X Physique 1 PC 2002

Thème de l'épreuve Étude de l'équilibre et des mouvements de l'atmosphère à grande échelle
Principaux outils utilisés fluide en équilibre hydrostatique, thermodynamique, mécanique du point
Mots clefs loi de Laplace, référentiel non galiléen, fluide en équilibre, force d'inertie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Le vent à l'échelle des prévisions météorologiques nationales

L'air qui constitue l'atmosphère terrestre est concentré dans une couche d'une 
dizaine de
kilomètres d'épaisseur au--dessus du sol : la troposphère.

On considère cet air comme un fluide constitué de domaines élémentaires dont 
les dimensions
horizontales sont en France de quelques dizaines de kilomètres et les 
dimensions verticales d'une

dizaine de mètres.

La première partie de ce problème présente différents modèles d'équilibre de 
l'atmosphère. La
deuxième partie décrit les mouvements horizontaux et verticaux de cette 
atmosphère à grande
échelle et présente le modèle dit du vent géostr0phique. Enfin, on étudie dans 
la troisième partie
les écarts entre ce modèle et le vent réel.

Dans tout le problème, l'air sera considéré comme un gaz parfait.

Table 1: Echelles caractéristiques de l'atmosphère aux latitudes moyennes (go 
... 45°)

Vitesse horizontale du vent _ 10 ms
Vitesse verticale du vent _ 10"2 ms
Échelle de temps des mouvements verticaux et horizontaux _--

Échelle des gradients horizontaux de pression

HW P>|l

Données numériques

' Constante des gaz parfaits R = 8, 3 J mol_1 K"1
Pression atmosphérique au niveau de la mer P0 = 105 Pa
Masse molaire de l'air Ma = 29 gmol"1
Rayon de la Terre TT = 6, 4 >< 103 km
Accélération de la pesanteur en France g = 9, 8 ms"2
Latitude typique de la France ' 90 = 45°

I - Modèles d'équilibre de l'atmosphère

On considère de l'air en équilibre dans le référentiel terrestre R. Chaque 
élément de ce fluide
est donc en équilibre sous l'action des forces extérieures à cet élément, qui 
sont de deux types :
les forces de pression et la force due au champ de pesanteur.

1. L'air étant considéré comme un gaz parfait, calculer sa masse volumique»p0 = 
p(Pg,Tg)
dans les conditions normales de température T 0 = 273 K et de pression P = Po.

2. On choisit dans R un repère orthonormé de vecteurs unitaires {ë}, ë'y, 
EUR.}, dont l'origine
O est située à la surface de la terre et où ë} est dirigé vers les altitudes 
croissantes; l'état de
l'atmosphère est caractérisé par les champs de pression P(oe, y, z) et de 
température T(oe, y, z).

&) Ecrire la condition d'équilibre mécanique de l'air soumis aux forces de 
pression et au
champ de pesanteur ÿ' = --gëZ supposé localement uniforme.

b) En déduire que P ne dépend que de z et établir l'équation différentielle 
permettant de
déterminer P(z) en fonction de M... P, Q, T et de la constante des gaz parfaits 
R.

3. On considère dans un premier temps l'atmosphère en équilibre isotherme.

a) Montrer que la pression varie avec l'altitude 2 selon une loi du type :

P(z) = PO exp (----ËÏ--)

où H est une longueur nommée hauteur d'échelle de l'atmosphère que l'on 
explicitera en fonction
de M... R, g et T. Calculer la hauteur d'échelle Ho de l'atmosphère isotherme a 
TO = 273 K.

b) L'hypothèse d'une température uniforme est--elle justifiée ?

4. On considère maintenant l'atmosphère en équilibre adiabatique caractérisé a 
toute altitude

. C .
par la relat10n P = K ,07 où K est une constante et 'y = --B % 1,4 est le 
rapport des capac1tés

C

'U
thermiques à pression et volume constants des gaz parfaits diatomiques.

&) Montrer que dans ce modèle P(z) et T (2) vérifient les relations suivantes :

Z Z

--fy__ ""--T_--
__ H --H
7 -- 1 0 y -- 1 0
b) Calculer numériquement le gradient vertical de température en K km_1 
correspondant

a ce modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique.

c) Représenter graphiquement les allures des variations de la pression et de 
son gradient
en fonction de l'altitude.

(1) Calculer numériquement ce gradient de pression pour z = 0, 2 500 et 5 000 m.

e) À partir des gradients de pression trouvés, donner un ordre de grandeur de 
l'échelle de
la dimension verticale LZ sur laquelle la pression varie de 100 Pa.

f) Exprimer le rapport des masses volumiques de l'air p(P, T) / p(P0,T0) en 
fonction de
z, H0 et fy. Calculer p a 2 500 m d'altitude.

Il - Dynamique des mouvements atmosphériques à l'échelle synoptique :
le vent géostrophique

3EFWEI DE METEDFËDLDGIË. DE DÉTALUNYA
FUNDADID DATALANP. FER A LP. HEDEHDF'. - UNIVERSITAT DE BAHDELDNË.

___ 1--_,-.--.

"'-"" _-"';--H "' .-- ' L ÜËUdÈ
"'--.:.:Ë. __ .

1. La Figure 1 représente
les lignes isobares, cotées en
hPa et tracées de 2 hPa en
2 hPa, au niveau de la mer

en Europe de l'Ouest, le 23
janvier 2002 à 0 h.

&) Déterminer sur cette
carte de pression la valeur du
gradient de pression horizon--
tal a Bordeaux. Comparer à
la donnée de la Table 1. Doré--
navant, la valeur du gradient
horizontal de pression utilisée
dans les applications numé-
riques sera celle donnée par

cette Table 1.

Anä]isi [IDE 23-GOE-02

F figure 1

b) Sachant qu'on attribue habituellement aux domaines élémentaires des 
dimensions ho--_
rizontales Lh telles que la pression horizontale varie en moyenne de 100 Pa, 
déterminer un ordre
de grandeur de Lh.

Dans la suite du problème, nous nous placerons a cette échelle.

2.3) Donner l'expression du champ de gravitation terrestre ÿ'* (f) en un point 
repéré par F
par rapport au centre de la Terre, assimilée à une sphère homogène de masse MT. 
On désignera
par G la constante de gravitation universelle.

b) Établir l'expression donnant la variation avec l'altitude z du module g* 
(75) = ||ÿ'*|| en

fonction du rapport 1 et de g* (0). Quelle est l'erreur relative commise a 2 
500 m d'altitude si
"" T
l'on remplace g* (2) par g5' = g* (0).

3. Soit RO le référentiel barycentrique terrestre, géocentrique, que l'on 
considérera comme
galiléen, et soit Re le référentiel terrestre local, dont l'origine 0 a pour 
latitude go (Figure 2).
On choisit Oa: tangent au parallèle passant par O et dirigé vers l'Est, Oy 
tangent au méridien
passant par O et dirigé vers le Nord.

F figure 2

Le référentiel Rg est animé par rapport a RO d'un mouvement de rotation diurne 
uniforme
de vitesse angulaire cÜ._

&) Préciser dans Re la direction de l'accélération d'entraînement ÏE(F). Pour 
un point
d'altitude z a la verticale de O, établir l'expression de son module FE(Z) en 
fonction de w, z, TT
et 90. Quelle est l'erreur relative commise sur FE a 2 500 m d'altitude si l'on 
remplace FE(z) par
FED : FE (0). Calculer la valeur typique de FE0 en France. '

b) Soit ÿ'(f) le champ de pesanteur local, dont la direction est donnée par 
celle d'un fil à
plomb. Déduire des résultats précédents la relation entre le champ de pesanteur 
ÿ(f), le champ
de gravitation terrestre ÿ'* (7Û et l'accélération d'entraînement ÎE(F). 
Justifier l'hypothèse d'un
champ de pesanteur localement uniforme ÿ utilisée en I.

c) Une particule de masse m se déplace à la vitesse V dans Rg. Donner 
l'expression de
l'accélération de Coriolis F C correspondante en fonction de V et @. Exprimer 
la force d'inertie

de Coriolis Ë'C dans Ooeyz en fonction de m,w, de la latitude @ et des 
composantes (Vw, Vy, VZ)
de Y.

4. Sur l'air atmosphérique en mouvement s'exercent les forces de pesanteur, 
d'inertie de
Coriolis et de gradient de pression; écrire l'équation vectorielle du mouvement 
d'un domaine
particulaire; en déduire les trois équations donnant les coordonnées de 
l'accélération locale

Î' : V dans Ooeyz.

5. On se propose tout d'abord d'étudier les mouvements verticauæ de l'air dans 
le cadre du
modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique.

&) Évaluer les ordres de grandeur des différents termes situés dans le second 
membre de
l'équation du mouvement vertical, en utilisant les résultats trouvés à la 
question I.4.d) lorsqu'on
se place à. 2 500 m d'altitude, pour une latitude go : 45° et un vent de 
l'ordre de 10 ms"1. Que
peut--on en déduire sur l'importance de la composante verticale de la force 
d'inertie de Coriolis ?

b) Les observations montrent qu'en dehors de très brèves périodes d'adaptation 
aux pertur-
bations verticales, les ascendances ou descendances sont particulièrement 
stables dans le temps.
Que peut-on en conclure concernant l'amplitude de l'accélération verticale? À 
partir des don-
nées de la Table 1, estimer l'ordre de grandeur de l'accélération verticale. En 
effectuant alors les
simplifications légitimes, a quoi se réduit l'équation du mouvement vertical de 
l'air ? Conclure
quant aux résultats de la partie I.

6. On étudie maintenant les mouvements horizontauaz de l'air en se plaçant à. 2 
500 m d'al--
titude.

a) En s'appuyant sur les données de la Table 1, simplifier les équations du 
mouvement
horizontal. On définit le paramètre de Coriolis le par k : 2w sincp : quelles 
sont ses valeurs
numériques respectives a des latitudes de 45° dans les hémisphères Nord et Sud.

b) On définit la vitesse relative horizontale par V,, = V mé}; + V yë'y. 
Montrer que la force

de Coriolis horizontale par unité de masse peut s'exprimer sous la forme: fCh-- 
-- --k(ez /\ Vh).
Que peut-- --on en conclure sur l'orientation du vecteur fc}, par rapport au 
vecteur V,, dans les
hémisphères Nord et Sud ?

c) Calculer le module de la force horizontale de Coriolis rapportée à. l'unité 
de masse fc}, à
une altitude de 2 500 m pour laquelle le vent a une vitesse horizontale de 15 
m/s à une latitude
de 45°. En prenant comme gradient horizontal de pression à la même altitude 
celui donné par
la Table 1, calculer le module de la force de pression horizontale par unité de 
masse fish.

(1) De façon générale, les observations montrent que les accélérations 
tangentielles subies
par les domaines particulaires dans leurs mouvements horizontaux sont toujours 
très faibles dans
les grands mouvements atmosphériques sous nos latitudes moyennes. De même les 
accélérations
normales sont en général très petites sauf a l'avant des dépressions mobiles. 
En vous appuyant
sur les données de la Table 1, estimer l'ordre de grandeur des modules des 
quantités fCh, fph

et de l'accélération horizontale Fh-- -- Vh. Que peut- on en conclure pour la 
valeur de la somme
vectorielle fph + foi,.

7. On appelle vent géostrophique le vent fictif de vitesse horizontale V 
vérifiant identique-
ment l'équation fph + fCh= _ 0.

a) Montrer que ce vent est entièrement déterminé par la connaissance de la 
distribution
spatiale de pression et exprimer son champ de vitesse V9 à l'aide du gradient 
horizontal de

pression Ü;,(P).

b) Quelle est la valeur de l'accélération fg et la nature locale de la 
trajectoire des particules
constituant le vent géostrophique ? Préciser sur un schéma les orientations 
respectives de V9, f ph
et fg}, dans les hémisphères Nord et Sud.

c) Compte tenu des ordres de grandeurs donnés dans la Table 1, vérifier que, 
pour la

latitude de 45°, le module V9 de la vitesse géostrophique est égal à Vh. 
Définir à l'aide de la
|Vg -- Vhl
Vh

figure 3 la fourchette de latitude pour laquelle l'écart relatif reste 
inférieur à 30%.

d) En déduire les deux conditions nécessaires pour que le vent géostrophique 
soit une
bonne approximation Vg % V;, du vent réel. Ces conditions sont-elles vérifiées 
aux latitudes
équatoriales (90 < 20°) ?

120
100

80

Vg--Vh
T (%)

60 %||Ü,(P)H : Cte

40

20

0
--20
--40

r(°)

60 65 70 75 80 85 90

25 30 35 40 45 5

F igure 3

III - Écarts entre le vent géostrophique et le vent réel :
le vent de gradient

Le vent réel est parfois en désaccord avec le vent géostrophique notamment au 
voisinage des
dépressions. Ce désaccord provient de la présence dans l'équation du mouvement 
horizontal
du terme d'accélération f,, qui a été négligé dans l'hypothèse géostrophique. 
Malgré l'apparente
complexité des cartes qui décrivent les perturbations météorologiques, les 
distributions de vitesse
et de pression sont cependant assez simplement reliées au prix de quelques 
approximations.

1. Pour une analyse plus fine des mouvements horizontaux locaux, on utilise 
dans Rg, en
tout point du champ d'écoulement, le repère dit naturel constitué d'un trièdre 
direct de vecteurs
unitaires {EUR}, EUR... 52} tel que EUR} soit parallèle et de même orientation 
que la vitesse réelle horizon--
tale Yh et tel que EUR}, soit orienté verticalement vers le haut. Dans ce 
repère la vitesse horizontale

--+ ds
s'écrit Vh : Vë}, avec V = dt ; 0, où 3 est l'abscisse curviligne de la 
particule le long de sa
dé 5
trajectoire. On rappelle la relation --â---t-- = --ÈÎ, où RC est le rayon 
algébrique de courbure de la
S C

trajectoire, son signe étant celui de la coordonnée du centre de courbure 
mesurée le long de l'axe
orienté par ê'n.

a) Décomposer dans ce repère naturel, selon et et en, l'accélération Ph, la 
force de Coriolis
horizontale foi,, la force de pression horizontale fph et la vitesse 
géostrophique Vg.

P ÔP
b) On note et VP- -- ----Ô------t et en VP- -- -- .Montrer que dans le repère 
naturel les deux

83 Ûn

composantes tangentielle et normale de l'accélération Ph vérifient les systèmes 
:

th=_lÔ_P P;... =--kV--lô--P

p 83 p Ôn
2. Afin d'obtenir une approximation meilleure prenant en compte la courbure des 
trajectoires,
on impose à l'accélération Ph la condition th : 0 moins restrictive que la 
condition Ph : 0
définissant l'approximation géostrophique. Le vent approché ainsi défini porte 
le nom de vent
de gradient, sa vitesse VV et son accélération Pv horizontales seront repérées 
par l'indice V. On
effectue de plus une hypothèse simplificatrice supplémentaire : la composante 
du gradient de

pression normale à la trajectoire de la particule est supposée constante le 
long de cette dernière.

a) Comparer les trajectoires et les lignes isobares. Quelle est leur forme? Par 
un dessin,
préciser en un point d'une trajectoire, les directions respectives du gradient 
de pression, de la
vitesse V du vent géostrophique, de la vitesse VV et de l'accélération PV du 
vent de gradient?

b) Montrer que le module VV de la vitesse du vent de gradient est solution 
d'une équation
du second degré. En déduire que VV est liée à Vg par la relation

VV--Vg V

V

vV "RC/ç

Déterminer son ordre de grandeur avec les données de la Table 1.

c) Compte tenu du résultat précédent et en se limitant & l'hémisphère Nord, 
vérifier que

1 /14 ÔP
les deux solutions ayant pour expression VV : äRck {1--- 162 R _8 ,-- l} avec 
RC > 0 pour
n

ÔP
Ô_n

On admettra sans démonstration que ce sont les deux seules. Pour chacune des 
deux situations
météorologiques, faire un schéma faisant apparaître les directions et les 
amplitudes relatives des
forces, le sens de rotation du vent de gradient ainsi que les directions et les 
amplitudes relatives
de la vitesse géostrophique et de celle du vent de gradient.

l'une et RC < 0 pour l'autre, étant négatif dans les deux cas, sont 
physiquement admissibles.

(1) Montrer que dans le cas des anticyclones (hautes pressions) le gradient de 
pression
ne peut dépasser une valeur limite fonction du rayon RC. Que peut-on en 
conclure quant a la
forme du profil de pression et à la force du vent au voisinage du centre d'un 
anticyclone par
comparaison avec la région proche du centre d'une dépression ? Commenter en 
faisant référence
à la figure 1.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par 
JeanJulien Fleck (ENS Ulm) et Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Le problème aborde différents modèles de l'atmosphère. Il est long et de 
difficulté
croissante, les questions devenant de plus en plus qualitatives. Sa résolution 
ne fait
appel qu'à des relations de base : l'équation de l'hydrostatique puis celle de 
l'hydrodynamique, la loi de Laplace et les formules de cinématique du point. Il 
ne faut surtout
pas négliger les applications numériques : ici, elles comptent énormément.
· La première partie compare le modèle de l'atmosphère en équilibre isotherme
avec celui de l'atmosphère en équilibre adiabatique. Le premier permet de se
donner une idée de la distribution de l'air tandis que le second, plus réaliste,
permet de déterminer la taille caractéristique des domaines élémentaires 
utilisés
en météorologie.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la dynamique de l'air : les 
mouvements
verticaux et horizontaux sont étudiés de manière découplée. On justifie au 
passage la modélisation en couches d'air horizontales adoptée dans la première
partie. Enfin, un modèle de vent horizontal est analysé : le vent géostrophique.
Cette partie se conclut par l'étude des conditions nécessaires à la pertinence 
de
ce modèle.
· La troisième partie propose une analyse plus raffinée afin d'expliquer le 
comportement du vent horizontal, dans le cas où le modèle précédent en est 
incapable.
Elle est la plus qualitative et nécessite une bonne compréhension du problème
pour dresser les schémas demandés.

Indications
Partie I
I.3.b Que constate-t-on en pratique au sommet de la troposphère ?
I.4.a La température devient une inconnue mais on a une nouvelle équation. 
Penser
à la méthode de séparation des variables.
-

I.4.e On peut estimer Lz sachant que kh Pk fournit une estimation du rapport
P/Lz , P étant la variation de pression.
Partie II
II.2.a Utiliser le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel.
II.3.a Quel est le mouvement du point coïncidant avec M dans R0 ? La valeur de 
n'est pas donnée car elle est simple à calculer.
II.3.b La force de Coriolis n'est pas incluse dans le champ de pesanteur. Pour 
justifier que le champ de pesanteur est localement constant, on pourra utiliser
l'estimation de E0 .
II.5.b La table 1 donne le temps typique des mouvements verticaux. Les couches
horizontales d'air peuvent-elles être considérées comme étant en équilibre ?
II.6.a Que dire de la vitesse verticale par rapport à la vitesse horizontale ?
-
 -
-
II.6.d Comparer h à fCh puis à fPh .
II.7.b Pour le schéma, on se souviendra que le gradient de pression est 
orthogonal
aux isobares.
II.7.d Pour trouver une deuxième condition, on peut s'intéresser à la forme des
isobares dans une zone où l'approximation géostrophique est valable.
Partie III
III.2.a Comment évolue la pression le long d'une trajectoire ?
III.2.b Pour évaluer le rayon de courbure, s'appuyer sur la figure 1.
III.2.c Le signe de la courbure dépend du sens de parcours de la trajectoire et 
de
l'orientation du plan. Penser aussi à relier le gradient avec les zones de 
dépressions et d'anticyclones.
III.2.d Il y a un lien entre la vitesse de croissance d'une fonction et la 
norme de
son gradient : cette dernière est d'autant plus grande que la fonction varie
rapidement sur des distances faibles.

I.

Modèles d'équilibre de l'atmosphère

I.1 L'équation d'état du gaz parfait est, avec n la quantité de gaz
PV = n RT
m
Soit m la masse de gaz. Comme  =
et m = n Ma , on a
V
=
Application numérique :

PMa
RT

0 = 1, 3 kg.m-3

I.2.a Considérons un élément de fluide de volume d . Il subit l'action du champ
de pesanteur et celle des forces de pression. La résultante volumique des 
forces de

-
pression est - P, si bien que

-

-

 d  =  d -
g - P d
À l'équilibre, l'accélération est nulle, d'où l'équation

-
-

0 = -
g - P
I.2.b En projetant cette équation sur la base cartésienne, on obtient

P

0 = -

x

P
0=-

y

 0 = -g - P
z
On déduit des deux premières équations que P ne dépend que de z. En substituant 
à
 son expression obtenue à la question I.1, on obtient pour P l'équation 
différentielle
suivante :
dP g Ma
+
P=0
dz
RT
I.3.a Comme g est localement constant et T uniforme, P obéit à une équation
différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. La solution, 
qui est
donc exponentielle, s'écrit
 z
RT
P(z) = P0 exp -
avec H =
H
g Ma
Pour T0 = 273 K, on trouve

H0 = 8, 0 km

I.3.b La hauteur d'échelle est du même ordre de grandeur que l'épaisseur de la
troposphère. Or, en pratique, on s'aperçoit que la temérature diminue avec 
l'altitude pour atteindre un minimum de l'ordre de -60 C. L'hypothèse 
d'atmosphère

isotherme est donc hautement criticable. Elle donne néanmoins une idée de la 
distribution de la pression.
I.4.a Dans le modèle de l'équilibre adiabatique, T devient une inconnue mais on
dispose d'une équation supplémentaire grâce à la loi de Laplace. P ne dépend 
toujours
que de z car aucune force ne s'exerce sur les axes Ox et Oy. Dans la loi de 
Laplace,
la constante K se trouve en se plaçant en z = 0.
L'équation différentielle vérifiée par P est la suivante :
dP
+ g = 0
dz
Comme  = 0

P
P0

1

et 0 g =

P0
, elle devient
H0
1

dP
P0 P 
+
=0
dz
H0 P0 1
Cette équation s'intègre en séparant les variables P et z.
1

dz
P-  dP
=-
- 1 P0
H0
P0
On intègre la pression de P0 à P et l'altitude de 0 à z.
!
-1

P 
z
=-
-1 - 1
 - 1 P0 
H0

d'où

P(z) = P0 1 -

 -1

z

Ho
-1

PMa
Calculons maintenant la température. Comme  =
, la loi de Laplace s'écrit
RT
aussi
P1- T = Cte
Cette constante s'exprime en fonction de T0 et P0 , ce qui donne
P1- T = P1-
T0
0
T
=
T0

Finalement

T(z) = T0 1 -

P
P0

 -1

z

H0
-1

I.4.b La température est une fonction affine de z, donc le gradient vertical de
température est constant. Il vaut