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de  que  est diagonalisable
dans M3 (C ) ?

Page 1/4

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de  sans calculer son
polynôme caractéristique.

I.C - Détermination sans calcul du spectre de 

I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la 
matrice  dans cette
base de l'endomorphisme  de F induit par c.

I.B.1)

On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers 
vecteurs
colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C.

I.B - Restriction de c

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de 
c.

I.A - Image et noyau de c

On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la 
matrice C.

On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c 
l'endomorphisme de R7
dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les 
matrices
colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 .

On considère la matrice à coefficients réels C

0 0 1 1
 0 1 0 0

 1 0 0 0

C=
 1 0 0 0
 1 0 0 0

 0 1 0 0
0 0 1 1

Partie I - Étude d'un « C » matriciel

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents 
domaines
des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 18 fevrier 2010 10h20

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES I

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 M7 ( R )

Montrer que F est stable par c.

I.C.1)

Pourquoi 1 est-il valeur propre de  ?

Filière

PSI

I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes 
linéaires
f sur R7 qui appartiennent à S .

I.E.4) Pour f  S , calculer la matrice jacobienne de f  c2 en X = ( x1 , x2 , 
x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).
Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . 
. , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente.

I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7
vers R telles que f  c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f  cn = f pour tout entier n > 1.
I.E.3) Soit f  S . Calculer la matrice jacobienne de f  c en X = ( x1 , x2 , x3 
, x4 , x5 , x6 , x7 ).
En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . 
. . , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1
de R7 vers R qui vérifient la condition f  c = f , c'est-à-dire telles que
f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , 
x4 , x5 , x6 , x7 )
pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )  R7 .

Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers 
R, on
note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par 
rapport à
sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur 
de la dérivée
partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , 
xd )  U .

I.E - Étude d'une équation fonctionnelle

I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une
matrice diagonale semblable à C.

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre 
de
multiplicité des valeurs propres.

I.D - Étude du caractère diagonalisable de C

La matrice  est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ?

I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le
calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de .

I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de  que  est diagonalisable
dans M3 (C ) ?

Page 1/4

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de  sans calculer son
polynôme caractéristique.

I.C - Détermination sans calcul du spectre de 

I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la 
matrice  dans cette
base de l'endomorphisme  de F induit par c.

I.B.1)

On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers 
vecteurs
colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C.

I.B - Restriction de c

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de 
c.

I.A - Image et noyau de c

On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la 
matrice C.

On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c 
l'endomorphisme de R7
dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les 
matrices
colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 .

On considère la matrice à coefficients réels C

0 0 1 1
 0 1 0 0

 1 0 0 0

C=
 1 0 0 0
 1 0 0 0

 0 1 0 0
0 0 1 1

Partie I - Étude d'un « C » matriciel

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents 
domaines
des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 18 fevrier 2010 10h20

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES I

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 M7 ( R )

Montrer que F est stable par c.

I.C.1)

Pourquoi 1 est-il valeur propre de  ?

Filière

PSI

I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes 
linéaires
f sur R7 qui appartiennent à S .

I.E.4) Pour f  S , calculer la matrice jacobienne de f  c2 en X = ( x1 , x2 , 
x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).
Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . 
. , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente.

I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7
vers R telles que f  c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f  cn = f pour tout entier n > 1.
I.E.3) Soit f  S . Calculer la matrice jacobienne de f  c en X = ( x1 , x2 , x3 
, x4 , x5 , x6 , x7 ).
En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . 
. . , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1
de R7 vers R qui vérifient la condition f  c = f , c'est-à-dire telles que
f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , 
x4 , x5 , x6 , x7 )
pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )  R7 .

Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers 
R, on
note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par 
rapport à
sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur 
de la dérivée
partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , 
xd )  U .

I.E - Étude d'une équation fonctionnelle

I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une
matrice diagonale semblable à C.

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre 
de
multiplicité des valeurs propres.

I.D - Étude du caractère diagonalisable de C

La matrice  est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ?

I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le
calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de .

I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de  que  est diagonalisable
dans M3 (C ) ?

Page 1/4

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de  sans calculer son
polynôme caractéristique.

I.C - Détermination sans calcul du spectre de 

I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la 
matrice  dans cette
base de l'endomorphisme  de F induit par c.

I.B.1)

On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers 
vecteurs
colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C.

I.B - Restriction de c

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de 
c.

I.A - Image et noyau de c

On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la 
matrice C.

On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c 
l'endomorphisme de R7
dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les 
matrices
colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 .

On considère la matrice à coefficients réels C

0 0 1 1
 0 1 0 0

 1 0 0 0

C=
 1 0 0 0
 1 0 0 0

 0 1 0 0
0 0 1 1

Partie I - Étude d'un « C » matriciel

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents 
domaines
des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

( E)

Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E).

Préciser les propriétés topologiques suivantes de C .

et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe 
évoquet-elle ?
III.B.3) À partir de l'expression de (t), calculer tan  (t).
III.B.4)

 7
a) Représenter la fonction t 7 arctan(2 tan t) sur la partie de l'intervalle
,
4 4
sur laquelle cette fonction est définie.

Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de C , de la
forme

 7
z:
,
 C, t 7 (t)ei (t) ,
4 4

 7
où  et  sont deux fonctions continues de
vers R, la fonction  étant à
,
4 4
valeurs strictement positives.

 7
.
,
III.B.1) Calculer (t) pour tout t 
4 4
III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré

 7
G :
,
 C, t 7 (t)eit ,
4 4

III.B - Paramétrisation complexe de C
On rappelle que C a été définie dans la partie II comme l'image de l'application

 7
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
:
4 4

d) Un compact ?
e) Une partie convexe ?

b) Un fermé ?
c) Une partie bornée ?

a) Est-ce un ouvert de R2 ?

III.A.2)

Filière PSI

Partie III - Des courbes pour la lettre « C »
III.A - Topologie de C
III.A.1) Représenter C .

Page 2/4

II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est 
développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et 
préciser son
rayon de convergence.
II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions
maximales de ( E) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.

II.D - Développement en série entière d'une solution

II.C.4)

II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème
s'applique à ( E).
II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions
maximales de ( E) ?

II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales
II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions 
maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux 
conditions de
Cauchy.

II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale
m dont le graphe inclut celui de g.

II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus 
dans
 est une solution de ( E).

II.B - Le « C » solution
On
g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est
hnote
 i
, .

4
II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition  de g, ainsi qu'une expression de g.

Montrer que si f est une solution de ( E) sur un intervalle J, et si a est un 
réel non
x
nul, alors la fonction h définie par h( x ) = a f
est aussi une solution de ( E) sur
a
un intervalle que l'on précisera.

II.A - Transformation de solutions

y( x )y ( x ) = -4x.

Dans toute la suite du problème, on note C l'image dans R2 de l'application

 7
:
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
4 4
Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle

Partie II - Équation différentielle pour la lettre « C »

MATHÉMATIQUES I

( E)

Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E).

Préciser les propriétés topologiques suivantes de C .

et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe 
évoquet-elle ?
III.B.3) À partir de l'expression de (t), calculer tan  (t).
III.B.4)

 7
a) Représenter la fonction t 7 arctan(2 tan t) sur la partie de l'intervalle
,
4 4
sur laquelle cette fonction est définie.

Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de C , de la
forme

 7
z:
,
 C, t 7 (t)ei (t) ,
4 4

 7
où  et  sont deux fonctions continues de
vers R, la fonction  étant à
,
4 4
valeurs strictement positives.

 7
.
,
III.B.1) Calculer (t) pour tout t 
4 4
III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré

 7
G :
,
 C, t 7 (t)eit ,
4 4

III.B - Paramétrisation complexe de C
On rappelle que C a été définie dans la partie II comme l'image de l'application

 7
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
:
4 4

d) Un compact ?
e) Une partie convexe ?

b) Un fermé ?
c) Une partie bornée ?

a) Est-ce un ouvert de R2 ?

III.A.2)

Filière PSI

Partie III - Des courbes pour la lettre « C »
III.A - Topologie de C
III.A.1) Représenter C .

Page 2/4

II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est 
développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et 
préciser son
rayon de convergence.
II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions
maximales de ( E) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.

II.D - Développement en série entière d'une solution

II.C.4)

II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème
s'applique à ( E).
II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions
maximales de ( E) ?

II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales
II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions 
maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux 
conditions de
Cauchy.

II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale
m dont le graphe inclut celui de g.

II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus 
dans
 est une solution de ( E).

II.B - Le « C » solution
On
g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est
hnote
 i
, .

4
II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition  de g, ainsi qu'une expression de g.

Montrer que si f est une solution de ( E) sur un intervalle J, et si a est un 
réel non
x
nul, alors la fonction h définie par h( x ) = a f
est aussi une solution de ( E) sur
a
un intervalle que l'on précisera.

II.A - Transformation de solutions

y( x )y ( x ) = -4x.

Dans toute la suite du problème, on note C l'image dans R2 de l'application

 7
:
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
4 4
Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle

Partie II - Équation différentielle pour la lettre « C »

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue  cherchée.
On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe 
paramétrée z.
III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant 
d'obtenir ce tracé.
III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre « C »
Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle 
de la
question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre « C ».
Dans ce qui suit, la notation E( x ) désignera la partie entière du réel x.
On définit les applications :

2n
 7
 3

,
E
·:N ×
 R, (n, t) 7 +
4 4
4
2n
3

 7
2n
 R, (n, t) 7 cos2
,
t-
·  : N ×
4 4
3

t-
4

.
4

III.C.1) Étudier rapidement  et , puis représenter sur un même graphique les
deux fonctions t 7 (10, t) et t 7  (10, t).

 7
2
1

III.C.2) Représenter la fonction  :
,
.
t-
 R, t 7 sin
4 4
4
3
4
III.C.3) On définit la fonction :
w : N ×

 7
,
 C, (n, t) 7 (t) (1 + (t) (n, t)) ei ((n,t)) .
4 4

On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été 
mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel 
des quatre
graphiques représente la fonction t 7 w(40, t), et expliquer pourquoi.

III.C.4) Écrire une séquence d'inst
créer la séquence des 100 premières

III.D - Calcul d'aire
Dans cette question, on se propose d

nant tous les points w(n, t) lorsque n

est délimité par deux arcs paramétré

p
z : I  C, t 7 (t)ei (t) =

p
1
v : I  C, t 7 1 + 3 sin2 t 1 +
4

Page 3/4

MATHÉMATIQUES I

b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue  cherchée.
On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe 
paramétrée z.
III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant 
d'obtenir ce tracé.
III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre « C »
Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle 
de la
question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre « C ».
Dans ce qui suit, la notation E( x ) désignera la partie entière du réel x.
On définit les applications :

2n
 7
 3

,
E
·:N ×
 R, (n, t) 7 +
4 4
4
2n
3

 7
2n
 R, (n, t) 7 cos2
,
t-
·  : N ×
4 4
3

t-
4

.
4

III.C.1) Étudier rapidement  et , puis représenter sur un même graphique les
deux fonctions t 7 (10, t) et t 7  (10, t).

 7
2
1

III.C.2) Représenter la fonction  :
,
.
t-
 R, t 7 sin
4 4
4
3
4
III.C.3) On définit la fonction :
w : N ×

 7
,
 C, (n, t) 7 (t) (1 + (t) (n, t)) ei ((n,t)) .
4 4

On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été 
mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel 
des quatre
graphiques représente la fonction t 7 w(40, t), et expliquer pourquoi.

III.C.4) Écrire une séquence d'inst
créer la séquence des 100 premières

III.D - Calcul d'aire
Dans cette question, on se propose d

nant tous les points w(n, t) lorsque n

est délimité par deux arcs paramétré

p
z : I  C, t 7 (t)ei (t) =

p
1
v : I  C, t 7 1 + 3 sin2 t 1 +
4

Page 3/4

· · · FIN · · ·

Page 4/4

III.D.1) Rappeler l'énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment
ce théorème se traduit dans le cas d'un calcul d'aire.
III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres 
complexes. En déduire l'expression du produit scalaire hu  v(t), v (t)i, 
lorsque u et v
sont les applications u : C  C, z 7 iz et v : t 7 (t)eiµ(t) , où  et µ sont deux
fonctions définies sur un intervalle J de R, à valeurs réelles et de classe C1 .
1
III.D.3) Si d(t) = arctan(2 tan(t)), simplifier (1 + 3 sin2 t)d (t).
2
III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de A sous la forme
d'une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l'identité obtenue en 
III.D.3). Calculer enfin A .

Pour calculer cette aire, on va utiliser la formule de Green-Riemann. Le bord du
domaine étant donné par un arc paramétré complexe de la forme v : t 7 (t)eiµ(t) 
,
on va d'abord traduire ce théorème dans le cas particulier des domaines donnés
sous cette forme.

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Aurélie Lagoutte (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert
(Professeur en CPGE) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à 
l'INRIA).

La première épreuve du concours Centrale PSI de cette année marque une profonde 
rupture avec tout ce qui a pu être proposé les années précédentes. L'objectif
semble être de vérifier que le candidat maîtrise les bases de chaque chapitre 
du programme. Ces derniers sont ainsi presque tous passés en revue mais de 
manière très
superficielle. La seule connaissance « pointue » demandée, à la fin de la 
dernière
partie, est la formule de Green-Riemann.
Le sujet tourne autour de la lettre « C » et des différentes façons de la 
représenter à l'aide d'objets mathématiques. Il comporte trois parties 
complètement
indépendantes.
· La première partie propose l'étude d'une matrice C de M7 (R) à coefficients 
dans
{0, 1} dont les coefficients égaux à 1 dessinent un « C ». On étudie le spectre 
de
cette matrice, puis une équation fonctionnelle qui donne lieu à quelques calculs
de dérivées partielles.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle non
résolue en y dont le graphe des solutions a la forme d'un « C ». 
Malheureusement, les équations non résolues soulèvent de nombreux problèmes 
techniques
et celle-ci ne déroge pas à la règle. Certaines questions sont ainsi délicates à
rédiger malgré la simplicité de l'équation.
· La dernière partie a pour objectif de représenter la lettre « C » dans R2 par 
une
courbe paramétrée issue du graphe d'une ellipse dont on a réduit le domaine de
définition. Après des questions topologiques de base, on passe des coordonnées
cartésiennes aux coordonnées polaires.
La suite permet d'obtenir un graphe plus esthétique à l'aide cette fois d'une 
famille de courbes. Ces questions demandent essentiellement de montrer que l'on
maîtrise bien sa calculatrice graphique car de nombreux graphes sont exigés,
ainsi que la syntaxe pour tracer des courbes en Maple.
La fin du problème demande une application non triviale de la formule de
Green-Riemann.
Il était sans doute très difficile pour un élève brillant de se démarquer du 
reste
des candidats sur cette épreuve, dont la vocation était vraisemblablement de 
trier le
milieu plutôt que la tête du classement d'entrée de l'école.

Indications
Partie I
I.A Exhiber une base de l'image puis appliquer le théorème du rang.
I.B.1 Exprimer (f1 ), (f2 ), (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 .
I.B.2 Utiliser les calculs de la question précédente.
I.C.1 Exhiber un vecteur propre associé à la valeur propre 1.
I.C.2 Donner un exemple de matrices respectivement diagonalisable et non 
diagonalisable ayant même trace.
I.C.3 Résoudre le système non linéaire obtenu par le calcul des traces de  et 2 
,
dont les inconnues sont les valeurs propres de .
I.D.1 Utiliser le fait que le spectre de  est inclus dans le spectre de C, 
ainsi que
le résultat de la question I.A sur le noyau de c.
I.E.2 Démontrer le résultat par récurrence sur n.
I.E.3 Expliciter f (c(X)) puis dériver composante par composante pour obtenir
la jacobienne de f  c.

I.E.4 Procéder de même que la question précédente. Ne pas être surpris de 
n'obtenir aucune information supplémentaire.
I.E.5 Raisonner par analyse-synthèse en utilisant les maigres informations 
obtenues à la question I.E.3 et refaire un calcul pour la synthèse.
Partie II
II.B.1 Poser x = cos t pour t  [ /4 ;  ] puis exprimer 2 sin t en fonction de x.

II.C.3 Justifier qu'une solution maximale de (E) ne peut pas s'annuler sur son
domaine de définition.
II.C.4 Introduire la fonction z = y 2 /2.
Partie III
III.A.2 Montrer par l'absurde que C n'est pas un ouvert de R2 en prenant une
boule centrée en (-1, 0). Utiliser une propriété de continuité pour justifier
son caractère compact. Enfin, montrer que C n'est pas convexe en exhibant
deux points de C dont le milieu n'appartient pas à C .
III.B.4.b Définir la fonction  par morceaux en rajoutant à d des constantes sur
chaque intervalle où elle est continue pour « raccorder » les morceaux.
III.C.3 Remarquer que la fonction t 7- ((n, t)) est constante par morceaux.

III.D.2 Exprimer u  v(t) et v  (t) en fonction de , µ et leurs dérivées. 
Développer
ensuite le produit scalaire, et simplifier.
III.D.4 Appliquer Green-Riemann à l'aide de la forme différentielle  = y dx- 
xdy.

I. Étude d'un « C » matriciel
I.A Il est clair que la famille des vecteurs colonnes de C est engendrée par f1 
, f2
et f3 , qui forment tout aussi clairement une famille libre de R7 . On en 
déduit donc
qu'il s'agit d'une base de Im c lequel est ainsi de dimension 3.
Le théorème du rang assure alors que Ker c est de dimension 4. Mais puisque
f6 et f7 sont nuls, tandis que f2 = f5 et f3 = f4 , les vecteurs
t

t

(0, 1, 0, 0, -1, 0, 0)
t

(0, 0, 1, -1, 0, 0, 0)
t

(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)

(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)

c'est-à-dire e6 , e7 , e5 - e2 et enfin e3 - e4 sont des éléments de ce noyau. 
Puisque ces
vecteurs forment clairement une famille libre de R7 , on peut conclure
L'endomorphisme c est de rang 3. Son image est engendrée par les trois
vecteurs f1 , f2 et f3 et son noyau admet (e2 - e5 , e3 - e4 , e6 , e7 ) pour 
base.
I.B.1 Montrons que les images des vecteurs f1 , f2 et f3 par c appartiennent à 
F.
Un calcul montre que
c(f1 ) = c(e3 ) + c(e4 ) + c(e5 ) = f2 + 2f3
puis

c(f2 ) = c(e2 ) + c(e6 ) = f2

et

c(f3 ) = c(e1 ) + c(e7 ) = f1

Puisque f1 , f2 et f3 sont par définition des éléments de F,
Le sous-espace vectoriel F est stable par c.
I.B.2 Le fait que la famille (f1 , f2 , f3 ) est une base de F a déjà été 
justifié à la
question I.A. De plus, les calculs de c(f1 ), c(f2 ) et c(f3 ) effectués à la 
question
précédente montrent que

0 0 1
 = 1 1 0 
2 0 0
I.C.1 On a obtenu à la question I.B.1 que c(f2 ) = (f2 ) = f2 . Cette égalité 
prouve
que f2 est vecteur propre de  associé à la valeur propre 1. Ainsi,
Le réel 1 est valeur propre de .
Pour trouver un vecteur propre X associé à une valeur propre , la technique par 
défaut consiste à résoudre le système linéaire X = X. Toutefois,
on peut trouver des couples de valeurs propres/vecteurs propres sans calculs
dans certains cas particuliers :
· si le i-ième vecteur colonne de la matrice n'a pour coordonnée non nulle
que celle située sur la diagonale de la matrice, ce dernier est une valeur
propre et un vecteur propre associé est ei .
· si la somme des coefficients sur chaque ligne est constante, la valeur
de cette somme est valeur propre et t (1, 1, . . . , 1) est un vecteur propre
associé.

À noter que lorsque la somme des coefficients sur les colonnes est
constante, la valeur de cette somme est à nouveau valeur propre (il suffit
d'appliquer la remarque ci-dessus à la transposée de la matrice). Toutefois,
le vecteur propre dépend cette fois de la matrice et n'est pas aussi simple à
trouver que t (1, 1, . . . , 1).
I.C.2 On obtient de manière immédiate que Tr  = 1. Cela ne permet toutefois
pas de conclure. En effet, en posant

1 0 0
1 1 0
1 = 0 1 0 
et
2 =  0 1 0 
0 0 -1
0 0 -1
on obtient deux matrices de M3 (C), de trace 1, admettant 1 comme valeur propre.
Cependant, 1 est diagonalisable (car diagonale), tandis que 2 ne l'est pas : 1 
est
racine double de son polynôme caractéristique, mais le sous espace propre 
associé est
de dimension 1. Par conséquent,
Le seul calcul de sa trace ne permet pas de
s'assurer que  est diagonalisable dans M3 (C).
I.C.3 Le calcul de 2 donne

2
2 =  1
0

0 0
1 1
0 2

Par conséquent
Tr (2 ) = 5
Notons {1, 2 , 3 } le spectre complexe de c. L'égalité précédente amène au 
système
(
2 + 3 + 1 = 1
d'où

2 2 + 3 2 + 1 = 5
(
2 = -3
23 2 = 4

Quitte à permuter les valeurs de 2 et 3 , on obtient
(

2 = 2

3 = - 2

et de ce fait
Le spectre de  est 1, 2, - 2 .

L'endomorphisme  a donc trois valeurs propres réelles distinctes, ce qui 
signifie que
 est diagonalisable dans M3 (R).
On aurait pu retrouver ces valeurs par le calcul du polynôme caractéristique
de . Toutefois, l'énoncé précise clairement dans le titre de cette sous-partie
que l'on doit déterminer le spectre sans calculs. Le rapport du jury souligne
à juste titre qu'il faut se laisser guider par l'énoncé.
I.D.1 L'endomorphisme  est un endomorphisme induit par c sur un sous-espace
vectoriel stable donc son spectre est inclus
celui de c. Les sous-espaces propres
 dans 
de c associés aux trois valeurs propres 1, 2, et - 2 de  sont alors tous de 
dimension
au moins 1 et les multiplicités de ces trois valeurs sont au moins égales à 1.