Mines Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Le rayon vert
Principaux outils utilisés thermodynamique, optique géométrique, rayonnement dipolaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L' AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE '
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 4 heureS)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP, Cycle
international '

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 11 -------ÔPC.

L'ênoncé de cette épreuve comporte 9 pages.

--- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura été

amené à prendre.
«----» Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui vous

' sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. 
Le barème tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

LE RAYON VERT

Le rayon vert est un phénomène lumineux qui se produit lors du coucher ou du 
lever du Soleil, lorsque
certaines conditions atmosphériques sont réunies. S'il est aujourd'hui bien 
compris, ce phénomène
naturel a alimenté au cours des âges les mythologieset inspiré la littérature. 
Selon les mythes scan----
dinaves par exemple, celui qui observe ce « rayon », acquiert la capacité de 
lire dans le coeur des
v hommes. Jules Verne s'en est inspiré, dans un roman resté célèbre, paru en 
1882 et intitulé tout sim---
plement : le rayon vert. ,

Au début du XX" siècle, les astronomes français André Danjon et Gilbert Rougier 
ont étudié le rayon
vert et contribué à sa compréhension. Ils rapportent leurs propres 
observations, réalisées en 1920 du
haut de la cathédrale de Strasbourg : « Le rayon vert frappe toujours 
l'observateur par son apparition
brusque, de caractère nettement tranChê. Sitôt le disque du Soleil couché, on 
voit instantanément et
sans transition un segment d'un vert très pur: [... ] Il n 'est pas rare de le 
voir durer jusqu 'à 2 s. »

On se propose d'étudier les phénomènes physiques à l'origine de la 
manifestation la plus fréquente
du rayOn vert. La propagation de la lumière dans un milieu non homogène fait 
l'objet d'une approche
progressive qui s'appuie sur les fondamentaux relatifs aux milieux homogènes et 
aux lois de Des---

cartes. Dans tout le problème : ;
---- la Terre sera assimilée à une sphère de centre C, de rayon R:;-- 3 6370 km 
et de masse MT ===

5, 97 >< 1024 kg que l'on supposera à répartition sphérique.
------- on négligera la variation de l'accélération due à la pesanteur go 3 9, 
81 ms"

avec l' altitude.

------- l'air sera assimilé à un gaz. parfait de masse molaire M ...«-----.... 
28, 96 g.mol"'. On prendra pour valeur
de la constante des gaz parfaits R 3,8, 3Ïlf-'1r I.mol""1 .K'"'.

-----« on distinguera dans la notation des unités, les secondes (") et minutes 
(') d'angle respectivement

égales à l/60 et 18600 de degré, des minutes (min) et secondes (s) d'heure.

2 avec la latitude et

Les 4 parties du problème sont indépendantes.

I. ------------- L'atmosphère terrestre

La variation de la masse volumique de l'air avec l'altitude joue un rôle 
primordial dans la formation du
rayon vert. Il est donc nécessaire de préciser quelques--unes des propriétés 
physiques de l'atmosphère
dans le cadre de différents modèles.

Pour les besoins de l'aéronautique, un modèle
d'ahnosphêre standard a été défini en 1976. Il corres--
pond à un profil moyen de températures (Fig.l) sous
40° de latitude nord, dont les gradients verticaux sont 80
donnés pour différentes tranches d'altitudes dans le Mésosphèoe
tableau ci«dessous. On supposera l'atmosphère stan-- °

dard en équilibre hydrostatique, la température et la 60

pression au sol valant respectivement To 3 288 K et

...... .
0 ... , ......-.....-.................................................... 
.................

2 [km]

40
Altitude d T / dz
Troposphère_ 20 Stratosphere
0

Mésosphère FIG. 1 ------- Atmosphère standard

LA. --------- Atmosphère isentropiqué

Le brassage convectif de l'air dans la troposphère provoque des transformations 
locales isentropiques
réversibles. On note 7 x cp/cv le rapport des capacités thermiques massiques à 
pression constante
cp et à volume constant C., Les constituants de l'air sont supposés être des 
molécules diatomiques
rigides (cp ... 7R / 2 et cv ... 5R/2). L'équilibre hydrostatique est atteint

Ü 1 ----------- Écrire la loi des gaz parfaits en fonction de la température 
T(z), de la pression p(z), de la
masse volumique p(z), de la masse molaire M de l'air à une altitude z et de 
toute autre constante

nécessaire. Calculer numériquement la masse volumique po de l'air au niveau du 
sol.

Ü 2 ---------- En utilisant la loi de Laplace relative à une transformation 
isentropique réversible, écrire la
relation entre d p / dz et d p / dz En écrivant la condition de équilibre 
hydrostatique déterminer d T / dz
En déduire que la température varie avec l' altitude selon la loi affine T(z)m 
To(l ----------- z/HS) où HS
est une constante que l'on déterminera. Calculer la valeur numérique de d T / 
dz: et de H 3. Interpréter
l'écart obtenu avec le gradient vertical de température donné par le modéle 
d'atmosphêre standard.

Ü 3 ------- Exprimer p(z) en fonction de po, HS et y.
LB. --------- Atmosphère isotherme

L' accroissement de température dans la stratosphère résulte de l'absorption du 
rayonnement ultra--
violet du Soleil par l'ozone qui atteint son maximum d'abondance dans cette 
région. La base de la
stratosphère est supposée être à une température constante de valeur ?} m 216, 
5 K.

Ü 4 ----------- À quelle équation différentielle satisfait p (z) dans une 
région isotherme ? En déduire p (z) en
fonction de p0 et Ht, l'échelle de hauteur sur laquelle p est divisée par e 
...---------... exp 1. Comment varie la
hauteur d'une atmosphère isotherme avec sa température ? Calculer numériquement 
H;.

LC. ---- Atmosphère standard

Dans le modèle _d'atmosphère standard (Fig. 1), la température varie 
continûment avec l'altitude selon
des lois affines du type T(z) == Tk + sz où 'Tk et Gk sont des constantes dans 
une tranche k donnée

d'altitudes. _
Ü 5 ... Montrer que p(z) satisfait à l'équation différentielle (Y)C + sz)%--% + 
Ckp :: 0 où Ck est une

constante que l'on déterminera en fonction de Gk, M, R et go. À la base de la 
tranche k considérée,
d'altitude Zk, on note pk === p(zk) la masse volumique de l'air. Résoudre cette 
équation différentielle

et exprimer p(z) en fonction de ak x 1 +MgO/(RGk), pk, zk, Tk et G,.
LD. --------- Inversion du prof l demasse volumique dans les premiers mètres

Il arrive parfois que la surface de la Terre soit portée à une température 
suffisamment élevée pour
provoquer une inversion du profil de masse volumique de l'air (changement de 
sens du gradient)
dans les premiers mètres d'altitude. On suppose désormais que les variables 
d'état de l'air T, p et p
dépendent aussi du temps et se développent selon : '

T(ZaÏ)/TO 31+ & f(t,z).
p(z.r)/po x r+ a, f(t,z) avec f(...) a...) (......î ... î...)
ptz,t)/pox 1+ôp f(t,z)

%] << 1, r et L des

ou ! désigne le temps, z l'altitude au dessus du sol et lôfl << 1,

constantes.
On suppose qu'il y a diffusion thermique à travers l'air, le long... de la 
seule direction verticale.

On néglige l'influence de tout rayonnement électromagnétique. La conductivité 
thermique de l'air,
&, ...----.--.---. 24 >< lO'"3 W.m"".K"1 est supposée uniforme. On rappelle 
l'expression de l'énergie interne

volumique u m pc,,T. ,
Ü 6 ---------- Écrire la loi de Fourier relative à la conduction thermique, 
puis, en utilisant l'équation de
conservation de l'énergie, établir l'équation dite de la chaleur. En déduire 
l'équation de diffusion

thermique , . T 8 p

}... ... =...-- ---- ...
a To cvpoat Po

où A désigne le laplacien scalaire. En déduire le rapport 5p/ 57 en fonction de 
À... c... ?, po et L.

Ü 7 ------------ À l'aide de l'équation d'état de l'air, obtenir une relation 
entre 57, 5,3 et Ô}, en se limitant au

premier ordre en chacun de ces tenues. Exprimer &, en fonction de À... c... 
po., L, "C et ("Sr. Calculer 5,5,
pour L "..." l m, r x 1 h et 57 m 3 >< 10"3. Représenter l'allure de la courbe 
z(p/po) à l'instant l' m 0.

FIN DE LA PARTIE 1

6,3) << 1,

Il. ---------- La réfraction atmosphérique

La réfraction afin03phé'rique est le changement de di--
rectioù de propagation de la lumière d'un astre lors---
qu'elle traverse l'atmosphère terrestre (Fig.2). L'air
se comporte comme un milieu transparent d'indice
de réfraction n(z) qui varie avec l'altitude z. L' at--
mosphère est donc un milieu non: homogène. On
désigne par 110 m n(0) ...--:...-- l,0002773 l'indice de
réfraction de l'air au niveau du sol à la longueur 'ËÎâîiâîä'ää
d'onde Â0 m 575 nm dans le vide. ' *

@

FIG. 2 ------- Réfraction atmosphérique

À une altitude élevée, lorsque l'atmosphère est suffisamment raréfiée, l'indice 
de l'air décroît jusqu'à
tendre vers la valeur limite n(oo) :: l. Le rayonnement incident de l'astre est 
supposé monochrome----
tique de longueur d'onde %. On rappelle que le zénith d'un lieu 0 d'observation 
est le point du ciel
situé dans la direction de la verticale ascendante locale OZ. Dans le plande la 
figure 2, on repère une
direction @ donnée, par l'angle appelé distance zénithale, que forme @ avec OZ. 
Ainsi, l'angle de
réfraction atmosphérique défini par t;/, : 9,-- ----------- 60, est égal à la 
différence des distances zénithales G,;
de la direction réelle de l'astre et 90 de la direction dans laquelle il est 
observé en O.

Ü 8 ----------- Énoncer les lois de Descartes relatives à la réfraction d'un 
rayon lumineux à la traversée
d'un dioptre plan qui sépare deux milieux homogènes d'indices de réfraction m 
et riz > 111 .' Tracer la
marche d'un rayon lumineux traversant ce dioptre. Calculer en degrés, l'angle 
maximum de réfraction
,,i... d'un rayon qui traverse un dioptre plan séparant le vide, d'un verre 
d'indice 1,5 (angle entre le

rayon réfracté et la normale au dioptre).

II.A. --------- 'éfraction atmosphérique au voisinage du zénith

On cherche à déterminer l'angle

de réfraction atmosphérique de la ,
rîenräh

&

lumière d'un astre observé au voi-- YÂsfrre

sinage du zénith. La direction de
la lumière incidente étant, dans ce
cas, proche de la verticale locale, on
peut négliger l'influence de la cour---
bure de la Terre et considérer que
l'atmosphère est constituée d'un Yäïfi@
ensemble de couches d'air planes
d'indice n(z) empilées les unes sur
les autres (Fig.3--a) .

n__+dn

@--

NFIG. 3 ----- Réfraction atmosphérique au voisinage du zénith

L'altitude z d'une couche est identifiée à sa hauteur au dessus du sol. Le plan 
($") normal à OZ et
passant par un point A du rayon lumineux, est un dioptre qui sépare localement 
deux milieux d'indices
n et n + du (Fig.3---b). L'angle ,6(z) est la distance zénithale de l'astre vue 
de A.

E! 9 ----------- Montrer que le long de la trajectoire du rayon lumineux, n(z) 
sin [6(z)] est une constante,
que l'on notera C1 et que l'on exprimera en fonction de ng et @@ Exprimer 
1;I,-- en fonction de no
et 90 % sin 90. En vérifiant la validité de l'expression que l'on utilisera, 
calculer, en seconde d'arc,
l'angle de réfraction atmosphérique pour un astre observé à une distance 
zénithale de 10°.

II.B. ---------- éfraction atmosphérique aux grands angles

Pour les distances zénithales d'astres éloignés du zénith, il est nécessaire de 
tenir compte de la cour----
bure de la Terre. L'atmosphère est désormais assimilée à un ensemble de couches 
d'air sphériques de
centre C d'indice n(z) empilées les unes sur les autres (Fig.4--a); l'altitude 
d'une couche de rayon r
étant Z m ï ... R')". '

L'angle 6(z) s'identifie désormais à la distance zénithale de l'astre observé 
en un point B sur la
trajectoire du rayon tel que CB : r. Sur la figure 4-b le plan (ÿ' ) tangent en 
B' à la sphère (Y ' ) de
rayon r'+ dr est un dioptre qui sépare localement deux milieux d'indices n et n 
+ dn.

a.
M
Ë-ë

& ....
%
i
2
l'
%
l
5
. â
, ,
î]
S'"
E
%
EUR
il
?
% il
â ,"
a;
a

rî
QO--

F IG. 4 ---- Réfraction atmosphérique aux grands angles

Ü 10 -------- En examinant le triangle BB' C, exprimer sind en fonction de Sin 
i, r et dr. Montrer que
le long d'un rayon lumineux, la quantité nrsini est une constante, que l'on 
notera C2 et que l'on

exprimera en fonction de no, R7 et 90.

A

Ü 11 -------- On admet qu'au premier ordre B'BB" ... 71." / 2 --------i En 
examinant le triangle BB'B", exprimer
au premier ordre d (p en fonction de r, dr et i. Exprimer d n / n en fonction 
de :, di et d (p. Quelle relation
existe t---- il entre (p, i et 9 ? En déduire d6 en fonction de n, dn et i. * "'

Ü 12 ---------- Montrer que l'angle de réfraction atmosphérique 'P,æw ... 6 
60"-- ... [: d 9 se met sous la forme

Hg 2 ad

nr n
\1! ==] W ......1 ...--
r( 0) 1 ("ORTSIHGO) n

où 0" est un facteur numérique que l'on déterminera.

II.C. --------- Loi de Gladstone " ..

Ü 13 ----------'--- L' indice de réfraction n de l'air est relié àla 
susceptibilité électrique 95 du milieu, supposée
réelle, par la relation n2 m 1 + x. Sachant que x << 1 est proportionnelle à p, 
montrer que n et p sont
approximativement en relation affine. Exprimer n en fonction de p, no et po la 
masse volumique à
l'altitude z x 0. En déduire %. sous forme d'une intégrale sur la variable 2, 
en fonction de p (21), po,
no, R7, 90. On précisera les homes d'intégration.

II.D. --------- Aplatissement apparent du Soleil sur l'horizon

suivante .

Le calcul numérique de l'angle de réfraction à l'aide du profil [) (z) donné 
par le modèle d'atmosphère
standard, montre une variation presque linéaire de 'l'" avec 60 juste au dessus 
de l'horizon. En expri--
mant les angles en minutes d'arc, la relation est la suivante : 'P, % 32, 9 
------- ÊS >< O, 177 où a; est l'angle
de hauteur au dessus de l'horizon, c'est--à--dire, le complémentaire de 80 à 
l'angle droit. '

Û 14 -------- Sachant que la distance Terre--Soleil vaut drs ==-- 150 >< 106 km 
et que le rayon du Soleil est
R5 m 0,70 >< 106 km, calculer en minutes d'arc le diamètre apparent [3,-- du 
Soleil c'est--à--dire l'angle
sous lequel on voit depuis la Terre, un diamètre solaire, en l'absence de tout 
phénomène de réfraction.
En remarquant que la réfraction n'agit que dans des plans verticaux, calculer 
l'aplatissement &-- ::
Bv/flh du Soleil sur l'horizon, où BV désigne le diamètre apparent du Soleil 
mesuré dans un plan
vertical et [3h le diamètre apparent du Soleil mesuré dans le plan horizontal.

FIN DE LA PARTIE 11

III. ----------- Diffusion atmosphérique

La diffusion du rayonnement solaire par les molécules de l'atmosphère 
terrestre, responsable notam--
ment de la couleur bleue du ciel, intervient dans la formation du rayon vert.

(

HLA. ---------- Moment dipolaire induit.

En l'absence d'onde électromagnétique, le barycentre A
du cortège ou nuage électronique supposé indéformable,
d'une molécule constituant l'air, coïncide avec le barycentre
0 des charges positives des noyaux (molécules non po--
laires). Dans le référentiel d'étude 9? que l'on supposera ga--
liléen et auquel on associe un repère cartésien (0, e,, ey, ez),
le mouvement du nuage se réduit à celui du point matériel
A, de masse m et de charge q < 0 respectivement égales àla
somme des masses et des charges des électrons ducortège,
On désigne par x, y et z les coordonnées de A dans le repère
de la figure 5. On note r la distance radiale à l'origine 0, (p
la longitude et 6 la co--latitude du systeme de coordonnées
sphériques, dont la base locale est (e,... 69, e(p).

FIG. 5 «-- Référentiel du dipole

L'interaction de A avec le reste de la molécule est modélisée par une force 
élastique de rappel
Fr :: ...mcuâr où r 3 re,, et par une force de frottement visqueux F,, x 
-----ocdr/dt ; 600 et 05 sont deux
constantes. Le rayonnement solaire auquel est soumis A, est assimilé à une onde 
électromagnétique
plane de longueur d'onde À dont lechamp électrique EO (z) x E... cos(oot)eZ est 
uniforme à l'échelle de
la molécule. On suppose que E... et co : 275c/À sont indépendants du temps et 
de l'espace; (: désigne
la vitesse de la lumière.

Ü 15 ... Pourquoi le mouvement des noyaux des molécules est--il négligeable '? 
Pourquoi peut--on
négliger la force magnétique ? Quelle condition faut--il réaliser sur la 
fréquence f de l'onde électro--«
magnétique pour pouvoir supposer l'uniformité du champ EO à l'échelle de 
distance a de vibration de
la molécule ? '

D 16 ---------- On se place dans le cadre des approximations de la question 15 
Déterminer, en régime établi
(id. permanent), l'amplitude complexe {g de la cote de A : z(t) x 
9ie{äexp(joet)} où j2 :: ------------1. On
définit le moment dipolaire de la molécule par p x qr. Calculer, en fonctionde 
771, gr, wo, co, E... et
re ::...-- m/05, l'amplitude complexe % de la composante de p sur l'axe Oez.

III.B. --------- Champ rayonné par un dipôle

On démontre qu'un dipôle oscillant de moment dipolaire complexe po rayonne une 
onde électro---
magnétique dont l'expression des champs, dans une région où l'approximation 
dipolaire est satisfaite,
s'écrit en notation complexe et en choisissant convenablement l'origine des 
temps :

E... == (ner --l--EaEUR9) eXp [flo (t -------- Ï--)l et 13---- ---"'" BaeeeXP 
lf'" (' "' £")l
... ... C ...
avec: " !
E...2cos9 1 j'a) ! ! ___sin6 1 jeu 002 l ;
---------'--'--"" 47:80 r3 rzc 99-- --Êm4ïreo r3 r2EUR f6'2 £9"
B ...u0sm6 ]CD 602 ! l
...... 471: 2 rc "EQ"

80 et #0 désignant respectivement la permittivité électrique et la perméabilité 
magnétique du vide.

D 17 --------- Qu' est-- ---ce quel' approximation dipolaire. '7 On s'intéresse 
au rayonnement en champ lointain,
c '------est -----à dire dans une région où r >> Â Que deviennent les 
expressions précédentes du champ électro---
, magnétique en négligeant les termes du second ordre en À /r ? Montrer qu en 
champ lointain, la valeur

moyenne du vecteur de Poynting R s'écrit:

4
0) sin2 9
' (R) OECOMÛWlPOÏZÊr

où C0 est une constante que l'on déterminera.

D 18 --------- En déduire la puissance moyenne totale (P,) rayonnée à travers 
une sphère de rayon ro >> À
centrée sur le dipôle. On exprimera (H) en fonction de co, [ml, 80 etc.

II.C. ... P issance diffusée ans le visible

Ü 19 ----------- Pour des fréquences situées dans le domaine du visible 60 << 
wo, on peut considérer de plus
que ante >> 1. Exprimer la puissance moyenne totale diffusée par une molécule 
de l'atmosphère en

fonction de (1), q, m, E..., (00, 80 etc.
Ü 20 ... Expliquer pourquoi le Soleil prend une teinte rougeâtre sur l'h0rizon.

FIN DE LA PARTIE III

IV. ---------- For tion du rayon vert

Dans les sections précédentes, on a pu établir que l'atmosphère terrestre :

----- diffuse la lumière d'autant plus efficacement que sa lon----
gueur d'onde À dans le vide est courte;
50 ë _ ---- réfracte de la lumière de telle sorte qu'un astre d'angle de
iÊ 95 (Fig.6).

Orientation \ Puisque l' indice de réfraction de l'air dépend de la lon----
des angles + gueur d'onde, la caractéristique de transfert angulaire de l' at--
mosphère, 9,-------- ... ga(60, À) est fonction de À On suppose que
le « vert >> du spectre de la lumière blanche s'étend de À... ....
FÏG-- 6 "" Réfraction atmosphérique 490 nm à À,', : 570 nm, les longueurs 
d'onde étant, dans
toute cette partie, données dans le vide. On se place dans le

référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

IV.A. ---------- Durée du coucher de Soleil àla latitude À...,

La direction du centre du disque
solaire en l'absence de réfraction
atmosphérique est repérée par
le point S sur la figure 7---
a. Pour simplifier la configura--=
tion, on suppose que le mou--
vement diurne du Soleil s'ef--
fectue dans le plan (935) in--
cliné sur l'horizon de ha,, à la
période T5 r 24 h (configura--
tion d'équinoxe).

On note SH la projection orthogonale de S dans le plan horizontal À l'instant 
du coucher, S est en
SC. Lorsque le Soleil est proche de l'horizon, le déploiement de la sphère 
céleste dans le plan (9%)
contenant S,; et normal à la droite OSC (Fig.7--b) permet d'exprimer les 
relations de proportionnalité

A

suivantes : @: "..." SHOS 3 C3 >< SHS et SOS} : C3 >< SS; où C3 est une 
constante.

13)

Sc

Trace du plan
horizontal

FIG. 7 ----- Mouvement du Soleil

D 21 ----------- Calculer la vitesse angulaire Q5 du mouvement de rotation de 
la direction OS autour de 0,
en minutes d'arc par seconde ( ' .s""'). En déduire, dans la même unité. d & / 
dt pour Âtaz m 45°.

Ü 22 4---- Exprimer la vitesse angulaire instantanée du Soleil observé en 
présence de réfraction at--
mosphérique (dËB/ât),æ, en fonction de Qg, À... et (âga/ÔËB)À. Combien de temps 
faut--il au Soleil
pour parcourir O, 50 au voisinage de l'horizon en supposant âga / 856 x l, 177 
indépendant de 90 et de
À ? La réfraction atmosphérique a--t--elle pour effet de prolonger ou de 
raccourcir la durée du coucher

du Soleil ? Dans quelle proportion ?

IV..B. ... Durée du rayon vert

Puisque la réfraction dépend de la
longueur d'onde À, l'image du 80-- EUR
leil sur l'horizon se décompose en
un ensemble de disques monochro--
matiques un peu aplatis, décalés
les uns des autres et qui se super----
posent comme le montre la figure 8----
a. Les points A et A' sont solidaires
des disques. La réfraction calculée
à l'aide du modèle d'atmosphère '
standard permet de développer au
voisinage de l'horizon la fonction

ga ($, À) selon :

FIG. 8 ---- Influence de la longueur d'onde

...... ... .... Â ___. ......
&: x ga(60, À.) 3 ...32,9+ l, 177 @+ 1,58 (17 --------- l) avec 95 et 90 en 
minutes d'arc.
' v
Sur la figure 8--b, on a représenté ga(ÔB, M) et ga(@B, ÀÇ) en fonction de Ë6 
et placé les points A et A'
correspondants à ceux présents sur l'image du Soleil (Fig.8--a).
On suppose que le rayon vert débute lorsque A' est sur l'horizon et qu'il 
s'achève lorsque A passe en

dessous de l'horizon.

Ü 23 --------- Comment appelle--t--dn le phénomène de réfraction sélective, 
c'est--à--dire fonction de la
longueur d'onde, de la lumière ? Qualitativement, ce phénomène opère--til 
vis--à--vis de la longueur
d'onde comme le fait un prisme de verre? Pourqu0i l'influence des disques de 
longueurs d'onde
inférieures à À..., peut--elle être négligée ?

Ü 24 --------- Pour À... $ 45°, calculer la durée t'1 du rayon vert dans le 
cadre de ce modèle. Est--elle
compatible avec les observations des astronomes Danjon et Rougier '? Calculer 
l'épaisseur angulaire
EUR., du limbe vert du Soleil (Fig.8--a). L'observation du rayon vert montre 
que celui--ci n'est pas ponctuel
mais possède une extension spatiale. Sachant que la résolution de l'oeil humain 
est de l'ordre d'une
minute d'arc, le mécanisme qui vient d'être décrit peut--il expliquer le rayon 
vert ?

IV..C. --------- Modèle avec inversion d'indice

L' observateur est désormais placé en O' d'altitude H == 5 m au dessus de la 
surface terrestre. L' éléva--
tion du point d'observation amène à distinguer l'horizon astronomique (1) ou 
plan orthogonal 'à la
verticale de l'observateur, l'horizon géométrique (2) ou cône de sommet O' et 
tangent à la sphère
terrestre et l'horizon apparent (3) matérialisé par la ligne où le ciel Semble 
rejoindre la terre (Fig.9----a
& 9--b).

On suppose qu'il existe dans les premiers mètres d'altitude, entre la terre et 
l'observateur, une zone
d'inversion du profil de masse volumique et donc d'indice de réfraction de 
l'air. Dans cette confi--
guration, les trajectoires des rayons lumineux sont représentées pour plusieurs 
valeurs de Ë5 sur la
figure 9--b, avec des éChelles de distance horizontale et verticale différentes 
afin de mieux visualiser

la courbure des rayons lumineux.

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F IG. 9 ------- Horizons astronomique(l), géométrique(2) et apparent(3)

D 25 ... Pourquoi dit--on qu'il se produit un mirage dont l'étymologie provient 
de la contraction
de miroir--image '? Exprimer ladistance d2 == 0' G de l'observateur à son 
horizon géométrique en
négligeant les termes du premier ordre en H /RT. Calculer la valeur numérique 
de dz puis celle,
en minutes d'arc. de l'angle de hauteur 62 < 0 de l'horizon géométrique en 
dessous de l'horizon
astronomique (Fig.9--a). Comparer d2 à d3, distance de l'observateur à son 
hdrizon apparent, puis 62
à 93 < 0, angle de hauteur de l'horizon apparent en dessous e l'horizon 
astronomique.

iin;ieen astrenemiqne

«:|--nmüwaævnü-u

apparent ,,

PIG. 10 ------- Coucher du Soleil avec inversion d'indice

E] 26 ----------- La figure 10 représente

l'évolution du Soleil couchant, si--- ......ËËÊË'ÂËÎËËËËËËYÎOEQÏW
mulée dans une atmosphère standard ,; ;
possédant une zone d'inversion d'in-- ;ä;;
dice. Quel est, sur cette figure, l'angle
de hauteur â; < 0 sous l'horizon
astronomique, du plan qui renverse
l'image ? La figure ll--a représente ............
l'image du disque monochromatique ;; B b
(%;) de longueur d'onde À; à l'instant .

où disparaît en A' le disque de longueur PIG. ll ------ Influence de la 
longueur d'onde sur la réfraction avec
d'onde Àf, Les points A1 et A2 sont inversion d'indice

solidaires de (%;).

La représentation graphique de la nouvelle caractéristique de transfert de 
l'atmosphère ga (ÔË, i_)__ est
donnée sur la figure ll--b aux deux longueurs d'onde Â... et M Sachant que A2A1 
m 2,1 ' et A' B x
0, 31 ', calculer la durée 12 de disparition de (%;). Conclure.

FIN DE LA PARTIE IV '

wmv--raflme

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Mehdi
Nehmé (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet comporte quatre parties indépendantes d'égale longueur mais de 
difficulté
variée. Les parties II et IV ainsi que le début de la partie I peuvent être 
traités avec les
connaissances du programme de première année seulement ; au contraire, la 
partie III
repose exclusivement sur le programme de deuxième année.
· Dans la première partie, on étudie tour à tour différents modèles d'atmosphère
(isentropique puis isotherme et enfin standard) et on propose une explication
à l'inversion du gradient de densité de l'air près du sol.
· Dans la deuxième partie, on analyse la réfraction atmosphérique, c'est-à-dire
la déviation des rayons lumineux par l'atmosphère, en utilisant l'optique 
géométrique ; plus délicate que la précédente, cette partie teste manifestement 
la
capacité du candidat à raisonner sur des angles et des longueurs élémentaires
en géométrie.
· La troisième partie reste très proche du cours sur le rayonnement dipolaire et
ne pose pas de difficulté.
· La quatrième partie étudie concrètement le rayon vert, sa durée d'existence et
sa forme. C'est la partie la plus difficile, tant en raison de l'approche 
choisie que
par le manque de clarté de l'énoncé ­ ce qui oblige à une lecture très attentive
de chaque paragraphe et de chaque schéma. Cette partie évalue clairement les
capacités d'analyse face à un sujet inconnu ; gageons qu'elle n'aura remporté
qu'un maigre succès au concours.
Ce sujet, qui peut être abordé par toutes les filières, se prête bien à un 
travail à
différents niveaux durant les première et deuxième années : pour tester sa 
connaissance du cours sur le rayonnement dipolaire électrique, approfondir ­ ou 
réviser ­
les raisonnements de l'optique géométrique et de la thermodynamique ou encore se
frotter à un sujet inconnu appelant une réflexion et une recherche personnelles.

Indications
Partie I
2 Écrire la loi de Laplace pour p et  et la différentier logarithmiquement. 
Injecter
la loi des gaz parfaits dans la loi de l'hydrostatique.
3 Utiliser la loi de Laplace pour T et .
4 La température dépend-elle de l'altitude z ?
5 Quelle est la solution de l'équation différentielle f  (z) + a(z) f (z) = 0 ?
6 La masse volumique  dépend-elle du temps ? Utiliser la loi des gaz parfaits 
pour
faire apparaître p.
7 Différentier logarithmiquement la loi des gaz parfaits.
Partie II
8 Sur le schéma, i2 est-il supérieur à i1 ?
9 Raisonner sur le dioptre entre les tranches en z et z + dz.
10 Utiliser la formule des sinus dans le triangle BB C.

- i . Différentier logarithmiquement le produit n r sin i. Relier
11 Exprimer sin
2
les angles dans le triangle BIC.
12 Réécrire tan i en fonction de sin i uniquement.
13 Effectuer un développement limité de n à l'ordre un.
14 Comparer les angles d'incidence dans un plan horizontal et dans un plan 
vertical.
Relier  s et  h . Exprimer  v en fonction des angles de réfraction atmosphérique
des points extrêmes en haut et en bas du disque solaire et de  h .
Partie III
15 Comparer la masse du nuage électronique à celle du noyau. Comparer la force
électrique et la force magnétique de Lorentz. À quelle condition peut-on 
négliger
le retard à la propagation de l'onde entre les électrons et le noyau ?
16 Injecter l'expression z 0 exp jt dans le théorème de la résultante dynamique.
17 Éliminer les termes en 1/r2 et 1/r3 .
18 La puissance moyenne totale est égale au flux du vecteur de Poynting à 
travers
la sphère de rayon r0 .
Partie IV
[c et i . Relier SSc et SSH .
21 Dériver les expressions de SOS
22 Dériver i = g a (0 , ) par rapport au temps.
23 Quelle est l'effet de l'atmosphère sur les longueurs d'onde  < v ?
24 Comment varie i quand le rayon vert est visible ?
25 Remarquer sur la figure 9-b que deux rayons ayant le même i conduisent à des
rayons ayant des 0 différents. À l'aide d'un schéma inspiré de cette figure, 
montrer
que d2 > d3 .
26 Comment varie i quand le rayon vert est visible ? Utiliser la question 21.

I. L'atmosphère terrestre
1 Isolons par la pensée un petit volume V d'air de masse m, situé à l'altitude 
z.
La loi des gaz parfaits s'écrit
m
p(z) V(z) =
R T(z)
M
alors

p(z) = (z)

donc

(z) =

Application numérique :

R T(z)
M

M p(z)
R T(z)

0 = 1,23 kg.m-3

2 Différentions logarithmiquement la loi de Laplace
p - = Cte
Pour ce faire, composons par la fonction logarithme
ln p -  ln  = Cte

puis dérivons cette expression par rapport à z
 d
1 dp
=
p dz
 dz

(1)

Par ailleurs, la condition d'équilibre hydrostatique s'écrit
dp
= - g0
dz
Éliminons p à l'aide de la loi des gaz parfaits
R T d R  dT
+
= - g0
M dz
M dz
Utilisons l'équation (1) pour exprimer la dérivée de  par rapport à z

(2)

R T  dp R  dT
+
= - g0
M  p dz
M dz
La condition d'équilibre hydrostatique et la loi des gaz parfaits permettent 
alors
dp
d'éliminer
, il vient
dz
1
R  dT
-  g0 +
= - g0

M dz
d'où

dT
M g0 1 - 
=
= -9,76 K.km-1
dz
R

Intégrons cette expression par rapport à z ; il vient

z
R T0 
T(z) = T0 1 -
avec
Hs =
= 29,5 km
Hs
M g0  - 1

Dans ce modèle, la température décroît plus rapidement que dans le
modèle standard. Cette différence provient de l'hypothèse d'adiabaticité qui
est incorrecte. On peut invoquer deux mécanismes pour le justifier : d'une part,
l'évaporation d'eau, au sol, contribue à refroidir les basses couches d'air 
alors que la
condensation en altitude (qui conduit à la formation de nuages) contribue à 
réchauffer
les couches d'air plus élevées, d'où une atténuation du gradient (en valeur 
absolue) ;
d'autre part, le rayonnement solaire (« direct » et « réémis » par la Terre) 
apporte
de l'énergie thermique à l'atmosphère.
L'expression de dT/dz peut être obtenue plus rapidement en écrivant la loi de
Laplace en variables p et T : p1- T = Cte . On différentie logarithmiquement
cette relation, pour obtenir
 dT
 - 1 dp
=
p dz
T dz
On élimine alors la dérivée de p par rapport à z grâce à la condition 
d'équilibre
hydrostatique
1-
 dT
 g0 =
p
T dz
la loi des gaz parfaits conduit alors au résultat. Ce calcul ne répond, 
toutefois,
pas complètement à la question puisqu'il ne fait pas intervenir (1).
Le jury précise que cette « question a été rarement traitée jusqu'au bout, 
certaines copies contenant des pages de calcul faux (...). Beaucoup de candidats
ont perdu du temps à cet endroit. »
3 La loi de Laplace peut encore s'écrire T 1- = T0 0 1- donc

1/(-1)
z
(z) = 0 1 -
Hs
4 Une atmosphère isotherme est définie par
dT
=0
dz
d M g0
+
=0
dz
RT

z
RT
(z) = 0 exp -
avec
Ht =
= 6,34 km
Ht
M g0

L'équation (2) devient alors
d'où

Ht croît linéairement avec la température.
5 Utilisons, de nouveau, l'équation (2) et remplaçons T par l'expression 
proposée
R
d R 
(Tk + z Gk )
+
Gk = - g0
M
dz
M
Ainsi,

(Tk + z Gk )

d
+ Ck  = 0
dz

avec

Ck =

M g0
+ Gk
R