CCP Maths 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Étude d'endomorphismes autoadjoints
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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SESSION 2009

' PSIM206

CONCOURS COMMUNS POlYÎECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, & la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers
naturels et par N' l'ensemble N privé de 0.

Pour n dans N* , on note [[1,n]] l'ensemble des entiers k tels que 1 5 k 5 n .

Pour n dans N* , on note Sm" (IR) l'espace vectoriel réel des matrices carrées 
à n lignes et à
coefficients dans R . Etant donné une matrice A de 2mn (IR) , on note det(A) le 
déterminant de
la matriceA. La notation A = (a....) signifie que al.,]. est le coefficient de 
la ligne i et de la
colonne j de la matrice A. On note In la matrice diagonale de 9fin (R) dont 
tous les

coefficients diagonaux sont égaux à 1.

Objectifs
On considère des endomorphismes autoadjoints dont la matrice, relativement à 
une base

orthonormale, est à coefficients tous positifs ou nuls. Avec une hypothèse 
supplémentaire sur
les coefficients de la matrice, on fait établir des propriétés sur les valeurs 
propres et sur les
vecteurs propres de ces endomorphismes.

La première partie est calculatoire et conduit à traiter un exemple des 
résultats généraux du
problème.

Dans la deuxième partie, on fait établir des propriétés des endomorphismes 
autoadjoints
particuliers que l'on étudie. La question Il.l porte sur l'étude de la norme 
subordonnée
d'applications linéaires ; les questions suivantes de la partie Il sont 
indépendantes des
résultats de la question 11.1.

Les deux parties sont indépendantes.

Dans tout le problème on désigne par n un entier de N * .

1/5

Les résultats servant à résoudre une question et provenant d'une question 
précédente, devront
être justifiés par un renvoi à la question dont ils sont déduits.

PARTIE 1

1.1. Soit 9 un réel. On considère la suite réelle (xp) . définie par :

x1 = sin(9) ,
--2x1 cos(9) + x2 = O ,

pEN

et pour tout p 21, xp --2xp+1 cos(6')+xfi2 : O .
1.1.1. Déterminer x,. Pour tout p dans N°" expliciter xp en fonction de p et de 
9 .

1.1.2. Soit n dans N* , à quelle condition sur 6 a-t-on xn+1 : O ?

Pour ! réel, on note An (t) = (a...) la matrice de fm,, (R) telle que :

(l) pour tout i E [[l,n]] les coefficients de la diagonale sont a... : 2t;
(2) pour tout (i,j) EUR [[l,n]]x[[l,n]} tel que |i--jl : 1 , al.,]. =1;

(3) dans tous les autres cas al.,]. : O .

On note dn (t) : det(An (t)) .

1.2. Quelques valeurs de dn (t) .
1.2.1. Calculer d,(t) , d2(t), d3(t) , d4(t).

1.2.2. Pour n 2 3 , établir une relation entre dn (t) , a'n_1 (t) et dn_2(t) . 
En déduire que

dn est un polynôme ent, déterminer son degré ainsi que le coefficient du terme 
de
plus haut degré.

1.3. On suppose |t| < 1 et on note t= cos(9) avec 0 < 9 < 7r .

sin((n + 1)9)

1.3.1. Montrer que dn (cos(9)) : _
sm(9)

1.3.2. Déterminer les valeurs de 9 pour lesquelles dn (cos(9)) : O .
1.4. On note xn (À) : det(An (O) -- Ain) le polynôme caractéristique de la 
matrice An (0) .

1.4.1. Exprimer xn (À) en fonction de dn et de À.

2/5

1.4.2. Déduire de 1.3.2. que la matrice An (0) possède n valeurs propres 
distinctes et
donner ces valeurs propres. Montrer que la plus grande valeur propre est

p=2cos(â).

1.4.3. En utilisant 1.1.2, déterminer un vecteur propre de la matrice An (0) 
associé àla

valeur propre p = 2 COS (È), dont toutes les composantes sont strictement 
positives.

PARTIE II

On considère l'espace euclidien R" rapporté à une base orthonormale % : 
(el,...,en) . Étant

donné deux vecteurs u et v de IR" , on note (u|v) leur produit scalaire et Nu" 
la norme du

vecteur u . Pour tout sous--espace vectoriel F de R" , on note F ' l'orthogonal 
de F ; on
' l I _L
admettra la propr1ete (Fi) : F .

Onnote S={uER"/

l'ensemble des valeurs propres, réelles ou complexes, de f , c'est-à--dire le 
spectre de f .

|u|| : l} . Pour tout endomorphisme f de R" , on note Sp( f )

II.]. Pour tout endomorphisme f de IR" , on note ||| f ...: sup || f (u)|| la 
norme subordonnée
MS 1

àla norme euclidienne de IR" de l'endomorphisme f .
II.1.1. Soit go un automorphisme orthogonal de R" . Calculer ||| go |||.

II.1.2. Soit 5 l'endomorphisme de R" représenté dans la base % par la matrice
diagonale diag(al,..., Oz"), dont les coefficients de la diagonale sont les oz, 
. Montrer

wfiW...=müoe|

iEUR|[l,n]|

II.1.3. En déduire que lorsque f est un endomorphisme autoadj oint de R" on a
lllflll = max |À|

ÀEURSp(f)

Les questions suivantes de la partie Il sont indépendantes de la question 11.1.

Dans la suite du problème, on note 1 un endomorphisme autoadjoint de l'espace
euclidien R" .

11.2. Propriété de la plus grande valeur propre de l . On note  
l'application de R" dans
R définie par : pour tout vecteur u de R" , (u) : (l(u)| u) .

3/5

11.2.1. Montrer que (I) est une application continue de R" dans R. En déduire 
que la
restriction de l'application CD à l'ensemble S admet un maximum.

On note v un vecteur de S tel que (v) : maçx(u) . Dans la suite de la 
question 11.2, le
uEUR

vecteur v est fixé.

II.2.2. Soit u un vecteur de S orthogonal à v et soit t un réel.
v + lu

06

Déterminer un scalaire oz E R tel que w : appartienne à S .

En comparant (v) et (w) , montrer que (l(v)|u) : O .

En déduire que le vecteur v est un vecteur propre de l .

On note ,a la valeur propre de ] associée au vecteur propre v .

II.2.3. Soit À une valeur propre quelconque de l et soit x un vecteur de S qui 
est un
vecteur propre de l pour la valeur propre À .
Comparer (x) et À .

Déduire des résultats précédents que A _<_ p .

On a donc montré que p = max A = max (u) et que si un vecteur v de S vérifie
ÀEURSp(l) ueS

(v) : max (u) , alors [(v) : pv.

uES

Dans la suite du problème, on suppose que la matrice A = (a....) de 
l'endomorphisme
autoadjoint !, relativement à la base orthonormale % , vérifie les deux 
conditions suivantes :
(l) pour tout(i,j)EURfll,n]xl{l,nfl, ona al.,]. 20 ;

(2) il n'existe pas de partition de l'ensemble [[l,n]} vérifiant [[l,n]] = 1 U 
J , 1 D J : çb avec
1 et J non vides et telle que pour tout (i, j) 6 I >< J , on ait C'...-- = O .

Étant donné un vecteur x = E x,e, , on écrit x 2 0 (respectivement x > 0) si 
pour touti EUR [[1, n]] ,
i=l

on a x, 2 0 (respectivement x, > 0 ). On note x+ le vecteur x+ : le,|e, .
i=l

Dans la suite du problème, on note p = max À .
ÀESp(I)

11.3. Signe de p.

II.3.1. Soit x : Zx,e, un vecteur de R" . Exprimer (x) en fonction des 
scalaires

i=l

a... et x, . En déduire l'inégalité |(x)l g (x+) .

4/5

11.3.2. Soitx = inel. un vecteur de S tel que p = <1>(x) . Montrer que p = 
<1>(x+). En
i=l

déduire que p 2 O .

11.4. Soit À une valeur propre quelconque de let soit x un vecteur de S tel que 
l (x) : Àx .

Montrer que |À| S p.

On a donc ,a = max|Àl .
ÀEURSp(l)

11.5. Soit x un vecteur de S tel que l (x) = px. Montrer que l(x+) = px+ , puis 
montrer que

x+ > 0 (pour montrer que x+ > O , on pourra raisonner par l'absurde et se 
souvenir que la
matrice A de l'endomorphisme ] vérifie la condition (Z)).

11.6. Soient x = inel. et y = 2 yiel. deux vecteurs non nuls tels que l (x) = 
px et l ( y) = p y .
i=l i=1

. . , x
J ustrfier que y1 = O . En cons1derant le vecteur z = x -- -----1-- y , montrer 
que le sous--espace

Y1
propre de ! associé àla valeur propre ,a est de dimension 1.

11.7. Soit x un vecteur propre de ] associé à une valeur propre À . On suppose 
x > O . Montrer
que A Z 0 . Montrer que A = p .

11.8. On suppose n 2 3 . Soit A = (a...) E 9fin (R) la matrice telle que
(l) a... = an,1=l ;
(2) pour tout (i,j) EUR [[l,n]]x[[l,n]} tel que |i--jl = 1 , al.,]. =1 ;

(3) dans tous les autres cas al.,]. = 0 .

Déduire des questions précédentes la plus grande valeur propre de la matrice A .

Fin de l'énoncé.

5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Julien Lévy (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Ce problème a pour objectif l'étude du spectre et des vecteurs propres 
d'endomorphismes autoadjoints dont la matrice, relativement à une base 
orthonormale, est à
coefficients positifs ou nuls. Il est constitué de deux parties totalement 
indépendantes.
· Dans la première partie, qui nécessite surtout des calculs, on s'intéresse au 
cas
d'une famille particulière de matrices symétriques. On est amené, au passage,
à étudier une suite définie par une relation de récurrence double.
· La deuxième partie établit quelques propriétés générales des endomorphismes
autoadjoints et de leur rayon spectral, avant de considérer à partir de la 
question II.3 des endomorphismes particuliers ; on étudie plus précisément les 
vecteurs propres associés à la plus grande valeur propre.
Pas de difficulté particulière ici : on a affaire à des notions très classiques 
d'algèbre linéaire et bilinéaire, les questions sont précises et détaillées, et 
l'énoncé fournit
quelques indications aux endroits les plus délicats, ce qui permet de traiter 
ce sujet
sans rencontrer trop de problèmes. De plus, la longueur est tout à fait 
raisonnable :
on peut en venir à bout dans le temps imparti.

Indications
Partie I
I.1.1
I.1.2
I.2.1
I.2.2

Démontrer par récurrence double le résultat pressenti lors du calcul de x2 .
Utiliser le résultat qui précède.
Développer d3 (t) et d4 (t) selon la première colonne.
Généraliser la méthode employée lors du calcul de d3 (t) et d4 (t) pour établir 
la
relation de récurrence. La prouver ensuite à l'aide d'une récurrence double.
I.3.1 Utiliser le résultat de la question I.2.2 et la suite (xn )nN introduite 
en I.1.
I.4.3 Vérifier que pour un choix judicieux de , les n premiers termes de la 
suite
(xp )pN étudiée à la question I.1 fournissent les composantes d'un vecteur
propre satisfaisant les conditions requises.
Partie II
II.1.2
II.1.3
II.2.1
II.2.2
II.3.2
II.4
II.5

II.6
II.7
II.8

On pourra noter que |||||| est atteinte pour un des vecteurs de la base B.
Utiliser le résultat de la question précédente.
D'un point de vue topologique, que dire de l'espace S ?
Noter que (w) - (v) 6 0 pour tout t  R. Se ramener à un polynôme en t
de signe constant.
Utiliser les résultats des questions II.2.3 et II.3.1
Faire appel aux question II.3.1 et II.2.
Poser I = {i  [[ 1 ; n ]] | |xi | = 0} et J = {i  [[ 1 ; n ]] | |xi | > 0}, 
puis vérifier
que l'on obtient une contradiction avec la condition (2) lorsque l'un des réels
xi est nul.
Normer le vecteur y avant d'appliquer le résultat de la question précédente.
Montrer ensuite que l(z) =  z, mais que z1 = 0.
Établir à l'aide de la question II.5 l'existence d'un vecteur z + > 0 tel que
l(z + ) =  z + et noter que, si  6= , alors x  z + .
S'assurer que la matrice A vérifie les conditions (1) et (2). Ensuite, 
additionner
ses colonnes et utiliser la question II.7.

Les conseils du jury
Dans son rapport, le jury souligne l'importance du soin apporté à la 
présentation. Notamment, il est indispensable de mettre en évidence les 
résultats
afin de les faire ressortir. En revanche, il est totalement inutile de recopier
les questions !
En ce qui concerne le contenu et la rédaction, le rapport s'achève sur
quelques conseils pratiques :
· terminer les calculs et donner des résultats simplifiés au maximum ;
· donner tous les arguments permettant d'arriver à la conclusion voulue ;
· penser à utiliser les résultats fournis dans l'énoncé pour traiter les 
questions qui suivent ;
· bien vérifier les hypothèses des théorèmes et des questions utilisés.

Partie I
I.1.1 On sait que x1 = sin(). De plus,
x2 = 2x1 cos() = 2 cos() sin()
soit

x2 = sin(2)

Maintenant, montrons à l'aide d'une récurrence double que la propriété
P(p) :

xp = sin (p )

est vraie pour tout p  N .
· Initialisation : d'après ce qui précède, les propriétés P(1) et P(2) sont 
vraies.
· Hérédité : soit p  N tel que P(p) et
 P(p + 1) soient vraies, c'est-à-dire que
xp = sin(p ) et xp+1 = sin (p + 1)  . Par définition de la suite (xp )pN ,
xp+2 = 2xp+1 cos() - xp

= 2 sin (p + 1)  cos() - sin(p )

= 2 sin(p ) cos() + cos(p ) sin() cos() - sin(p )

= sin(p ) 2 cos2 () - 1 + 2 sin() cos() cos(p )

xp+2

= sin(p ) cos(2) + sin(2) cos(p )

= sin (p + 2) 

ce qui montre que P(p + 2) est vraie.
· Conclusion : on déduit alors du principe de récurrence que la propriété P(p)
est vraie pour tout p  N , c'est-à-dire que
 p  N

xp = sin (p )

On peut procéder différemment et déterminer l'ensemble E des suites
vérifiant la relation de récurrence linéaire xn+2 - 2 cos() xn+1 + xn = 0
pour tout n  N .
Si  6 0 [], l'équation caractéristique associée r2 - 2 cos()r + 1 = 0
admet deux racines complexes conjuguées e i et e -i : on sait alors que E est
le C-espace
vectoriel de

 dimension deux engendré par les suites géométriques
e in nN et e -in nN . En particulier, les suites réelles appartenant à E
ont pour expression xn = a cos(n) + b sin(n). Pour la suite considérée ici,
on conclut que a = 0 et b = 1 au vu des conditions initiales, ce qui permet
de retrouver le résultat précédent.
Lorsque   0 [], on a x1 = x2 = 0 si bien que xn = 0 pour tout n  N ,
ce qui est encore cohérent avec le résultat obtenu ci-dessus. Attention à ne
pas oublier d'étudier ce cas, aussi simple soit-il, comme l'a signalé le rapport
du jury.

I.1.2 Soit n  N . D'après la question précédente, on a
xn+1

= 0  sin (n + 1)  = 0  (n + 1)   0 []    0
n+1

Ainsi,

xn+1 = 0 si et seulement si  est un multiple de

.
n+1

I.2.1 Utilisons la définition des réels dn (t) : on obtient sans effort
et

d1 (t) = 2t

2t
1

d2 (t) =

1
= 4t2 - 1
2t

Un développement selon la première colonne nous permet ensuite de calculer
2t
d3 (t) = 1
0
soit

1 0

2t 1
1 0
2t 1 = 2t ×
-1×
= 2t 4t2 - 1 - 2t
1 2t
1 2t
1 2t

d3 (t) = 2t 4t2 - 2 = 8t3 - 4t

On aurait aussi pu utiliser la règle de Sarrus pour calculer ce déterminant.
Cependant, il est en général plus simple de commencer par des opérations
sur les lignes et les colonnes pour faire apparaître des zéros, puis d'achever
le calcul à l'aide d'un développement selon une ligne ou une colonne.
De même, on obtient
2t
1
d4 (t) =
0
0

1 0
2t 1
1 2t
0 1

0
2t
0
= 2t × 1
1
0
2t
2t
= 2t × 1
0

1 0
1 0
2t 1 - 1 × 1 2t
1 2t
0 1

0
1
2t

1 0
2t 1
2t 1 - 1 × 1 ×
1 2t
1 2t

d4 (t) = 2t d3 (t) - d2 (t) = 16t4 - 8t2 - 4t2 - 1

soit
d'où

d4 (t) = 16t4 - 12t2 + 1

I.2.2 Soit n > 3. Procédons comme pour le calcul de d3 (t) et de d4 (t) : un 
développement de dn (t) selon la première colonne nous conduit à
2t
1
dn (t) =

1
2t
1

2t

1
..
.

..

..

..

.

.

.
1

= 2t ×
1
2t

1

1
..
.
..
.

..
..

1
1

.

.
1

-1×
1
2t

= 2t dn-1 (t) - dn-2 (t)
en développant le second déterminant selon la première ligne. Ainsi,
n > 3

dn (t) = 2t dn-1 (t) - dn-2 (t)

0
2t

1.
.
.. .
1. . 1
..
1 2t