Mines Physique 2 PC 2010

Thème de l'épreuve Lutte contre les incendies de forêts
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, thermodynamique
Mots clefs force pressante, centre de poussée, vidange, bilan d'énergie, portée d'un tir, bilan de quantité de mouvement, coefficient de portance, coefficient de traînée, aérodynamique, finesse d'une aile, nombre de Mach

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2010
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

LUTTE CONTRE LES INCENDIES DE FORETS
33 000 hectares de forets sont detruits par des incendies en moyenne chaque 
annee en France.
Les departements les plus touches sont les 15 departements du Sud Est avec 25 
600 hectares brules
en moyenne par an (jusqu'a 62 000 hectares detruits en 2003 !). On y recense 2 
450 departs de feu
chaque annee en moyenne, mais heureusement, 60 % des feux ne depassent pas 1 ha 
de foret detruite.
La prevention au sol avec des patrouilles de surveillance et les moyens aeriens 
permettent de limiter
grandement les degats.
On se propose dans ce probleme de decouvrir de facon simple deux moyens de 
lutte contre les incendies de foret. La premiere partie permet de mettre en 
evidence les possibilites des vehicules de
patrouille tout terrain, armes pour intervenir sur les departs de feu. Ces 
vehicules sont parfois appeles vehicules Dangel. La deuxieme partie aborde de 
facon sommaire les possibilites des avions
bombardiers d'eau de type Canadair.
Dans tout le probleme, l'eau sera consideree comme un liquide non visqueux, 
homogene, incompressible, de masse volumique  . L'air exterieur assimile a un 
gaz parfait de temperature T0 = 288 K de
pression p0 = 1013 hPa et de masse volumique 0 . On prendra pour l'air, une 
composition molaire
de 20 % en O2 et de 80% en N2 et  = C p /Cv = 1, 4. On rappelle la valeur des 
masses molaires de
l'oxygene MO = 16 × 10-3 kg.mol-1 et de l'azote MN = 14 × 10-3 kg.mol-1 ainsi 
que la valeur de
la constante molaire des gaz parfaits Rgp = 8, 31 J.mol-1 .K-1 . L'acceleration 
de la pesanteur g sera
prise egale a 9, 81 m.s-2 .

I. -- La lutte au sol
Les vehicules Dangel (voir figure 1) tout terrain sont un element important de 
prevention des incendies. Effectuant des rondes quotidiennes dans les massifs 
forestiers, ils permettent une vigilance renforcee des lieux sensibles et 
peuvent operer tres rapidement, mais cependant de facon limitee, sur des

Lutte contre les incendies de forets

departs de feu. Pour cela, ils sont equipes d'une citerne, reservoir d'eau 
suppose parallelepipedique
a base carree, indeformable et pose sur le plateau arriere horizontal du 
vehicule. La hauteur de ce
reservoir est H = 70 cm, la longueur du cote de sa base est L = 95 cm.

I.A. -- Etude du reservoir
Le remplissage du reservoir s'effectue grace a une ouverture large (diametre 30 
cm) situee au sommet
du reservoir, fermee par un bouchon a vis. Sur la face arriere, legerement au 
dessus du plateau, une
ouverture permet plusieurs sorties : d'une part deux sorties auxiliaires avec 
vanne d'ouverture, d'autre
part une sortie par l'intermediaire d'une motopompe fixee sur le plateau 
delivrant une puissance
maximale Pmax de 1170 W (environ 1,6 chevaux) qui permet le branchement et 
l'actionnement d'une
lance. Enfin, au fond du reservoir, est amenagee une sortie pour la vidange, de 
section s faible.

F IG . 1 ­ Vehicule d'intervention Dangel
Sauf cas particuliers explicites dans le texte, l'espace est rapporte a un 
systeme d'axes tels que l'axe
Oz est ascendant vertical, l'axe Ox est horizontal, dirige de l'arriere du 
vehicule vers l'avant, le point
origine O etant choisi sur le plateau au niveau de la paroi arriere du 
reservoir (voir figure 1).
1 -- Donner la definition d'une particule fluide, en precisant ses dimensions 
typiques. A quelle
echelle d'etude se situe-t-elle ? Quel est son interet ? Qu'appelle-t-on en 
mecanique des fluides, un
systeme ouvert, un systeme ferme ? Comment se nomment les representations 
associees ? Rappeler
les conditions d'application de la relation de Bernoulli.
2 -- Le reservoir, initialement vide, toutes les sorties etant fermees, est 
partiellement rempli grace a
une borne a incendie en 1 min 29 s avec un debit moyen estime a 6,6 litres par 
seconde. Determiner la
hauteur h0 de l'eau dans le reservoir apres remplissage. On negligera le volume 
du tuyau de vidange.
On se place dans ces conditions de remplissage prealable dans toute la suite du 
probleme.
3 -- Determiner la resultante des forces de pression qui s'exerce sur chaque 
flan vertical du
reservoir.
4 -- Le centre de poussee est le point d'application de la resultante des 
forces de pression qui donnerait le meme moment par rapport a un point donne 
que le moment resultant des forces elementaires
de pression par rapport a ce meme point. Determiner la hauteur du centre de 
poussee de cette resultante
sur un flan vertical.
Page 2/7

Physique II, annee 2010 -- filiere PC

-
5 -- On suppose que le vehicule demarre avec une acceleration constante 
a = a ebx , sur une
route horizontale d'axe Ox. Determiner les equations des surfaces isobares dans 
l'eau du reservoir.
Calculer la valeur numerique de l'amplitude maximale de variation de hauteur de 
la surface libre lors
d'une phase d'acceleration de 1 m.s-2 . En negligeant la contribution de la 
pression atmospherique
p0 , determiner la resultante des forces exercees par l'eau sur le reservoir.

I.B. -- Vidange du reservoir
Le vehicule, a l'arret, est laisse en plein soleil en ete, durant un certain 
temps ; la temperature de l'air
a l'interieur du reservoir s'eleve a T = 40 C. La hauteur initiale d'eau est h0 
calculee a la question 2,
on suppose que la temperature de l'air reste constante durant toutes les 
operations. L'air contenu dans
le reservoir est assimile a un gaz parfait.
On souhaite tout d'abord etudier le cas hypothetique d'une vidange pour 
laquelle on laisserait le
bouchon de remplissage en place et dans laquelle le tuyau de vidange n'est pas 
mis en place.
6 -- Determiner la pression pi de l'air contenu dans le reservoir a l'instant 
ou la vidange debute.
Montrer que le reservoir se vide partiellement et que la hauteur d'eau h 
restant alors dans le reservoir
est regie par une equation du second degre. Determiner la valeur numerique de 
h, le volume d'eau
ainsi vidange et la pression finale p f de l'air a l'interieur du reservoir. 
Que risque-t-il de se passer si
l'on procede ainsi ?
En pratique, on retire en fait le bouchon de remplissage et l'on branche un 
tuyau de vidange de section
s faible dispose horizontalement, d'axe Ox, de longueur  = 80cm ferme a son 
extremite par un robinet
L'ensemble est represente sur la figure 2. On ouvre le robinet de vidange a t = 
0, la hauteur d'eau dans le reservoir, au
dessus du niveau du tuyau, etant de h0 . On etudie dans un
premier temps le regime transitoire pendant lequel on admet que la hauteur 
d'eau dans le reservoir reste constante
et egale a h0 . On s'interesse au champ de vitesse de l'eau
---
dans le tuyau de vidange, note v(x,t) et suppose uniforme
sur chaque section.
---
7 -- Montrer que v(x,t) = -v(t) ebx avec v(t)  0.
8 -- En utilisant l'equation d'Euler de la mecanique
des fluides, montrer que, sous certaines hypotheses que
l'on precisera, la fonction v(t) est solution de l'equation
differentielle
dv v2
 + = k2
(1)
dt
2
F IG . 2 ­ Vidange reservoir
ou k2 est une constante que l'on exprimera en fonction de g
et h0 .
9 -- Montrer que l'equation precedente admet une solution constante v0 . En 
posant, u = v + v0
1

puis w = resoudre l'equation (1). On exprimera v (t) en fonction des parametres 
v0 et  =  .
u
2k
Determiner la limite v1 de v lorsque t tend vers +.
10 -- Calculer la valeur de  et du temps t0 au bout duquel la difference 
relative entre la vitesse v
et sa valeur limite v1 devient inferieure a 1%.
11 -- En precisant les hypotheses utilisees, determiner le temps necessaire tv 
a la vidange totale
du reservoir. Calculer tv sachant que le tuyau possede un diametre  = 20 mm.

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

Lutte contre les incendies de forets

I.C. -- Fonctionnement de la lance a incendie
On s'interesse maintenant au fonctionnement de la lance a incendie branchee sur 
la motopompe. La
lance a une longueur de 50 m, son diametre interieur est d1 = 32 mm et elle se 
termine par un petit
embout conique dont le diametre minimal interieur est d2 = 14 mm. On se place 
en regime permanent,
le debit volumique de la motopompe est note Dv et on neglige toutes les pertes 
de charges.
12 -- A partir d'un bilan d'energie, montrer que la puissance P que doit 
fournir la motopompe
s'ecrit dans le cas general :
 2

ps - pe
vs - v2e
+ g (zs - ze ) +
P =  Dv
2

ou les grandeurs indicees « s » correspondent aux grandeurs de sortie et celles 
indicees « e » aux
grandeurs d'entree du systeme choisi.
13 -- L'embout de la lance est maintenu a 20 m au dessus du plateau du 
vehicule. Calculer le debit
maximal Dvmax que pourra assurer la motopompe. En deduire la vitesse maximale 
de l'eau en sortie
de lance.

-
14 -- A partir d'un bilan de quantite de mouvement, determiner la force Fe 
exercee par l'eau sur
l'embout conique de la lance lorsque cette derniere est horizontale. Calculer 
la valeur numerique du
module de cette force pour le debit Dvmax obtenu a la question precedente.
On se place dorenavant dans un referentiel R  = (O , x , y , z )
represente sur la figure 3, suppose galileen, dans lequel l'extremite
de la lance est inclinee d'un angle  par rapport a l'horizontale et se
situe a la cote z0 = 1m.
On negligera la resistance de l'air et on fera l'hypothese que le jet
dont on neglige la section reste coherent dans le plan O x z .
15 -- Determiner l'equation z = z (x ) de la trajectoire des particules d'eau. 
On utilisera les parametres g, tan  , z0 et vs module de
la vitesse initiale de ces particules.

z'

g

®

z'0

Extrémité
de la lance
y'

x'
O'

xmax

16 -- Determiner la portee maximale
de la lance en fonc
tion de vs , g et z0 . Calculer la valeur numerique de xmax
et de l'angle F IG . 3 ­ Configuration de
correspondant pour un debit Dv = 180 litres par minute.
l'extremite de la lance.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- La lutte aerienne
Le bombardier d'eau CL 415, familierement appele Canadair, est l'element 
principal de la lutte
aerienne contre les incendies. Il s'agit d'un hydravion amphibie a coque, 
monoplan, a ailes hautes,
bimoteur. Sa masse est Mv = 12 834 kg a vide, et Mc = 19 848 kg en charge. Son 
envergure est
28, 63 m, sa longueur 19, 82 m, sa hauteur 8, 98 m et la surface totale de ses 
ailes ou surface alaire
est Sa = 100, 5 m2 . Sa vitesse de croisiere maximale est de 365 km.h-1 la 
distance maximale qu'il
peut franchir est de 2 426 km. Il est propulse par 2 moteurs Pratt & Whitney 
123 AF de 1, 78 MW
chacun. Il est equipe d'un kit bombardier d'eau qui comprend 2 ecopes, 2 soutes 
d'une capacite totale
de 6 137 litres et une reserve de produit moussant d'une capacite de 320 litres.

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II.A. -- Etude de l'ecopage

F IG . 4 ­ Le bombardier d'eau CL 415 en phase d'ecopage

Le bombardier d'eau CL 415 effectue ses remplissages (ou ecopages) en 
effleurant la surface de l'eau
avec une vitesse de module V = 120 km.h-1 (voir figure 4). L'eau s'engouffre 
alors dans les soutes
au moyen des deux ecopes de section rectangulaire sa = 11, 8 × 6, 5 cm2 .
17 -- Determiner le temps de remplissage tr des 2 soutes et la distance dr 
qu'il faut parcourir sur
le plan d'eau pour les remplir.

-
F IG . 5 ­ Ecopage de l'avion a la vitesse V

On modelise le remplissage au travers d'une ecope, par un auget oriente dans le 
sens de deplacement
qui renvoie les veines d'eau dans le sens oppose a la direction incidente. La 
section droite du jet
d'entree se est prise egale a la section d'une ecope. La hauteur de l'auget est 
de 50 cm. L'ensemble
est represente sur la figure 5.
18 -- Montrer qu'en premiere approximation, la section du jet de sortie est la 
meme que celle
d'entree. On suppose que l'auget est place dans un environnement a la pression 
atmospherique p0 .
Calculer la force exercee par l'eau sur l'auget et la puissance qu'elle 
developpe. On commentera ce
resultat en indiquant notamment la manoeuvre qui doit etre entreprise par le 
pilote durant le remplissage des soutes.

Lutte contre les incendies de forets

II.B. -- Aerodynamique du Canadair
Les donnees relatives aux caracteristiques aerodynamiques d'un profil d'aile 
d'avion sont mentionnees
sur la figure 6. On suppose que ce profil est invariant dans la direction y sur 
toute la largeur de l'aile.
Les points A et B sont les points d'arret, il s'agit du premier et du dernier 
point du profil en contact
avec le fluide. La distance AB est appelee la corde de l'aile. Dans le plan de 
section orthogonale a
-

la largeur de l'aile, la direction x est determinee par la vitesse relative du 
fluide V et la direction z

-
par la normale a x orientee vers l'extrados. Sur la figure (6), la force F est 
la resultante des forces

-
appliquees a l'aile. La composante Fz de F selon z est appelee la portance, et 
celle Fx selon x est
appelee la trainee. On definit alors le coefficient de portance Cz et celui de 
trainee Cx par les relations
Cz =

2Fz
-

0 Sa V

2

, et Cx =

2Fx
-

0 Sa V

2

.

-
Le fluide est l'air suppose immobile et c'est l'avion qui se deplace dans une 
direction opposee a V  .
L'angle i est appele angle d'incidence de l'aile. On definit aussi la finesse 
d'une aile comme le rapport
f = Cz /Cx .
19 -- Quelles sont les dimensions de Cz et de Cx ?

F IG . 6 ­ Profil d'une aile

-
20 -- Quelle est l'origine physique de la force F ?
Le bombardier d'eau est en vol horizontal a la vitesse constante de module V , 
dans un air immobile.
Il est donc en equilibre.
21 -- Que se passe-t-il si le pilote augmente la puissance fournie aux moteurs 
en gardant un angle
d'incidence constant ?
22 -- Exprimer la masse volumique 0 de l'air en fonction de p0 , T0 de sa masse 
molaire Ma et de
la constante des gaz parfaits Rgp . Calculer la valeur numerique de 0
23 -- Pour un vol horizontal du bombardier d'eau a vitesse constante egale a la 
vitesse de croisiere
maximum de l'avion en pleine charge, determiner Cz et Cx . Que vaut la finesse 
dans cette configuration ?

Page 6/7

Physique II, annee 2010 -- filiere PC

Les caracteristiques du fluide dans lequel se deplace une aile peuvent etre 
modelisees par le nombre
de Reynolds NR et le nombre de Mach NM definis comme
NR =

VL

NM =

V
Vs

ou V est le module de la vitesse relative de l'aile, L represente la taille 
caracteristique du phenomene
considere,  est la viscosite cinematique du milieu (pour l'air a T0 et P0 ,  = 
15, 6 · 10-6 m2 .s-1 ) et Vs
la vitesse du son dans le fluide considere. Pour un type d'ecoulement donne 
caracterise par NR et NM ,
les coefficients Cz et Cx dependent en fait de l'angle d'incidence i. Grace a 
des essais en soufflerie,
on peut tracer la polaire Cz = f (Cx ) d'une aile. Gustave Eiffel a ainsi nomme 
cette courbe car si l'on
adopte la meme echelle sur les deux axes, l'angle polaire d'un point M de la 
courbe est celui forme
entre la resultante des forces et la vitesse de l'ecoulement incident (angle de 
resultante).
Le Canadair CL 415 a des ailes profilees
selon le modele NACA 4418 de corde
3 562 mm. La polaire pour NR = 1, 5·107
et NM = 0, 155 ainsi que le profil de cette
aile sont presentes sur la figure 7.

F IG . 7 ­ Profil et polaire de l'aile du Canadair

24 -- La vitesse du son est une grandeur thermodynamique donnee par la relation 
Vs2 =  p a entropie constante, ou p
et  sont respectivement la pression et la
masse volumique du milieu dans lequel
se propage le son. Determiner la vitesse
du son dans l'air a la temperature T0 en
fonction de  , p0 et 0 .
25 -- Commenter les valeurs de
NR et NM utilisees. Determiner graphiquement la valeur de la finesse maximum de 
cette aile dans cette configuration d'ecoulement. Que represente cette
finesse ?

II.C. -- Caracteristiques de la mission
Le cycle d'une mission classique de lutte aerienne se decompose en trois phases 
:
­ l'approche du plan d'eau, l'ecopage a la vitesse de 120 km/h et le decollage, 
l'ensemble necessite
une longueur d'environ 1500 m ;
­ les vols de transit a la vitesse de croisiere de 320 km/h ;
­ le survol de l'incendie et le largage de l'eau a la vitesse de 195 km/h, 
cette operation particuliere
dure environ 1 minute et 30 secondes.
26 -- La distance moyenne des feux aux plans d'eau etant de 11 km. Estimer le 
nombre moyen
de cycles qui peuvent etre effectues en 1 heure par un bombardier CL 415 et la 
masse d'eau deversee
sur l'incendie.
27 -- Le largage s'effectue en general entre 30 m et 50 m de hauteur. Quels 
peuvent etre les criteres
qui justifient les valeurs haute et basse de cette fourchette ?
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE
Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Alban Sauret (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet étudie des appareils utilisés dans la lutte contre les incendies de 
forêts :
les camions de pompier et les avions Canadair. Il fait appel à la mécanique des 
fluides,
ainsi qu'à quelques notions de mécanique du point et de thermodynamique.
· La première partie est consacrée au réservoir d'eau d'un camion de pompier,
en statique tout d'abord (forces pressantes, centre de poussée...), puis en 
écoulement avec une étude guidée de la vidange. Enfin, l'étude de la lance à 
incendie
regroupe un bilan de puissance et de quantité de mouvement, constituant une
bonne révision des bilans, puis un calcul de la portée du jet.
· Divers aspects des avions Canadair sont traités dans la seconde partie.
Dans un premier temps, on s'intéresse à l'eau qui remplit les soutes de l'avion 
et
plus précisément aux forces exercées sur l'avion lors du remplissage. Viennent
ensuite des questions d'aérodynamique concernant le profil de l'aile, la 
portance
et la traînée, de manière bien guidée. Le sujet se termine par deux questions
d'ordre général sur la lutte aérienne contre les incendies.
Une difficulté de ce sujet est son hétérogénéité. En effet, il est composé de 
nombreuses petites sections autonomes, avec des questions souvent indépendantes 
les unes
des autres et de difficulté très variable. Il y a des questions sur le cours et 
son application directe, des questions nécessitant une lecture précise de 
l'énoncé mais pas
spécialement de connaissances, ainsi que des questions qui appellent une 
réflexion
approfondie et une résolution détaillée. Avant de traiter une question, il faut 
donc se
demander à quelle catégorie elle appartient et adapter en conséquence le niveau 
de
détail de la réponse.
Le rapport du jury regrette que les candidats n'aient pas mieux maîtrisé les 
bilans
en mécanique des fluides (quantité de mouvement et énergie) et souligne que de
très bonnes notes étaient à attendre pour les copies ayant répondu proprement 
aux
questions qui en contenaient.

Indications
Partie I
3 Exprimer d'abord la pression p(z) dans l'eau.
4 Déterminer le moment des forces pressantes exercées sur une paroi par rapport 
au
point de coordonnées (L/2; 0), en faisant tout d'abord une intégrale sur la 
surface
des moments élémentaires, puis en utilisant le résultat de la question 
précédente.
5 Que vaut l'accélération du fluide dans le référentiel terrestre lorsqu'il est 
au repos
-
 --
-

dans le référentiel du véhicule ? Que vaut dr · grad p pour un déplacement dr 
sur
une surface isobare ?
6 L'eau s'arrête de couler lorsque la pression de l'air qui la surmonte est 
égale à la
pression à la surface de l'eau.
8 Appliquer l'équation d'Euler au fluide du tuyau. Pour calculer le gradient 
uniforme
de pression, utiliser la relation de Bernoulli en considérant la surface de 
l'eau dans
le réservoir comme immobile.
11 Si t0 est très petit, on peut considérer que v atteint instantanément sa 
limite.
12 Bien définir le système étudié.
13 Utiliser la relation obtenue à la question précédente en considérant que 
toute
la puissance de la pompe est utile au fluide, et en choisissant comme grandeur
d'entrée la surface de l'eau, la sortie étant au bout de la lance.
14 Définir correctement le système étudié. Utiliser la relation de Bernoulli 
pour déterminer la pression d'entrée.
16 Écrire l'équation donnant implicitement la portée du tir, puis la dériver 
par rapport à tan  pour obtenir une expression de tan  telle que la portée soit 
maximale ; réinjecter ensuite cette expression dans l'équation implicite de 
départ pour
obtenir la portée maximale.
Partie II
18 Utiliser la relation de Bernoulli pour déterminer la vitesse de sortie, puis 
la conservation du débit. Pour déterminer la force subie par l'auget, faire un 
bilan de
quantité de mouvement.
23 Fz compense le poids de l'avion et la puissance développée par les moteurs 
est la
puissance de Fx .
24 p/ est une constante lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait.
25 Interpréter graphiquement la notion de finesse.

Lutte contre les incendies de forêts
I. La lutte au sol
I.A

Étude du réservoir

1 Une particule fluide est une portion de fluide se situant à l'échelle 
mésoscopique : suffisamment grande devant la distance intermoléculaire pour que 
les grandeurs macroscopiques (température, pression...) soient définies, 
suffisamment petite
devant les longueurs caractéristiques de l'écoulement de fluide considéré pour 
que ces
grandeurs puissent être considérées comme homogènes au sein de la particule 
fluide.
Sa taille dépend de l'écoulement considéré. Pour un gaz à pression et 
température
normales, on considère par exemple des particules fluides de 10 µm.
L'intérêt des particules fluides pour la description d'un fluide est d'éviter 
l'étude
des molécules composant le fluide une par une : c'est l'approximation des 
milieux
continus.
Un système ouvert est contenu dans une surface délimitant un volume
de fluide où les particules fluides peuvent entrer ou sortir. La représentation
d'Euler considère des systèmes ouverts. Un système fermé est un ensemble de
particules fluides suivies à chaque instant au cours de leur écoulement ;
aucune de ces particules ne sort du système fermé. On étudie des systèmes
fermés en représentation de Lagrange.
La relation de Bernoulli s'applique pour un écoulement parfait, homogène et
incompressible. Si l'écoulement est permanent,
v2
p
+ + ep = Cte le long d'une ligne de courant
2

où -
v est le champ des vitesses du fluide, p le champ de pression,  la masse 
volumique du fluide et ep l'énergie potentielle dont dérivent les forces 
massiques subies
par le fluide (ep = g z si seul le poids intervient). Si l'écoulement est 
également
irrotationnel, alors la relation devient
v2
p
+ + ep = Cte dans tout le fluide
2

Enfin, si l'écoulement est irrotationnel mais non permanent, il existe un 
potentiel
--

des vitesses  tel que -
v = grad  et la relation de Bernoulli s'écrit
 v 2
p
+
+ + ep = f (t) dans tout l'écoulement
t
2

Le rapport du jury mentionne des « surprises » et des « imprécisions » pour
ces questions de cours. L'impression que donne une copie débutant ainsi est
désastreuse : il faut donc connaître très précisément son cours, en particulier
les conditions d'application des relations utilisées.

2 Le réservoir se remplit à un débit D1 = 6,6 . 10-3 m3 .s-1 en une durée t1 = 
89 s,
donc contient après remplissage un volume V1 = D1 t1 . La surface de la base du
réservoir étant L2 , il y a dans le réservoir une hauteur d'eau
D1 t1
= 65 cm
L2

h0 =

3 La pression hydrostatique régnant dans le fluide à une altitude z est
p(z) =  g (h0 - z) + p0
Une tranche de paroi horizontale, d'épaisseur dz et de largeur L, subit de la 
part
du fluide une force perpendiculaire à la paroi et dirigée vers l'extérieur du 
réservoir,
de norme p(z) L dz. Par ailleurs, elle subit de la part de l'air extérieur une 
force
de même direction, de sens opposé et de norme p0 L dz. La résultante des forces 
de
pression s'exerçant sur cette portion de paroi est donc une force dirigée vers 
l'extérieur
du réservoir, de norme (p(z) - p0) L dz. Une paroi entière du réservoir subit 
ainsi une
force de pression résultante de norme

Z h0
Z h0
h0 2
Fp =
(p(z) - p0 ) L dz =
 g (h0 - z) L dz = L  g h0 2 -
2
0
0
ou enfin

Fp =

 g L h0 2
= 2,0 . 103 N
2

4 Soient P le centre de poussée de la paroi du réservoir contenue dans le plan
(Oxz) et C le milieu de l'arête inférieure de cette paroi. La pression étant 
invariante
selon (Ox), le centre de poussée P se situe à la verticale de C. Le moment par 
rapport
-

-
 - -

à C de la force Fp exercée sur la paroi est M = CP  Fp . En notant hP 
l'altitude du
point P, il peut s'écrire

-

 g L h0 2 -
 g L h0 2

-

M = hP e z  -
ey =
hP -
ex
2
2
Ce moment est égal à l'intégrale sur toute la paroi du moment des forces 
pressantes
élémentaires qu'elle subit. Une tranche de cette paroi d'épaisseur dz, de 
largeur L,
située à la hauteur z, centrée sur un point M de la paroi, subit une force 
pressante
-

résultante dF = - g (h - z) L dz -
e . Le moment s'écrit donc
y

0

p

-

M=

Z

h0

--
-

CM  dFp =

0

-
= g L
ex

Z

h0

0

Z

(z -
ez )  - g (h0 - z) L dz -
ey

h0

z (h0 - z) dz =  g L

0

h0 3
h0 3
-
2
3

-

ex

-

 g L h0 3 -

M=
ex
6
En identifiant les deux égalités ci-dessus, on obtient l'expression de la 
hauteur hP du
centre de poussée sur cette paroi :
hP =

h0
3

Le rapport du jury précise que la définition du centre de poussée étant donnée
dans l'énoncé, il fallait effectuer le calcul correctement et non se contenter 
de
rappeler le résultat.