Centrale Maths 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Jeu de bonneteau sur les séries semi-convergentes
Principaux outils utilisés suites numériques, séries numériques
Mots clefs série harmonique, constante d'Euler, somme télescopique, semi-convergence, convergence absolue, convergente commutative

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 2 mars 2009 15h2

MATHÉMATIQUES I

La liste contenant l'unique élément a est notée [a].
Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b].
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : L := [op(L), x]

La liste contenant l'unique élément a est notée .
Le couple (a, b) sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : 

PSI

n=1

 us(n) = x.

20

30

n
40

50

60

70

Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme.

- 1.2

- 1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

10

· p0 = q0 = 0, S0 = 0
· pour tout n  N, si Sn > x alors :
qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1
sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1
Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme 
algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui 
renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , 
sn ].
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le 
dessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite 
horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), 
on obtient
pour x = -1, n = 70 le dessin suivant :

I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels 
(pn )n>0 ,
(qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante :

construire une bijection s de N dans N telle que

(-1)n
et on se propose de
n

Partie I - Réorganisation des termes d'une série
semi-convergente

Filière

On se donne un réel x. On note, pour n  N , un =

Page 1/3

L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes 
algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites 
et des séries
et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ).
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la 
position
correcte des indices.

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si 
pour
toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série  un entraîne celle de 
la série
 an un .

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si 
pour
toute suite complexe (un )nN bornée, la série  an un converge.

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans
converger absolument.

·
·
·

Et pour Mathematica :

·
·
·

On rappelle les points suivants de Maple :

On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus 
petit
élément noté min X.

trs trsés
Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 2 mars 2009 15h2

MATHÉMATIQUES I

La liste contenant l'unique élément a est notée [a].
Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b].
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : L := [op(L), x]

La liste contenant l'unique élément a est notée .
Le couple (a, b) sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : 

PSI

n=1

 us(n) = x.

20

30

n
40

50

60

70

Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme.

- 1.2

- 1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

10

· p0 = q0 = 0, S0 = 0
· pour tout n  N, si Sn > x alors :
qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1
sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1
Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme 
algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui 
renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , 
sn ].
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le 
dessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite 
horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), 
on obtient
pour x = -1, n = 70 le dessin suivant :

I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels 
(pn )n>0 ,
(qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante :

construire une bijection s de N dans N telle que

(-1)n
et on se propose de
n

Partie I - Réorganisation des termes d'une série
semi-convergente

Filière

On se donne un réel x. On note, pour n  N , un =

Page 1/3

L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes 
algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites 
et des séries
et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ).
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la 
position
correcte des indices.

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si 
pour
toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série  un entraîne celle de 
la série
 an un .

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si 
pour
toute suite complexe (un )nN bornée, la série  an un converge.

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans
converger absolument.

·
·
·

Et pour Mathematica :

·
·
·

On rappelle les points suivants de Maple :

On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus 
petit
élément noté min X.

trs trsés
Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 2 mars 2009 15h2

MATHÉMATIQUES I

La liste contenant l'unique élément a est notée [a].
Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b].
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : L := [op(L), x]

La liste contenant l'unique élément a est notée .
Le couple (a, b) sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : 

PSI

n=1

 us(n) = x.

20

30

n
40

50

60

70

Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme.

- 1.2

- 1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

10

· p0 = q0 = 0, S0 = 0
· pour tout n  N, si Sn > x alors :
qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1
sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1
Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme 
algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui 
renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , 
sn ].
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le 
dessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite 
horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), 
on obtient
pour x = -1, n = 70 le dessin suivant :

I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels 
(pn )n>0 ,
(qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante :

construire une bijection s de N dans N telle que

(-1)n
et on se propose de
n

Partie I - Réorganisation des termes d'une série
semi-convergente

Filière

On se donne un réel x. On note, pour n  N , un =

Page 1/3

L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes 
algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites 
et des séries
et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ).
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la 
position
correcte des indices.

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si 
pour
toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série  un entraîne celle de 
la série
 an un .

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si 
pour
toute suite complexe (un )nN bornée, la série  an un converge.

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans
converger absolument.

·
·
·

Et pour Mathematica :

·
·
·

On rappelle les points suivants de Maple :

On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus 
petit
élément noté min X.

trs trsés
Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

et

Sn = Sn0 -

k=n0

n-1

1
·
2qn0 + 2k - 2n0 + 1

I.E I.E.1)

1
= ln n +  + o(1) quand n  +.
k
k=1

n

Démontrer l'existence d'une constante  > 0 telle que :

Démontrer que, pour tout entier n > 0, on a :
|Sn+1 - x| 6 |Sn - x| ou |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.2) En déduire que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que
|Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.3) Justifier l'existence d'un entier n0 tel que pour n > n0 , pn > 1 et qn 
> 1.

I.D.4) Soit n > n0 . On note vn = max |Sn - x|, |u2pn+1 |, |u2qn+1 -1 | .
Démontrer que (vn )n>n0 est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0.
I.D.5) Démontrer que (Sn ) converge vers x et conclure.

I.D I.D.1)

En déduire une contradiction.
b) Déduire du raisonnement précédent que la suite (pn )nN diverge vers +.
I.C.3) Justifier rapidemment que (qn ) tend vers +.
I.C.4) Déduire de ce qui précède que s est une bijection de N sur lui-même.

Sn > x

Donner un développement analogue pour

q

n
1
1
-
 2k  2k - 1 ·
k=1
k=1

pn

N-1

n=0

n=0

II.C - Soit (an )nN une suite de nombres complexes telle que la série  |an | 
diverge.
Construire une suite (un )nN de nombres complexes de module 1 telle que la série
 an un diverge. Caractériser les suites complexes (an )nN vérifiant (P1 ).

En déduire que la suite (an )nN vérifie (P2 ).

 an un =  (an - an+1 )Un + a N UN .

N

II.B - Soit (an )nN une suite réelle telle que la série  |an+1 - an | converge.
II.B.1) Prouver que la suite (an )nN possède une limite.
II.B.2) Soit (un )nN une suite réelle telle que la série  un converge.
On note Un = u0 + u1 + · · · + un . Prouver, pour tout entier naturel N, la 
relation :

II.A - Montrer qu'une suite complexe (an )nN telle que la série  an converge 
absolument vérifie (P1 ).

Partie II - Suites vérifiant (P1 ) et (P2 )

b) En déduire que :

pn
1
- ln 2 + o(1).
Sn = ln
2
n - pn
c) En déduire un équivalent simple de pn et de qn .
d) Déterminer la limite de :
|us(1) | + |us(2) | + · · · + |us(n) |
quand n  +.
|u1 | + |u2 | + · · · + |un |

Sn =

Filière PSI

1
en fonction de .
2k
-1
k=1

n

I.E.3)
a) Justifier, pour tout naturel n tel que pn > 1 et qn > 1, l'égalité :

I.E.2)

Page 2/3

I.C I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir 
d'un
certain rang.
I.C.2) On se propose de démontrer que la suite (pn )nN croît vers +.
a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.
Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier n0 tel que pour n > n0 
,

I.B - On pose dorénavant, pour tout n  N, s(n) = sn .
Prouver, pour n > 1, les propriétés suivantes :
{s(1), s(2), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn }  {1, 3, . . . , 2qn - 1}
pn + qn = n
Sn = us(1) + · · · + us(n)
En déduire que s est injective.

MATHÉMATIQUES I

et

Sn = Sn0 -

k=n0

n-1

1
·
2qn0 + 2k - 2n0 + 1

I.E I.E.1)

1
= ln n +  + o(1) quand n  +.
k
k=1

n

Démontrer l'existence d'une constante  > 0 telle que :

Démontrer que, pour tout entier n > 0, on a :
|Sn+1 - x| 6 |Sn - x| ou |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.2) En déduire que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que
|Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.3) Justifier l'existence d'un entier n0 tel que pour n > n0 , pn > 1 et qn 
> 1.

I.D.4) Soit n > n0 . On note vn = max |Sn - x|, |u2pn+1 |, |u2qn+1 -1 | .
Démontrer que (vn )n>n0 est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0.
I.D.5) Démontrer que (Sn ) converge vers x et conclure.

I.D I.D.1)

En déduire une contradiction.
b) Déduire du raisonnement précédent que la suite (pn )nN diverge vers +.
I.C.3) Justifier rapidemment que (qn ) tend vers +.
I.C.4) Déduire de ce qui précède que s est une bijection de N sur lui-même.

Sn > x

Donner un développement analogue pour

q

n
1
1
-
 2k  2k - 1 ·
k=1
k=1

pn

N-1

n=0

n=0

II.C - Soit (an )nN une suite de nombres complexes telle que la série  |an | 
diverge.
Construire une suite (un )nN de nombres complexes de module 1 telle que la série
 an un diverge. Caractériser les suites complexes (an )nN vérifiant (P1 ).

En déduire que la suite (an )nN vérifie (P2 ).

 an un =  (an - an+1 )Un + a N UN .

N

II.B - Soit (an )nN une suite réelle telle que la série  |an+1 - an | converge.
II.B.1) Prouver que la suite (an )nN possède une limite.
II.B.2) Soit (un )nN une suite réelle telle que la série  un converge.
On note Un = u0 + u1 + · · · + un . Prouver, pour tout entier naturel N, la 
relation :

II.A - Montrer qu'une suite complexe (an )nN telle que la série  an converge 
absolument vérifie (P1 ).

Partie II - Suites vérifiant (P1 ) et (P2 )

b) En déduire que :

pn
1
- ln 2 + o(1).
Sn = ln
2
n - pn
c) En déduire un équivalent simple de pn et de qn .
d) Déterminer la limite de :
|us(1) | + |us(2) | + · · · + |us(n) |
quand n  +.
|u1 | + |u2 | + · · · + |un |

Sn =

Filière PSI

1
en fonction de .
2k
-1
k=1

n

I.E.3)
a) Justifier, pour tout naturel n tel que pn > 1 et qn > 1, l'égalité :

I.E.2)

Page 2/3

I.C I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir 
d'un
certain rang.
I.C.2) On se propose de démontrer que la suite (pn )nN croît vers +.
a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.
Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier n0 tel que pour n > n0 
,

I.B - On pose dorénavant, pour tout n  N, s(n) = sn .
Prouver, pour n > 1, les propriétés suivantes :
{s(1), s(2), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn }  {1, 3, . . . , 2qn - 1}
pn + qn = n
Sn = us(1) + · · · + us(n)
En déduire que s est injective.

MATHÉMATIQUES I

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k+

ln(ln nk )
·
ln 2
ln(ln n)
·
An 
n+
ln 2

II.F - Soit maintenant (an )nN une suite de réels telle que, pour toute suite 
(xn )nN ,

Prouver que la suite ( n )nN tend vers 0 et que la série   n an diverge.

II.D.3)

Dans cette question seulement on suppose que : n  N, an =

II.F.3)
II.F.4)

· · · FIN · · ·

Prouver que la série  |an+1 - an | converge.
Caractériser les suites vérifiant (P2 ).

série   n (an+1 - an ).

la convergence de la série  xn entraîne la convergence de la série  an xn .
II.F.1) Prouver que la suite (an )nN est bornée.
II.F.2) Soit ( n )nN une suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence 
de la

II.E - Soit (an )nN une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite 
( n )nN
de réels tendant vers 0, la série   n an converge.

Page 3/3

1
·
n+1
a) Écrire une fonction r qui prend en argument l'entier n et qui retourne :

· en Maple, la liste [0, n0 ], [1, n1 ], . . . , [q, nq ]

· en Mathematica la liste {0, n0 }, {1, n1 }, . . . , {q, nq }
où q est le plus grand des entiers k tel que nk 6 n. Par exemple l'appel de 
indexer(10000)
retourne :

[0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 51]
resp. {0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 51}

c) Déterminer n1 ,n2 et n3 pour l'exemple de la question III.B.1).

k+

b) En déduire que la série  |an | converge.

Ank

Que peut-on penser de l'exécution de la fonction r ?

puis que :

en déduire que :

b) Dans le cas général, calculer pnk ,  nk .

II.D.1)

a) Prouver que la série   n |an | converge.

b) Soit k > 3 un indice tel que nk - 2 > nk-1 . Prouver l'inégalité :
1
k - 1 6 Ank -1 6 k - 1 + k-1
En déduire que nk+1 - 2 > nk .
2
nk
c) Calculer explicitement la différence Ank+1 -1 - Ank -1 en fonction de k, nk 
et nk+1 .
En déduire, pour k > 3, l' inégalité :

nk+1 + 1
nk+1
1
1
·
ln
6 Ank+1 -1 - Ank -1 6 k ln
nk + 1
nk
2k
2
d) Déduire des deux questions précédentes, pour k > 3, l' inégalité :

nk+1
2
1
1
1
k
k
2 -
6 ln
62 +
- ln 1 +
+ ln 1 +
·
nk
nk
nk+1
nk+1
nk
e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de 
terme
général (ln nk - 2k ) ; puis prouver l'existence d'une constante C > 0 telle 
que :
 
nk  C exp 2k .

Filière PSI

Dans tous les cas : An = An-1 + an  n .
Dans cette question seulement on suppose que a0 = 1 et, pour tout n > 1,
9
an =
.
4(n + 1)
Déterminer les 6 premiers termes des suites (pn )nN , ( n )nN et (An )nN .
Ecrire une procédure exemple qui prend en argument l'entier n et retourne la 
liste :
· en Maple : [[0, p0 ,  0 , A0 ], [1, p1 ,  1 , A1 ], . . . , [n, pn ,  n , An 
]]

· en Mathematica : {0, p0 ,  0 , A0 }, {1, p1 ,  1 , A1 }, . . . , {n, pn ,  n 
, An }
II.D.2)
a) Démontrer que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que :
pn = 1 + pn-1 (on pourra raisonner par l'absurde).
En déduire qu'on peut définir une suite (nk )kN strictement croissante d'entiers
par :
(
n0 = 0
.
nk+1 = min {n  N / n > nk et pn = 1 + pn-1 } pour k > 0

II.D - Soit (an )nN une suite de réels positifs telle que la série  an diverge. 
On
se propose de construire une suite ( n )nN tendant vers 0 telle que la série  
an  n
diverge. Pour cela on définit par récurrence trois suites (pn )nN , ( n )nN et 
(An )nN
comme suit :
· p0 = 0,  0 = 1, A0 = a0 .
(

pn = 1 + pn-1 et  n = n-1 si An-1 > pn-1
2
· Pour n > 1 :
pn = pn-1 et  n =  n-1
sinon

MATHÉMATIQUES I

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Benoît
Landelle (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite exclusivement de suites et de séries. Il ne demande pas beaucoup
de connaissances, mais une certaine aisance dans les calculs est requise pour 
mener
à bien la plupart des démonstrations. Trois questions algorithmiques complètent 
cet
énoncé, séparé en deux parties indépendantes.
· La première partie a pour objectif de montrer qu'à partir d'une série 
semiconvergente, on peut obtenir par permutation des termes une série dont la
somme est égale à n'importe quel réel x. Le problème commence par présenter
une méthode algorithmique pour construire de manière effective une telle 
permutation des termes, et il est demandé de la programmer, au choix, en Maple
ou en Mathematica. Après avoir constaté graphiquement que la méthode 
fonctionne, on démontre mathématiquement le résultat dans la suite de la partie.
· La deuxième partie cherche à caractériser deux types de suites (an ). On dit
qu'elles vérifient (P1 ) si, pour toute suite complexe (un ) bornée, la série de
terme général an un converge. Elles vérifient (P2 ) si, pour toute suite réelle 
(un ),
la convergence de la série de terme général un entraîne celle de la série de 
terme
général an un . On commence par caractériser les suites vérifiant
(P1 ). Ensuite,
P
l'essentiel de cette partie est consacrée, pour une série an divergente, à la
constructionP
effective et algorithmique d'une suite (n ) de limite nulle telle
que la série n an reste divergente. Les deux dernières questions utilisent ce
résultat pour caractériser les suites vérifiant (P2 ).

Ce problème illustre donc la différence entre la semi-convergence et la 
convergence absolue, en montrant qu'en cas de semi-convergence on peut obtenir 
n'importe
quelle somme en modifiant l'ordre des termes, alors que pour une série 
absolument
convergente, toutes les séries obtenues par permutation des termes convergent 
vers
la même somme.
Ce sujet est particulièrement déroutant et assez difficile avec plusieurs 
niveaux
d'indices, beaucoup de notations et des références aux questions précédentes 
très
fréquentes qui font parfois penser à un jeu de piste. En outre, il teste très 
peu les
connaissances du programme, laissant la plus grande part à la virtuosité dans 
les
calculs. Il peut être utilement employé pour s'entraîner à calculer sans se 
tromper.

Indications
Partie I
I.A.1 Effectuer une boucle for sur n et tester à chaque étape si Sn > x pour
construire en fonction du résultat pn , qn , sn et Sn . Stocker à chaque 
itération
la valeur sn dans la liste.
I.A.2 La courbe représente Sn en fonction de n. On constate qu'elle se rapproche
de la droite y = x.
I.B Procéder par récurrence sur n > 1 et distinguer les cas où Sn > x et Sn 6 x.
I.C.1 Revenir à la définition « avec des  » d'une suite convergente.
I.C.2.a Il existe un rang n0 à partir duquel (pn )nN est constante ; en déduire 
la
valeur des suites (qn )nN et (sn )nN . Exprimer ensuite Sn en fonction de Sn0 .
I.C.4 Utiliser l'égalité d'ensembles de la question I.B .
I.D.1 Distinguer les cas Sn > x et Sn 6 x.
I.D.2 Raisonner par l'absurde et utiliser le raisonnement de la question 
I.C.2.a .
I.E.1 Remarquer que
!
n-1
n 1
X 1 Z k+1 1
P
1
- ln n =
-
dt +
k
k
t
n
k=1
k
k=1

I.E.3.c La limite de (Sn )nN est x.
I.E.3.d Effectuer un développement limité de l'expression donnée en utilisant 
les
résultats des questions I.E.1 et I.E.2 .
Partie II

II.B.2 Développer la somme et effectuer un changement d'indice.
II.D.1 Effectuer une boucle for sur i. À chaque étape, tester la valeur de Ai en
fonction de pi et en déduire pi+1 , i+1 et Ai+1 .
II.D.2.a Raisonner par l'absurde et montrer l'existence d'un entier N tel que 
l'on ait
l'égalité An = AN + N (aN+1 + · · · + an ).
II.D.2.b Raisonner par récurrence.
II.D.3.a La procédure est presque la même que la fonction exemple. On maintient
également un compteur et, quand on se trouve dans le premier cas, on stocke
ce compteur ainsi que la valeur de l'itérateur de la boucle.
II.D.3.b Partir de l'égalité Ank -1 = Ank -2 + ank -1 nk -1 . Calculer ensuite 
Ank
et Ank +1 en traduisant la condition nk+1 - 2 > nk avec pnk +2 = pnk +1
puis l'inégalité Ank +1 < pnk +1 .
II.D.3.c Utiliser la définition donnée dans la question II.D, puis une 
comparaison
série-intégrale.
II.D.3.d On peut appliquer l'inégalité de la question II.D.3.b au rang suivant.
II.D.3.e Étudier la convergence de la série de terme général ln nk+1 -2k+1 -ln 
nk +2k
et encadrer n entre nk et nk + 1.
II.E.b Raisonner par l'absurde et appliquer la question II.D .
II.F.1 Revenir à la définition « avec des  » : la limite de (xn )nN et de (an 
xn )nN
est 0.
II.F.2 Séparer la somme et effectuer un changement d'indice ; appliquer ensuite 
la
question II.E .

I. Réorganisation des termes d'une
série semi-convergente
I.A.1 Pour écrire la fonction suite, on commence par initialiser les différentes
variables. La liste est construite à l'aide d'une boucle for dans laquelle, à 
chaque
étape, on applique la définition de la construction des suites (pn ), (qn ), 
(sn ) et (Sn ).
suite := proc(x,n)
local p,q, s, i, L, S;
p[0] :=0; q[0] := 0; L := []; S[0] := 0;
for i from 0 to n-1 do
if (S[i] > x)
then q[i+1] := 1 + q[i]; p[i+1] := p[i];
s[i+1] := 2 * q[i+1] - 1;
else q[i+1] := q[i]; p[i+1] := 1 + p[i];
s[i+1] := 2 * p[i+1];
fi;
L := [op(L),s[i+1]];
S[i+1] := S[i] + u(s[i+1]);
od;
L;
end;
u := proc(n) (-1)^n/n; end;
Le programme consommerait moins de mémoire en utilisant toujours la même
variable (par exemple seulement p pour à la fois p[0], p[i] et p[i+1]). On a 
toutefois fait ici le choix d'utiliser des tableaux par souci de lisibilité. En 
outre,
ces derniers sont utiles pour représenter graphiquement les valeurs, comme
cela est fait dans la question suivante de l'énoncé.
I.A.2 On constate sur le dessin que les points de la suite se rapprochent de 
plus en
plus de la valeur limite x :
La suite (Sn ) tend vers x = -1.
L'algorithme construit la suite (Sn ) en utilisant trois suites auxiliaires 
pour les
indices k des uk . On réordonne les termes en sommant plutôt les usk que les uk 
.
Ainsi, les indices sont les sk . Plus précisément, la suite (qn ) est un 
compteur pour les
indices impairs 2k+1 et la suite (pn ) pour les indices pairs 2k. Suivant la 
valeur de Sn ,
sn est pair (et vaut 2pn ) ou impair (et vaut 2qn - 1). Lorsque Sn 6 x, 
l'algorithme
ajoute un terme pair (qui est positif) et lorsque Sn > x, il ajoute un terme 
impair
(qui est négatif). Dans les deux cas, on fait en sorte que Sn ne s'éloigne pas 
de x
(en changeant le signe des termes à additionner dès que Sn dépasse x, dans un 
sens
ou dans l'autre), et on montre dans la suite de la partie qu'elle s'en 
rapproche même.
À titre indicatif, on pouvait écrire le code de l'affichage des points
par exemple comme dans la fonction ci-après, en modifiant la liste L pour
qu'elle contienne les couples (i, Si ), et en faisant afficher les points de la 
liste
ainsi obtenue ainsi que la droite horizontale d'ordonnée x.

suite := proc(x,n)
local p,q, s, i, L, S;
p[0] :=0; q[0] := 0; L := [[0,0]]; S[0] := 0;
for i from 0 to n-1 do
if (S[i] > x)
then q[i+1] := 1 + q[i]; p[i+1] := p[i];
s[i+1] := 2 * q[i+1] - 1;
else q[i+1] := q[i]; p[i+1] := 1 + p[i];
s[i+1] := 2 * p[i+1];
fi;
S[i+1] := S[i] + u(s[i+1]);
L := [op(L),[i+1,S[i+1]]];
od;
L;
plot([x,L],t=0..n,style=[line,point]);
end;

I.B On procède par récurrence sur n > 1 pour montrer que la propriété

{s(1), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn }  {1, 3, . . . , 2qn - 1}
P(n) :
pn + qn = n

Sn = us(1) + · · · + us(n)
est vraie pour tout n > 1.

· P(1) : si x > S0 = 0, on a q1 = q0 = 0, p1 = 1 + p0 = 1 d'où p1 + q1 = 1.
Comme s(1) = s1 = 2p1 = 2, {s(1)} = {2, 2p1 } car, comme 2q1 - 1 = -1,
le deuxième ensemble proposé est vide. En outre, S1 = S0 + us1 = us(1) .
Si x < S0 = 0, on a q1 = 1 + q0 = 1, p1 = p0 = 0 d'où p1 + q1 = 1. Comme
s(1) = s1 = 2q1 - 1 = 1, on a {s(1)} = {1, 2q1 - 1} car, comme 2p1 = 0,
le premier ensemble proposé est vide. En outre, S1 = S0 + us1 = us(1) .
Dans les deux cas, P(1) est vraie.
· P(n) = P(n + 1) : si x > Sn , on a qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn d'où l'égalité
pn+1 + qn+1 = 1 + pn + qn = 1 + n d'après l'hypothèse de récurrence. Comme
s(n + 1) = sn+1 = 2pn+1 ,
=2qn -1
z }| {
{s(1), . . . , s(n + 1)} = {2, 2p1, . . . , 2pn+1 }  {1, . . . , 2qn - 1, 2qn+1 
- 1}

puisque les deux derniers éléments du second ensemble sont égaux. En outre,
Sn+1 = Sn + usn+1 = us(1) + · · · + us(n) + us(n+1) par hypothèse de récurrence.