CCP Maths 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude d'un procédé de sommation
Principaux outils utilisés séries, séries entières, intégration/dérivation terme à terme, équations différentielles, produit de Cauchy, comparaison séries/intégrales, formule du binôme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 PSIM 104

A ,

CONCOURS COMMUNS POlYÏECHNIOUEÏ

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

NB. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision 
et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreurd'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
_ poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On note :
° . N : l'ensemble des entiers naturels,
° R : . l'ensemble des nombres réels,
* C : l'ensemble des nombres complexes.

Pour 2 appartenant à, C , on note |z| son module. -

Pour tout entier naturel n, on note :
° n! la factorielle de n avec la convention O! = 1 ,

* [[O,n]] l'ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 .<. k 5 n ',

n
. {k) le nombre de parties ayant k éléments d'un ensemble de n éléments,

, pour k EUR lI0,n]] .

On rappelle :

.1a valeur de {Z) , ': W pour ke[[0,n]],

° la formule du binôme : si 21 et 22 sont des nombres complexes et n un entier 
naturel,

alors : (21 +22 )" : Î(Z] z{'zÿ"k.

k=0

" 1 1 - 1
=1+--+ ....... +--

Enfin si n est un entier naturel non nul on note on la somme --k-- 2
k=1 "

et on pose 00 = 0.

Objectifs :

Dans les parties 1 et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est 
consacrée à l'étude de
diverses fonctions et en particulier une fonction @ à laquelle on applique 
ledit procédé de

sommation.

Étude d'un procédé de sommation

\

Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes :
Toute application de N dans C étant une suite complexe, si a est une telle 
suite, on utilise la

notation usuelle a (n) = a .

n

, . . . . * , . * 1 " n
A toute suite complexe a , on assome la suite a defime par : pour tout n e N , 
an : '27 (kick .
_ , k=0 .

L'objet des parties 1 et II est de comparer les propriétés de la série 2512 aux 
propriétés de la série .

. n20
Za...

n20

PARTIE 1

Deux exemples

I.1/ Cas d'une suite constante. v _
Soit a & C°" ; on suppose que la suite a est définie par : pour tout ne N , an 
.: a .

1.1.1/Expliciter Z[ZJ pour 11 EN .
* k=0 \ '

I.1.2/Expliciter' a: pour n e N .

1.1.3/ La Série 2 an (resp. z a; ) est Ë-elle convergente ?

n20 n20

I.2/ Cas d'une suite géométrique. _ _
Soit 2 e C ; on suppose que la suite a est définie par : pour tout n e N , an = 
z" .

I.2.1/ Exprimer a; en fonction de z et n.

_ I.2.2/Oh suppose que |z| q la somme S(] (71,51) =Z(/Jâ{î-- .
. k=0

Quelle est la limite de Sq (n,a) lorsque l'entier n tend vers +oc ?

II.2/

II.1.5/ La convergence de la suite ( an)

II.].3/ On suppose que an tend vers 0 lorsque n tend vers +oo ;

Montrer que a; tend vers 0 lorsque n tend vers +00.

II.1.4/ On suppose que au tend vers ! (limite finie) lorsque n tend vers +00. 
Quelle est la

limite de a: lorsque n tend vers +oo '?

neN' est-elle équivalente àla convergence de la suite

a*) ?
( '1 nèN

' . . I o *
Comparaison des convergences des serres Zan et Zan .

n20 n20

Pour neN5onnote Sn =\Zak , 11=2a2 , Un=2"î;.
k=o . k=0

II.2.1/ Pour n e|[O,3]] , exprimer Un comme combinaison linéaire des sommes Sk,

, n
c'est à dire sous la forme Un : ZÂn kSk.
- k=0

II.2.2/ On se propose de déterminer l'expression explicite de Un comme 
combinaison

linéaire des sommes Sk pour k e[[0,n]] :

(EUR) Un : ËÂn,kSk pour n eN.
. k=0 .

II.2.2.1/ A quelle expression des coefficients )... (en fonction de n et k) 
peut--on

_ s'attendre compte tenu des résultats obtenus à_ la question II.2.1 ?
II.2.2.2/ Etablir la formule (£) par récurrence sur l'entier n (on pourra 
remarquer.
que pour tout k e[[O,n1] : ak' : Sk -- Sk_1 avec la convention S_1 = O).

II.2.3/ On suppose que la série 2 an est convergente.

nZO '

' +00
, . * - . *
Montrer que la serre , E an est convergente et exprimer la somme 2 an en
nZO n=0 .

+00
fonction de la somme 2 an .

n=0
II.2.4/ La convergence de la série }: an est-elle équivalente àla convergence 
de la série

nZO
"*
za"?

n20

PARTIE 111

Une étude de fonctions

On rappelle que: an : 2% pour h & N°" et 00 = O.
_ ' _ k=l
Pour x réel, lorsque cela a du sens, on pose :

n +oo n +oo

(nÎ--1)Ü g(x)=ZÛnx ; $(X)=£qu".

n=0 "! ' n=0 '

f(x>=Î

< n=0'

111.1/ Étude de f.

Ill.lll/ Vérifier que f est définie et" continue sur R .

III.1.2/ Expliciter xf (x) pour tout x réel.

III.l.3/ Expliciter e"" f (x) pour tout x_ réel.

111.2/ Étude de g.

III.2.1/ Montrer que g est définie et de classe EUR! sur R.

III.2.2/ On désigne par g' la dérivée de la fonction g ; eXprimer g'--g en '
fonction de f . _ '

III.2.3/ Montrer que pour tout x réel :

'g(x) =e" fe"f(t)dt.
III.3/ La fonction F .

On considère la fonction F définie sur R par:
F(x)= fe"'f(t)dt.

III.3.1/ Montrer que la fonction F est développable en série entière sur R et
expliciter son développement. '

. . * ,, < --1>"'
111.3.2/ P N , t : ___--'
our ne onnOe %; ëk(kl)(n--k)!

Exprimer 7h en fonction de n et an.

_ , . (---1)k+1
111.4/ La ser1e Z .
, , ... . k

Pour n e N* on note ln( n) le logarithnfle repérien de n.

' III.4.1/ Soit wk =ln(fil)------l-- pour k & N°"
, k k+1 _

III.4.1.1/ Montrer que la série Z wk est convergente.
' kZl

Ill.4.l.2/ ' En déduire que la suite de terme général Un -- ln(n) admet une 
limite

finie (que l'on ne demande pas de calculer) lorsque n tend vers +oo .

k+1
* . n _1 . ' .
III.4.Z/ Pour n E N , on pose z'n : z( k) ; exprimer T," en foncüon
k=l

de (72, et a".

k+l
, - _]
III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série z( k) est
' _ 4 " k21
(_1)k+l . '
k

+00
convergente et déterminer sa somme z
k=l

III.5/ Étude de la fonction ça' .

' On rappelle que pour x réel ça( x) = Îopc" .

n=0

III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence R de la série entière 2 aux". .

nZl

III.5.Z/ Préciser l'ensemble de définition A de la fonction ' ça , et étudier 
ses

variations sur [O, R[ .

111.5.3/ Valeur de WG).

En utilisant les résultats de la partie II et de laquestion III.4.3 expliciter 
la

valeur de ça (%) .

III.5.4/ Expliciter (/)(x) pour x appartenantà A et retrouver la valeur de 
çp(--l-).

2

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Ismaël
Soudères (ENS Cachan) et Thomas Vidick (ENS Ulm).

Ce problème porte sur l'étude du procédé de sommation qui à toute suite 
complexe (an )nN associe la suite (an )nN définie par
 
n
1 P
n

n  N
an = n
ak
2 k=0 k
L'idée directrice est de chercher les liens
P entre
P la convergence de chacune des suites,
puis entre la convergence des séries an et an . Le sujet comporte trois parties.

· Dans la première partie, on s'intéresse à deux exemples : d'une part celui des
suites constantes et d'autre part celui des suites géométriques.
· Dans la deuxième, on étudie le cas général. On montre
P notamment que la
convergence de la suite (an )nN (respectivement
la
série
an ) entraîne celle de
P
(an )nN (respectivement celle de an ). On s'intéresse ensuite à la réciproque.
· Enfin, on applique les résultats obtenus à la deuxième partie à l'étude de la
fonction  définie par la série entière
+

(x) =

P

n xn

n=0

où

0 = 1

et n =

n 1
P
k=1 k

Pour cela, on introduit deux fonctions auxiliaires définies
par des séries entières,
P
ce qui permet de déterminer la somme de la série (-1)k /k, puis d'en déduire
la valeur de  en 1/2 grâce aux résultats de la deuxième partie. On retrouve
cette valeur, d'une manière indépendante, à la fin de la partie.
Ce court problème aborde principalement l'étude des séries numériques et des 
séries entières. Il ne présente pas de difficulté théorique majeure, mais 
quelques passages
requièrent une bonne dextérité dans la manipulation des séries : certaines 
questions
nécessitent peu d'idées et beaucoup de calculs.

Indications
Partie I
I.1.1 Penser à la formule du binôme.
I.1.3 Ne pas oublier qu'il existe une condition nécessaire grossière pour la 
convergence d'une série.
I.2.1 Utiliser judicieusement la formule du binôme.
I.2.2.2 Penser à appliquer la question I.2.2.1 à (1 + z)/2.
I.2.3.3 Vérifier que l'on peut se ramener à la question I.2.2.1. Pour effectuer 
le
calcul de la somme, le plus simple est d'utiliser la notation exponentielle.
Partie II
II.1.1.1 Expliciter le coefficient binomial et factoriser par le terme dominant 
en n.
II.1.3 Revenir à la définition de la limite d'une suite, et découper 
judicieusement
la somme définissant an .
II.1.4 Chercher à se ramener au cas précédent en considérant la suite bn = an - 
.
II.1.5 Des exemples et contre-exemples ont été donnés dans la première partie.
II.2.2.1 Reconnaître des coefficients binomiaux.
II.2.2.2 En plus de l'indication de l'énoncé, utiliser le fait que

n
n
n+1
+
=
p
p+1
p+1
II.2.3 On pourra appliquer le résultat de la question II.1.4.
Partie III
III.1.1 La fonction f étant définie par une série entière, il suffit de 
calculer son
rayon de convergence pour conclure. On peut pour cela utiliser le critère
de d'Alembert.
III.1.2 Reconnaître un développement connu.
III.2.2 Dériver terme à terme la série entière définissant g et écrire le 
développement
de g  - g.
III.2.3 Utiliser la méthode de la variation de la constante pour résoudre 
l'équation
trouvée à la question III.2.2.
III.3.1 Utiliser le résultat de la question III.1.3 et intégrer terme à terme.
III.3.2 Identifier les développements en série entière des fonctions x 7 ex 
F(x) et g
qui sont égales d'après la question III.2.3. Le calcul du premier développement 
se fait avec un produit de Cauchy.
Z n
III.4.1.1 Remarquer que wn s'écrit
f (t) dt - f (n) où f est la fonction définie
n-1

par f (t) =

1
.
1+t

III.4.1.2 Calculer les sommes partielles de la série de terme général wn et 
utiliser le
résultat de la question III.4.1.1.
III.4.2 On pourra, dans la somme définissant n , séparer les termes d'indices 
pairs
des termes d'indices impairs.
III.4.3 Combiner les résultats des questions III.4.1.2 et III.4.2 en 
introduisant judicieusement des termes en ln(n) et ln(2n). Montrer par la suite 
que les suites
extraites (2n )nN et (2n+1 )nN ont même limite.
III.5.1 Utiliser le critère de d'Alembert.
III.5.3 Calculer la transformée de la série de la question III.4.3 par 
l'opérateur
« étoile » défini par le problème. Utiliser la question III.3.2 pour reconnaître
la valeur de  en 1/2 et le résultat de la question II.2.3 pour l'obtenir.
III.5.4 Reconnaître le produit de Cauchy de deux séries de référence.

Commençons par quelques points intéressants tirés du rapport du jury.
Les raisonnements suivants font mauvais effet :
· Ne pas voir qu'une série diverge lorsque son terme général ne tend pas
vers 0.
· Les inégalités fausses sur les complexes du type e i < 1 si   ] 0 ;  [.
· Ne pas savoir manipuler les équivalents (rappelons que pour être sûr
il est toujours préférable d'écrire un = vn + o(vn ) plutôt que un  vn
puisque les équivalents ne se comportent pas bien vis à vis des sommes
et des passages à l'exponentielle.
Concernant les épreuves de la banque CCP, les correcteurs sont très sensibles à 
la connaissance du cours : il faut montrer que l'on sait parfaitement
l'appliquer (en rappelant par exemple la structure de l'espace des solutions
d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre). Faire des
impasses dans une copie concernant les justifications « du cours », mais savoir
écrire la démonstration du théorème de Cesàro de façon propre peut donner
une mauvaise impression au correcteur.

I. Deux exemples
I.1.1 On utilise la formule du binôme qui donne
 
n
P
n k n-k
n
(1 + 1) =
1 1
k=0 k
 
n
P
n
c'est-à-dire
= 2n
k=0 k
Cette méthode se généralise au calcul de beaucoup de sommes du type
 
n
P
n
P(k)
k=0 k
où P est un polynôme. On utilise la même relation
 
n
P
n k
n
(1 + x) =
x
k=0 k

que l'on peut formellement dériver, intégrer... On utilise cette méthode par
exemple à la question I.2.1.
Une autre démonstration était possible en utilisant la définition combinatoire 
des coefficients
  binomiaux : soit E = {x1 , . . . , xn } un ensemble à n élén
ments, alors
désigne le nombre de parties à k éléments de E. Ainsi,
k 

n
P
n
la somme
désigne le nombre total de parties de E. Pour calculer
k=0 k
ce dernier, énumérons les différentes parties possibles de E. Soit A une partie
quelconque de E. On lui associe le n-uplet (1 , . . . , n ) de {0, 1}n, où i = 1
si xi  A et 0 sinon. L'application définie ainsi entre l'ensemble des parties
de E et {0, 1}n est injective et surjective, donc bijective. On en déduit que
le cardinal de E est 2n . Il y a donc 2n parties possibles de E, ce qui donne
exactement la formule cherchée.