Centrale Maths 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve Étude de relations de récurrence à l'aide de séries génératrices
Principaux outils utilisés séries entières, intégration, suites numériques, équations différentielles, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 27 fevrier 2008 16h9

MATHÉMATIQUES I

Question preliminaire

Dans plusieurs questions du probleme, il est demande d'ecrire une
sequence d'instructions realisant un calcul. Dans ces questions le candidat est 
invite a definir une fonction en utilisant la syntaxe de Maple
ou Mathematica. Il est invite a signaler au debut de sa copie le langage 
utilise.

f[a , b ] := Block[{i, j, k},
i = 1; j = a; k = b;
While[ k > 0,
{i, j, k} = If[OddQ[k], {i  j, j, k - 1},
{i, j^2, k/2} ]
];
i]

Version Mathematica

PSI

Partie I - Recurrence en dimension 1

Filière

(1)

n=0

X

un z n

(2)

(un+1 - a un - b) z n = 0

ou A et B sont deux fractions rationnelles dependant de z et a.

S (z) = u0 A + b B

(3)

et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z). 
Resoudre
cette equation et exprimer S sous la forme :

n=0

X

I.E - On suppose |z| < S . Partir de la relation evidente :

Determiner la valeur  du rayon de convergence de cette serie (une discussion 
precise
des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale S de ce rayon 
pour
a fixe ?

S (z) =

I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la 
variable
complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n . 
Autrement dit :

I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n.

verifie la relation de recurrence vn+1 = a v n .

n : vn = un + k

I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par

I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne
(on ne cherchera pas a optimiser les calculs).

un+1 = a un + b

Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une 
suite u
definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence

Page 1/4

Exprimer simplement la valeur de f (a, b) ou (a, b)  C × N.
Note : pour Maple « type(k, odd) » (resp. pour Mathematica « OddQ[k] ») est un
booleen qui est vrai lorsque k est un entier impair (en anglais, odd) et faux 
dans le
cas contraire.

Version Maple
f := proc(a, b)
local i, j, k :
i := 1 : j := a : k := b :
while k > 0 do
if type(k, odd)
then i := i  j : k := k - 1
else j := j^2 : k := k/2 :
fi : od :
i :
end :

On donne la sequence d'instructions definissant ci-dessous la fonction f : C×N 
- C
dans chacune des deux syntaxes (Maple et Mathematica).

Note :

Les parties I, II et IV sont consacrees a l'etude de trois relations de 
recurrence
differentes. L'attention des candidats est attiree sur le fait que les 
hypotheses faites
sur les constantes a, b, c, d intervenant dans ces recurrences changent d'une 
partie a
l'autre. La partie III est consacree a l'etude d'un outil de calcul integral 
permettant
de comparer les resultats obtenus dans les autres parties.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 27 fevrier 2008 16h9

MATHÉMATIQUES I

Question preliminaire

Dans plusieurs questions du probleme, il est demande d'ecrire une
sequence d'instructions realisant un calcul. Dans ces questions le candidat est 
invite a definir une fonction en utilisant la syntaxe de Maple
ou Mathematica. Il est invite a signaler au debut de sa copie le langage 
utilise.

f[a , b ] := Block[{i, j, k},
i = 1; j = a; k = b;
While[ k > 0,
{i, j, k} = If[OddQ[k], {i  j, j, k - 1},
{i, j^2, k/2} ]
];
i]

Version Mathematica

PSI

Partie I - Recurrence en dimension 1

Filière

(1)

n=0

X

un z n

(2)

(un+1 - a un - b) z n = 0

ou A et B sont deux fractions rationnelles dependant de z et a.

S (z) = u0 A + b B

(3)

et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z). 
Resoudre
cette equation et exprimer S sous la forme :

n=0

X

I.E - On suppose |z| < S . Partir de la relation evidente :

Determiner la valeur  du rayon de convergence de cette serie (une discussion 
precise
des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale S de ce rayon 
pour
a fixe ?

S (z) =

I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la 
variable
complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n . 
Autrement dit :

I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n.

verifie la relation de recurrence vn+1 = a v n .

n : vn = un + k

I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par

I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne
(on ne cherchera pas a optimiser les calculs).

un+1 = a un + b

Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une 
suite u
definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence

Page 1/4

Exprimer simplement la valeur de f (a, b) ou (a, b)  C × N.
Note : pour Maple « type(k, odd) » (resp. pour Mathematica « OddQ[k] ») est un
booleen qui est vrai lorsque k est un entier impair (en anglais, odd) et faux 
dans le
cas contraire.

Version Maple
f := proc(a, b)
local i, j, k :
i := 1 : j := a : k := b :
while k > 0 do
if type(k, odd)
then i := i  j : k := k - 1
else j := j^2 : k := k/2 :
fi : od :
i :
end :

On donne la sequence d'instructions definissant ci-dessous la fonction f : C×N 
- C
dans chacune des deux syntaxes (Maple et Mathematica).

Note :

Les parties I, II et IV sont consacrees a l'etude de trois relations de 
recurrence
differentes. L'attention des candidats est attiree sur le fait que les 
hypotheses faites
sur les constantes a, b, c, d intervenant dans ces recurrences changent d'une 
partie a
l'autre. La partie III est consacree a l'etude d'un outil de calcul integral 
permettant
de comparer les resultats obtenus dans les autres parties.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 27 fevrier 2008 16h9

MATHÉMATIQUES I

Question preliminaire

Dans plusieurs questions du probleme, il est demande d'ecrire une
sequence d'instructions realisant un calcul. Dans ces questions le candidat est 
invite a definir une fonction en utilisant la syntaxe de Maple
ou Mathematica. Il est invite a signaler au debut de sa copie le langage 
utilise.

f[a , b ] := Block[{i, j, k},
i = 1; j = a; k = b;
While[ k > 0,
{i, j, k} = If[OddQ[k], {i  j, j, k - 1},
{i, j^2, k/2} ]
];
i]

Version Mathematica

PSI

Partie I - Recurrence en dimension 1

Filière

(1)

n=0

X

un z n

(2)

(un+1 - a un - b) z n = 0

ou A et B sont deux fractions rationnelles dependant de z et a.

S (z) = u0 A + b B

(3)

et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z). 
Resoudre
cette equation et exprimer S sous la forme :

n=0

X

I.E - On suppose |z| < S . Partir de la relation evidente :

Determiner la valeur  du rayon de convergence de cette serie (une discussion 
precise
des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale S de ce rayon 
pour
a fixe ?

S (z) =

I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la 
variable
complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n . 
Autrement dit :

I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n.

verifie la relation de recurrence vn+1 = a v n .

n : vn = un + k

I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par

I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne
(on ne cherchera pas a optimiser les calculs).

un+1 = a un + b

Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une 
suite u
definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence

Page 1/4

Exprimer simplement la valeur de f (a, b) ou (a, b)  C × N.
Note : pour Maple « type(k, odd) » (resp. pour Mathematica « OddQ[k] ») est un
booleen qui est vrai lorsque k est un entier impair (en anglais, odd) et faux 
dans le
cas contraire.

Version Maple
f := proc(a, b)
local i, j, k :
i := 1 : j := a : k := b :
while k > 0 do
if type(k, odd)
then i := i  j : k := k - 1
else j := j^2 : k := k/2 :
fi : od :
i :
end :

On donne la sequence d'instructions definissant ci-dessous la fonction f : C×N 
- C
dans chacune des deux syntaxes (Maple et Mathematica).

Note :

Les parties I, II et IV sont consacrees a l'etude de trois relations de 
recurrence
differentes. L'attention des candidats est attiree sur le fait que les 
hypotheses faites
sur les constantes a, b, c, d intervenant dans ces recurrences changent d'une 
partie a
l'autre. La partie III est consacree a l'etude d'un outil de calcul integral 
permettant
de comparer les resultats obtenus dans les autres parties.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

X
un n
z
n!
n=0

un+1 n
z
n!
n=0
(5)

(4)

(un+1 - a un - b)

xn
=0
n!

(6)

Filière PSI

n=0

(un+1 - a un - b vn ) z n = 0 et

n=0

X

(vn+1 - c un - d vn ) z n = 0

X
un n
x
n!
n=0

et H (x) =

X
vn n
x
n!
n=0

(9)

II.D - Proceder comme precedemment et obtenir (par des transformations 
justifiees)
un systeme de deux equations differentielles permettant d'exprimer G et H  en
fonction de G et H.

Determiner les rayons de convergence de ces deux series.

G (x) =

II.C - On appelle series exponentielles G, H associees aux suites u et v les 
fonctions
de la variable x  R qui sont les sommes des series entieres ayant respectivement
un xn
vn xn
pour termes generaux
et
· Autrement dit :
n!
n!

ou A et B sont deux fractions rationnelles en z (chacune dependant des 
coefficients
a, b, c, d).
Que peut-on dire des rayons de convergence de S et T ?

A u0 + B v0

et obtenir un systeme de deux equations ordinaires (non differentielles) 
verifiees par
S (z) et T (z). Resoudre ce systeme et exprimer S (z) et T (z) sous la forme :

n=0

X

On admet, dans la suite de cette partie, qu'il existe un reel  > 0 tel que les 
deux
series S(z) et T (z) sont convergentes pour |z| < . Pour un tel z, partir des 
relations
evidentes :

n=0

II.B - On revient a la notation en a, b, c, d et, comme a la section I-D, on 
appelle series ordinaires associees aux suites u et v les fonctions S et T de 
la variable
complexe z qui sont les sommes des series entieres de termes generaux un z n et 
vn z n .
Autrement dit :

X
X
un z n , T (z) =
vn z n
(8)
S (z) =

II.A - Reecrire (pour cette seule question) le systeme (7) en fonction de a, b, 
, µ.
Diagonaliser la matrice M et exprimer (un , vn ) sous la forme :

un
u0
= expression matricielle simple en a, b, , µ et n
vn
v0

Page 2/4

On suppose en outre que les valeurs propres , µ de la matrice M sont distinctes 
et
que u0 , v0 ne sont pas simultanement nuls.

Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0. On 
considere deux
suites u et v definies par leurs termes initiaux u0 , v0 et la relation de 
recurrence
matricielle :

un+1
un
a b
(7)
=M
avec M =
vn+1
vn
c d

Partie II - Recurrence en dimension 2

I.H - En utilisant (6), retrouver l'expression de un en fonction de n.
Ecrire une sequence d'instructions utilisant cette expression pour calculer un 
pour
chaque valeur donnee de n. Ce programme est-il plus rapide que celui du I.A ? 
Que
peut-on faire pour obtenir un programme reellement plus rapide ?

ou C et D dependent de x et a.

G (x) = u0 C + b D

et obtenir (par des transformations justifiees) une equation differentielle du 
premier
ordre verifiee par la fonction G. Resoudre cette equation en remarquant que (4)
fournit aussi une condition initiale pour G (x). Obtenir G sous la forme

n=0

X

I.G - Partir de la relation evidente :

Montrer que G (z) a meme rayon de convergence G que G (z) et que si x est un
reel avec |x| < G , G (x) est effectivement la derivee de la fonction reelle x 
7 G (x).

G (z) =

X

Determiner le rayon de convergence G de cette serie G. On pose :

G (z) =

I.F - On appelle serie exponentielle associee a la suite u la serie entiere de 
la variable
z  C definie par :

MATHÉMATIQUES I

X
un n
z
n!
n=0

un+1 n
z
n!
n=0
(5)

(4)

(un+1 - a un - b)

xn
=0
n!

(6)

Filière PSI

n=0

(un+1 - a un - b vn ) z n = 0 et

n=0

X

(vn+1 - c un - d vn ) z n = 0

X
un n
x
n!
n=0

et H (x) =

X
vn n
x
n!
n=0

(9)

II.D - Proceder comme precedemment et obtenir (par des transformations 
justifiees)
un systeme de deux equations differentielles permettant d'exprimer G et H  en
fonction de G et H.

Determiner les rayons de convergence de ces deux series.

G (x) =

II.C - On appelle series exponentielles G, H associees aux suites u et v les 
fonctions
de la variable x  R qui sont les sommes des series entieres ayant respectivement
un xn
vn xn
pour termes generaux
et
· Autrement dit :
n!
n!

ou A et B sont deux fractions rationnelles en z (chacune dependant des 
coefficients
a, b, c, d).
Que peut-on dire des rayons de convergence de S et T ?

A u0 + B v0

et obtenir un systeme de deux equations ordinaires (non differentielles) 
verifiees par
S (z) et T (z). Resoudre ce systeme et exprimer S (z) et T (z) sous la forme :

n=0

X

On admet, dans la suite de cette partie, qu'il existe un reel  > 0 tel que les 
deux
series S(z) et T (z) sont convergentes pour |z| < . Pour un tel z, partir des 
relations
evidentes :

n=0

II.B - On revient a la notation en a, b, c, d et, comme a la section I-D, on 
appelle series ordinaires associees aux suites u et v les fonctions S et T de 
la variable
complexe z qui sont les sommes des series entieres de termes generaux un z n et 
vn z n .
Autrement dit :

X
X
un z n , T (z) =
vn z n
(8)
S (z) =

II.A - Reecrire (pour cette seule question) le systeme (7) en fonction de a, b, 
, µ.
Diagonaliser la matrice M et exprimer (un , vn ) sous la forme :

un
u0
= expression matricielle simple en a, b, , µ et n
vn
v0

Page 2/4

On suppose en outre que les valeurs propres , µ de la matrice M sont distinctes 
et
que u0 , v0 ne sont pas simultanement nuls.

Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0. On 
considere deux
suites u et v definies par leurs termes initiaux u0 , v0 et la relation de 
recurrence
matricielle :

un+1
un
a b
(7)
=M
avec M =
vn+1
vn
c d

Partie II - Recurrence en dimension 2

I.H - En utilisant (6), retrouver l'expression de un en fonction de n.
Ecrire une sequence d'instructions utilisant cette expression pour calculer un 
pour
chaque valeur donnee de n. Ce programme est-il plus rapide que celui du I.A ? 
Que
peut-on faire pour obtenir un programme reellement plus rapide ?

ou C et D dependent de x et a.

G (x) = u0 C + b D

et obtenir (par des transformations justifiees) une equation differentielle du 
premier
ordre verifiee par la fonction G. Resoudre cette equation en remarquant que (4)
fournit aussi une condition initiale pour G (x). Obtenir G sous la forme

n=0

X

I.G - Partir de la relation evidente :

Montrer que G (z) a meme rayon de convergence G que G (z) et que si x est un
reel avec |x| < G , G (x) est effectivement la derivee de la fonction reelle x 
7 G (x).

G (z) =

X

Determiner le rayon de convergence G de cette serie G. On pose :

G (z) =

I.F - On appelle serie exponentielle associee a la suite u la serie entiere de 
la variable
z  C definie par :

MATHÉMATIQUES I

S (z) =

n=0

X

un z n

et G (z) =

X
un n
z
n!
n=0

Filière PSI

(10)

(n + 1)
6  (n)
n2 (n)

IV.B - On considere les series S, T, G, H associees par les formules 
respectives (8)
et (9) aux suites u et v definies par la formule (11).
IV.B.1) En utilisant la formule (11), demontrer que S(z) et T (z) ont le meme
rayon de convergence. Quel est ce rayon de convergence commun (on pourra 
utiliser
la section A.) ?

ou les quantites  (n) et  (n) ont des limites finies quand n  .

 (n) 6

IV.A - On pose (n) = u2n + vn2 .
IV.A.1) Etablir l'encadrement : (u, v)  R2 , -u2 - v 2 6 2uv 6 u2 + v 2 .
IV.A.2) Demontrer que, pour tout n, (n) n'est jamais nul. Obtenir, pour n > 1,
un encadrement de la forme :

Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0, tels que 
|a| =
6 |d| et
bc
que
ne soit pas le carre d'un nombre entier. On considere deux termes initiaux
ad
u0 , v0 reels et non simultanement nuls et les deux suites reelles u et v 
definies par
la nouvelle relation de recurrence :

un+1 = a n un + b vn
(11)
vn+1 = c un + d n vn

Partie IV - Une recurrence explosive

III.D - On souhaite appliquer la formule precedente aux series S et G associees 
a
la suite recurrente u etudiee dans la Partie I. (par les fomules (2) et (4)). 
Utiliser la
linearite de Lap et les resultats precedents pour transformer l'equation 
differentielle
concernant t 7 G (t) en une equation ordinaire concernant S. Verifier que l'on
retrouve l'expression deja obtenue en I.E.

lorsque p est un nombre complexe dont la partie reelle est strictement positive.

Lap (G) (p) = expression simple en S et p

En admettant (pour cette seule question) que l'on puisse permuter serie et 
integrale
et en admettant l'existence des integrales rencontrees, effectuer les calculs 
reliant la
transformee de Laplace de la fonction t 7 G (t) , t > 0 avec la serie S. On 
obtiendra
un resultat sous la forme :

Page 3/4

III.C - Pour une suite (un ) quelconque de nombres reels, on rappelle que les 
series
S et G ont ete definies respectivement dans les sections I.D et I.F par les 
formules :

III.B - On suppose que f est de classe C 1 sur [0, +[ et que f est CDI ().
Demontrer que pour tout nombre complexe p dont la partie reelle est strictement
superieure a , Lap (f  ) (p) est une integrale convergente et calculer Lap (f  
) (p) en
fonction de Lap (f ) (p), de p et de f (0).

III.A - On suppose que f est CDI (). Demontrer que pour tout nombre complexe
p dont la partie reelle est strictement superieure a , Lap (f ) (p) est une 
integrale
convergente.

2. l'application t 7 e-t f (t) est bornee sur [0, +[.

1. f est une fonction continue de [0, +[ vers C.

Dans ce qui suit, on supposera toujours   R. On dira qu'une fonction f est
CDI (), i.e. « continue et dominee a l'infini par exp ( t) » lorsque :

L'attention des candidats est attiree sur le fait que, en Sciences de
l'Ingenieur, la convergence de ces integrales est, en derniere analyse,
assuree par l'existence du systeme materiel etudie. Dans le present
probleme, la convergence de ces memes integrales n'est pas assuree
et doit etre examinee avec attention.

0

On rappelle que la transformee de Laplace Lap (f ) d'une fonction f definie sur
[0, +[ et a valeurs complexes est definie par :
Z +
Lap (f ) (p) =
f (t) exp (-t p) dt

Partie III - Transformation de Laplace

II.F - Resoudre les equations differentielles precedentes et obtenir G (x) et H 
(x)
sous une forme simple mettant en evidence la dependance par rapport aux 
conditions
initiales.

II.E - En deduire que G et H sont solutions de la meme equation differentielle
lineaire du second ordre (E) dont on exprimera les coefficients en fonction de  
et
µ. A quelle condition les fonctions G et H forment-elles une base de l'espace 
des
solutions de (E) ?

MATHÉMATIQUES I

S (z) =

n=0

X

un z n

et G (z) =

X
un n
z
n!
n=0

Filière PSI

(10)

(n + 1)
6  (n)
n2 (n)

IV.B - On considere les series S, T, G, H associees par les formules 
respectives (8)
et (9) aux suites u et v definies par la formule (11).
IV.B.1) En utilisant la formule (11), demontrer que S(z) et T (z) ont le meme
rayon de convergence. Quel est ce rayon de convergence commun (on pourra 
utiliser
la section A.) ?

ou les quantites  (n) et  (n) ont des limites finies quand n  .

 (n) 6

IV.A - On pose (n) = u2n + vn2 .
IV.A.1) Etablir l'encadrement : (u, v)  R2 , -u2 - v 2 6 2uv 6 u2 + v 2 .
IV.A.2) Demontrer que, pour tout n, (n) n'est jamais nul. Obtenir, pour n > 1,
un encadrement de la forme :

Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0, tels que 
|a| =
6 |d| et
bc
que
ne soit pas le carre d'un nombre entier. On considere deux termes initiaux
ad
u0 , v0 reels et non simultanement nuls et les deux suites reelles u et v 
definies par
la nouvelle relation de recurrence :

un+1 = a n un + b vn
(11)
vn+1 = c un + d n vn

Partie IV - Une recurrence explosive

III.D - On souhaite appliquer la formule precedente aux series S et G associees 
a
la suite recurrente u etudiee dans la Partie I. (par les fomules (2) et (4)). 
Utiliser la
linearite de Lap et les resultats precedents pour transformer l'equation 
differentielle
concernant t 7 G (t) en une equation ordinaire concernant S. Verifier que l'on
retrouve l'expression deja obtenue en I.E.

lorsque p est un nombre complexe dont la partie reelle est strictement positive.

Lap (G) (p) = expression simple en S et p

En admettant (pour cette seule question) que l'on puisse permuter serie et 
integrale
et en admettant l'existence des integrales rencontrees, effectuer les calculs 
reliant la
transformee de Laplace de la fonction t 7 G (t) , t > 0 avec la serie S. On 
obtiendra
un resultat sous la forme :

Page 3/4

III.C - Pour une suite (un ) quelconque de nombres reels, on rappelle que les 
series
S et G ont ete definies respectivement dans les sections I.D et I.F par les 
formules :

III.B - On suppose que f est de classe C 1 sur [0, +[ et que f est CDI ().
Demontrer que pour tout nombre complexe p dont la partie reelle est strictement
superieure a , Lap (f  ) (p) est une integrale convergente et calculer Lap (f  
) (p) en
fonction de Lap (f ) (p), de p et de f (0).

III.A - On suppose que f est CDI (). Demontrer que pour tout nombre complexe
p dont la partie reelle est strictement superieure a , Lap (f ) (p) est une 
integrale
convergente.

2. l'application t 7 e-t f (t) est bornee sur [0, +[.

1. f est une fonction continue de [0, +[ vers C.

Dans ce qui suit, on supposera toujours   R. On dira qu'une fonction f est
CDI (), i.e. « continue et dominee a l'infini par exp ( t) » lorsque :

L'attention des candidats est attiree sur le fait que, en Sciences de
l'Ingenieur, la convergence de ces integrales est, en derniere analyse,
assuree par l'existence du systeme materiel etudie. Dans le present
probleme, la convergence de ces memes integrales n'est pas assuree
et doit etre examinee avec attention.

0

On rappelle que la transformee de Laplace Lap (f ) d'une fonction f definie sur
[0, +[ et a valeurs complexes est definie par :
Z +
Lap (f ) (p) =
f (t) exp (-t p) dt

Partie III - Transformation de Laplace

II.F - Resoudre les equations differentielles precedentes et obtenir G (x) et H 
(x)
sous une forme simple mettant en evidence la dependance par rapport aux 
conditions
initiales.

II.E - En deduire que G et H sont solutions de la meme equation differentielle
lineaire du second ordre (E) dont on exprimera les coefficients en fonction de  
et
µ. A quelle condition les fonctions G et H forment-elles une base de l'espace 
des
solutions de (E) ?

MATHÉMATIQUES I

avec qn =

un
n vn
(12)

(un+1 - a n un - b vn )

xn
= 0 et
n!

n=0

X

(vn+1 - c un - d n vn )

xn
=0
n!

· · · FIN · · ·

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IV.G - Demontrer que l'equation du deuxieme ordre en G possede une solution
bc
est le carre d'un nombre entier.
polynomiale non nulle si et seulement si
ad

IV.F - En deduire une equation differentielle du deuxieme ordre verifiee par la
fonction G. Faire de meme pour H.

et obtenir, dans un domaine que l'on precisera, un systeme differentiel du 
premier
ordre verifie par les fonctions x 7 G (x) , x 7 H (x).

n=0

X

IV.E - Partir des relations evidentes :

IV.D - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul des valeurs 
successives de qn en fonction de la valeur initiale q1 = q1 entree en parametre 
et s'arretant
lorsque la variation entre qn+1 et qn devient inferieure a une precision 
donnee, .

qn+1 = n (qn )

Demontrer que G(z) et H(z) ont le meme rayon de convergence et qu'il
1
·
est superieur a
max |a|, |d|
un
IV.C - Soit q la suite de terme general qn =
· Ecrire la relation de recurrence
n vn
existant entre qn et qn+1 . On obtiendra une fonction z 7 n (z) (dependant du
parametre n) telle que :

IV.B.2)

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Frédérique Charles (ENS Cachan) ; il a été relu par
Laetitia Borel-Mathurin (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce problème est consacré à l'étude de plusieurs relations de récurrence, grâce
notamment à l'utilisation de séries entières. Il est composé d'une question 
préliminaire
et de trois parties indépendantes (seule la question III.D propose de revenir 
sur un
résultat obtenu dans une partie précédente).
· La question préliminaire propose de déterminer le résultat d'un algorithme qui
sera utile par la suite.
· La première partie s'intéresse à une suite récurrente arithmético-géométrique,
à partir de laquelle on définit la série ordinaire, puis la série exponentielle,
associées à cette suite. L'étude de ces séries entières permet de retrouver 
l'expression de la suite.
· La deuxième étudie deux suites vérifiant cette fois une relation de récurrence
matricielle. On détermine les expressions des séries ordinaires associées à ces
suites après avoir établi qu'elles vérifient un système d'équations ordinaires.
On calcule ensuite les expressions des séries exponentielles qui sont solutions
d'un système d'équations différentielles.
· La troisième aborde ce que l'on appelle la transformée de Laplace d'une 
fonction, qui est définie à l'aide d'une intégrale convergente. Celle-ci permet 
de
retrouver l'expression de la série exponentielle obtenue dans la première 
partie.
· Enfin, la quatrième partie reprend l'étude de deux séries exponentielles 
associées
à un système de suites récurrentes à coefficients non constants.
Le problème ne présente pas de grosses difficultés (excepté les questions IV.B.1
et IV.B.2, plus délicates) et n'est pas excessivement calculatoire. Les parties 
I, II et IV
constituent un bon sujet de révision des séries entières, et la partie III 
permet de se
familiariser avec un outil classique, la transformée de Laplace. Ce problème 
est donc
un bon galop d'essai pour réviser les techniques importantes de l'analyse. Par 
ailleurs,
nous conseillons au lecteur de consacrer un peu de temps aux séquences 
d'instructions en Maple ou Mathematica qui sont demandées, cet aspect du 
programme étant
souvent négligé par les candidats.

Indications
0 Déterminer f (a, 0), f (a, 1) et f (a, 2), puis raisonner par récurrence.
I.D Remarquer que la série S(z) est somme de deux séries entières géométriques.
I.E Décomposer la série en trois morceaux, et faire un changement d'indice dans
l'un de ces termes.
I.F Penser à la règle de d'Alembert et utiliser la question I.D.
II.A Utiliser les équations vérifiées par  et µ pour exprimer c et d en 
fonction de
a, b,  et µ. Déterminer ensuite la matrice de passage de la base canonique à
la base de diagonalisation en fonction de a, b, µ et .
II.B Le principe est le même que dans la question I.E mais on obtient cette
fois un système. Pour quels complexes z les fractions rationnelles obtenues
existent-elles ? Que peut-on alors en déduire sur le rayon de convergence ?
P
P
II.C Utiliser le fait que les séries un z n et vn z n ont par hypothèse un rayon
de convergence non nul.
II.E Dériver l'équation différentielle vérifiée par G, puis utiliser les deux 
équations
différentielles obtenues à la question II.C pour remplacer H puis H par des
expressions faisant intervenir G et G . Enfin, se rappeler que l'on peut 
exprimer le déterminant et la trace de la matrice M en fonction de ses 
coefficients
a, b, c, d ou de ses valeurs propres  et µ.
III.B Intégrer par parties.
III.C Attention, l'énoncé a ici oublié une condition supplémentaire que doit 
vérifier
le complexe p pour obtenir l'expression reliant Lap(G)(p) avec la série S.
III.D Utiliser la question III.B et déterminer la transformée de Laplace de la 
fonction z 7 ez .
IV.A.1 Se rappeler que le carré d'une somme ou d'une différence de nombres réels
est toujours positif !
IV.A.2 Exprimer (n + 1) et développer cette expression.
IV.B.1 Montrer que
PS 6 T puis que T 6 S . Déterminer le rayon de convergence
de la série (n)z n et en déduire que S = T = 0.
IV.B.2 Fixer un réel C > Max (|a|, |d|), et majorer un+1 /(n + 1) ! en 
utilisant la
P un+1 n
z , pour |z| < 1/C ?
question IV.A.2. Que dire de la série
n!
IV.C Il faut ici supposer que la suite vn ne s'annule pas pour que la suite qn 
soit
définie.
IV.D Rien ne prouve que l'algorithme demandé ici converge ; il n'est pas demandé
de le vérifier.
N
P
IV.G Pour une fonction polynomiale de type G(x) =
k xk , exprimer la fonck=0

tion polynomiale qui, d'après l'équation différentielle vérifiée par G, doit 
être
nulle. En déduire le type de condition que doivent vérifier les coefficients k
(sans trop détailler), et une relation simple entre l'entier N et a, b, c et d.

Comme rappelé dans le rapport du jury, ce dernier apprécie, de façon générale, 
« que les raisonnements, mettant en jeu des points importants du
programme, les mentionnent de façon claire et précise. Si de nombreux candidats 
font des efforts louables de rédaction et de présentation de leur travail,
il reste qu'une proportion importante de copies sont mal rédigées et peu 
lisibles. » Il souligne également que « la qualité de la rédaction joue un rôle
important dans l'appréciation des copies et encourage fortement les futurs
candidats à faire des efforts dans cette direction ».

Question préliminaire
Remarquons tout d'abord que l'algorithme proposé converge, du fait que
l'entier k, initialisé à la valeur b, diminue strictement à chaque boucle ;
l'algorithme se termine lorsque k = 0.
Pour se donner une idée de la valeur f (a, b), donnée par l'entier i à la fin 
des
boucles, calculons les valeurs successives de f (a, n) pour n = 0, 1, 2, ... et 
pour a
un complexe quelconque fixé : on obtient f (a, 0) = 1, f (a, 1) = a, f (a, 2) = 
a2 .
Ces constatations suggèrent un candidat pour f (a, n) : f (a, n) = an . 
Montrons donc
par récurrence que
P(n) :

k  N / k 6 n

f (a, k) = ak

est vraie pour tout n  N.
On effectue ici une récurrence forte, c'est pour cela que la propriété s'écrit
P(n) :
et non

k  N / k 6 n
P(n) :

f (a, k) = ak

f (a, n) = an

· P(0) est vraie car l'algorithme donne directement f (a, 0) = 1 sans passer par
la boucle.
· P(n) = P(n + 1) :
­ si n + 1 est impair, alors f (a, n + 1) = a · f (a, n) donc, d'après 
l'hypothèse
de récurrence, f (a, n + 1) = a · an = an+1 .

­ si n + 1 est pair, on a alors f (a, n + 1) = f a2 , (n + 1)/2 donc, d'après
n+1
l'hypothèse de récurrence, f (a, n + 1) = (a2 ) 2 = an+1 .
· Conclusion :

b  N

a  C

f (a, b) = ab

On peut de plus remarquer que dans le cas où n + 1 est pair, l'hypothèse de
récurrence suppose que n + 1/2 6 n, c'est-à-dire n > 1, ce qui est bien vérifié
puisque si n = 0 alors n + 1 est impair.

I. Récurrence en dimension 1
I.A Le calcul de un , pour un entier n donné, s'obtient en déterminant, grâce à 
une
boucle, tous les termes successifs de la suite u jusqu'à l'indice n.
Version Maple
f := proc(a, b, n, u) local i, k :
i := u :
for k from 1 to n do
i := a  i + b :
od :
i:
end :

Version Mathematica
f [a, b, u, n] := Block[{i, k} ,
i = u; k = 0;
Do [i = i  a + b, {k, n}] ;
i]

I.B Soit n  N. On a l'équivalence
vn+1 =

un+1 + k =
 aun + b + k =
Ainsi la suite v vérifie la relation de récurrence
k=

avn
a (un + k)
aun + ak
vn+1 = avn si et seulement si

b
a-1

I.C La suite v étant géométrique de raison a, on peut en déduire que
vn = an v0

b
b
n
un +
= a u0 +
a-1
a-1

n  N
si bien que

d'où

n  N

n  N

u n = an u 0 +

(an - 1)
b
a-1

P
I.D On remarque grâce à la question I.C que la série entière S(z) = un z n peut
s'écrire comme la somme de deux séries entières géométriques :

P n n
b
b P n
S(z) = u0 +
a z -
z
a-1
a-1
P n n
P
Si a 6= 0, la série a z a pour rayon de convergence 1/ |a|, et la série z n a
pour rayon de convergence 1.
De plus, la somme de deux séries entières de rayons de convergence R et R , avec
R 6= R , est égal à min(R, R ).
On peut donc distinguer les cas suivants :
· si u0 = b = 0, alors S(z) = 0 et  = + ;
P
1
;
· si b = 0 et u0 6= 0, alors S(z) = u0 an z n et  =
|a|
-b
-b P n
· si b 6= 0 et u0 =
, alors S(z) =
z et  = 1 ;
a-1
a- 1 
-b
1
· si b 6= 0 et u0 6=
, alors  = min 1,
.
a-1
|a|