CCP Maths 2 PSI 2011

Thème de l'épreuve Propriétés des endomorphismes autoadjoints
Principaux outils utilisés compacité, réduction de matrices symétriques, polynômes de Lagrange

Corrigé

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SESSION 2011

PSIM206

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives

qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 7 pages.

Notations

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des entiers 
naturels et

par N* l'ensemble N privé de 0.

Dans tout le problème n est un entier de N'" . On note |Il,n]] l'ensemble des 
entiers k tels que

1 5 k S n . Dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, on note 9Vlfl(R) 
l'espace vectoriel réel

des matrices carrées à n lignes, Sn (R) l'ensemble des matrices symétriques de 
M,(R) et M...(R)

l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O(n) désigne le 
groupe des matrices ortho--

gonales de Win (R) .

On rappelle que toute matrice de S"(
avec une matrice de passage orthogonale.

) est semblable à une matrice diagonale de .'Mn(

EUR),

On note diag(oel ,...,an) la matrice diagonale de MH (JR) qui admet pour 
coefficients diago--

naux les réels o... ..., an dans cet ordre. L'écriture A = (a....) signifie que 
a. j est le coefficient de la

ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note 'A la matrice transposée de 
la matrice A et tr(A)

la trace de la matrice carrée A.

Dans tout le problème, on considère l'espace euclidien {" rapporté à une base 
orthonormale

@ = (61 ,...,en) . Le produit scalaire de deux vecteurs x = Exiei et y = E yiei 
est noté (xiy) = E x y,.
i=l i=l

i=l

et "x" désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y1es matrices de M... (R) des 
composantes de x et

y dans @, le produit 'XY appartient à % (R) et son unique coefficient est 
(x|y). On écrira

(xly) = 'XY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Yde % (R) .

H .]

Objectifs

Dans le problème, on définit les ensembles SÎ (respectivement Sj+) des matrices 
symé--

triques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) 
ainsi que les endo--
morphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.
Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété 
de compacité

d'une partie de &" liée au signe des valeurs propres d'un endomorphisme 
autoadjoint.
Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S: et ST" et on 
démontre diffé--

rentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs 
propres, racine carrée,
propriété de la trace.
Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les 
endomorphismes auto--

adjoints associés aux matrices de Sf" . Les parties III et IV sont 
indépendantes l'une de l'autre.

Partie 1

Étude de compacité

Il

L'espace euclidien est rapporté à une base orthonormale @ = (el,...,e") . Soit 
s un endo--

morphisme autoadjoint de R" . On considère l'ensemble 2 = {x E R"; (xls (x)) = 
l} .

1.1. Dans cette question, on suppose n = 2 . On considère le plan euclidien 
muni du repère ortho--
normal R = (O,e1 ,e2) où 0 est un point du plan. À tout vecteur x = xle1 + x2e2 
de R2, on associe le
point M du plan de coordonnées (xl,x2) dans le repère Q{. On note 0" l'ensemble 
des points du

plan ainsi associés aux vecteurs de 2. Soit S la matrice de l'endomorphisme s 
relativement à la
base @.

2 \/5

1.1.1. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces

«B 4

propres de la matrice S. Pour x = xlel --l--x2e2 dans R2 , calculer le produit 
scalaire (xis(x)) .

Montrer que l'ensemble 0 est une ellipse dont on donnera une équation réduite. 
Tracer cette
ellipse dans le plan euclidien muni du repère Q{ .

1.1.2. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer

22«/î
2fi4

l'ensemble O' et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère Q{ .

1.2. On suppose n entier quelconque de N*. On note )... ..., )... les n valeurs 
propres réelles (dis--
tinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de 
multiplicité. On veut

montrer que E est une partie compacte de R" si et seulement si tous les A,-- 
sont strictement positifs.

On ordonne les À,-- dans l'ordre croissant, À. S ---SÀn, et on considère une 
base orthonormale

(51, ..., EUR,.) de &" formée de vecteurs propres de s avec, pour tout i E 
[[],n]] , s(5i) = Ài5i .

1.2.1. On suppose À1 > 0. Pour x = EG,-8. EUR {" , calculer (xis(x)) . Montrer 
que l'ensemble
i=l

2 n'est pas vide. Montrer que 2 est une partie bornée de R". Montrer que 
l'application

XI--> (x's(x)) de R" dans R est continue. En déduire que 2 est une partie 
compacte de

R".
1.2.2. On suppose que 2 est une partie compacte non vide de R" .

I.2.2.1. Montrer que l'inégalité À" 5 0 est impossible.

1222. On suppose Al 5 0 et A,, > 0 et, pour tout r EUR R, on considère le 
vecteur

l-- Àlr2
en .
À

11

xr=rel+

Montrer que xr EUR 2 . Calculer er-"2 et déterminer sa limite lorsque r tend 
vers +oo .

En déduire une contradiction avec l'hypothèse E compacte.

Dans la suite du problème, on note S ; (respectivement Sj+) l'ensemble des 
matrices S de Sn( &)
(R), 'XSX 20 (respectivement 'XSX >0). Pour

S E Sn (IR) , soit 3 l'endomorphisme autoadjoint de R" et soit x le vecteur de 
R" de matrices S et X

qui vérifient: pour tout X non nul de M

n .]

relativement à la base @ . On a donc rXSX = (x's(x)) .

Partie II

Racine carrée d'une matrice de S ;

Soit S E S,, (IR) . On note /\1, ..., /\n les 11 valeurs propres réelles de S 
comptées autant de fois

que leur ordre de multiplicité. Soit (Xl, ..., X,,) une base orthonormale de 
M...](R) formée de vec--

teurs propres de S avec : pour tout i E |[l,n]], SX, = À,X, .
11.1. On veut montrer que S E S; si et seulement si pour tout i E [[l,n]] , on 
a À,- 2 O.
11.1.1. On suppose que S G SÏ . Montrer que pour tout i E [[l,n]] , on a À,- Z 
0.

11.12. On suppose que pour tout i E [[l,n]] on a A,- Z 0. Montrer que S E S; .

On montre de même, et on admettra, qu'une matrice S E Sn (IR) appartient à S,Î+ 
si et seu--
lement si ses valeurs propres sont strictement positives.

11.1.3. On suppose que S G S:+ et donc que pour tout i E [[l,n]] , À,--> 0. 
Montrer que S est in--

versible et que son inverse S _] E S "+ + .

11.2. On suppose de plus que S E S; .

11.2.1. Soient D = diag(Àl ,...,Àn) et A : diag(\/ÀÎ,...,\/ÀÎ) ,calculer A2 .

On suppose que N E S; vérifie N 2 = D. On note (C1, ..., C,,) la base canonique 
de M... (R)

où C; est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et 
dont les autres
coefficients sont nuls. Soient Y = E y,C, et ,a E lR avec ,u 20 tels que NY = 
,uY. Montrer
i=l

que pour tout i E [[l,n]] , on a p.2y, = À,y. puis ,uy, = \/XY.< . En déduire 
que N = A .

1122. Soit U EURO(n) telle que S =UD'U . Déterminer une matrice TES"+ telle que

T2 = S . Montrer que T est unique.

On notera T = JS l'unique matrice T de Sj telle que T2 = S .

11.3. Une détermination de \/S . On suppose que S G S; et que )... ..., )... 
sont les valeurs propres
de S. On note 0 g ,u,<- - -<,u.p les valeurs propres distinctes de S. Pour k 
EUR [[1, p]] , on définit les po--
lynômes d'interpolation de Lagrange aux points ul, ., up par :

" (a -- u,)

pour tout k EUR [[l,p]] et tout a E , L,((a) = H .
j=l (N}. _Mj)

j=k

11.3.1. Pour iEUR [[l,n]], calculer Lk(S)X,. en distinguant les cas ,uk = )\i 
et pk = A,. (on rap--
pelle que les X ,. définis au début de la partie Il, appartiennent à une base 
orthonormale de vecteurs

propres de S avec : pour tout iEUR [[l,n]], SX]. = /\iX,. ).

1132. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p--l, à coefficients 
réels tel que :

pour tout k EUR [[1, p]] , P(,uk) = Æ . Exprimer P comme une combinaison 
linéaire des poly--
nômes Lk . Calculer P(S)Xi et en déduire que P(S) EUR S,Î . Montrer que P(S) = 
x/Ë .

7 2 --2
11.3.3. En application des questions précédentes, on prend S = 2 4 --l . 
Montrer que
--2 -- 1 4

S EUR S3+ . Exprimer \/E comme une combinaison linéaire des matrices S et 13 = 
diag(l,l,l) .

Partie III

Une propriété de la trace des matrices de S;

111.1. Soit 3 EUR 5; .

III.1.1. On considère la matrice 6 : diag(al,...,an) avec : pour tout iEUR 
[[l,n]], ai 20. Soit
V = (v....) EUR O(n) . Montrer que tr(ôV) £ tr(6) .

III.1.2. En déduire que pour tout U EUR O(n) , on a : tr(S U ) £ tr(S ) .

III.2. Réciproque de la propriété III.]. Soit A = (a... ) EUR 9Vln( )telle que 
pour tout U EUR 001) , on a
tr(AU ) S tr(A) . On veut montrer que A EUR 8; .

11121. Un lemme technique. Soient a, b, 9 des réels. Montrer qu'il existe un 
réel go indé--

pendant de 0, tel que a cos(9) + b sin(9) = \/a2 + b2 sin(0 + lx) .

À quelle condition sur x a--t--on égalité ?

IV.2. On considère le polynôme P défini sur R par :

Va E R, P(a) = a2 --(À1+À")a +À1Àn .

Pour chaque i E [[l,n]] , déterminer le signe de P(À,) .

Soit v l'endomorphisme de R" défini par v = --P(s)os"' . Soit x EUR %" , x = 0 
, tel que s(x) = /\ix.

Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la 
matrice V de v relativement
àla base @ vérifie V E S; .

IV.3. Soit x un vecteur non nul de R" . On considère le polynôme Q défini sur R 
par :

Vae EUR,Q(a --

2 a+(s_l(x)lx)ÀlÀn.

Déterminer le signe de Q(O) et celui de Q(l) . En déduire l'inégalité (2) :

@ +--À") M

(2) (s(s*(x)lx)< 4M

IV.4. On suppose que A <À . Soient v' et vn des vecteurs de norme 1 tels que 
s(v,)=À,vl et

s(v )= /\ v Soit x-- -- v +v Calculer les produits scalaires (s(x)|x) et 
(s_l(x)|x) . Montrer que le

nil

vecteur x vérifie l'égalité dans l'inégalité (2).

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Dans ce sujet, certains aspects de la classification des formes quadratiques, 
et des
quadriques correspondantes, sont mis en relation avec des propriétés du spectre 
et
de la trace des endomorphismes autoadjoints associés.
Le sujet comporte quatre parties de difficultés équivalentes. Les parties II et 
III
sont intimement liées tandis que les parties I et IV se traitent de façon 
indépendante.
· La première partie élabore une typologie de l'ensemble des vecteurs de Rn tels
que (s(x) | x) = 1, suivant le signe des valeurs propres d'un endomorphisme
autoadjoint s de Rn . Deux exemples pratiques sont traités au préalable ; ils 
illustrent le lien entre les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint de 
R2
et le type de conique qui lui correspond.
· La deuxième partie explore d'abord le lien entre valeurs propres d'un 
endomorphisme autoadjoint et positivité de la forme bilinéaire symétrique 
correspondante. Une étude classique mais approfondie de la racine carrée d'une 
matrice
symétrique positive réelle est ensuite entreprise.
· La troisième partie donne une autre caractérisation des matrices symétriques
positives réelles, par une propriété de minoration de leur trace.
· La quatrième partie enfin, s'intéresse au problème initial en partant d'un 
autre
point de vue. Plutôt que de se demander si l'ensemble des points de s-norme
constante est compact, on observe la croissance du produit (s(x) | x)(s-1 (x) | 
x)
dans le cas des formes bilinéaires positives, et on établit une relation de la 
forme
(s(x) | x)(s-1 (x) | x) = O(kxk4 )
L'approche adoptée par ce sujet est classique. Elle nécessite surtout une 
connaissance précise et approfondie des éléments du programme qui concernent la 
réduction
des endomorphismes, la théorie spectrale dans le cas réel, et les coniques.

Indications
Partie I
I.1.1 Utiliser le polynôme caractéristique de S et la matrice de 
l'endomorphisme s
dans une base orthonormale de vecteurs propres.
I.1.2 Même démarche.
I.2.1 Pour montrer que  est borné, utiliser le signe des valeurs propres de s.
I.2.2.1 Même démarche.
Partie II
t

II.1.1 Calculer Xi SXi pour tout i  [[ 1 ; n ]].
II.1.3 Utiliser le fait que S est symétrique réelle, donc diagonalisable dans 
une base
orthonormée.
II.2.1 Montrer que les applications linéaires qui correspondent à  et N dans la 
base
canonique coïncident sur une base de vecteurs propres de N.
II.2.2 Déduire T de  par conjugaison puis utiliser le résultat de la question 
II.2.1.

II.3.2 Le vecteur propre Xi de P(S) est associé à la valeur propre i .
II.3.3 Utiliser la formule de P(S) de la question II.3.2.
Partie III
III.1.1 On pourra majorer les réels |vi,j | par une constante.

III.1.2 Utiliser la diagonalisabilité de S dans une base orthonormée.
III.2.1 Considérer la forme trigonométrique du nombre complexe b + ia.
III.2.2 S'appuyer sur la dernière assertion de la question III.2.1.
III.2.3 Utiliser le lien entre la trace d'une matrice carrée et son spectre.
Partie IV
IV.1 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et relier kt(x)k et (s(x) | x).
IV.2 Factoriser P.
IV.3 Utiliser le signe de P(i ) et décomposer le vecteur x dans une base 
orthonormale adaptée de vecteurs propres de T.
IV.4 Ne pas chercher d'astuce à cette question. Attention : si vous souhaitez 
l'utiliser, il faut justifier l'orthogonalité des vecteurs v1 et vn .

Les conseils du jury
Le rapport du jury insiste sur la présentation des copies : « faire ressortir
les résultats est essentiel ! Pour une bonne lisibilité des copies, les 
étudiants
doivent éviter un excès de ratures et une utilisation abusive du blanc 
correcteur. » Il recommande également aux candidats « de donner tous les 
arguments qui justifient les démonstrations. Ces arguments sont indispensables
aux correcteurs pour évaluer les connaissances et juger la qualité des 
raisonnements des étudiants, et donc pour leur attribuer le maximum de points 
sur
les questions traitées. »

I. Étude de compacité
I.1.1 Les valeurs propres de la matrice S sont les racines de son polynôme 
caractéristique
S = det(S - XI2 ) = X2 - (Tr S) X + det S = X2 - 6X + 5 = (X - 1)(X - 5)
Les valeurs propres sont donc 1 et 5.
Cherchons le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 1.

2
3
x1
x1
=
SX = X  
x2
x2
3 4

2x
 1 + 3x2 = x1

3x1 + 4x2 = x2

SX = X  x1 = - 3x2
Le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 1 est ainsi engendré par 
le

t
vecteur v1 = (- 3/2, 1/2) choisi pour être de norme 1.
Comme S est symétrique, elle admet une base orthonormée de vecteurs propres.
Le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 5 est donc engendré par le

t
vecteur v5 = (1/2, 3/2), orthogonal à v1 et normé.
Les valeurs propres de S sont 1 et 5 et leurs sous-espaces
propres sont les droites vectorielles respectivement dirigées par

t
t
v1 = (- 3/2, 1/2) et v5 = (1/2, 3/2)

Calculons (x | s(x)) = (x1 e1 + x2 e2 | (2x1 + 3x2 )e1 + ( 3x1 + 4x2 )e2 )

car (e1 | e2 ) = 0
= x1 (2x1 + 3x2 ) + x2 ( 3x1 + 4x2 )

(x | s(x)) = 2x21 + 2 3x1 x2 + 4x22
t

On pouvait écrire aussi directement (x | s(x)) = (x1 , x2 )S (x1 , x2 ).
Dans la base orthonormée (v1 , v5 ), la matrice de l'endomorphisme s est 
diag(1, 5).
Si l'on décompose le vecteur x de R2 en x = y1 v1 + y5 v5 dans cette base, on 
peut
recalculer (x | s(x)) :
(x | s(x)) = 1 y12 + 5 y52

L'ensemble  est ainsi défini par l'équation y12 + 5y52 = 1 dans la base (v1 , 
v5 ).
C'est l'équation réduite d'une ellipse dont les axesprincipaux sont dirigés par 
v1 et v5
et dont les demi-longueurs des axes sont 1 et 1/ 5 respectivement.
L'ensemble  est une ellipse d'équation réduite
donnée par y12 + 5y52 = 1 dans le repère (v1 , v5 ).
Le rapport du jury rappelle qu'il fallait tracer l'ellipse dans le repère R 
plutôt
que dans le repère propre.

1,0

b

- 3/2

0,5
v1

-1,0

b

v5 / 5

b

-1,5

b

-0,5

0,5

1,0

1,5

-0,5

-1,0
I.1.2 On procède de façon analogue à la question précédente : les valeurs 
propres
de la matrice S sont les racines de son polynôme caractéristique
S = det(S - XI2 ) = X2 - (Tr S) X + det S = X2 - 6X = X(X - 6)
Les valeurs propres sont donc 0 et 6.
Cherchons le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 0.

x1
2
2
2

=0
SX = 0 
x2
2 2
4

2x
1 + 2 2x2 = 0

2 2x1 + 4x2 = 0

SX = 0  x1 = - 2x2
Le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 0 est ainsi engendré par 
le

t
vecteur v0 = (- 2/ 3, 1/ 3) choisi pour être de norme 1.
Ici encore, tout vecteur orthogonal à v0 est un générateur du sous-espace propre
  
t
de S associé à la valeur propre 6, et on choisit v6 = (1/ 3, 2/ 3)) qui est 
normé.
Les valeurs propres de S sont 0 et 6 et leurs sous-espaces
propres sont les droites vectorielles dirigées respectivement par

t
t
v0 = (- 2/ 3, 1/ 3) et v6 = (1/ 3, 2/ 3).
Dans la base orthonormée (v6 , v0 ), la matrice de l'endomorphisme s est 
diag(6, 0).
Si l'on décompose le vecteur x  R2 en x = y6 v6 + y0 v0 dans cette base, on peut
calculer
(x | s(x)) = 6y62
L'ensemble  est ainsi défini parl'équation 6y62 = 1 dans la base (v6 , v0 ). 
Cette
équation est équivalente à y6 = +
- 1/ 6. Comme le choix de la coordonnée suivant v0
est libre, on a affaire à deux droites parallèles et symétriques par rapport à 
la droite
dirigée par le vecteur v0 .