CCP Maths 2 PSI 2013

Thème de l'épreuve Étude des matrices de Hilbert
Principaux outils utilisés normes, valeurs propres, intégrales, déterminants
Mots clefs normes, déterminant, matrices de Hilbert

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 PSIM206

__;=_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :
Pour ce problème, on désigne par :
-- n un entier naturel non nul;
-- Mn (IR) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
Pour toute matrice A E Mn (IR) , on note :
-- 'A la matrice transposée de A ;
-- det (A) le déterminant de A ;
-- sp (A) l'ensemble des valeurs propres de A.

On note Sn (IR) : {A E Mn (IR) \ IA : A} le sous-espace vectoriel de Mn (IR) 
formé des
matrices symétriques.

-- Un vecteur de IR" est noté :
331

332
33 : (OEk)lîkîn :

33n

-- Une matrice A de Mn (IR) est notée :

A : ((aj,k))1gj,kgn

où aj,lç est le coefficient de A situé en ligne j et colonne lc.

1/8

-- L'espace vectoriel IR" est muni du produit scalaire canonique défini par :
V(OE,y) EUR IR" >< R'". ("L' I 9) = 'ai-y = Zækyk
k=1

et a: v--> Ha:H : \ / (a: \ a:) est la norme euclidienne associée.

-- La sphère unité de IR" est :
Qn={æeïæn \ HæH = 1}.

A toute matrice A E M,, (IR) , on associe la fonction q A : IR" --> IR définie 
par :
Va: EUR IR", qA(a:) : (Aa: \ 33).

Objectifs :
Dans la partie I, on étudie q A pour A E M,, (IR) , puis pour A E S,, (IR) et 
l'on définit une norme sur

S,, (IR) . La suite du problème est consacrée à une étude des matrices de 
Hilbert définies par :

1

H,, = ((aj,k))1gj,kîn' Où aj>k : j+k----l

On étudie en particulier quelques propriétés du déterminant, des valeurs 
propres et de l'intervalle

[min sp (H,,) , max sp (H,,)] lorsque n tend vers +oo.

Partie I

Une norme sur S,, (IR)

1.1 Soit A E M,. (n) .

1.1.1 Enoncer les propriétés de la sphère unité Q,, ainsi que celles de la 
fonction q A qui
permettent d'affirmer que q A est bornée sur Q,, et qu'elle atteint ses bornes.

On note mA : min (qA (Q,,)) et MA : max (qA (Q,,)) .

1.1.2 Démontrer que IR () sp (A) C [mA, MA] .

2 --1
1.1.3 Expliciter sp (A) , nm et MA lorsque A = 0 2 ) .

On pourra remarquer que 122 : {(cos (9) ,sin (H)) \ 9 EUR IR} .
1.2 Soit A E M,, (IR) . On suppose que qA (a:) = 0 pour tout a: E Q,,.

1.2.1 Montrer que q A (y) = 0 pour tout y EUR IR".

2/8

1.2.2 Si (y, 71) EUR IR" >< IR", exprimer q A (y + 71) (qui est nul d'après 
1.2.1.) en fonction de
 (A = (O) (matrice nulle))

1.4 Montrer que l'application N : S,, (IR) --> IR+ définie par :

VA EUR 5n(R)a N(A) = sup IqA(OE)I

oeEURQn

681 11116 11011116.

1.5 Bornes de q A sur Q,,

On rappelle le théorème spectral : étant donnée une matrice A E Sn (IR) , si on 
désigne par
u l'endomorphisme de IR" dont la matrice dans la base canonique de IR" est A, 
alors u étant
symétrique réel, il se diagonalise dans une base orthonormée, c'est-à-dire : il 
existe n nombres

réels Al 5 AZ 5 - - - 5 À;, 5 - - - 5 )... et une base orthonormée (6k)1îkîn de 
IR" tels que :
u (fig) : AEURk : Àk6k pour tout [EUR EUR {1,2, ' ' ' ,?"L} .

On considère A E S,, (IR) et on conserve les notations de ce théorème dans les 
questions 1.5.
1.5.1 Préciser qA (e;,) pour tout k E {l, 2, - -- ,n} .

'ÏL 'ÏL
1.5.2 Soit 33 : 23326], EUR Q,,. Justifier les égalités Ha:H2 : z (33%)2 = 1, 
puis exprimer
k=1 k=1
q A (a:) en fonction des valeurs propres À;, de A et des composantes az:ÿ_EUR 
de 33.

1.5.3 Retrouver le résultat obtenu en 1.1.1 : la fonction q A possède un 
minimum m A et un
maximum M A sur la sphère unité Q...

Expliciter m A et M A en fonction des valeurs propres de A.

1.5.4 Montrer que N (A) = sup \qA (a:)\ : Àma(>Â) ... . Etablir une inégalité 
entre Idet (A)I
æEURQn Esp
et (N (A))".

3/8

1.5.5 Exemple :

1 1
Si A = 2 , calculer det (A) et N (A) .

1

2

OJIr--t

Dans toute la suite du problème, pour tout entier n 2 2, on désigne par H n la 
matrice

de Hilbert d'ordre n définie par :

1 1
1 _ _

{ 2 n \
1 1 1
"7 + k _ 1 1533135" : -. : :
1 1 1

\ n n + 1 271 -- 1
1
ou encore Hn : ((ajvk))lîj,kîn avec aj,k : j+k----1'

Pour simplifier, on notera qn la fonction an : R" |--> R :

Va: EUR R", % (ff) = % (ff) = = ;(;j++1) ; --

...7 1 1Sj,kîn

(; ) (È )

où 75 est une variable réelle.

II.1.2 Développer :

4/8

II.1.3 Montrer que :
1 n 2
qn(a:) :] (Z oektkl) dt.
0 k=1

Va: E R", qn(a:) Z ()

II.1.4 Montrer que :

et que qn (a:) = () équivaut à a: = 0.

Que peut-on en déduire concernant les valeurs propres de H " '?

11.2 Une majoration de qn (a:)

II.2.1 Soit P (t) : Zaktk un polynôme à coefficients complexes. Montrer que :
k=0
1 77 _ .
/ P (75) dt : --fé/ P (ele) ezed9
--1 0

1 71" . .

(on pourra expliciter / tkdt et --i/ eZkeewd6).
--1 0

II.2.2 En gardant les notations introduites en 11.1 et en notant :

n
Q (t) = Zæktk--1
l--c=l
montrer que, pour tout a: E R'", on a :

O£qn(æ)--/01Q2(t)dtg/Oî 2d9

n
Ê :OEkez(k--l)9
k=l

l'inégalité étant stricte pour a: # 0 (on pourra utiliser les résultats obtenus 
en 11.1 et II.2.1).

II.2.3 Montrer que :
Va: E R", 0 £ qn (a:) S 7T Ha:H2

l'inégalité étant stricte pour a: # 0.

11.3 Application à sp (Hn)

Pour tout entier n 2 2, on note :

,un : min (sp (Hn)) et pn : max (sp (Hn)) .

5/8

II.3.1 Expliciter ,u2 et pg. Montrer que pour tout n 2 2, on a :

O +oo.
Partie III

Limite de (N (Hn))n22 grâce à une intégrale double
Dans cette partie, on utilise la relation :

1
W > O, arctan (t) + arctan (EUR) = %

et on suppose n 2 2.

111.1 Deux intégrales doubles

Pour tout entier n 2 2, on note :

n1x un] r --11N {LÆ

da:dy dudu
In _ et Jn : .
Dn\/æy (a:+y--1) Fnu2+v2

III.1.1 En utilisant le changement de variable (a:, y) : (cf, 19), montrer que :

In 2 4j".

III.1.2 On note :
\/5 fi 1
Kn =/ Mdr}: et Ln =/ -- arctan<
1 1

33 33

) dæ.

ä|ë@

Montrer que Jn : Kn -- Ln.

6/8

III.2 Un équivalent de J ,,

III.2.1 En majorant arctan (t) , montrer que :

O--l--oo

111.2.3 En déduire que J,, ... Î1n (n).

n-->--l--oo

III.3 Limite de N (H,,). On utilise les notations et les résultats de la partie 
II.

On note & l'élément de R" :

âIH ...

ä|...

III.3.1 Montrer que HaH2 S 1 + ln (n) .
III.3.2 Montrer que 4Jn £ q,, (a) .

III.3.3 En déduire la limite de N (H,,) lorsque n --> +oo.

Partie IV

Sur le déterminant de H ,,

H ,, désigne toujours la matrice de Hilbert d'ordre n, pour n 2 2.

IV.1 Une fraction rationnelle

H (à? -- 16)
On considère la fraction rationnelle R,, (a:) : 'Î1 .

H (a: + k)

k=0
On admettra qu'il existe des réels )...)... À..., - - - , A,... tels que :

n Àk,n
VOEER\{Oa_17"' a_n}a Rn(æ) =Z (OE--l--IÇ)
k=0

cette décomposition (en éléments simples) de R,, étant unique.
a l'aide de (Zn)! et de n!

Exprimer le coefficient A,... de
33

7/8

IV.2 Matrice An

Pour n 2 2, on cons1dere la matr1ce An defin1e par An : ((aj'k))1îj,kîn avec :

pourlîkîn--l, 1£jîn

ajk : j+ k -- 1
Rn_1(j) POurk=n, 1 E.? Sn
n--1
(a: -- 16)
ou Rn_1(æ) _ ÎÎÎ .
(a: + k)
k=0

IV.2.1 Montrer que, pour tout z' compris entre 1 et n, on a :

Rn_1(î) : Z Àj--1,n--1hi,ja
j=1

2 -- 1
puis en déduire que det (An) : ( (n 1 )) det (Hn) .
n _
d t Hn_
IV.2.2 Montrer que det (An) : e ( 2 (n1)-- 1) .
(Zn -- 1) ( n _ 1 )

En déduire l'expression de det (Hn) en fonction de det (Hn_1) .

1
IV.2.3 Montrer, pour tout n 2 2, que det (Hn) # 0, puis que _ E N*.

det (Hn)

IV.3 Calcul de det (H n)

n
En notant, pour tout n E N*, <1>n : Hk! montrer que :
k=1

Vn Z 2, det (Hn) :

Fin de l'énoncé

8/8

IMPRIMERIE NATIONALE -- 131170 -- D'aprèsdocumentsfournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Florian
Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l'étude des classiques matrices de Hilbert définies par

1
n > 2
Hn =
j + k - 1 16j,k6n
· La première partie mélange topologie, algèbre linéaire et bilinéaire pour 
établir
des résultats généraux qui seront utiles dans la suite du problème. On y 
introduit une norme sur Sn (R) définie par
A  Sn (R)

N(A) = Sup |hAx | xi|
xn

où n désigne la sphère unité de R pour la norme euclidienne associée à h | i.
n

· La deuxième partie introduit les matrices Hn de Hilbert, étudie leurs valeurs
propres et affine les résultats de la première partie. On démontre en 
particulier
que la plus petite valeur propre de Hn tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
· La troisième partie fait appel au calcul intégral pour obtenir la limite de la
norme (introduite à la première partie) des matrices de Hilbert quand la taille
des matrices tend vers l'infini.
· Enfin, la quatrième partie a pour but de montrer que, pour tout entier n > 2,
le déterminant de la matrice Hn vaut
n-1 4
Q
k!
det Hn = k=1
2n-1
Q
k!
k=1

Cette partie peut être résolue indépendamment des autres.

Ce sujet permettait de tester les candidats sur un grand nombre de parties du
programme : topologie, algèbre linéaire et bilinéaire, fractions rationnelles, 
séries numériques, intégrales doubles, intégrabilité et séries de Fourier. On 
ne peut donc l'aborder qu'en fin d'année, mais c'est alors un bon moyen de 
réviser tout le programme,
d'autant qu'on peut le résoudre entièrement dans le temps imparti.

Indications
Partie I
I.1.1 Penser à utiliser le fait qu'une application continue sur un compact est 
bornée
et atteint ses bornes.
x
est de norme 1.
I.1.2 Si x est un vecteur non nul,
kxk
I.1.3 Utiliser la formule sin (2) = 2 sin  cos  valable pour tout   R.
I.2.2 L'application (x, y) 7 hAx | yi est bilinéaire.
I.3 Une matrice de Mn (R) à la fois symétrique et antisymétrique est nulle.
I.4 La question I.3 permet d'obtenir la propriété de séparation.
I.5.1 Ne pas oublier que hek | ek i = 1.
I.5.2 (ek )16k6n est une base orthonormée de vecteurs propres pour la matrice A.
I.5.3 Se référer à la question I.5.1.
I.5.4 Le théorème spectral permet d'obtenir l'inégalité.
I.5.5 La matrice A est symétrique.
Partie II
II.1.3 Que vaut

Z

1

tj+k-2 dt ?

0

II.1.4 Si f  C 0 ([0, 1] , R+ ), en particulier

Z

1

f > 0.

0

Z

1

Q2 (t)dt 6

Z

1

Q2 (t)dt permet d'utiliser la question précédente.

II.2.3 Appliquer l'identité de Parseval au polynôme trigonométrique  7 Q e i  .
II.2.2 L'inégalité

0

-1

Partie III

III.1.2 Se servir de la relation donnée par l'énoncé et utiliser le théorème de 
Fubini.
III.2.1 Établir Arctan t 6 t pour tout t  R+ grâce à la concavité de Arctan |R+ 
.
III.3.1 Comparaison série-intégrale.
III.3.2 Découper l'intégrale In sur des carrés de côté 1 à sommets entiers en 
se servant
du théorème de Fubini et se servir du résultat de la question III.1.1.
III.3.3 Penser à la question II.2.3.
Partie IV
IV.2.1 Soustraire à la dernière colonne de An une combinaison judicieuse des n 
- 1
premières colonnes.
IV.2.2 Développer le déterminant de An par rapport à la dernière colonne.
IV.3 Montrer que les deux suites vérifient la même relation de récurrence.

I. Une norme sur Sn (R)
I.1.1 La sphère unité n(est fermée comme image réciproque du fermé {0} par
Rn - R
l'application continue N :
et bornée car tous ses éléments sont
x 7- kxk - 1
de norme 1. L'espace Rn est un R-espace vectoriel normé de dimension finie et 
les
compacts sont les ensembles fermés bornés en dimension finie. Ceci nous permet
d'affirmer que
La sphère unité n est une partie compacte de Rn .
Si on note x = (x1 , x2 , . . . , xn )  Rn , alors la fonction qA est une 
fonction polynomiale en les coefficients (xi )16i6n donc continue. On en déduit 
que
La fonction continue qA sur le compact n est bornée et atteint ses bornes.
I.1.2 Soit   R  sp (A). Comme  est une valeur propre de A, il existe ainsi
un vecteur x  Rn non nul tel que Ax = x. Puisque x est un vecteur non nul,
le vecteur y = x/kxk appartient à n et il vérifie Ay = y. Calculons maintenant
qA (y) = h Ay | yi = h y | yi =  kyk2 = 

(y  n )

D'après la question I.1.1,   [ mA ; MA ]. Ceci étant vrai pour tout   R  sp (A),
L'inclusion R  sp (A)  [ mA ; MA ] est vérifiée.
I.1.3 La matrice A est triangulaire supérieure, ses valeurs propres se lisent 
sur sa
diagonale. On obtient que
sp (A) = {2}
Rappelons que 2 = {(x, y)  R2 |x2 + y 2 = 1} correspond au cercle unité du plan
euclidien. Ce dernier peut être paramétré en complexe par les points {e i  |   
R} ou
de manière équivalente par {(cos , sin ) |   R}. Utilisons ce dernier 
paramétrage.
Soit   R, on a

cos 
cos 
cos 
qA
= A
sin 
sin 
sin 

2 cos  - sin 
cos 
=
2 sin 
sin 

= 2 cos2  + sin2  - sin  cos 

sin 2
cos 
qA
= 2-
.
sin 
2
Or pour tout   R, -1 6 sin 2 6 1 et ces bornes sont atteintes puisque

  [] = sin(2) = 1
et
  - [] = sin(2) = -1
4
4
On en déduit que

mA = 3/2

et

MA = 5/2

I.2.1 Pour un vecteur y  Rn non nul et par bilinéarité du produit scalaire, il 
vient
qA (y) = kyk2 qA (y/kyk) = 0 car y/kyk  n . De plus, pour y = 0, l'égalité qA 
(y) = 0
est vraie. Finalement
y  Rn

qA (y) = 0

I.2.2 Soit (y, z)  Rn × Rn . Par bilinéarité du produit scalaire, il vient
qA (y + z) = hA (y + z) | y + zi
= hAy | yi + hAz | yi + hAy | zi + hAz | zi
d'où, en utilisant le fait que qA (w) = hAw | wi = 0 pour tout w  Rn d'après la
question I.2.1,
(y, z)  Rn × Rn

qA (y + z) = hAz | yi + hAy | zi

I.2.3 En combinant les questions I.2.1 et I.2.2, on obtient que
(y, z)  Rn × Rn

hAz | yi = -hAy | zi

En appliquant ceci à y = i et z = j , où (k )16k6n est la base canonique de Rn
2
et (i, j)  [[ 1 ; n ]] , et en remarquant que Ai est le vecteur formé par la ie 
colonne
de A, il s'en déduit que
(i, j)  [[ 1 ; n ]]2

hAi | j i = aj,i = -hAj | i i = -ai,j

ce qui signifie exactement que
La matrice A est antisymétrique.
I.3 Supposons que qA (x) = 0 pour tout x  n . D'après la question I.2.3, A
est une matrice antisymétrique. Or par hypothèse, A est symétrique. Ceci 
implique
que A = 0 car

t
A = A = -A
= (2A = 0) = (A = 0)

Réciproquement, si A est la matrice nulle, le produit Ax pour x  n est nul et
par suite qA est nulle sur n . En définitive, on vient de montrer que

x  n
qA (x) = 0

(A = 0)
I.4 Vérifions chacune des propriétés caractérisant une norme.

· L'application N est bien définie d'après la question I.1.1 et à valeurs 
positives.
· La question I.3 permet d'affirmer que
A  Sn (R)

(N(A) = 0)

(A = 0)

· Soient   R et x  n , par bilinéarité du produit scalaire on obtient que
qA (x) = hAx | xi = hAx | xi
soit en passant à la valeur absolue
|qA (x)| = || |hAx | xi|
La borne supérieure étant le plus petit des majorants et  étant indépendant
de x, on aboutit à
N (A) = || N (A)