Centrale Maths 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude et résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires à coefficients constants, prolongement par continuité, fonctions à valeurs complexes, trigonométrie, équivalents de fonctions en +∞

Corrigé

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' _oe n_ %___... ...

OEËN uoeäQ:OE - &OEÈoeO mÈoocoü

Notations et définitions

R2 est muni de la norme H(oe,y)ll : \/æ2 + y2.

On note C (R+, R) l'ensemble des fonctions continues de R+ dans R et L1 
l'ensemble

+oo
des fonctions f E C(R+,R) intégrables sur R+. Si f E L', on pose ||fH1 : / |f|.
()

On note 8 l'ensemble des fonctions f E C(R+,R) bornées sur R+. Si f E B, on

9086 ||fHoo = sup |fl--
R+

Si 07 EUR [1,+oo[, on convient que 0" = 0; ainsi 1% EUR R+ l--> ta est continue.

1
1+t°'

+oo
On pose, lorsque cela a un sens, I(oz) : / dt.
0

Soit (EO) une équation différentielle linéaire homogène du second ordre de la 
forme
zfl+aÿ+by=0 ,

où a et b sont dans C (RÏR) ; a toute fonction h EUR C_(R+, R.), on associe 
l'équation

différentielle (Eh) dont h est le second membre : y" + ay' --I-- by : h.

Par définition, une solution de (Eh) (resp. (E0)) est une fonction de R+ dans R 
de la
variable t de classe 62 vérifiant l'équation (Eh) (resp. EO). On définit les 
propriétés
de stabilité suivantes :

. on dira que (EO) est stable par rapport aux conditions initiales si et
seulement si pour tout 8 EUR lR* , il existe 77 EUR Ri tel que si f est une 
solution de

(E0) vérifiant H(f(0),f'(0))|l < 77, alors f E B et llf||OO < 5.

. on dira que (EO) est stable par rapport au second membre au sens 1 si
et seulement si pour tout 8 EUR Rï, il existe 77 EUR Rï tel que si h E L1 est 
tel
que ||hl|1 < 77 et f est une solution de (Eh) vérifiant (f(0), f'(0)) = (0,0), 
alors
fEURBet Hf||OO <5.

0 on dira que (EO) est stable par rapport au second membre au sens 00
si et seulement si pour tout 8 E là:... il existe 77 EUR Ri tel que si h E B 
est tel que
||hHOO < 77 et f est solution de (Eh) vérifiant (f(0), f'(0)) = (0,0), alors f 
E B
et llf|loe < 6-

Soit oz EUR [1,+oo[ et h EUR C(lR+, R). On note EG,}, l'équation différentielle 
linéaire :

1
Bd : " --
( "" y 1 + ta
Par définition, une solution de (Euh) est une fonction de R+ dans R de la 
variable

t de classe C2 vérifiant (Ea,h).

ÿ+y=h

Pour l'équation homogène associée, notée (E...),

. on dira que (Emo) est stable par rapport au paramètre si et seulement si
pour tout (a, b) E R2 et pour tout 5 E R* , il existe 77 EUR R*+ tel que :
si fi EUR [1,+oo[ vérifie la -- fi| < 77, f est solution de (Emo) et g est 
solu--
tion de (Egg) avec (f(0),f'(0)) = (g(0),g'(0)) = (a,b), alors f ---.g E B et
"f _ glloo < 5-

Objectifs et dépendance des parties

L'objectif du problème est d'étudier le comportement des solutions de (Ea,0) 
vers
+00, ainsi que les différentes notions de stabilité.

La partie I étudie le cas de l'équation << limité à l'infini >> y" + y = h.

La partie II, indépendante de I, étudie le comportement à l'infini des 
solutions de
(EC...) pour a > 1.

La partie III, qui étudie les problèmes de stabilité pour a > 1, utilise des 
résultats
de II.A, II.C et L5.

La partie IV, qui étudie le comportement à l'infini des solutions de (E...), 
utilise
II.B.

La partie V, qui étudie les problèmes de stabilité pour a = 1, utilise les 
parties IV
et II.

Partie I -- Étude de l'équation y" + y = h

Si h EUR C(R+,R), on note (Fh) l'équation différentielle y" + y = h. Par 
définition,
une solution de (F h) est une fonction de classe C2 de R+ dans R vérifiant (Fh).

I.A - Exemples
I.A.1) Donner l'ensemble des solutions de (F0).

l.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour h : t r----> cos (t).

Donner l'ensemble des solutions de (F h) dans ce cas.

LAB) Dans cette question uniquement, on prend pour h la fonction 27r--périodique
sur R+, définie par

__ sin (75) si t E {O,7r]
h (] h(u)sin(t --u)du) est
0

solution de (F h), et en déduire l'ensemble des solutions de (F h).

I.D -- Stabilité par rapport au second membre au sens 1

On donne & EUR L1. '

Déterminer la solution f de (Fh) vérifiant (f(0), f'(0)) : (0,0), montrer que f 
E B,
et ||f|loo < llhll1--

En déduire que (Fo) est stable par rapport au second membre au sens 1.

LE - Instabilité par rapport au second membre au sens oo

Soit 5 EUR Ri.

Résoudre l'équation différentielle y" + y = 6 cos(t), et montrer que ses 
solutions sont
non bornées, et plus précisement, ne sont pas en o(t)_quand t --++oo.

En déduire la non stabilité de (F0) par rapport au second membre au sens oo.

Partie II - Comportement & l'infini des solutions
de (Ea,0) pour 04 > 1

II.A -- Démontrer l'existence de [(a), pour a > 1, et sa continuité par rapport 
a &.

II.B - Relèvement angulaire
On donne g : R+ --> C* de classe Ck, [EUR > 1.

/

II.B.1) Justifier l'existence d'une primitive A de ÿ_) et montrer que ge--
g .

A est

constante.

II.B.2) En écrivant la fonction A sous la forme A = U + iV, où U et V sont des
fonctions à valeurs réelles, justifier qu'existent 7" EUR Ck(R+, Ri) et 9 EUR 
C'" (R+, R) tels
que g : rei9_

II.C -- Comportement à l'infini poura > 1

1
1 + ta°
II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu'existent fr EUR Cl(lR+, Ri) et 6 EUR 
C1(R+,R)
tels que f : rcos(9) et f' : rsin(9).
Exprimer ?" en fonction de f et f' .

Soit & > 1 et f une solution_non nulle de» (Ea,0)- On note q : t EUR R+ i-->

Les fonctions 7" et 9 sont fixées ainsi pour la suite de la partie.

II.C.3

II.C.4) Démontrer que 7' a une limite strictement positive en +00 vérifiant

ärg 7" < 7°(0) exp(I(a)).

Démontrer que f et ]" sont bornées par ||(f(0), f'(0))|| exp(l(a)).
II.C.5) Démontrer que 9(t) +t tend vers une limite réelle quand t --+ +00.
II.C.6) Démontrer qu'existent & EUR Ri et b EUR R tels que f(t) -- acos(t + Z)) 
------> O.

t---->+oo

II.C.2) Démontrer que 6' = --1 + qsin(c9) cos(9). . (1)
)

Démontrer que T' : qr sin2(9). (2)

II.C.7) Tracer l'allure du graphe de f vers +00.

Partie III -- Étude de la stabilité pour a > 1

Dans toute la partie, oz > 1, et (f1,f2) est un système fondamental de 
solutions de

- __ f1 f2-
(Ea=°'e'w-- fi fé

On pensera & utiliser les résultats de II.

est le wronskien associé.

III.A - Stabilité par rapport aux conditions initiales

Démontrer que (Emo) est stable par rapport aux conditions initiales.

III.B - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

III.B.1) Déterminer une équation différentielle linaire vérifiée par 21) et 
montrer
qu'existent @, b réels tels que pour tout t E R+, 0 < a { |w(t)l < b.

III.B.2) Si h E C (RÏR), montrer que les solutions de (EO...) sont les 
fonctions du

h la
type f = --C1 f1 + C2f2, où C1 est une primitive de % et C2 une primitive de 
--£1

III.B.3) Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes portant sur 01 et 
C2
dans la question précédente pour avoir ( f (0), f'(0)) = (O, O) ?

III.B.4) Démontrer l'existence de C EUR R+ telle que : pour tout h EUR L1, la 
solution
f de (EGM) vérifiant (f(0),f'(0)) : (0,0) est dans B, et ||fHOO < C||h||1.

En déduire que (Ea,o) est stable par rapport au second membre au sens 1.

III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens oo
On fixe 5 EUR Rj_.

Soit g une solution de l'équation différentielle y" + y = 6 cos(t).
1

Soit f la solution sur R+ de l'équation différentielle y" -- 1 + ta

telle que (f(0), f'(0)) = (0,0).
Onpose O.

t------>+oo
t
IH.C.2) Démontrer que h(t)t--+--> O implique que] ]hlt Î o(t).
III.C.3) En utilisant la résolution de (EO...) vue en III.B, montrer que ®(t) : 
0(t).

t--++oo

III.C.4) Démontrer que (E...g) n'est pas stable par rapport au second membre au
sens 00.

III.D - Stabilité par rapport au paramètre

On fixe pour la suite de la question (a, I)) E R2.

Soit 5 e]1, +oo[.

Soit f la solution de (Ea,0) vérifiant (f(0), f'(O)) : (a, b) et g la solution 
de (Egg)
vérifiant (g(0),g'(0)) : (a, b).

Onposel, on pose J(À)=/ 1 dt et K(À)=/ dt.
0 1

Comme pour I, les fonctions ] et-- K sont bien définies et continues sur ]1, 
+oo[ (on
ne demande pas de le montrer).

III.D.1) Démontrer que (I) est une solution de l'équation difi°érentielle 
(Ea,h) avec

h:t1-->( 1 -- 1 )g'(t) .

1+tû 1+t5

III.D.2) Démontrer que il E L1 et
llhlll < H (1J -- J(fl)l + |K -- Kw»).

III.D.3) Démontrer que (Emo) est stable par rapport au paramètre.

Partie IV - Étude du comportement vers +00
pour a = 1 '

f est une solution non nulle de (E...).
f @)
vt 1
3

IV.A - Établir que pour tout t > O, g"(t) + (1 --- W) g(t) : O.

OnposegztEURR+l--+

IV.B - Démontrer qu'existent p EUR C1(R+,Rï) et fi EUR C1(R+,R) telles que
9 = pCOS(Û) et 9' = psin(fi>-

IV.C - Déterminer une équation différentielle vérifiée par fi et montrer que 5 
(t) +t
tend vers une limite réelle lorsque t ----> +00.

IV.B - Déterminer une équation différentielle vérifiée par p, et démontrer que p
tend vers une limite réelle a > 0 en +oo.

IV.E -- Démontrer qu'il existe un réel b tel que f(t) -- a tcos(t + 17) t î 
0(\/Ï), où

a est le réel défini ci--dessus.

IV.F -- Tracer l'allure du graphe de f vers +oo.

Partie V - Étude de la stabilité pour a = 1

V.A - Démontrer que (ELO) n'est stable ni par rapport aux conditions initiales 
ni
par rapport au paramètre.

1
V.B - Si A E R, et f,\ : t r----> Àt sin(t), calculer "(t) -- '

Qu'en déduire concernant la stabilité de (E...) par rapport au second membre au
sens oo ?

oooFINooo

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Centrale Maths 1 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Denis Ravaille (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Tristan
Poullaouec (Professeur agrégé) et Vincent Perrier (ENS Cachan).

Ce sujet est composé de cinq parties de tailles très différentes. L'objectif 
est d'y
étudier l'équation différentielle
1
y  -
y + y = h
(E,h )
1 + t
où h est une fonction de R+ dans R et  un réel supérieur à 1. On s'intéresse 
notamment au comportement à l'infini des solutions ainsi qu'à diverses notions 
de stabilité
de (E,h ).
· Plus précisément, dans la première partie, on étudie l'équation différentielle
y  + y = h
et on fait appel aux techniques classiques de résolution d'équations 
différentielles linéaires d'ordre 2. Les résultats qui y sont établis ne sont 
pas réutilisés
dans le reste du sujet, à l'exception de ceux de la question V.B.
· Dans la deuxième partie, on étudie le comportement à l'infini des solutions
de (E,0 ) pour  > 1. La démarche qui est adoptée est au coeur du sujet : à 
l'aide
d'un relèvement angulaire et de calculs d'intégrales, elle permet d'obtenir un
équivalent en l'infini des solutions de (E,0 ).
· La troisième partie s'appuie sur les résultats établis dans la deuxième pour
déterminer la stabilité ou l'instabilité de cette équation différentielle selon 
différentes définitions données dans l'énoncé. De manière générale, une équation
est dite stable quand on peut contrôler la norme (L 1 ou infinie) de ses 
solutions lorsque certains de ses paramètres (conditions initiales, second 
membre
ou coefficients) varient. On s'appuie particulièrement sur la manipulation du
wronskien d'un système fondamental de solutions d'une équation différentielle
linéaire du second ordre.
· Dans la quatrième partie, on étudie le comportement à l'infini des solutions
de l'équation différentielle (E1,0 ). On y utilise les résultats sur le 
relèvement
angulaire établis dans la deuxième partie et on suit une démarche relativement
similaire.
· Enfin, dans la dernière partie, très courte, on étudie les diverses notions de
stabilité définies dans ce sujet dans le cas particulier de l'équation 
différentielle (E1,0 ). On s'appuie, pour ce faire, sur les résultats établis 
dans la deuxième
et la quatrième partie concernant le comportement à l'infini des équations 
différentielles (E,0 ) et (E1,0 ).
Ce sujet est relativement long et un peu calculatoire. Il peut cependant 
s'avérer
un bon entraînement pour revoir tout ce qui concerne les équations 
différentielles
linéaires. Par ailleurs, il est fréquent que les rédacteurs d'un sujet y 
utilisent des
notations ou y définissent des notions qui sont spécifiques au thème abordé. 
C'est le
cas de ce sujet et il peut donc permettre de s'entraîner à « entrer » dans les 
définitions
et les notations propres à une thématique particulière.

Indications
Partie I
I.A.1 Résoudre l'équation caractéristique associée à (F0 ).
I.A.2 Chercher une solution particulière sous la forme y0 (t) = a(t) sin t avec 
a
polynôme de degré 1.
I.A.3 Commencer par montrer que les solutions de y  + y = 0 et de y  + y = sin t
sont respectivement de la forme
f : t 7 A cos t + B sin t

et

g : t 7 A cos t + B sin t - (t cos t)/2

Chercher ensuite des solutions sous la forme

t
 t  [ 2k ; (2k + 1) ]
y(t) = a2k cos t + b2k sin t - cos t
2

t  [ (2k + 1) ; (2k + 2) ] y(t) = a2k+1 cos t + b2k+1 sin t

et trouver des relations sur les ak et les bk pour que la fonction y soit de
classe C 1 en k, où k est un entier, en distinguant les cas où k est pair ou
impair.
I.B Écrire le complexe z = a + ib sous forme trigonométrique.
I.C Décomposer le sinus de manière à obtenir une expression de f0 ne faisant
plus intervenir d'intégrale à paramètre.
I.D Utiliser la question précédente.
I.E Se ramener à une équation du type y  + y = cos t et utiliser le résultat de 
la
question I.A.2. Étudier alors la quantité g(t)/t.

Partie II
II.B.1 Montrer que g  /g est continue. Dériver ensuite ge-A .
II.B.2 Écrire la constante complexe sous forme exponentielle.
II.C.1 Considérer F = f + if  . Montrer par l'absurde que F ne s'annule pas. 
Utiliser
ensuite le résultat de la question II.B.2.
II.C.2 En dérivant l'expression de f obtenue à la question II.C.1, déterminer 
deux
expressions différentes pour f  . Faire de même pour f  . Les combiner ensuite
de manière à éliminer r .
II.C.3 Utiliser les mêmes expressions qu'à la question II.C.2.
II.C.4 Montrer que r est croissante, puis majorée.
II.C.5 Intégrer l'équation (1). Montrer que l'intégrale obtenue est convergente.
II.C.6 Utiliser l'expression de f trouvée dans la question II.C.1, puis les 
résultats
de convergence établis aux questions II.C.4 et II.C.5.

Partie III
III.A Utiliser la question II.C.4 pour majorer la norme infinie de f .
III.B.1 Dériver w. Déduire de l'équation différentielle trouvée l'expression de 
w.
Borner l'intégrale qui intervient dans cette expression.
III.B.2 Utiliser la méthode de variation de la constante.
III.B.4 Utiliser les deux questions précédentes pour obtenir une forme 
intégrale de
la fonction f , puis utiliser la question II.C.4 pour justifier la majoration 
des
fonctions f1 et f2 .
III.C.1 Faire apparaître g  dans l'expression de  . Utiliser ensuite la 
question I.E
pour obtenir l'expression de g  .
III.C.2 Couper l'intégrale en deux, sur des intervalles bien choisis.
III.C.3 Utiliser le raisonnement de la question III.B.4 pour retrouver
Z t
|(t)| 6 C
|h(u)| du
0

III.C.4 Raisonner par l'absurde en utilisant les questions I.E et III.C.3.
III.D.2 Utiliser la question II.C.4 pour majorer g  . Scinder l'intégrale sur [ 
0 ; t ] en
deux intégrales sur [ 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; t ].
III.D.3 Utiliser la question III.B.4 et la continuité des fonctions I, J et K.

Partie IV
IV.B Poser G = g + ig  et utiliser le résultat de la question II.B.2.
IV.C Procéder comme aux questions II.C.2 et II.C.4.
IV.D Procéder comme aux questions II.C.3 et II.C.5.
IV.E Procéder comme à la question II.C.6.

Partie V
V.A Utiliser la question IV.E pour trouver un contre-exemple.
V.B Déterminer h telle que f soit la solution de (E1,h ) de conditions 
initiales (0, 0). Utiliser alors le fait que f n'est pas bornée sur R+ .

I. Étude de l'équation y  + y = h
I.A.1 Cherchons les solutions de l'équation différentielle linéaire du second 
ordre
homogène et à coefficients constants réels
y  + y = 0

(F0 )

Il est important de savoir résoudre une équation différentielle linéaire du
second ordre homogène et à coefficients constants réels. À toute équation du
type ay  + by  + cy = 0, on associe l'équation caractéristique ar2 + br + c = 0.
· Si cette équation possède deux racines réelles distinctes  et , alors
les solutions de l'équation différentielle sont les combinaisons linéaires
réelles des fonctions t 7 et et t 7 et .
· Si elle ne possède qu'une racine réelle double , les solutions de l'équation 
différentielle sont les combinaisons linéaires réelles de t 7 et et
t 7 tet .
· Enfin, si l'équation admet deux racines complexes conjuguées  = a+ib
et , de parties réelle a et imaginaire b, alors les solutions de l'équation
différentielle sont les combinaisons linéaires réelles des parties réelles et
imaginaires de la fonction t 7 et , à savoir des fonctions t 7 eat cos bt
et t 7 eat sin bt.
L'équation différentielle a ici pour équation caractéristique r2 +1 = 0, dont 
les racines
sont i et -i. Une solution générale de (F0 ) est donc une combinaison linéaire 
réelle des
fonctions t 7 cos t et t 7 sin t. Autrement dit, l'ensemble des solutions de 
(F0 ) est
{t 7 a cos t + b sin t, a  R, b  R}
I.A.2 Les solutions de l'équation différentielle du second ordre linéaire à 
coefficients
constants
y  + y = h

(Fh )

sont la somme d'une solution particulière de cette équation et des solutions 
générales
de l'équation différentielle homogène, qui n'est autre ici que (F0 ).
Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants non homogène revient toujours à trouver une solution particulière,
puis à additionner celle-ci aux solutions générales de l'équation homogène
associée.
Tout l'enjeu revient donc à trouver une solution particulière. Pour ce
faire, il existe plusieurs méthodes. La plus générale est la méthode dite
de variation de la constante. Elle ne s'applique qu'aux systèmes linéaires
d'ordre 1, du type
Y = AY + H
où Y, H sont des applications de R dans Rn et A une matrice (dont les
coefficients peuvent éventuellement dépendre de t). Il est toujours possible
de se ramener à un tel système.