X Physique 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Étude et application d'une cavité laser
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques dans les milieux matériels
Mots clefs diélectrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(PDF non trouvé ! |/net/www/doc-solus.fr/www//prepa/sci/adc/pdf/rapports.pdf/2002/PC_PHYSIQUE_X_2_2002.rapport.pdf|)

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

..

***

Mesure de distances et de vitesses
à l'aide d'une diode laser

De nombreuses situations expérimentales, en particulier en robotique, 
requièrent une mesure
de distances et de vitesses d'une manière relativement simple et aussi peu 
coûteuse que possible.
Le but de ce problème est de montrer comment cet objectif peut être atteint à 
l'aide d'une
diode laser, source de lumière que l'on supposera monochromatique et dont la 
fréquence peut
être légèrement modifiée par un courant de commande.

I - Diode laser

Dans tout le problème, la diode est consti--
tuée par un milieu homogène, transparent, d'in--
dice n, limité par des faces planes et parallèles
distantes de L; elle est placée dans le vide (fi--
gure 1). Entre ces faces formant cavité, l'onde
optique est constituée de deux ondes progres--
sives, supposées planes, se propageant en sens
inverse, perpendiculairement aux faces; la di--
rection commune de propagation sera choisie
comme axe Oz. Polarisée linéairement, chaque
onde sera représentée par l'amplitude complexe
E(z) du champ électrique dont la dépendance
temporelle est de la forme exp(--iwt).

F figure 1

1. En utilisant les relations de continuité du champ électromagnétique, 
déterminer le coeffi--
cient de réflexion 7° en amplitude sur une face de la cavité (milieu ----> 
vide) en fonction de n ainsi
que le coefficient de transmission t correspondant.

2. Soit EO l'amplitude complexe, au niveau de la face 2 (figure 1), de l'onde 
qui arrive sur
cette face. On désigne par le le module du vecteur d'onde [@ dans le vide. 
Exprimer l'amplitude
de l'onde après un aller et retour complet dans la cavité en fonction de E0, 
7", k, L et n.

3. En fait, au cours de son trajet dans la cavité, l'onde est amplifiée par le 
phénomène appelé
émission induite. Une manière d'exprimer cette propriété est d'utiliser un 
indice complexe nc tel
quem=n--7Çgavecg>0. '

&) Justifier la forme de cette expression.

b) Trouver la relation qui doit exister entre 7", nc, k et L pour qu'il y ait 
un régime perma--
nent d'amplitude constante. Oette relation sera dans la suite dénommée << 
condition laser >>.

4. On suppose 9 << n, ce qui permet d'utiliser pour 7° l'expression obtenue en 
1. En régime
permanent, la diode laser n'émet que pour des fréquences particulières % 
situées dans une
certaine plage.

&) Déterminer l'écart AV entre deux fréquences consécutives possibles up et 
Vp+1 de l'onde.

b) On appelle << coefficient d'amplification >> le facteur 04 : kg. Déterminer 
en fonction de
L et 7° la valeur @@ que doit avoir oz en régime permanent ?

5. Application numérique. On donne n = 3, 40 et L = 0,5 mm.
&) Calculer AV, 7" et 010.

b) La longueur d'onde de l'oscillation laser est voisine de 845 nm; calculer la 
valeur go de
g correspondante; justifier l'approximation faite sur la valeur de 7° à la 
question 4.

6. L'amplification dans un milieu laser nécessite une << inversion de 
populations >>, c'est-à--dire
que le niveau supérieur de la transition optique soit plus peuplé que le niveau 
inférieur. L'émission
induite tend à diminuer cette inversion, ce qui entraîne que le coefficient 
d'amplification & décroît
lorsque l'intensité ] de l'onde optique croît; l'intensité I est définie ici 
comme la puissance de
chaque onde progressive a l'intérieur de la cavité. On admettra que la relation 
entre oz et I est

oz
de la forme : oz(l ) -- ------m---- où oz... et IO sont deux constantes. On 
donne oz... : 2 >< 103 m_1,

_ 1+I/IO
Ï0= 10 mW.

Calculer [ en régime permanent et la puissance de sortie 18 du faisceau laser 
par l'une des
faces.

II - Principe des mesures de position et de vitesse d'un obstacle

Dans cette partie, on étudie qualitativement l'effet sur le fonctionnement 
d'une diode laser
de l'onde émise puis réfléchie (ou rétrodiffusée) par un obstacle extérieur et 
revenant dans la
cavité, puis le principe de son utilisation aux mesures de position et de 
vitesse d'un obstacle.

Le dispositif est modélisé selon le schéma de la figure 2; soit ,a réel positif 
le coefficient de
réflexion en amplitude sur l'obstacle, qui avec la face 2 forme une cavité de 
longueur D. On
supposera p << 1. On désigne par 1/p la fréquence d'oscillation de la diode 
laser en l'absence

d'obstacle.

F igure 2

1. Justifier sans calcul que, lorsque l'onde, sortant de la face 2, y revient 
en phase après
un aller et retour, le coefficient d'amplification du milieu est diminué, et 
que la puissance du
faisceau laser est alors maximale. Justifier de même que la puissance du 
faisceau est minimale
si l'onde revient en opposition de phase.

L'indice n du milieu dépend du courant d'alimentation de la diode; en faisant 
varier ce
courant, on modifie la fréquence de fonctionnement up; on supposera dans toute 
cette partie II.
que cette fréquence est imposée par le contrôle du courant d'alimentation.

2. Par une rampe de courant, on réalise une croissance monotone de V,, a yp + 
AV,, ; l'obstacle
est fixe. On observe que la puissance émise passe par une succession de 
maximums.

a) Quelle est la différence de fréquence 5V entre deux maximums consécutifs ?

b) Déterminer la relation entre le nombre N D de maximums détectés, Ayp,c et la
distance D.

c) Pour Ayp = 50 GHz, exprimer D en fonction de N D; quelle incertitude sur la 
mesure
de D a--t--on par ce comptage ?

3. On suppose maintenant la fréquence yp fixe et l'obstacle mobile avec la 
vitesse @ telle
que D(t) : D0 + vt. Durant l'intervalle de temps At, on détecte NU maximums de 
puissance
laser. En utilisant les résultats précédents (2.a)), déterminer la relation 
entre @, At, Up, (: et N,,
en supposant la vitesse constante durant At. Pour At = 20 ms, quelle est la 
résolution de la
détermination de la vitesse à partir de N,, ?

4. L'obstacle étant animé de la vitesse @, on impose au courant de commande de 
la diode
une loi de variation << triangulaire >> de durée totale T; la variation de la 
fréquence laser suit la

même loi : croissance de AVP durant T / 2, puis décroissance jusqu'à la valeur 
de départ yp durant
T/ 2. On observe Nl maximums durant la première phase et Ng durant la seconde. 
Dans cette
question, on suppose la vitesse ?) suffisamment grande et positive; d'autre 
part, pour simplifier,
on traitera N1 et Ng comme des variables continues.

Déduire la distance et la vitesse de l'obstacle en fonction de Aup,T , Nl, Ng 
et la longueur -
d'onde AP du rayonnement.

III - Diode laser avec cavité extérieure

Dans cette partie, on analyse quantitativement l'effet de l'onde réfléchie par 
l'obstacle
(cf. partie II) sur l'intensité émise par la diode.

1. Soient 7°' et t' les coefficients de réflexion et de transmission pour les 
amplitudes dans le
sens vide --+ milieu; calculer 7"' et t' en fonction de n; montrer que 7° + 7" 
= 0 et que T2 + tt' : 1.

2.a) En appliquant les relations de continuité aux ondes arrivant sur la face 2 
ou en repartant
(cf. figure 2), montrer que l'on peut assimiler l'ensemble à une cavité laser, 
de longueur L
identique à l'initiale, mais avec un coefficient de réflexion Z sur la face 2 
donné, avec 9 : 2kD,
par :

Z __ 7" + pexp(i9)
_ 1 + rpexp(i9) '

b) Simplifier l'expression de Z en ne gardant que les termes du premier ordre 
en p.

1

Dans la suite, on posera a = p <-- -- 7") avec & << 1.
7°

3.a) Donner dans cette situation la nouvelle expression de la << condition 
laser >>.

b) En déduire le coefficient d'amplification oz qui maintient l'oscillation en 
fonction de
7°, L, a et 9.

c) Soit 504 l'excursi0n maximale de oz lorsque le déphasage de l'onde retour 
varie; exprimer
(Sd/dg en fonction de a et 7", dg étant la valeur de a pour p = 0 (cf. I.4.b)). 
En donner la valeur
numérique pour p = 1 >< 10--3. '

4.a) Montrer que l'intensité du faisceau laser émis varie en fonction du 
déphasage de l'onde à
son retour. Pour quelles valeurs de 9 est-elle maximale ? Quelle est alors la 
fréquence d'émission ?

b) Calculer, avec les données numériques précédentes, la variation relative de 
l'intensité
du faisceau laser (Imax -- I......) / I , ] étant l'intensité moyenne.

IV - Analyse de la forme du signal

L'expérience montre que, lors du déplacement de l'obstacle ou lors d'un 
balayage de fréquence
par modification du courant de commande (cf. partie II), on observe bien des 
variations presque
périodiques de la puissance émise mais souvent avec des discontinuités 
associées à des sauts de '
fréquence. C'est cet effet qui est analysé dans cette dernière partie.

1. À partir de la << condition laser >> obtenue en III.3.a), montrer, pour & << 
1, que la
fréquence d'oscillation est déterminée par la relation approchée :

L
7159 + asin9 = p 27r avec p entier.

2. Pour un courant de commande fixé et en l'absence d'obstacle (a = 0), on note 
no et go
les valeurs de l'indice n et du coefficient 9 du milieu, et kg le module du 
vecteur d'onde.

En présence de l'obstacle, a la modification 59 = g -- 90 est associée en fait 
une modification
571 = n ---- no de l'indice, avec 671 = fl5g, où 5 est un coefficient positif 
de l'ordre de quelques
unités; cela entraîne une modification de [EUR : ôk = k -- kg.

CL

a) En linéarisant le résultat obtenu en III.3., montrer que : go 51EUR + ko 5g 
= ----îË cos 9.

CL

b) Montrer de même que la << condition laser >> s'écrit : no 516 + kg 671 = --Ë 
sin «9.

c) Justifier l'hypothèse 5 go << no, et exprimer no 51EUR en fonction de a, L, 
3 et 9.

3. Montrer que la relation déterminant k se met sous la forme :
A -- BH = sin(9 ---- (p)"

avec 3 = tan go, et donner les expressions de A et B en fonction de p, a, T..., 
L, D et B. Calculer
g0 avec B = 6. Évaluer A et B pour p = 1 >< 10_3 et D = 0,5 m.

4. En vue d'effectuer une analyse graphique de cette équation, préciser la 
valeur 90 de 9 qui
annule A -- BO et tracer le graphe de sin(9 -- go) au voisinage de (90. Porter 
sur ce graphe les
points M correspondant aux maximums d'intensité du laser et les points m 
correspondant aux
minimums.

5.a) À courant de commande fixé, donc no fixé, on augmente D. En traçant 
localement le
graphe de A -- BH au voisinage de 90 et en suivant son déplacement (on notera 
que A _>> 1),
montrer graphiquement que, pour B > 1, 6 augmente de façon continue mais 
irrégulière, et,
pour B < 1, par parties continues séparées par des sauts.

b) Lorsqu'ils existent, ces sauts de 9 sont accompagnés de sauts d'amplitude du 
faisceau
laser; quel est le sens de cette variation ?

C Dans les IHÔIÏIEURS COHdlthHS OIl diminue D ' llEURl EURSt &lOI'S le 86118 de 
V8l'l&thfl des sauts
7 7
d'lfitEURl"lSlté .'

6. À D fixé, on augmente de façon régulière le courant de commande de la diode, 
ce qui
augmente de même no; quel est le sens de variation de 9? Quel est celui des 
discontinuités
d'intensité dans les conditions où elles apparaissent ?

7. Quel est l'intérêt de ces sauts d'intensité pour la détection?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Stéphane Ravier (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Ce sujet traite d'une méthode de mesure de distances et de vitesses à l'aide 
d'une
diode laser. Il s'agit d'un problème d'une longueur raisonnable portant 
exclusivement
sur la propagation des ondes électromagnétiques.
· Les deux premières parties étudient la diode laser en tant que cavité 
résonante,
puis envisagent, de manière qualitative, l'influence d'un obstacle sur cette 
cavité. Il en découle alors un principe de mesure de la distance et de la 
vitesse de
cet obstacle.
· Dans la troisième partie, on reprend, quantitativement cette fois-ci, 
l'influence
de l'obstacle sur la cavité laser et les résultats des deux premières parties 
sont
revus et corrigés.
· Enfin, la quatrième partie permet de préciser le principe de mesure déjà 
envisagé.
Les deux premières parties sont proches du cours et accessibles à tous. Les deux
dernières, plus calculatoires, font peut-être insuffisamment appel au sens 
physique
attendu des étudiants de la filière PC.

Indications

Première partie
I.1 Utiliser les hypothèses pour exprimer les trois champs électriques mis en 
jeu,
puis montrer que les champs électrique et magnétique sont continus à la 
traversée de l'interface.
I.3.a Donner l'expression réelle d'une onde se propageant selon les z 
croissants en
tenant compte de l'expression proposée pour l'indice nc .
I.3.b L'amplitude complexe doit être inchangée après un aller et retour.
I.4.a Le facteur complexe de la condition laser doit nécessairement être réel.
I.6 Pour calculer Is , exprimer, en fonction de l'indice n, le coefficient T de 
transmission en puissance à une interface (milieu  vide).
Deuxième partie
II.1 Utiliser les notions d'interférences constructives ou destructives et le 
phénomène d'émission induite.
II.2.a À l'aide de la question II.1, exprimer une condition sur la fréquence  
aux
maximums d'intensité.
II.3 À l'aide de la question II.1, exprimer une condition sur la distance D aux
maximums d'intensité.
II.4 À l'aide de la question II.1, exprimer une condition sur le produit  D aux
maximums d'intensité.
Troisième partie
III.2.a Considérer qu'une onde quittant la cavité laser par la face 2 peut y 
revenir
après un nombre quelconque d'allers et retours dans la cavité extérieure. 
Calculer alors l'amplitude résultante dans la cavité laser en prenant en compte
tous les allers et retours possibles.
III.3.b Utiliser le développement de Taylor, 1 + u = exp u, puis travailler 
comme aux
questions I.4.a et I.4.b.
Quatrième partie
IV.3 Trouver la valeur de p à l'aide de la condition laser en l'absence 
d'obstacle.
IV.5.a Dans cette question et les suivantes, il faut considérer que la 
variation de la
pente de la droite A - B  n'est pas sensible et faire simplement glisser la
droite pour déterminer l'évolution du point de fonctionnement de la cavité.

I. Diode laser
I.1 On commence par écrire l'expression générale de chacune des trois ondes 
planes
progressives harmoniques (OPPH) mises en jeu à l'interface (milieu  vide) que
constitue la paroi 2 de la cavité
x
vide
milieu
n
vide

-

-

-

 E i (M, t) = E 0i exp i( k i · -
r - t)

-

Ei
 -
-

-

-

E r (M, t) = E 0r exp i( k r · r - t)

 O
-
 z
-

Er
Et

 -
-

-
-

E t (M, t) = E 0t exp i( k t · r - t)

Les ondes incidente et réfléchie se propagent dans le milieu d'indice n. Nous 
supposons
que le milieu de la cavité est diélectrique, linéaire, homogène et isotrope 
(d.l.h.i.),
sans propriétés magnétiques et parfait, c'est-à-dire isolant, sans charges ni 
courants
libres. Le milieu est transparent donc son indice n est réel. Les OPPH incidente
et transmise se propagent dans ce milieu respectivement selon les z croissants 
et
décroissants ; nous avons donc

-

-

ki = + n -
ez
et
kr = - n -
ez
c
c
Enfin, pour l'OPPH transmise qui se propage dans le vide selon les z croissants

-

kt = + -
ez
c
Dans la suite, nous notons k = /c, le module du vecteur d'onde dans le vide.
Par ailleurs, nous savons que toute OPPH se propageant dans un milieu d.l.h.i.
parfait est transverse électrique et magnétique : les champs électrique et 
magnétique
associés à cette onde sont en tout point perpendiculaires à la direction de 
propagation
donnée par le vecteur d'onde. Dans le cas présent, les champs électriques des 
trois

OPPH considérées sont donc contenus dans le plan (-
ex , -
ey ). Or, ces champs électriques sont supposés polarisés rectilignement, ce qui 
suppose, par définition, qu'ils

ont une direction constante. Cette direction est nécessairement dans le plan (-
ex , -
ey ) :

nous choisissons de la noter en toute généralité -
ex . En rassemblant les petits morceaux, il vient
-

Ei (z, t) = E0i exp i(n kz - t) -
ex

-

Er (z, t) = E0r exp i(-n kz - t) -
ex

-

E (z, t) = E exp i(kz - t) -
e
t

0t

x

Afin de calculer le champ magnétique associé à chacune des trois OPPH, nous
utilisons une relation, valable dans tout milieu d.l.h.i. entre les champs 
électrique et
magnétique et le vecteur d'onde d'une OPPH
 -
-

-
KE
B =

 -
-

En remplaçant dans cette relation les expressions de K et E pour chacune des 
trois
ondes, nous trouvons

-

n

-

 Bi (z, t) = E0i exp i(n kz - t) ey

c

-

n

Br (z, t) = - E0r exp i(-n kz - t) -
ey

c

1

-
ey
Bt (z, t) = E0t exp i(kz - t) -
c

Considérons les relations de passage sur la face 2 à l'interface entre le milieu
d'indice n et le vide. Comme les champs électrique et magnétique sont tangents,
nous écrivons en z = 0

-

-

-

 E vide (0, t) - E milieu(0, t) = 0

-
H

vide (0, t)

-

- H milieu(0, t) = -
 s, libre  -
ez

Or, les deux milieux considérés sont sans propriétés magnétiques et parfaits, 
donc

-

-

 B = µ0 H

-

s, libre

et

-

= 0

-

-

 E vide (0, t) = E milieu(0, t)

-

-
 
Bvide (0, t) = Bmilieu(0, t)

En prenant en compte l'existence des trois OPPH, il en découle

-
-

-

 Ei (0, t) + Er (0, t) = Et (0, t)

-

-

-
Bi (0, t) + Br (0, t) = Bt (0, t)

Il suffit maintenant de remplacer dans ces deux dernières relations les 
expressions des
différents champs prises en z = 0 pour aboutir aux relations
(

E0i + E0r = E0t
n E0i - n E0r = E0t

Définissons les coefficients r et t de réflexion et de transmission en 
amplitude du
champ électrique de l'OPPH incidente à l'interface (milieu  vide)
E0r
r =
E0i

d'où

et

r =

E0t
t =
E0i

n-1
n+1

alors

et

t =

(

1+r = t
n - nr = t

2n
n+1