X/ENS Physique B PC 2016

Thème de l'épreuve Histoires d'eau ou quelques aspects de la physique des gouttes
Principaux outils utilisés mécanique des fluides
Mots clefs goutte, tension de surface, bilan mécanique, loi de Marshall-Palmer, onde

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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201604231100

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIÈRE PC

CONCOURS D'ADMISSION 2016

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC)
(Durée : 4 heures)

5

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre 
significatif.
  
Histoires d'eau ou quelques aspects de la physique des gouttes
Introduction.
10

Nous nous proposons d'étudier deux aspects de la physique des gouttes d'eau. 
L'un concerne l'effet
mécanique de la pluie sur un pare-brise d'avion et fait l'objet de la première 
partie. L'autre se rapporte
à la déstabilisation d'un filet d'eau conduisant à la formation d'un chapelet 
de gouttelettes et constitue
la seconde partie. Ces deux parties sont indépendantes.
Notation et données.
Accélération de la pesanteur : g
Masse volumique de l'air :
a
Masse volumique de l'eau :
e
Viscosité dynamique de l'air : a
Tension superficielle eau/air : 

=
=
=
=
=

9, 81 m · s-2
1, 20 kg · m-3
998 kg · m-3
1, 85 × 10-5 Pa · s
72, 8 × 10-3 J · m-2

(1)

Le signe "" est une égalité introduisant et définissant une grandeur.
Intégrale généralisée :
Jn 

Z +

xn exp(-x) dx = n!

(n  N)

(2)

0

Élément de longueur d'une courbe définie par une fonction y = y(x) :
ds 

15

I

q

(dx)2 + (dy)2 =

q

1 + y  (x)2 dx

(3)

Impact mécanique de la pluie.

Nous nous proposons d'étudier l'effet mécanique de la pluie sur un pare-brise. 
Une goutte est assimilée à une sphère de rayon r. Sa vitesse, par rapport au 
référentiel terrestre R0 ( ~ex , ~ey , ~ez ) considéré
comme galiléen, est notée ~v = v ~ex où ~ex = ~g /g.
20

Le coefficient de traînée d'un objet sphérique, dans un écoulement en régime 
inertiel, est sensiblement
constant. Nous adoptons la valeur Cx = 0, 4.

­ Page 1/7 ­

201604231100

I.A
1.

Chute d'une goutte d'eau.
a) Sur la base de sa propre expérience, proposer un ordre de grandeur du rayon 
d'une goutte
d'eau de pluie et celui de sa vitesse de chute.
b) Calculer le nombre de Reynolds correspondant. En déduire la nature du régime 
de l'écoulement de l'air autour de la goutte.
Nous considérerons que l'écoulement demeure dans ce régime durant toute la 
chute d'une
goutte.

25

c) Établir le bilan des forces qui s'exercent sur une goutte, lors de sa chute. 
Préciser leur
expression.
d) Établir que la vitesse de chute de la goutte est régie par l'équation 
différentielle :
v
=1-
g

 2

v
u

(4)

,

où u est une constante que l'on exprimera en fonction de e /a , g, r et Cx , et 
dont on
donnera une interprétation physique.

30

2.

a) Déterminer la solution de l'équation différentielle (4) en considérant que 
la goutte quitte le
nuage avec une vitesse négligeable devant u.
b) Esquisser l'allure de l'évolution v/u = f (t/t ) où t représente un temps 
caractéristique
que l'on précisera. Commenter brièvement cette évolution.

35

c) À partir du tracé précédent, définir une distance caractéristique H  au delà 
de laquelle on
peut considérer que la goutte a atteint une vitesse limite.
d) Calculer les valeurs numériques de u et H  . Commenter brièvement ce dernier 
résultat.
I.B
40

Effort mécanique.

Nous souhaitons estimer la force qu'exerce la pluie sur le pare-brise d'un 
avion. Le pare-brise est
modélisé par une surface S rectangulaire de hauteur h = 0, 5 m et de largeur  = 
1 m, inclinée
d'un angle  = 45 sur la direction horizontale (figure (1)). Nous considérerons 
que, lorsque qu'une
goutte heurte le pare-brise, sa quantité de mouvement, relativement à un repère 
lié à l'avion, s'annule.

y
h

x

W

~ = W ~ey . Le
Figure 1 ­ Schéma de profil du nez d'un avion progressant, sous la pluie, à la 
vitesse W
pare-brise apparaît en trait plein épais.

45

L'intensité I caractérisant une précipitation est mesurée par la hauteur d'eau 
recueillie au sol, par
unité de temps. Pour les applications numériques, nous adopterons I = 300 mm · 
h-1 (pluie extrême,
sur une courte durée).
Dans un premier temps, nous supposons que les gouttes de pluie ont le même 
rayon r0 = 0, 5 mm.
Nous notons N0 leur nombre par unité de volume (d'atmosphère).

­ Page 2/7 ­

201604231100

3.

a) Exprimer N0 en fonction de u, r0 et de l'intensité I.
b) Calculer la valeur numérique de N0 .

50

c) En déduire la distance moyenne d0 entre les gouttes de pluie.
4. Nous considérons d'abord le cas d'un avion immobile sur l'aérodrome.
a) Représenter, sur un schéma, le domaine de précipitation (atmosphère et 
gouttes) intercepté
par le pare-brise entre les instants t et t + dt.
b) Exprimer la force F~0 exercée par la pluie sur le pare-brise. Vérifier que 
son module s'écrit
sous la forme :
F0 = (k cos )Se u2 .

(5)

Expliciter la dépendance du facteur k avec N0 et r0 . Préciser sa dimension.

55

c) Calculer l'intensité de cette force.
~ = W ~ey .
5. Nous considérons maintenant un avion volant à la vitesse W
a) Donner un ordre de grandeur de W pour un avion de ligne.
b) En se plaçant dans un repère lié à l'avion, représenter, sur un schéma, le 
domaine de
précipitation (atmosphère et gouttes) intercepté par le pare-brise, entre les 
instants t et
t + dt. On considérera les ordres de grandeur en jeu.
c) En déduire l'expression de la force F~ exercée par la pluie sur le 
pare-brise.

60

d) Donner l'ordre de grandeur de la force correspondante.
I.C

Distribution du rayon des gouttes.

En réalité, les gouttes de pluie n'ont pas toutes la même taille. Le nombre dN 
de gouttes, par unité
de volume (atmosphérique), dont le rayon est compris entre r et r + dr suit 
sensiblement la loi de
Marshall-Palmer :
dN = n(r) dr = n0 exp(-r/) dr ,
65

(6)

où n0 et  sont les paramètres (constants) de la distribution.
La différentielle dP (r)  dN/N0 , où N0 représente le nombre total de gouttes 
par unité de volume,
s'interprète comme la probabilité élémentaire que le rayon d'une goutte 
appartienne à l'intervalle
[r, r + dr].
6. Quelques propriétés de la distribution de rayon.

70

a) Exprimer N0 en fonction de n0 et .
b) Comparer les probabilités P(r  ) et P(r > ) que le rayon d'une goutte 
choisie aléatoirement soit, respectivement, inférieur ou supérieur à . 
Interpréter ce résultat.
c) Exprimer le rayon moyen hri des gouttes. Mettre ce résultat en perspective 
du précédent.
7. Nous définissons la grandeur différentielle suivante :
dM (r) = e

4 3
r n(r) dr .
3

(7)

a) Donner sa signification physique.
75

b) Esquisser l'allure graphique de la grandeur µ(r)  dM/ dr.
c) Préciser le rayon des gouttes dont la contribution à la masse totale (par 
unité de volume)
est la plus importante.
d) Exprimer la masse moyenne hmi des gouttes.

­ Page 3/7 ­

201604231100

e) Commenter la comparaison de hmi à la masse d'une goutte de rayon hri.
8. L'expression de la force obtenue à la question (5c) s'écrit sous la forme :
F~ = -Q N0 r03 ~ey ,

(8)

où le facteur Q est indépendant de N0 et r0 .
a) Exprimer la force F~D exercée par la pluie sur le pare-brise, pour la 
distribution (6).
b) Exprimer le rapport   F~D / F~ pour un nombre total N0 de gouttes par unité 
de volume
fixé et pour hri = r0 .
c) Conclure sur l'effet mécanique de la pluie. Le comparer à celui 
correspondant au maintien
en pression de l'habitacle de l'avion.
9. La figure (2) présente des relevés météorologiques de la distribution du 
rayon des gouttes.

80

85

Figure 2 ­ Relevés météorologiques de la distribution du rayon des gouttes de 
pluie, pour cinq régimes
de précipitation. On remarquera l'échelle logarithmique en ordonnée.
a) Comparer ces données à leur modélisation par la loi de Marshall-Palmer (6).
b) Pour le plus faible régime de précipitation, que l'on désignera en 
justifiant sa sélection,
déduire de la figure (2) les valeurs (approximatives) de n0 et de .
c) Dans ce même régime, donner la valeur numérique du rayon moyen hri et celle 
du nombre
total N0 de gouttes par unité de volume. Commenter ce dernier résultat.
d) Parmi les relations exprimant le nombre total de gouttes N0 par unité de 
volume, leur
rayon moyen hri et la force F~ exercée sur le pare-brise, obtenues en 
s'appuyant sur la loi de
Marshall-Palmer (6), quelle est celle qui souffre le moins de l'écart de cette 
loi aux relevés
météorologiques ? Cette réponse doit être argumentée.

90

95

II

Formation des gouttes - Instabilité de Rayleigh-Plateau.

Dans cette partie, nous allons étudier la déstabilisation d'un filet d'eau. 
Initialement cylindrique,
on observe qu'il se fragmente en un chapelet de gouttes 1 . Le moteur de cette 
instabilité, dite de
Rayleigh-Plateau, est la tension superficielle (énergie de surface). On 
rappelle que la variation de l'aire
S d'une interface eau/air entraîne une variation d'énergie E de cette interface 
telle que :
E =  S .

(9)

Nous choisissons d'associer une énergie nulle à une aire nulle.
1. On observe un phénomène analogue de fragmentation lorsqu'un filet d'eau 
s'écoule sur une vitre ou lorsque la rosée
forme des perles sur une toile d'araignée.

­ Page 4/7 ­

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II.A

Approche statique.

Dans un premier temps, nous négligeons l'effet de la gravité.
L
2R0

2a
2

2r

Figure 3 ­ Schémas du filet d'eau cylindrique initial (R0  L), puis de la 
perturbation sinusoïdale
et enfin de l'état final en chapelet de gouttes sphériques.
100

10.

a) Considérons une portion de longueur L d'un cylindre d'eau, de rayon R0 (R0  
L), dans
l'air (voir figure (3)). Exprimer l'énergie de surface E0 du cylindre en 
fonction de , R0 et
L.
b) Après sa déstabilisation, le cylindre a formé N gouttes sphériques de rayon 
r (figure (3)).
Exprimer l'énergie de surface EN de l'ensemble de ces gouttes, en fonction de , 
N et r.

105

c) À quelle condition, portant sur r, la situation en chapelet est-elle 
énergétiquement la plus
favorable ? Analyser ce résultat.
11. Si l'approche précédente permet de justifier qu'une instabilité est 
susceptible d'apparaître, elle
ne décrit toutefois pas l'évolution continue conduisant du filet d'eau (R0 , L) 
au chapelet de gouttelettes (N, r). Nous considérons alors que le rayon R du 
filet d'eau est modulé harmoniquement
autour de sa valeur moyenne hRi (voir figure (3)) :
R(x) = hRi + a sin(kx) ,

(10)

où x est l'abscisse le long de l'axe de symétrie, a l'amplitude et k = 2/ le 
nombre d'onde de
la pertubation (kL  1). Nous supposons de plus que cette perturbation est 
faible, soit a  R0
et ka  1.
110

a) Établir la relation liant a, hRi et R0 . Exprimer hRi en fonction de R0 , à 
l'ordre le plus bas
en a/R0 .
b) À l'ordre le plus bas en a/R0 et en ka, établir que l'aire latérale du filet 
déformé, relative
à une longueur d'onde, s'exprime :
"

#

a2  2 2
k
R
-
1
.
S (a) = S (0) 1 +
0
4R02

c) Analyser ce résultat.

­ Page 5/7 ­

(11)

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II.B

Approche dynamique.

Afin de rendre compte de l'aspect dynamique de l'instabilité, nous allons 
maintenant étudier l'évolution temporelle d'une perturbation sinusoïdale, de 
longueur d'onde fixée. L'équation décrivant la
déformation du filet devient alors :
h

i

R(x, t) = hRi + a exp j(t - kx) ,

(12)

où  est une grandeur, a priori complexe, et k le nombre d'onde, réel positif.
La relation de dispersion correspondante, établie dans la limite du régime non 
visqueux, s'écrit :
h

 2 = 20 (kR0 )2 (kR0 )2 - 1
115

12.

i

où

20 =

.
2e R03

(13)

a) Indiquer les plages de longueur d'onde sur quelles la pulsation  est réelle, 
ou imaginaire.

b) Dans chacune de ces situations, décrire l'évolution temporelle d'une 
pertubation.

13. La figure (4) représente les fonctions f± (K) = ±K 1 - K 2 et g± (K) = ±K K 
2 - 1.
1.5

1

f± , g±

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

1.1 1.2 1.3 1.4

K
Figure 4 ­ Représentation graphique des fonctions f± et g± .
a) Reproduire (approximativement) cette figure et y indiquer les deux domaines 
correspondant
aux régimes décrits à la question précédente.
120

b) Situer, sur la figure reproduite, en le justifiant, l'abscisse Kc pour 
laquelle l'instabilité se
développe le plus rapidement. Exprimer la constante de temps c qui lui est 
associée.
c) Identifier les phénomènes moteur et frein en concurrence et à l'origine de 
ce temps caractéritique.

125

d) Calculer les valeurs numériques de c et de c pour un rayon R0 = 1 mm (on 
pourra lire
les valeurs approchées sur le graphique).
e) Dans le cas d'une onde progressive, indiquer comment lire sur le graphique 
la vitesse de
phase. Exprimer cette vitesse dans la limite K 2  1.

­ Page 6/7 ­

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Figure 5 ­ Photographies d'un filet d'eau de débit Q = 2 g · s-1 , à la sortie 
d'un tube de rayon
R0 = 1 mm. a) Apparition de gouttes ; b) et c) Chute sur un obstacle.
II.C

130

135

140

145

150

155

Instabilité d'un filet d'eau en chute libre.

Nous souhaitons étudier les comportements décrits précédemment sur un filet 
d'eau en chute libre
(figure (5)). À la sortie d'un tube (de rayon R0 = 1 mm), le filet d'eau est 
d'apparence cylindrique
mais il présente toutefois de faibles perturbations de son rayon (non visibles 
sur les images).
Afin de simplifier cette étude, nous considérons, qu'en l'absence de 
perturbation, le champ de vitesse
au sein du filet d'eau est uniforme, tant radialement que longitudinalement. 
Cette vitesse est notée
U0 . Cela revient à négliger les effets visqueux ainsi que l'amincissement du 
filet dû à l'accélération de
la pesanteur.
14. a) Estimer la valeur de la vitesse U0 .
b) En s'appuyant sur la photographie (5-a), remonter à un ordre de grandeur de 
l'amplitude a
de la pertubation qui initie la déstabilisation du filet d'eau. On supposera 
qu'elle apparaît
immédiatement en sortie du tube.
15. La photographie (5-b) illustre une situation différente où il apparaît une 
ondulation de la surface
du filet (visible sur sa partie inférieure). Cette ondulation est causée par 
l'impact du filet sur un
obstacle (une bille) qui perturbe son écoulement. Pour ce régime particulier, 
l'onde paraît figée
(dans le référentiel du laboratoire).
a) Préciser dans quel régime,  réelle ou imaginaire, l'expérience se situe. 
Réponse à justifier.
b) Quelle information, sur la vitesse de phase, l'apparence figée de l'onde 
donne-t-elle ?
c) Mesurer, sur la photographie (5-b), la longueur d'onde sélectionnée et 
calculer le produit
kR0 .
d) Calculer alors la vitesse de phase correspondante et la comparer à celle qui 
a été, par
ailleurs, déjà calculée.
e) La photographie (5-c) montre l'onde de surface pour une autre position de 
l'obstacle. En
révisant les hypothèses adoptées, expliquer pourquoi la longueur d'onde 
observée diffère de
la précédente.
f ) On constate que les ondes s'atténuent en s'éloignant de l'obstacle. Quelle 
pourrait en être
l'origine physique ?

­ Page 7/7 ­

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique B PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Tom Morel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Consacré aux gouttes d'eau, ce sujet est composé de deux parties :
· La première s'intéresse aux efforts mécaniques exercés par la pluie sur un 
parebrise d'avion. Après avoir étudié la dynamique de chute d'une goutte d'eau
dans l'air, on cherche à exprimer la force exercée par la pluie, modélisée par
une assemblée de gouttes de même taille, sur le pare-brise. La prise en compte
d'un modèle de distribution de taille des gouttes, comparé à des données 
météorologiques, permet ensuite d'affiner le raisonnement.
· La seconde partie porte sur la déstabilisation d'un filet d'eau cylindrique en
gouttelettes. Plusieurs approches, de difficulté croissante, sont développées 
afin
de comprendre les mécanismes sous-jacents à ce processus. L'établissement d'un
critère, portant notamment sur le rayon du cylindre, permet de différencier les
régimes d'instabilité et de propagation. On termine en confrontant ces 
prédictions à des observations expérimentales.
Cette épreuve, entièrement dédiée à la mécanique des fluides, illustre avec 
élégance la variété des approches d'une démarche scientifique : rechercher des 
ordres de
grandeur, prendre l'initiative de poser un raisonnement de façon rigoureuse à 
l'aide
de graphiques ou de schémas, formuler des hypothèses, comparer des données ou 
observations expérimentales à des prédictions théoriques... Ce sujet constitue 
de fait un
excellent entraînement à ce type d'épreuve avant les concours.
Signalons que de nombreuses applications numériques sont demandées, notamment 
dans la première partie. Si l'estimation d'ordres de grandeur est un élément
essentiel du raisonnement scientifique, l'absence de calculatrice rend certains 
calculs
relativement pénibles.

Indications
Partie I
1.c En régime inertiel, la force de traînée s'écrit

-
1

ex
F = - r2 Cx a v 2 -
2
2.a Poser V = v/u puis exploiter la décomposition en éléments simples
1
1 1
1 
=
+
1 - V2
2 1+V 1-V
2.c Approximer la vitesse aux temps courts, puis l'intégrer pour estimer H .
3.a En raisonnant entre les instants t et t + dt, calculer le nombre de gouttes 
venant
impacter un disque de surface S au niveau du sol. En déduire la hauteur d'eau
recueillie pendant dt, puis l'exprimer différemment à partir de l'intensité I.
3.c Pour simplifier, on peut supposer les gouttes périodiquement espacées de d0 
.
4.b Montrer que le domaine de précipitations a pour volume V = Su dt cos . En
déduire le nombre de gouttes impactant le pare-brise entre les instants t et 
t+dt.
Leur variation de quantité de mouvement divisée par dt permet d'exprimer la
force exercée par le pare-brise sur la pluie.
6.a Comme pour une distribution discrète, la somme des probabilités vaut 1.
6.c En exploitant à nouveau le passage du discret au continu,
Z
hri = r dP(r)
8.a La force infinitésimale exercée par les dN gouttes s'obtient en remplaçant 
N0
par dN et r0 par r. Intégrer ensuite sur l'ensemble de la distribution.
9.a Prendre le logarithme népérien de la loi de Marshall-Palmer pour pouvoir la
comparer aux relevés météorologiques.
Partie II
10.c Exploiter la conservation du volume d'eau afin d'obtenir un critère portant
uniquement sur r et R0 .
11.a La conservation du volume d'eau s'écrit
Z L
2
R0 L =
R2 (x) dx
0

Compte tenu des hypothèses du problème, intégrer revient à déterminer la valeur
moyenne de fonctions simples.
11.b À l'aide du formulaire, montrer que
Z L
p
S (a) = 2
1 + R (x)2 R(x) dx
0

Calculer soigneusement l'intégrande à l'ordre 2 en a, connaissant la forme
de R(x), et en remplaçant hRi par son expression.
12.b Examiner la forme de R(x, t) après avoir injecté  : l'exponentielle 
temporelle
est réelle dans un cas, complexe dans l'autre.
13.c Étudier l'influence des différents paramètres sur  c .
15.b Si l'onde est figée, cela signifie que la vitesse de phase de l'onde est 
exactement
opposée à celle du filet d'eau.

Histoires d'eau ou quelques aspects
de la physique des gouttes
I. Impact mécanique de la pluie
1.a En observant par exemple la chute d'une goutte de pluie sur une vitre, son
rayon est de l'ordre de r = 1 mm ; sa vitesse de chute vaut typiquement quelques
dizaines de kilomètres par heure, soit v = 10 m·s -1 .
1.b En prenant respectivement pour taille et vitesse typiques de l'écoulement le
diamètre 2r et la vitesse v de la goutte considérée précédemment, le nombre de
Reynolds dans l'air s'exprime
Re =

2r a v
2 × 10-3 × 1 × 10
=
= 1 · 103
a
2 × 10-5

Comme Re  1, l'écoulement d'air est plutôt inertiel.
1.c Lors de sa chute, la goutte de pluie est soumise à trois forces :
· son poids

-

4 3

P = m-
g =
r e g -
ex
3

après avoir exprimé la masse m de la goutte, supposée sphérique, en fonction
de son rayon r ;
· la poussée d'Archimède due au volume d'air déplacé
-

4 3

 =-
r a g -
ex
3
· La force de traînée, s'exprimant en régime inertiel
-

1

F = - S Cx  a v 2 -
ex
2
où S = r2 correspond à la section droite de la goutte, perpendiculaire à sa
direction de chute.
1.d Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la goutte de masse m,
dans le référentiel R0 supposé galiléen, s'écrit

 -
-
 -

d-
v
m
= P++ F
dt
La masse m est supposée constante. La condition a  e permet de négliger la

poussée d'Archimède devant le poids de la goutte. Après projection sur -
ex ,
m v = mg -

1 2
r Cx a v 2
2

Après simplification par m, il vient
v = g -

3Cx a 2
v
8e r
v
3Cx a 2
= 1-
v
g
8e gr
v = g -

d'où

1
r2 Cx a v 2
2m

4 r3 e 
avec m =
3

Finalement, la vitesse v de la goutte est solution de l'équation différentielle
r
 v 2
v
8g r e
=1-
avec
u=
g
u
3Cx a
En supposant la goutte immobile initialement, l'équation différentielle montre 
que
v croît jusqu'à atteindre la valeur limite v = u lorsque v = 0.
La vitesse u correspond à la vitesse de chute de la goutte en régime permanent.
2.a Soit la variable adimensionnée V = v/u. L'équation différentielle se réécrit
uV
= 1 - V2
g
Pour la résoudre, utilisons la méthode de séparation des variables :
Z V
Z t
1
g
dV
=
dt
2
v0 /u 1 - V
0 u
L'énoncé précisant que la vitesse initiale v0 de la goutte est négligeable 
devant u,
posons v0 /u = 0 dans la suite. Une décomposition en éléments simples permet de
calculer l'intégrale de gauche :
Z V
Z V 
1
1
1 
1
dV
=
+
dV
2
1-V
0 2 1+V
0 1-V
V
1
=
ln(1 + V) - ln(1 - V) 0
2

Z V
1
1
1+V
dV
=
ln
2
2
1-V
0 1-V
Z t
gt
g
Or,
dt =
u
u
0
1+V
= e 2gt/u
1-V

En réunissant les termes,
Isolons V :
Avec v = uV,

V(e 2gt/u + 1) = e 2gt/u - 1
v=u

e 2gt/u - 1
e 2gt/u + 1

Il est également possible d'écrire v à l'aide des fonctions trigonométriques
hyperboliques. En posant la variable adimensionnée T = gt/u, il vient
sh T
= u th T
ch T
où th désigne la fonction tangente hyperbolique.
v=u

2.b La solution précédemment déterminée peut se mettre sous la forme

v
e t/t - 1
= t/t
u
e
+1

avec

t =

u
2g