CCP Maths 1 PSI 2011

Thème de l'épreuve Étude d'une série. Limite d'une intégrale.
Principaux outils utilisés analyse, séries, intégrale à paramètre, analyse de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2011 PSIM102

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 6 pages.

Notations

On note : |z| le module du nombre complexe z ,

] un intervalle de [O,--Fool ,

f une fonction définie sur ] à valeurs dans R ou (C ,
g une fonction définie sur [O,+oo[ à valeurs dans R ou C .

Sous réserve de son existence on note : Îg (x) = f f (t) g(xt)dt pour x EUR 
]O,+oo[.
]

Chaque fois qu'aucune confusion ne sera possible, on notera Î (x) au lieu de À 
(x) .

Objectifs

Pour différentes hypothèses sur la fonction f, sur l'intervalle J et pour deux 
choix de la fonction g,
on se propose de déterminer la limite de À (x) lorsque le nombre réel x tend 
vers +oo .

Dans la partie 1, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs 
de sommes de séries.
Dans la partie II, on considère une fonction f définie sur [O,+oo[ à valeurs 
réelles et l'objectif est

d'obtenir la limite en +00 de Îg(x) lorsque g(t)= \sin(t) ,lorsque f est de 
classe C ' ou lorsque f

est continue par morceaux.

PARTIE I

Une étude de séries

1.1. Étude de la fonction L

k +oo k
, , . .. 1 x 1 x
Pour tout x reel tel que la serre entiere 5 (--1)" [? converge, on note L(x) : 
ê (-- 1)k 1Î sa
[(à] k=l

somme .

1.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la 
fonction L est
définie sur l'intervalle ]-- 1,1] et expliciter L(x) pour x appartenant à ]-- 
1,1[ .

1.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction L est continue sur l'intervalle 
[0,1] . En déduire que

L(l) : ln(2) (où ln désigne la fonction logarithme népérien).

I ..2 Étude de la sérieZ% cos [ 2--k7T]
[(>] 3

On considère la suite (ak ) keN. définie par :

Pourtout EN*'a =--£ et ourtout EURN'd -- ] eta -- 1
p -- 3p p P ' 3p+l 3p+1 3[7+2 3p+2'

3P

1.2.1. Montrer que : 3zpak= Ë%= _Î_h
k=l

k=p+lk ph=11+_
p

1.2.2. Déterminer la limite de la somme Zak lorsque [9 tend vers +oo (on pourra
k=l

1
considérer la fonction qui à t associe -- sur un intervalle convenable). En 
déduire la

1 + t
convergence de la série Ê ak et préciser sa somme.
k21

1.2..3 En déduire que la série 2% cos

[<>]

2k7r
3

--] converge et montrer que sa somme est égale à

11%]-

1.3. Étude des séries 2

cos(ka) sin(ka)
k et z k

kZl k21

Pour te ]0,277[et n E N* , on note: g0(t) = .1 et S (t) = Ze"" .

en _ 1 "

On désigne par a un nombre réel fixé dans l'intervalle ]0,27r[. Pour simplifier 
l'écriture des

démonstrations, on supposera que W 5 a < 27r .

Dans cette partie, on désigne par f une fonction continue par morceaux sur 
l'intervalle [0,+oo[ a

1.3.1. Montrer que S" (t) = 90 (t)[e"""" -- e"] .

1.3.2. Montrer que la fonction ça est de classe C1 sur le segment [7r,a] .

(1

1.3.3. Montrer que l'intégrale ] Ve"""" 0, il existe un réel positif A tel que f | f (t)| dt 5 5 .
A

[xr

A
11.2.2. Le nombre réel A étant fixé, montrer que l'intégrale f f (t)e dt tend 
vers zéro
0

lorsque le nombre réel x tend vers +oo (on pourra utiliser une intégration par 
parties).

+00

1123. En déduire la limite de Îg(x)= f (t)e'" dt lorsque le nombre réel x tend
0

vers +oo .

Dans toute la suite du problème, on suppose que g(t) : |sin(t)l et on note 
simplement :

f(x) = L+xf(t)lsin(xt)ldt .

11.3. Étude pour une fonction f particulière

On suppose (dans cet exemple) que f désigne la fonction E définie par E (t) = 
e*' pour t E [O,+oo[

+00

et donc Ë(x)=f eÎ'|sin(xt)|dt pour xEUR]0,+oo[.

0

7l'

11.3.1. Pour 7 E R , calculer l'intégrale ()(fy) : f e" sin (y)dy .

0

II.3.2. Montrer que pour x E ]O,+oo[ :

... 1 +00 Îï
E(x)=--f e X sin(u)ldu.
x ()

(k+l)7r ÎË

II.3.3. Exprimer pour tout k EUR Net pour toutxEUR R* , l'intégrale f e x

k7r

sin (u)ldu en

J'l

fonction de e *" et de 9(7) pour un 7 convenable.

km"
1134. Justifier, pour x E l0,+oo[ ,la convergence de la série Ze " ;
k20

+oc -- kl
préciser sa somme E e -* .
k=0

11.3.5. Expliciter Ë(x) pour xEUR]0,+oo[. Déterminer la limite de Ë(x) lorsque 
x tend

vers +oo .

11.4. Étude générale

On désigne de nouveau par f une fonction quelconque continue par morceaux sur 
l'intervalle

+oo
[O,--Fool telle que l'intégrale généralisée f | f (t)ldt converge et on note :
0

Î(x)= fo+oef(t)lsin(xt)ldt pour xEUR}0,+oo[.

Il.4.1. Lemme préliminaire

cos(2kt) +°° cos(2kt)
--conver e,on ose h t = _

[(=]

Pour tout tréel tel que la série Z . Montrer

k21

que la fonction il est définie et continue sur R . Justifier l'égalité :

Vt @ R, sin(t)l = Ê--Îh(r) .

7T 7l'

Il.4.2. Limite de f (x) dans le cas C1

On suppose de plus que fest une fonction de classe C ' sur l'intervalle 
[0,+oo[. En utilisant

les résultats obtenus en 112 et Il.4.l , déterminer la limite de Î (x) lorsque 
le réel x tend

vers +oo . Le résultat est--il conforme avec celui obtenu pour la fonction E ?

11.4 .3. Cas d'une fonction continue par morceaux

II.4.3.1. Une limite

Étant donnés deux nombres réels fiet 6tels que 0 S 5 < 6, on considère 
l'intégrale

5 '.r
F(x) : [ lsin(xt)|dt pour x E l0,+oo[ . Montrer que F(x) : if!) sin(u)l du .
/3 _X x

. ... x . ... 6x 7r
On pose p la partie ent1ere de --et 61 la partie ent1ere de -- . Pourx >

7r W 5--5

, donner

un encadrement de F (x) en fonction de p, q et x.

2
En déduire que F (x) tend vers--(ô -- 5) lorsque le nombre réel x tend vers +oo 
.

71"

11.432. Limite de f (x) dans le cas d'une fonction continue par morceaux

Si J est un intervalle de [O,+oo[ et si f est une fonction continue par 
morceaux sur J

à valeurs réelles et telle que l'intégrale ] \ f (t)l dt existe, on note 
toujours :
]

Î (x) = f f(t)lsin(xt)l dt .
J

Quelle est la limite de Î (x) lorsque le réel x tend vers +oo :

-- lorsque ] est un segment de [O,+oo[ et f une fonction en escalier ?
-- lorsque ] est un segment de [O,+oo[ et f une fonction continue par morceaux ?

-- lorsque ] : [0,+oo[ et f est une fonction continue par morceaux ?

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Baptiste Morisse (ENS Cachan) ; il a été relu par
Pierre-Elliot Bécue (ENS Cachan) et Gilbert Monna (professeur en CPGE).

Le sujet est constitué de deux parties indépendantes, l'une portant sur la 
convergence et le calcul de la somme de deux séries trigonométriques, l'autre 
sur le calcul
de la limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
P
· La première partie concerne l'étude de la série
(1/k) cos(k), pour  dans
l'intervalle [  ; 2 [. L'objectif est de démontrer la convergence de cette série
et d'en calculer la somme. On commence par étudier une fonction L, définie
par une série entière, dont la valeur en 1 intervient dans le calcul de la 
somme.
Ensuite, on étudie le cas particulier  = 2/3, à l'aide d'une méthode spécifique.
n
P
Enfin, en utilisant la somme partielle
e ikt on montre pas à pas la convergence
k=1

de la série, dont on calcule la somme à l'aide du premier point.
Cette partie ne présente pas de difficulté majeure. En suivant les indications 
de
l'énoncé, et en connaissant bien son cours sur les séries, on peut la traiter 
rapidement. Le seul point délicat est l'étude de la continuité de L en une 
extrémité
du domaine de convergence.

· La deuxième partie se penche sur la limite lorsque x tend vers + d'une 
intégrale à paramètre du type
Z +
f (t)g(xt) dt
feg (x) =
0

avec f intégrable sur R+ . On considère dans un premier temps l'existence
de feg (x) pour g bornée. Ensuite, on calcule la limite de feg (x) pour g(t) = 
e it .
Puis, dans toute la suite du problème, on se concentre sur le cas g(t) = 
|sin(t)|.
On explicite alors feg = fe pour la fonction f (t) = e -t , et on calcule sa 
limite
en +. Après deux lemmes intermédiaires, on calcule la limite de fe(x) dans le
cas où f est C 1 , puis dans le cas général.
Cette deuxième partie est beaucoup plus longue, et comporte des questions
sensiblement plus difficiles que la précédente car moins guidées, en particulier
la dernière question du sujet.

Globalement, les questions s'enchaînent bien et les indications de l'énoncé 
permettent de répondre sans obstacle majeur. En revanche, deux questions très 
longues
demandent du recul, et peuvent bloquer même les candidats les mieux préparés.

Indications
Partie I
I.1.1
I.1.2
I.2.2
I.2.3

Penser à une série de Taylor.
Montrer que la série qui définit L est uniformément convergente sur [ 0 ; 1 ].
Utiliser une somme de Riemann.
Poser bk = 1/k cos (2k/3) et calculer b3p , b3p+1 et b3p+2 .
Z 
cos(t/2)
ik
ik
I.3.6 Utiliser cos(k) = Re e
et sin(k) = Im e . Puis calculer
dt.
 sin(t/2)
Partie II
II.2.3 Fixer d'abord , puis A, et découper l'intégrale en deux pour utiliser 
les deux
questions précédentes.
II.3.1 Faire deux intégrations par parties successives.
II.3.3 Appliquer le changement de variable u = x + k.
II.3.4 Montrer que e -/x < 1 pour x > 0.
II.4.1 Après avoir noté que |sin| est -périodique et paire, la décomposer en 
série
de Fourier.
II.4.2 Attention : par « les résultats obtenus en II.2 » il faut comprendre « 
le schéma
de la démonstration de la question II.2 » en remplaçant la fonction e it par h.
Montrer ainsi que
Z +
lim
f (t)h(xt) dt = 0
x+

0

II.4.3.2 Dans le premier point, utiliser la linéarité de l'intégrale pour se 
ramener au
cas où f est constante. Montrer alors que
Z
Z
2
lim
f (t) |sin(xt)| dt =
f (t) dt
x+ J
 J
Pour le deuxième point, penser à l'approximation des fonctions continues par
morceaux par les fonctions en escaliers, pour utiliser le premier point. En se
ramenant à la définition « epsilonnesque » de la limite, montrer à nouveau que
Z
Z
2
lim
f (t) |sin(xt)| dt =
f (t) dt
x+ J
 J
Enfin, pour le dernier point, utiliser la question II.2.1 pour se ramener à un
segment [ 0 ; A ] et ainsi utiliser le point précédent.

Les conseils du jury
Dans le rapport de l'épreuve, le jury note que « l'épreuve couvrait une large
part du programme » et qu'il donnait ainsi l'occasion de connaître « le niveau
d'assimilation de nombreuses notions d'analyse ». En particulier, il s'étonne
fortement « d'énormes faiblesses lors de l'utilisation des inégalités et des
nombres complexes : environ un quart des candidats considèrent une relation 
d'ordre sur C ! ! » Enfin, rappelons qu'une présentation soignée est très
appréciée des correcteurs, notant que « la plupart des candidats [ont] fait un
effort pour rendre leur copie agréable à lire ».

I. Une étude de séries
I.1.

Étude de la fonction L

I.1.1 Utilisons la règle de d'Alembert pour calculer le rayon de convergence de 
cette
série. Soit x 6= 0. Comme
(-1)k xk+1 k
k
=
|x| ---- |x|
k
(-1)k-1 xk (k + 1)
k+1

k > 1

on conclut que la série est convergente pour |x| < 1 et divergente pour |x| > 
1. Ainsi,
Le rayon de convergence de la série entière est 1.
La fonction L est donc définie au moins sur l'intervalle ouvert ] -1 ; 1 [. 
Elle est
aussi définie en 1, car la série de terme général (-1)k /k est convergente : 
c'est une
série alternée dont la valeur absolue du terme général, ici 1/k, décroît et 
tend vers 0.
Par suite,
La fonction L est définie sur ] -1 ; 1 ].
Cette série est connue : c'est le développement en série entière de la fonction
x 7- ln(1 + x) sur l'intervalle ] -1 ; 1 [. Ainsi,
x  ] -1 ; 1 [

L(x) = ln(1 + x)

Si on a oublié le développement en série entière de ln, on peut le retrouver à
partir du développement
x  ] -1 ; 1 [

+
P k
1
=
x
1 - x k=0

qui est très facile à retenir : c'est la somme géométrique de raison x. L'autre
développement à connaître est celui de l'exponentielle :
P xk
k=0 k!
+

x  R

ex =

À l'aide de ces deux développements, on peut retrouver quasiment tous les
autres développements en série entière, par dérivation, intégration ou autre.
I.1.2 Pour montrer la continuité de L sur [ 0 ; 1 ], utilisons le fait que la 
série de
terme général (-1)k-1 xk /k est alternée et que le module du terme général 
décroît et
tend vers 0 pour x  [ 0 ; 1 ]. On peut alors utiliser la majoration classique 
du module
du reste d'ordre n par son premier terme :
x  [ 0 ; 1 ]

c'est-à-dire

n > 1

Sup
x[ 0 ;1 ]

L(x) -

L(x) -

n (-1)k-1 xk
P
xn+1
1
6
6
k
n+1
n+1
k=1

n (-1)k-1 xk
P
1
6
k
n
+
1
k=1

et donc

lim

n+

Sup

L(x) -

x[ 0 ;1 ]

n (-1)k-1 xk
P
=0
k
k=1

ce qui démontre la convergence uniforme de la série entière sur [ 0 ; 1 ], et 
ainsi
La fonction L est continue sur [ 0 ; 1 ].
Comme L coïncide avec la fonction ln(1 + x) sur [ 0 ; 1 [, par continuité à 
gauche en 1,
L(1) = ln(1 + 1) = ln(2)
Il faut bien noter qu'une série entière de rayon de convergence R > 0 est
continue sur l'intervalle ouvert ] -R ; R [, mais on ne sait rien a priori sur
la continuité de la série entière au bord de cet intervalle. Il faut alors faire
une étude plus précise en un point du bord. Le rapport du jury note que
les candidats « ont rarement su montrer la convergence uniforme de la série
de fonctions sur [ 0 ; 1 ] » et qu'ils se sont contentés d'établir « la 
convergence
uniforme de la série sur tout segment de [ 0 ; 1 [ », ce qui ne justifie 
aucunement
la continuité de L en 1.

I.2

Étude de la série

P1

cos

k>1 k

I.2.1 Pour tout p entier non nul

3p
p
P
P
ak =
k=1

=

k=1

p
P

k=1

=
3p
P

k=1

ak =

2k

1
1
2
+
-
3k - 2 3k - 1 3k

3

1
1
1
1
+
+
-
3k - 2 3k - 1 3k k

p 1
3p 1
P
P
-
k=1 k
k=1 k
3p 1
P
k=p+1 k

En translatant l'indice k de p, c'est-à-dire en remplaçant k par p + h et en 
sommant
de h = 1 à 2p on obtient
2p
3p
X
P
1
ak =
p
+
h
k=1
h=1

et ensuite en factorisant par p au dénominateur, on obtient la deuxième égalité
3p
P

k=1

2p

ak =

1X
1
p
1 + h/p
h=1

1
sur l'intervalle [ 0 ; 2 ]. Alors,
1+t

2p
2p
3p
P
1X
1
2 - 0X
2-0
ak =
=
f 0+h
p
1 + h/p
2p
2p
k=1

I.2.2 Notons f la fonction définie par f (t) =

h=1

h=1