CCP Maths 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Recherche sous la forme de séries de Fourier de solutions de l'équation différentielle y''(x) + y(x) = μ (x)
Principaux outils utilisés équations différentielles, intégration, séries de Fourier, séries de fonctions
Mots clefs fonctions périodiques, séries géométriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 ' A PSIMIOS

CONCOURS (OMMUNS _P0lYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****'

N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

q****

Dans tout ce problème, on désigne par ,il une application continue 27! - 
périodique de R dans R et
on considère l'équation différentielle :

(En) Y"+ y = fl(ï)

On désigne par (a" la solution sur R de (E") qui vérifie en outre les relations 
ça" (0): $;: (0): 0.

Pour xe R , on note :

_ Gfl(x)= Eu(t) cost dt et Hfl(x)=_f0xu(t) sint dt

Dans la partie 1, on étudie quelques propriétés de la fonction $,, . Dans la 
partie II et la partie 111,
on étudie un exemple explicite. V

' PARTIE I

On désigne par F y la fonction définie sur R par F # (x)= (sin x) GF (x)-- (cos 
x) H # (x).
Pour simplifier les notations, on écrira F, G, H , $ pour désigner les fonctions

F", G... H", %.
I.1 Justifier la dérivabilité de G, H "et donc F. Préciser F (O) et 'F'--(O).

I.2 -Montrer que F est de classe EUR?" sur R et exprimer F "(x)+ F (x) en 
fonction de ,u(x).
1.3 Justifier l'affirmation F = $.

1.4 Etude du caractère 271 -' périodique de (p .
1.4.1 Calculer la dérivéede G(x + 27z)---- G(x) et H(x + 27z)-- H(x).

1.4.2 Exprimer G(x + 271 ) -- G(x) en fonction de G(27Z)
et ' H (x + 271 ) -- H (x) en fonction de H (271 ).

1.4.3 Exprimer w(x +_27z )--w(x) en fonction de sin x, cos x, G(27z) H (ZE).

1.4.4 A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur G(27z) et H (Zn)
fonction (fl est--elle 27z-- périodique '?

1.4.5 La fonction (p est--elle 272 - périodique lorsque. ,u(t)=sint '? (resp. 
lorsque
,u(t)=cost ?)

1.4.6 La fonction (p est--elle bomée lorsque ,u(t)= sint ? (resp. lorsque
,u(t)= cost ?)

1.4.7 Montrer que la fonction (p est 272 - périodique lorsque ,u(t)= |sin tl.

1.4.8 Les fonctions (0 , (p', et ça" sont--elles bomées lorsque ,u(t)=lsin tl ?

Dans toute la suite du problème, on suppose que ,u(t)= |sin tl .

PARTIE II

Calcul de !

R+

e"çp(t) dt

II. 1 Justifierl' intégrabilité sur R de la fonction 1 +---> e |sintl.

II. 2 Pour ne N, on note v,, : --I(n+l)fle "'lsin tl dt.
11.2.1 Calculer vo.
Il.2.2 Montrer qu'il existe un nombre réel ,a (que l'on explicitera) tel que

pour tout ne N , on ait v,, : p"vo.

11.2.3 En déduire la convergence de la série Evn et expliciter sa somme 2vn .
n20 n=0

[1.2.4 En déduire la valeur de l'intégrale _[R+ e"|sin tl dt.

11.3 -
11.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de 1.4.8) 
que les

fonctions 1 |----> e"(p(t), t |--> e"ça'(t) et t l--> e"çü"(t) ,sont 
intégrables sur , R+ .

Il.3.2 Etablir une relation entre !

R+ e"',u(t) dt et [... e"'æ(t) dt.
e"'(0(t) dt ,.

R+

En déduire [

PARTIE III _ \

Développement de Fourier des fonctions ,u et {0 .

Si f est une application continue 2fl- périodique de R dans R, on désigne par a 
(f) et b ( f )
les coefficients de Fourier réels de f:

a ,,(f)=---- ;J?f(r) cos(nt) dt et b ,,(f)= --71Î0J2"f(t) sin(nt) dt pour ne N.

Lorsqu'elle converge, on désigne par SF , (t) la somme de la série de Fourier :

SF,(t)= "ogf)+ É...) cos(nt)+b,(f) s...(m).

III.]

III.1.1 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction . ,u
(rappel : ,u(t)= |sin tl ).

III. 1.2 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction @
(rappel: «) "(t)+w(t) =lsîntl. w(0)= (fl'=(O) 0)
III.2 Série de Fourier de la fonction ,a .

III.2.1 Calculer les coefficients an(,u) pour ne N . Quelle est la valeur des 
coefficients
bn(,u) pour ne N' ?

' 1
III.2.2 Etablir la conver ence de la série et ex liciter sa somme
g % (4p21 -- )1 p Ê2 4 p -1
III.2.3 Etablir la convergence de la série Z------l---2-- et calculer sa somme 
Î------l------2
- p>1(4p2 --1) p= -1(4p2 --1)

1113 Série de Fourier de la fonction (0 .

III.3.1 Etudier la parité des fonctions G, H puis celle de la fonction (p . 
Quelle est la
valeur des coefficients bn ((p) pour ne N' ? '

III.3.2 Etablir une relati0n entre an ((p") et a,, ((p) pour ne N .
III.3.3_ En déduire la valeur de au ($) pour n # 1 .

111.3.4 Calculer a1 (@).

III. 4 On considère la série z . Just1f1er la convergence de cette sene et

p>l 4p2 "'1 16p4 "'].

expliciter sa somme Î------l-------- en calculant l'intégrale du II par un 
autre procédé
.. _1(4p2 --1)(16p --1)

qu'on justifiera soigneusement.

III.5 On considère dans cette question l'application à de classe EUR2 de R dans 
R vérifiant;
W(Ù+$(Ù=w(t) pour tout te R
et a(o)= o'(o)= o.

111.5.1 La fonction «) est-elle 271 - périodique ?
III.5.2 La fonction @ est-elle. bornée sur R ?

III.S.3 La fonction t +--> e"'$(t) est--elle intégrable sur R+ ?

Fin de l'énoncé.

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CCP Maths 1 PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce problème est consacré à l'étude d'une famille d'équations différentielles
linéaires à coefficients constants et d'ordre 2, de la forme :
y  + y = µ
où µ est une fonction continue de R dans R, 2-périodique. On étudie notamment
un certain nombre de propriétés de la solution µ du problème de Cauchy défini 
par
les conditions initiales y(0) = y  (0) = 0, en fonction de l'application µ 
choisie.
Dans l'ensemble, le problème est d'un niveau assez raisonnable, aucune question
n'étant insurmontable si l'on maîtrise bien son cours. Il est composé de trois 
parties,
les résultats de la première étant utilisés dans les deux autres, largement 
indépendantes entre elles.
· Dans la première partie, on commence par exhiber un procédé de construction
de la solution du problème de Cauchy, puis on détermine des critères sur 
l'application µ pour que la solution µ vérifie certaines propriétés : 
2-périodicité
et caractère borné. Cette partie se termine sur l'étude de quelques exemples,
notamment le cas µ = |sin| qui sera étudié plus en détail dans la suite du
problème.
Z
· La deuxième partie est consacrée au calcul de l'intégrale
e-t (t)dt (où  est
R+

la solution
Z du problème de Cauchy). Pour cela, on commence par calculer l'intégrale
e-t |sin t| dt, en la découpant selon les intervalles [ n ; (n + 1) ].
R+

Puis on établit une relation entre ces deux intégrales, ce qui permet de 
calculer
la première.
· Enfin, dans la troisième partie, on étudie les séries de Fourier des 
fonctions µ
et , ce qui permet de calculer la valeur d'un certain nombre de séries 
numériques, dont les sommes :

P

1
2
p=1 4p - 1

P

p=1 (4p2

1
2

- 1)

et

P

p=1

(4p2

1
- 1) (16p4 - 1)

Indications
Partie I
I.3 Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz, et notamment l'unicité de la 
solution
du problème de Cauchy.
I.4.4 Utiliser le résultat de la question I.4.3 pour trouver des conditions 
suffisantes.
Montrer ensuite qu'elles sont nécessaires.
I.4.5 Utiliser la question I.4.4.
I.4.6 Utiliser la question I.4.3 pour construire une suite (tk ) telle que
(tk ) -

+

k

I.4.8 Montrer d'abord que  est bornée sur [ 0 ; 2 ].

Partie II
II.2.1 Faire deux intégrations par parties ou raisonner avec des nombres 
complexes.
II.2.2 Utiliser le changement de variable t  t + n.
II.3.2 Z
En intégrant par parties, exprimer l'intégrale
e-t (t) dt.

Z

e-t  (t) dt en fonction de

R+

R+

Partie III
III.1 Se rappeler le théorème de convergence normale des séries de Fourier.
III.2.1 Utiliser la formule de trigonométrie donnant sin a cos b comme une 
somme de
sinus, ainsi que la parité de la fonction µ.
III.2.2 Utiliser le critère de Riemann pour montrer la convergence de la série.
III.2.3 Utiliser la formule de Parseval pour calculer la somme de la série.
III.3.2 Effectuer deux intégrations par parties.
III.3.3 Utiliser l'équation différentielle vérifiée par la fonction .
III.3.4 Revenir à la définition des coefficients de Fourier. Décomposer 
l'intégrale en
somme de coefficients de Fourier des fonctions G et H, et utiliser la parité de
ces fonctions.
III.4 Découper l'intégrale de la partie II, dont on connaît la valeur, selon 
des intervalles de type [ 2k ; 2(k + 1) ] pour l'exprimer en fonction de 
l'intégrale
Z 2
e-t (t) dt
0

Dans cette dernière intégrale, remplacer  par sa série de Fourier (en justifiant
correctement l'opération) afin de faire apparaître les coefficients de la série 
à
calculer.

Partie I
I.1 La fonction t 7- µ(t) cos t est continue sur R. La fonction G étant définie
comme sa primitive qui s'annule en 0, elle est donc de classe C 1 sur R, et 
vérifie
x  R

G (x) = µ(x) cos x

De la même manière, H est une primitive de la fonction t 7- µ(t) sin t, donc 
également de classe C 1 , et
x  R

H (x) = µ(x) sin x

En particulier, les théorèmes généraux de dérivation assurent que F est 
dérivable, et
x  R

F (x) = cos x G(x) + sin x G (x) + sin x H(x) - cos x H (x)
= cos x G(x) + sin x H(x)

Enfin, G et H s'annulent en 0 donc
F est dérivable sur R et F(0) = F (0) = 0.
I.2 On a vu à la question précédente que F s'écrit :
x  R

F (x) = cos x G(x) + sin x H(x)

La fonction F est de classe C 1 , en tant que somme de produits de fonctions de
classe C 1 . On en déduit que F est de classe C 2 avec, en dérivant F ,
x  R

d'où

F (x) = - sin x G(x) + cos x G (x) + cos x H(x) + sin x H (x)
= - sin x G(x) + cos x H(x) + µ(x) cos2 x + sin2 x
F est de classe C 2 et
x  R F (x) + F(x) = µ (x)

I.3 Par définition,  est la solution sur R de l'équation y  + y = µ qui vérifie
en outre y(0) = y  (0) = 0. On vient de montrer que F vérifie exactement les 
mêmes
conditions, on a donc nécessairement :
F=
Tel qu'est rédigé l'énoncé,  est présentée comme la fonction vérifiant ces trois
conditions, l'unicité étant donc admise. Celle-ci n'est ni plus ni moins qu'une
application directe du théorème de Cauchy-Lipschitz, qui affirme l'existence
et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy.
I.4.1 Pour tout réel x, on a G(x + 2) - G(x) =

Z

x+2
x

e
µ(t) cos t dt. Soit G

l'application qui, à tout réel x, associe la quantité G(x + 2) - G(x). Le 
théorème de
dérivation d'une intégrale fonction de ses bornes donne alors
e  (x) = µ(x + 2) cos(x + 2) - µ(x) cos x
x  R G

et comme les fonctions µ et cosinus sont toutes deux 2-périodiques, cette 
dérivée
e définie sur R par la relation
est nulle. On obtient le même résultat pour la fonction H
e
H(x) = H(x + 2) - H(x), la fonction sinus étant elle aussi 2-périodique.
Les deux applications x 7- G(x + 2) - G(x) et
x 7- H(x + 2) - H(x) sont de dérivées nulles sur R.

I.4.2 La fonction x 7- G(x + 2) - G(x) est de dérivée nulle, donc constante.
En particulier, elle est égale à sa valeur en 0, à savoir G(2) - G(0) = G(2).
Z 0
(En effet, on a G(0) =
µ(t) cos t dt = 0). Il en est de même pour la fonction
0

x 7- H(x + 2) - H(x)
x  R G(x + 2) - G(x) = G(2)
x  R H(x + 2) - H(x) = H(2)
I.4.3 En utilisant l'égalité F = , on a en particulier, pour tout réel x,
(x) = sin x G(x) - cos x H(x)
On en déduit l'expression de (x + 2) - (x) :
sin(x + 2) G(x + 2) - sin x G(x) - (cos(x + 2) H(x + 2) - cos x H(x))
qui, par périodicité des fonctions sinus et cosinus, se simplifie en
sin x (G(x + 2) - G(x)) - cos x (H(x + 2) - H(x))
Soit, grâce aux résultats de la question précédente :
x  R

(x + 2) - (x) = sin x G(2) - cos x H(2)

I.4.4 La condition G(2) = H(2) = 0 est clairement suffisante pour que  soit
2-périodique (dans l'expression précédente, on a alors (x + 2) = (x) pour tout
réel x).
Réciproquement, supposons que la fonction  est 2-périodique. En appliquant
la relation trouvée à la question précédente en x = 0, on a
0 = (2) - (0) = -H(2)

et pour x =
0=
+ 2 - 
= G(2)
2
2
2
d'où

 est 2-périodique si et seulement si G(2) = H(2) = 0.

I.4.5 Si µ est la fonction sinus (qui est bien continue et 2-périodique), alors 
on a
Z 2
H(2) =
sin2 t dt > 0, donc  n'est pas 2-périodique.
De même, si µ est
Z
2

0

la fonction cosinus, alors on a cette fois G(2) =
2-périodique non plus.

cos2 t dt > 0, et  n'est pas

0

L'application  n'est pas 2-périodique lorsque
µ est la fonction sinus ou la fonction cosinus.
Les intégrales

Z

2
2

sin t dt et

0

Z

2

cos2 t dt sont strictement positives comme

0

intégrales de fonctions continues, positives et non identiquement nulles sur
[ 0 ; 2 ]. L'argument suffit à prouver que  n'est pas 2-périodique, mais
on peut aussi aisément calculer ces intégrales. Par exemple, en utilisant les
1 + cos(2x)
1 - cos(2x)
relations cos2 x =
et
sin2 x =
2
2
Z
Z
2

2

sin2 t dt = 

cos2 t dt =

on trouve :

0

0