Mines Physique 2 PC 2001

Thème de l'épreuve L'ultracentrifugation
Principaux outils utilisés mécanique, diffusion et convection particulaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 PHYS. PC Il

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001

SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE Il --Filière PC

Cet énoncé comporte 4 pages de texte

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé, même s'il n'a pas été 
démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.

Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en 
italique (" A " = A) ;

le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté "a-

ULTRACENTRIFUGAÏION

On appelle ultracentrifugation la centrifugation effectuée au moyen d'appareils 
tournant à
vitesse très élevée, par exemple supérieure à 20000 tours par minute. Inventée 
et mise au point princi--
palement par SVEDBERG (Prix Nobel de chimie 1926) au début des années 1920, 
cette technique
s'est progressivement répandue dans la plupart des laboratoires de biologie 
moléculaire. C'est une des
principales méthodes de séparation des macromolé cules biologiques (protéines, 
acides nucléiques) et
de mesure des masses moléculaires. Ce problème aborde les principes de cette 
technique.

Une ultracentrifugeuse est schématisée sur la fig. 1. Le rotor (partie mobile) 
est percé de cavités
cylindriques en nombre pair, régulièrement disposées autour de l'axe du rotor. 
Chaque cavité peut
recevoir une cellule constituée d'un cylindre de métal percé d'une cavité en 
forme de secteur.

Première partie : ultracentrifugation dynamique (sédimentation)

1. Définition du coefficient de sédimentation S

D 1 -- Pourquoi les cavités cylindriques sont-elles identiques, disposées 
régulièrement
et en nombre pair ?

On place dans les cellules du rotor une solution composée d'un solvant de masse 
volumique po et de
particules microscopiques identiques, constituant le soluté. La masse de ces 
particules est notée m et

Tournez la page S.V.P.

Page 1 sur 4

leur volume massique B. On note r la distance entre l'axe du rotor et une 
particule du soluté. Le rotor
est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante a). On 
admet que les particules
de soluté ont un mouvement radial par rapport à la cellule et que, lorsqu'une 
particule est animée

d'une vitesse v par rapport au solvant, elle subit de la part de ce dernier une 
force de frottement
F = -- f v, où fest un coefficient de friction caractéristique du solvant et de 
la forme de la particule.

Ü 2 --Calculer, pour w=50000 tours par
("> minute, l'accélération d'un élément de solvant
situé à r = 5 cm de l'axe du rotor. Justifier que
l'on néglige la pesanteur et, a priori, la force
"Axe de rotation (AB) d'inertie de Coriolis agissant sur une particule
microscopique de soluté de masse m.

Cl 3 ----On considère donc uniquement la

"""""""""""""" A partie radiale, selon u,, du mouvement relatif de
la particule par rapport au solvant. Donner alors,
sans la démontrer, l'expression du gradient de
pression dans le référentiel lié au solvant en un
point situé à la distance r de l'axe du rotor. En
' 2 cm ' déduire l'expression de la résultante des forces de
" pression («poussée d'Archimède ») s'exerçant
sur une particule de soluté, en fonction de
m, 0), po, B, ret u,.

Palier A
M

D 4 --- Faire le bilan des forces agissant sur
la particule de soluté précédente et montrer que

cette dernière acquiert pratiquement la vitesse

m(1-- p() 5)

. . ?
limite vlim : s arr, avec S = ----;f--------.

L'approximation faite dans (2) est--elle justifiée &

posteriori ? On peut ainsi affecter aux particules

Fig. ] : schéma de principe du rotor d e s 0 ] u t é | a « m a s s e apparente »
d 'une ultracentrifugeuse *
m = (l -- pofl) m.

Cl 5 --- Montrer que la dimension du coefficients est celle d'un temps. L'unité 
pour s est
le svedberg, noté S : 1 S = 10"13 seconde.

D 6 -- Estimer l'ordre de grandeur du temps au bout duquel la vitesse limite 
est prati-
quement atteinte.

2. Équation de sédimentation (LAMM, 1929)

On note D le coefficient de diffusion du soluté dans la solution. La 
concentration c(r,t)

de la solution ne dépend que de la distance r à l'axe de rotation et du temps !.

D 7 ---- Les particules de soluté se déplaçant à la vitesse limite, donner 
l'eXpression du
vecteur densité du courant convectif de particules.

D 8 -- Sachant qu'à la non--uniformité de la concentration c(r,t) est associée 
la densité

de courant diffusif de particules donnée par la loi de FICK jD =--D grad(c), 
établir
dc

! 'équation de sédimentation : _87 + div[s a)2rcur --- D grad(c)] : 0.

Page 2 sur 4

Cl 9 ---- Donner l'équation différentielle scalaire vérifiée par c(r,t). En 
coordonnées

. 1
cylindriques, la divergence d'un champ radial de vecteurs A est le(A,u,) = 
--Ë--(r A,).

rôr

3. Solution de l'équation de sédimentation en l'absence de diffusion

On note r... la distance minimale du secteur de la cellule
à l'axe du rotor et ... la distance maximale (fig. 2). On
néglige l'accumulation de particules au voisinage de r : rM.

On néglige enfin la diffusion, ce qui revient à considérer que,
dans l'équation de sédimentation, D est nul. Une solution de
concentration uniforme co est placée dans une cellule du
Fig. 2 _. cellule rotor, tournant à la vitesse angulaire a).

[
Cl 10 --- Soit la fonction r, (t) : rm exp[î--], où Treste
' T

provisoirement à caractériser. Sans se préoccuper de r = r, , expliquer 
pourquoi l'expression

suivante constitue une solution de l'équation de sédimentation :

0 sir .<.r co. La concentration c(r) ne dépend plus que de 
r. On admet

que le courant total de particules (courant convectif + courant diffusifl est 
nul en r... et en rM.

D 13 -- Pourquoi la diffusion ne peut--elle plus maintenant être négligée ?

E] 14 -- Établir la relation c(r) = c(rm)exp{ ï; (ra .. rnî):l.

D 15 -- Établir une autre expression pour c(r), en convenant que l'énergie 
potentielle
centrifuge est nulle pour r = r..., et en appliquant la formule de la 
statistique de BOLTZMANN

aux particules de soluté. Le résultat fait intervenir la constante de BOLTZMANN 
k et la
température T. Expliquer au passage pourquoi l'énergie cinétique n'intervient 
pas ici.

D 16-- Quelle relation simple obtient--on alors entre D etf ? (C'est la relation
d 'EINSTEIN, qui établit un lien remarquable entre friction et diffusion.)

Tournez la page S.V.P.

Page 3 sur 4 '

Seconde partie : ultracentrifugation d'équilibre

On ultracentrifuge à 50000 tours par minute une solution aqueuse concentrée de 
chlo-
rure de césium (CsCl). On admet que la solution reste électriquement neutre 
localement en
tout point de la cellule d'ultracentrifugation. On adopte l'hypothèse 
simplificatrice que les

ions Cl" et Cs+ restent toujours par paires, notées [CsCl], de masse molaire M 
: 168,5 g.

1. On su ose d'abord u'il n' a as d'autre soluté dissous ue le chlorure de 
césium.
PP q y P q

D 17 -- Calculer le volume massique :Bcsc1 des paires [CsCl] sachant que la 
solution

titre c() = 6,5 mol.l"'et que sa densité (par rapport à l'eau) vaut d = 1,70.

E] 18 ---- Lorsque la solution de CsCl atteint l'équilibre de sédimentation, la 
répartition

2 2
radiale de la concentration cCsC, des paires [CsCl] est de la forme cCsCl : E 
exp( a)2g ].

Déterminer l'expression de E(r,co,rM,nn,w,s,D) en considérant que s est 
constant.

Déduire le volume massique B(r) de la solution de chlorure de césium en 
fonction de r.

2. On ajoute à la solution de chlorure de césium ainsi préparée une petite 
quantité de
soluté (macromolécules) à analyser.

On note m la masse de ces macromolécules et [3 leur volume massique.

m ac l'O m 8OE'O

D 19 ---- Montrer que, si fl...,...

se concentrer dans une région de la cellule d'ultracentrifugation autour d'une 
valeur ro que
l'on caractérisera, sans chercher à l'expliciter.

est compris entre B(r...) et B(rM), les macromolécules vont

[] 20-- En effectuant un développement limité à l'ordre 1 du volume massique 
B(r)

autour de ro (poser r : r0(1+8), |£l << ]) et en utilisant l'équation 
différentielle exprimant

l'équilibre de sédimentation des macromolécules en régime stationnaire, montrer 
que la
concentration de ces macromolécules, c......(r), suit une loi de distribution 
gaussienne autour

z
20'2
k, T, (0, ro et de la valeur absolue de la

de ro, c'est-à--dire une expression de la forme c...acm(r)= cmacm(ro)exp-- . 
Donner

l'expression de C' en fonction de mm..., Bmw...

' 0 r 0 ' I I d
dernvee du volume massxque de la solution, evaluee en ro, [ÎË .
r
r=r

()

Cl 21 -- Donner la condition permettant de séparer par ultracentrifugation des 
substi-

tuants isotopiques de même volume massique mais de masses molaires différentes. 
Donner
aussi la condition permettant de séparer par ultracentrifugation deux 
macromolécules isomè-
res, de masses molaires égales mais de volumes massiques différents (puisque 
leur structure
développée est différente).

FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

Page 4 sur 4

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Mines Physique 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florent Tournus (ENS Lyon) ; il a été relu par 
JeanDavid Picon (École Polytechnique) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet est composé de deux parties liées et porte sur un thème unique : 
l'ultracentrifugation. Cette technique est très utilisée en biologie pour 
séparer des macromolécules et repose, comme son nom l'indique, sur les effets 
de la force centrifuge.
· Dans la première partie, on étudie le principe de l'ultracentrifugation et on
établit l'équation de sédimentation, qui fait intervenir diffusion et 
convection.
On étudie ensuite la dynamique des particules de soluté (sédimentation) en
négligeant la diffusion ; enfin, on détermine le profil de concentration obtenu 
à
t-
 + (régime stationnaire) par diffusion.
· Dans la seconde partie, on se place dans un cas où la solution présente déjà 
un
profil de masse volumique stationnaire (ultracentrifugation d'équilibre) qui est
mis à profit pour séparer des macromolécules.

Indications
Première partie
3 Considérer que la force centrifuge est constante sur le volume d'une particule
microscopique de soluté.
4 La vitesse limite dépend de r.
6 Écrire une équation différentielle, vérifiée par v, faisant apparaître un 
temps caractéristique. Pour estimer son ordre de grandeur, se servir de l'unité 
donnée
pour s. Il faut supposer que r ne varie pas sur la durée qui nous intéresse.
8 Exprimer la conservation locale du nombre de particules, avec des courants de
convection et de diffusion.
10 Vérifier que la solution donnée est la bonne (c'est suffisant), ou bien, si 
on veut
aller plus loin, montrer qu'on a un front se déplaçant à v lim et que, devant ce
front, c reste indépendant de r.
14 Revenir à l'équation de sédimentation de la question 8 et utiliser le fait 
que le
courant total de particules est nul en rm et rM .
15 Montrer que la force totale que subissent les particules (faisant intervenir 
la masse
apparente de la question 4) dérive d'un potentiel.

Seconde partie
17 Exprimer la masse d'un volume de solution de deux façons différentes.
18 Utiliser la conservation du nombre de paires [CsCl] pour déterminer E.
19 Montrer qu'il n'existe qu'une seule position d'équilibre stable pour les 
macromolécules.
20 Utiliser l'équation différentielle de la question 14, appliquée aux 
macromolécules,
et développer smacro autour de r0 . Utiliser ensuite la relation d'Einstein 
établie à
la question 16.

I.

Ultracentrifugation dynamique (sédimentation)

1 Le rotor est un solide en rotation très rapide autour d'un axe. C'est donc un
problème d'équilibrage : il faut minimiser les contraintes exercées sur l'axe. 
Pour cela,
il faut que le centre d'inertie du rotor soit sur l'axe de rotation 
(équilibrage statique)
et que le moment cinétique du rotor soit dirigé selon l'axe de rotation 
(équilibrage
dynamique). Une condition suffisante (mais non nécessaire) pour cela est que 
l'axe
de rotation soit aussi axe de symétrie du rotor, ce qui est le cas avec des 
cavités
identiques, disposées régulièrement et en nombre pair.
On peut avoir une symétrie axiale, sans avoir des cavités identiques,
disposées régulièrement.
Pour plus de précisions sur les solides en rotation et les questions 
d'équilibrage, on pourra consulter le livre de J.-P. Pérez, Mécanique : 
mécanique du
point et des systèmes matériels, chez Masson.
De plus, pour des raisons expérimentales, il est préférable d'avoir des cavités
identiques et disposées régulièrement. En effet, pour réaliser des mesures (cf. 
question 12) et comparer les résultats obtenus dans chaque cellule, il faut 
qu'elles aient
subi exactement le même traitement.
2 Le solvant est en mouvement circulaire uniforme autour de l'axe de rotation. 
Il
est à l'équilibre dans le référentiel R lié au rotor, en rotation uniforme à la 
vitesse
angulaire  par rapport au référentiel terrestre R0 . L'accélération ae d'un 
élément
de solvant situé à une distance r de l'axe est donc
ae = r 2 = 1, 37.106 m.s-2
Appliquons le principe fondamental de la dynamique (PFD) à une particule de
soluté de masse m, dans le référentiel R (R0 étant supposé galiléen) :
 -
-

-

m-
a = P + F - m-
a e - m-
ac + FA

-

P = m-
g
accélération d'entraînement : -
ae = -r 2 -
u
r
avec
et

-

-

-

-

-
accélération
de
Coriolis
:
a
=
2

v
c
F = -f v
-

FA représentant la résultante des forces de pression du solvant sur la 
particule de
soluté. D'après le précédent calcul de ae , on a
g  ae
ce qui permet de négliger la pesanteur.
De même, pour négliger la force de Coriolis, il faut que ac  ae , ce qui est 
assuré
si v  r 2 , c'est-à-dire pour
v  r
Avec les valeurs de l'énoncé, on a r  262 m.s-1 , ce qui représente une vitesse
assez énorme, devant laquelle la vitesse d'une particule de soluté devrait a 
priori être
négligeable. Cette hypothèse sera examinée a posteriori à la question 4.
-
 -

Concernant FA et F , on verra par la suite qu'il ne faut effectivement pas les
négliger, sauf cas particulier.

3 L'équation de l'hydrostatique est
--
-

grad p = f v
-

où f v représente les forces volumiques appliquées à l'élément de fluide en 
équilibre.
Comme on étudie l'équilibre du solvant dans le référentiel tournant R, il faut 
tenir
compte des forces volumiques d'inertie. Or, on a vu à la question précédente 
que l'on
pouvait négliger la pesanteur et il n'y a pas ici de force de Coriolis, ni de 
frottement
fluide puisque l'on s'intéresse au solvant, à l'équilibre dans R. Par 
conséquent, la
seule force volumique à prendre en compte est la force d'inertie d'entraînement 
(force
centrifuge). On a donc
-

f v = -0 -
ae = 0 r 2 -
u
r
d'où

--
p -
 =  r 2 -

grad p =
u
u
r
0
r
r

La résultante des forces de pression du solvant sur une particule de soluté (« 
poussée d'Archimède ») est
ZZ
ZZZ
--
-

-
FA =
p. d S =
- grad p d
V

--
, qui peut être considéré comme constant sur le volume V
Or on a grad p = 0 r 2 -
u
r
de la particule microscopique de soluté. L'intégrale sur le volume de la 
particule se
 par V. Avec V = m, on en déduit
réduit donc à une multiplication de -0 r 2 -
u
r
-

FA = - m0 r 2 -
u
r

· Il est important de préciser que la particule de soluté est supposée

suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que -
ae est identique
sur toute la particule.
· On remarque que cette « poussée d'Archimède » représente bien le
« poids » du volume de solvant déplacé, avec m0 qui correspond à la
=-

masse du volume de solvant déplacé, et où -r 2 -
u
ae remplace le
r

-
- g de la poussée d'Archimède habituelle dans le champ de pesanteur.
· Selon la valeur de 0 , autrement dit du rapport de la masse volumique
du solvant sur celle du soluté, cette « poussée d'Archimède » peut être
du même ordre de grandeur que mae , bien plus grand, ou négligeable.
Dans les cas les plus vraisemblables, 0 est de l'ordre de 1, c'est-à-dire
que solvant et soluté ont des masses volumiques voisines, ce qui justifie
l'utilisation d'une telle technique d'ultracentrifugation pour les séparer
(sinon la décantation suffit).

4 La particule de soluté subit (les autres forces étant négligées)
· une force de frottement fluide
· la force d'inertie d'entraînement
· la « poussée d'Archimède »

-

F = -f -
v ;

-
;
-m ae = mr 2 -
u
r
-

.
FA = - m0 r 2 -
u
r