Centrale Maths 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude d'une famille d'intégrales
Principaux outils utilisés calcul intégral, fonctions définies par une intégrale, trigonométrie, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MA THÉMA TIQUES / Filière PSI

MATHÉMATIQUES |

Objet du problème :

Il s'agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales In définies dans la
partie II.

Notations : Cp : (") = n_!
n p pl(n--p)!

Partie I -

I.A - Soit f une application de classe C1 sur [a,b] et à valeurs dans IR. 
Montrer
que : lim ff(t)sinxt dt : 0 .
x --> +00 a

715

I.B - On note Jn : _|Î Sl?nîtdt , pour n & IN.

I.B.1) Justifier l'existence de J n .
I.B.2) Calculer J0, J1 , J2 , J3.

I.B.3) Exprimer J n -- J n_2 en fonction de n et en déduire une expression de
J " en fonction de n .

I.B.4) Montrer que: lim ( Jn'Jn--1) : 0 , et en déduire: lim Jn : 7--t.

n-->+oo n-->+oo

t\)

+00 n
, - , , » w - , . _ (--1)
I.B.5) Dedu1re des resultats precedents legahte . 7t _ 4 E M + 1 .

I.C - " : °
I.C.1) Soit a un réel strictement positif. Justifier l'existence de l'intégrale

r ... dt .
() smt

Concours Centrale-Supélec 2000 1/4

MA THÉMA TIQUES ! Filière PSI

Filiè ere PSI

1.0.2) Soit a e ]0, n [ . Prouver que l'application f telle que

f(x) _ g--C--OE pour x$O et f(0)-- _ 0 est de classe C sur [O, a].

sinx -- x
2

On pourra écrire : f(x) = , pour x E ]O,a ] .

sinx

x
I.C.3) Déterminer

lim U: Sinntdt--JZ Sin""dt) lorsque a e ]0, n[ .

n_)+ t Slnt

I.C.4) En déduire la valeur de

sinnt T_t % . 7t
lim _|at dt lorsque a -- ,puis a <-- ,pu1s a > --.
n _) +oo 2 2 2

. . , , , ,. , '... sin
I. D- En ut1hsant les resultats precedents et l 1ntegrale _[0 T tdt ,montrer que

la fonction F: X |-->JÎÊ S--'----nt dt admet'E -- 2pour limite lorsque x tend 
vers en +oo.

On posera 11=J0 ? dt : 5
1
I. E- En utilisant J(n+ )" 5--1"

t dt, montrer que l'application

[t 1--> SiTnt] n'est pas intégrable sur ]0, +oo[ .

Partie II -

II.A - Montrer que pour tout n 2 2 , l'application

sint "

[t 1--> (T) } est intégrable sur ]0, +oo[ . On pose :

sint
In =_[0 °°( t --)n dt.

Concours Centrale-Supélec 2000 2/4

MATHÉMATIQUES / Filière PSI

II.B - Montrer que : I1 : 12 (11 a été définie en 1D).
II.C - Montrer: lim In : O.

n --+ +oo
II.D - Montrer que : In > O pour n 21 . (On pourra utiliser une partition judi-

cieuse de l'intervalle d'intégration).

Partie III -

Pour n e ]N et k 6 {O, n -- 1} , on considère les applications
gn : ]O,+oo[-->IR définie par gn(t) = (sint)"
l

et hn k : ]O,+oo[--a IR définie par hn k = " kgfÏ'(t),
, , t _

où gge) désigne la dérivée d'ordre k de gn.

III.A - Montrer que pour tout k 6 {O, n -- 2} , hn, ,, est intégrable sur ]0, 
+oo[ .

III.B - Montrer que pour n 2 2 et k 6 {O, n -- 2} , la valeur de l'expression

(n --k --1)!J;oehn'k(t)dt ne dépend pas de k .

X
III.C - Pour n 2 2 , prouver que la fonction G : X |----> lo hn' k(t) dt admet 
en +oo une
limite finie, notée jÎhn, k(t)dt , et que, pour tout k & {O, ..., n -- 1} :

+°°h tdt k 1v'°°h (t)dt
_[0 n,n--1() _ (n"-- _ )"'O n,k '

_ , - . _ 1 +°°1
III.D En dedu1re, pour n 22 . In _ (n_1)!_[0 tgn (t)dt.
III.E -
III.E.1) Établir pour tout p & IN* et tout t & IR les résultats suivants :

p
4p(sint)2p = CÊP +2 2 (--1)kCËI)--kcos(2kt) (1)
k = 1
2 1 p le k
4p(sint) '" = 2 (-1) CËP--+lsin(2k+ 1)t (2)
k = 0

III.E.2) En déduire, en distinguant les cas n = 2 p et n = 2 p + 1 , une expres-
sion de I n du type qnn où qn est une somme de nombres rationnels (on pourra
faire intervenir I1 dans les calculs).

Concours Centrale-Supélec 2000 3/4

MATHÉMATIQUES / Filière PSI

Retrouver la valeur de 12 , puis calculer I 3 et I 4 .

Partie IV -

IV.A - Montrer, pour tout n e ]N* et tout x réel positif l'existence de 
l'intégrale :
A (x) = f°° _(Sintx)n dt
" 0 t"(1 + 152)

NB - Montrer que l'application [x l-----> A,,(x)] est de classe C2 sur IR+, et 
qu'elle
vérifie, pour tout n 2 2 , l'équation différentielle :

(En) :y"--n2y : n(n--1)An_z(x)--n2xn--II

IV.C-

IV.C.1) Résoudre l'équation (E2)-

IV.C.2) En déduire une expression de A2 à l'aide de 12 (on considérera les
valeurs de A2(O) et A'2(O)).

IV.C.8) Montrer que A2(x) : O(x2) quand x tend vers +oo et retrouver ainsi la
valeur de 12 .

IV.D - Exprimer A'1 à l'aide de A"2 et en déduire une expression de A1 .

IV.E - En procédant de manière analogue à IV.C, obtenir A3 et I3 .

IV.F - Montrer que, pour tout n 6 IN* , A,, peut se mettre sous la forme :
A,,(x) = e"'"Q, +R,,
			

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Centrale Maths 1 PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Brice
Goglin (ENS Lyon) et Pascal Delanoe (Mines Paris).

Ce problème assez calculatoire a pour but de trouver, par deux méthodes 
différentes, la valeur des intégrales :
n
Z + 
sin t
In =
dt
t
0

La première partie est consacrée au calcul de I1 et la deuxième traite de 
généralités sur la suite (In )nN . Dans la troisième partie, on calcule In en 
utilisant n - 1
intégrations par parties sucessives, combinées avec un résultat de 
linéarisation de
sinn t.
Enfin, dans la quatrième partie, on introduit les fonctions :

n
Z +
sin xt
1
An : x 7
dt
1 + t2
t
0

On montre que ces fonctions vérifient des équations différentielles faisant 
intervenir les
In , et qui, en se résolvant de proche en proche, permettent de calculer 
explicitement
les fonctions An , ainsi que les In .

Indications

I.A Intégrer par parties.
I.B.3 Utiliser la formule de trigonométrie donnant sin - sin, et utiliser la 
question
I.A.
I.C.2 Développer le numérateur et le dénominateur en série entière pour montrer
que les deux fonctions sont de classe C  .
I.C.3 Justifier l'existence des limites utilisées.
I.C.4 Utiliser la relation de Chasles et la question I.A.
II.B Intégrer par parties sur un segment.
II.C Découper l'intégrale en trois morceaux : de 0 à , de  à 1 et de 1 à + en
majorant la fonction à intégrer de façon optimale à chaque fois.
II.D Utiliser le critère de Leibniz.
III.E.1 Raisonner par récurrence pour la première égalité, en utilisant la 
formule de
Pascal : puis en déduire la deuxième en multipliant par sin t.
III.E.2 Dériver les formules précédentes n - 1 fois par la formule de Leibniz.
IV.B Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale dépendant d'un 
paramètre.
IV.C.1 Chercher une solution particulière ayant la même forme que le second 
membre.
IV.E Procéder comme à la question IV.C.1 .
IV.F Raisonner par récurrence (après avoir corrigé l'énoncé). À chaque étape de 
la
récurrence, raisonner comme dans les questions précédentes.

Partie I

I.A Par intégration par parties, on a pour x > 0 :
Z

a

b

b
Z
f (t) cos xt
1 b 
+
f (t) cos xt dt
f (t) sin xt dt = -
x
x a
a

et donc

Z

b

f (t) sin xt dt

6

a

6

1
f (a) cos ax - f (b) cos xb +
x
1
x

Z

b

a

f  (t) cos xt dt
!

2 sup |f (t)| + (b - a) sup |f  (t)| .
t[ a ;b ]

t[ a ;b ]

En effet, f étant de classe C 1 , f et f  sont continues et donc bien bornées 
sur tout
segment (second théorème de Heine).
1
La majoration précédente nous donne bien, comme lim
=0:
x+ x
lim

x+

Z

b

f (t) sin xt dt = 0

a

Il s'agit d'un cas particulier du lemme de Lebesgue. En effet ce résultat
s'étend à toute fonction intégrable sur [ a ; b ].
Il est évident lorsque f est constante, et donc lorsque f est une fonction
en escalier. Or une fonction intégrable sur [ a ; b ] au sens de Riemann est
limite uniforme d'une suite de fonctions en escaliers (fn )nN .
Si  > 0, on a donc n0  N tel que n > n0 = kf - fn k 6 . Mais
alors, pour n fixé plus grand que n0 , on a :
Z b
Z b
Z b
f (t) sin xt dt 6
fn (t) sin xt dt +
|f (t) - fn (t)| dt
a

Et pour x tel que

a

Z

a

b

fn (t) sin xt dt 6 , on obtient :

a

Z

b

f (t) sin xt dt 6 (1 + b - a)

a

et l'on a bien

lim

x+

Z

b

f (t) sin xt dt = 0

a

I.B.1 En utilisant les équivalents de la fonction sinus, on a lorsque t  0 :
sin nt  nt

et

sin t  t

sin nt
=n
sin t
i i
sin nt
est continue sur 0 ;
et se prolonge donc en une fonction
La fonction t 7
2
h  i sin t
, sur lequel elle est intégrable.
continue sur 0 ;
2

donc

lim

t0

.
2

I.B.2 On a immédiatement J0 = 0 et J1 =

Et comme sin 2t = 2 cos t sin t, on obtient :
Z 2
J2 =
2 cos t dt = 2
0

De même, on a sin 3t = sin t cos 2t + cos t sin 2t = sin t(cos 2t + 2 cos2 t), 
et donc :
Z 2
cos 2t + 2 cos2 t dt
J3 =
0

- u, on remarque que :
2

Or, par le changement de variable affine t =

2

Z

cos2 t dt =

0

2

2

Z

sin2 t dt

0

2

et comme cos t + sin t = 1,
Z

2

cos2 t dt =

0

d'où

J3 =

1
2

1
sin 2t
2

2

Z

0

 2

+

0

dt =

4

=
2
2

I.B.3 Rappelons la formule de trigonométrie :
sin p - sin q = 2 cos

p+q
p-q
sin
2
2

(Pour la retrouver, partir par exemple des formules donnant sin(a + b) et sin(a 
- b),
les retrancher et faire le changement de variables p = a + b et q = a - b, ou 
encore
utiliser l'exponentielle complexe.)
On obtient alors :

n+n-2
n-n+2
Z 2 cos
t sin
t
2
2
Jn - Jn-2 =
2
dt
sin t
0
Z 2
=
2 cos((n - 1)t) dt
0

Jn - Jn-2

 2
2
=
sin((n - 1)t) ,
n-1
0