Mines Physique 1 PC 2016

Thème de l'épreuve Le Millenium Bridge
Principaux outils utilisés mécanique du point, ondes
Mots clefs oscillateur harmonique amorti, onde sur une corde, théorème de Shannon, résonance, régime sinusoïdal forcé, réponse à un échelon, onde stationnaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2016 - PHYSIQUE I PC

CONCOURS
COMMUN

MINES
PONTS

Ecole des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TELECOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Etienne, MINES Nancy,
TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP).

CONCOURS 2016
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise.
Sujet mis a la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours
Centrale-Supelec (Cycle international).
Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
PHYSIQUE I - PC
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amene a prendre.

Le Millennium Bridge

Le Millennium Bridge
Pour marquer le millenaire, une nouvelle passerelle a
ete construite au dessus de la Tamise a Londres pour
un cout total de plus de 20 millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte 
aux pietons on remarqua tres vite qu'elle se balancait lateralement et 
verticalement en cas de forte affluence. Avec un grand
nombre de pietons, son mouvement oblique etait tel
que la plupart d'entre eux s'arretaient et s'accrochaient
aux rampes. Des images et des videos ont montre que
ces mouvements lateraux pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm et 
qu'ils se produisaient avec
des frequences de l'ordre du hertz. Le pont fut donc
ferme deux jours apres son ouverture au public. Dixhuit mois de recherches 
furent necessaire pour resoudre
le probleme et faire les modifications preconisees par les
ingenieurs qui furent donc finalement consultes.
L'objectif de ce probleme est la modelisation de plus en
plus fine d'une passerelle pietonne et la comprehension
de certains problemes poses par le Millennium Bridge
de Londres.
Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont
unitaires u
bx ou d'une fleche dans le cas general ~v .
A l'exception de i tel que i2 = -1, les grandeurs complexes sont soulignees : z 
 C. Un point
.
sur une grandeur indique la derivee par rapport au temps de cette grandeur : x 
= dx
dt

I. -- Oscillateur simple

m

G

~g

Un oscillateur est constitue d'une masse m dont le centre d'inertie G est
k
repere par la position x dans le referentiel galileen (O, u
bx ) ­ voir figure 1.
®
L'origine O se situe au niveau du sol. L'oscillateur est relie a un support
ux
fixe par l'intermediaire d'un ressort lineaire de raideur k et de longueur
a vide 0 ainsi que d'un amortisseur lineaire de viscosite , exercant sur
O
m une force de frottement F~f = -xb
ux , avec  > 0. A tout instant t,
on assimile la distance OG a la longueur (t) du ressort. L'ensemble est Fig. 1 
­ Oscillateur
soumis a l'acceleration de la pesanteur ~g = -g u
bx avec g = 9,81 m · s-2 .
1 -- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique etablir l'equation 
differentielle
X + 20 X + 02 X = 0 dans laquelle on a introduit la fonction X (t) = x (t) - x 
ou x est une
constante que l'on determinera en fonction de g, 0 et 0 . On precisera les 
expressions et
significations de 0 et .
2 -- Dans le regime libre, le systeme est mis en vibration uniquement par des 
conditions
initiales non nulles X(0) = X0 6= 0 et X (0) = V0 6= 0. Determiner les 
solutions du regime
libre (en fonction de 0 , , X0 , V0 et t) pour les cas  = 0 et 0 <  < 1 et 
preciser leur
comportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le systeme une force 
proportionnelle
au vecteur vitesse que l'on ecrit F~v =  xb
ux , avec  > 0. Quelle peut-etre la consequence de ce
phenomene ?
Differents cas peuvent etre examines pour l'excitation (ou forcage) F (t) de 
l'oscillateur etudie
lors des deux premieres questions. Nous nous placerons dans l'optique d'une 
passerelle pietonne.
Page 2/7

Physique I, annee 2016 -- filiere PC

L'action de la marche d'un pieton est caracterisee par un contact continu sur 
la surface du sol
puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La 
force engendree
comprend une composante verticale et une composante horizontale non prise en 
compte dans
cette partie.
1,5

Charge par
pied

Pied
gauche

Pied
droit

1,0

[unités arbitraires]

0,5
0,2

Charge
combinée

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Charge

1,0

[unités arbitraires]

0,0

Temps [seconde]
0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

Figure 2 ­ Forcage d'une passerelle par la marche d'un pieton.
Dans le cadre d'un modele simplifie, nous representerons cette force, appelee 
charge, par un
vecteur periodique F~(t) = F~0 + F~1 cos (2f t).
~ 0 correspond a la force statique, c'est-a-dire au poids du pieton, la 
frequence
Le vecteur F
~ 0 . Ces deux
f correspond a celle d'une marche normale. Nous considererons que F~1 = 0,4 F
vecteurs seront supposes constants et orientes comme -b
ux .
~ 0 le module de la force statique, Y = X + F02 la reponse en deplacement de
On note F0 = F
m
0

l'oscillateur et Y = Ym eit sa representation complexe.
3 -- Que devient l'equation de l'oscillateur en Y sous le forcage pieton ? 
Determiner la fonction de transfert H(), rapport de la representation complexe 
de la reponse en deplacement Y
sur la representation complexe de l'excitation E= m1 F1 . On exprimera H= Y /E 
en fonction de
, 0 et  = 0 .
4 -- Sous quelle condition portant sur , un phenomene de resonance peut-il se 
produire ?
Pour quelle pulsation r obtient-on alors ce phenomene ? Exprimer le gain en 
amplitude a la
resonance |H| (r ) dans la limite  2  1 .
5 -- En se placant dans l'hypothese  2  1 et a partir d'une analyse de la 
courbe 1 de
la figure 3, determiner un ordre de grandeur de  ainsi que la valeur de la 
pulsation propre
0 de l'oscillateur modelisant le Millennium Bridge avant la mise en place des 
amortisseurs
harmoniques.
6 -- Pourquoi est-il important de determiner les frequences de resonance d'une 
structure
soumise a une action periodique ?
Afin d'etudier precisement les proprietes du forcage que constitue la marche 
d'un pieton, on
realise l'acquisition en laboratoire du signal correspondant a cette 
sollicitation.
7 -- Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d'utiliser pour obtenir 
un signal
electrique issu de la marche d'un pieton ?

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

Le Millennium Bridge

10

3

! 20 £ jHj
[dB]

ka

9

11

13

15 17 19

Courbe 2
avec amortisseur
harmonique

5

®a

m

7

5

j

Etage d'amortissement
harmonique

G
0

k

Courbe 1
sans amortisseur
harmonique

®

! [rad.s-1]
-5

6

4

8

10

12

14

16 18 20

Figure 3 ­ Schema et reponse d'un amortisseur harmonique applique au modele du 
Millennium
Bridge.
L'acquisition est effectuee sur des durees allant de quelques secondes a 
quelques minutes. Les
signaux ainsi obtenus sont similaires mais pas parfaitement identiques. Chacun 
de ces signaux
presente les caracteristiques essentielles du signal de la charge combinee 
representee sur la
figure 2. On calcule alors le spectre de ces signaux en les echantillonnant en 
N = 300 points
equidistants sur un intervalle [tmin ,tmax ]. Les differents spectres obtenus 
sont rassembles sur la
figure 4.
8 -- Analyser et interpreter aussi precisement que possible ces differents 
spectres. Sont-ils
tous exploitables ? Lequel vous parait le plus pertinent ? En deduire la (ou 
les) frequence(s)
caracteristique(s) de la marche etudiee. Etait-ce qualitativement previsible ?
10

10

0

10

N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 27,0 s

2

-2

0
10

N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 180,0 s

1

0.1

0.2

0

0.3

f [Hz]
0.4

f [Hz]

0.5

0.6

0.7

0.8

0

N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 90,0 s

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 10,0 s

4

-2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f [Hz]
1.4

f [Hz]

1.6

0

2

4

6

8

10

12

14

Figure 4 ­ Spectres des signaux correspondants a la marche d'un pieton
9 -- A partir d'une exploitation des donnees fournies dans le sujet, expliquer 
l'origine du
probleme concernant le Millennium Bridge et justifier que l'installation 
d'amortisseurs harmoniques ait pu le resoudre.
FIN DE LA PARTIE I
Page 4/7

Physique I, annee 2016 -- filiere PC

II. -- Systeme elastique continu
Les systemes reels sont rarement discrets. Ainsi la poutre de structure d'une 
passerelle est
deformable en tout point. Nous sommes donc en presence d'un probleme de 
dynamique des
milieux continus mais d'un point de vue pratique l'etude des systemes continus 
se ramene
finalement a celle liee aux systemes discrets : c'est la discretisation des 
systemes continus.
On negligera dans la suite du probleme l'action de la pesanteur.
On considere un solide homogene, de masse volumique  constante, qui a la forme 
d'un cylindre
de section S et d'axe (O,b
ux ) horizontal, le long duquel on etudie les petits mouvements de
deformation.
Dans le domaine d'elasticite du materiau, la norme F de la force de traction 
permettant a un
ou E est
solide de longueur L de s'allonger de L est donnee par la loi de Hooke : F = ES 
L
L
une constante appelee module d'Young du materiau.
10 -- Quelle est l'unite d'un module d'Young ? On motivera sa reponse pour 
laquelle on
utilisera une seule unite du systeme international.
11 -- On note X(x,t) le deplacement par rapport a la position de repos d'une 
section plane
d'abscisse x. Calculer la variation relative de longueur d'une tranche 
elementaire du cylindre

-
de longueur au repos dx et en deduire la force de traction F (x,t) = F (x,t)b
ux exercee par la
partie  droite  (du cote des x croissants) sur la partie  gauche  (du cote des 
x decroissants)
. Ecrire l'equation du mouvement de la tranche de longueur dx et en
en fonction de E, S et X
x
deduire l'equation aux derivees partielles verifiee par X(x,t).
Afin de prendre en compte le mouvement transverse de la passerelle on introduit 
un axe vertical
dirige selon le vecteur unitaire u
by et on adopte le modele de la corde. Dans ce modele bidimensionnel, la 
passerelle est representee a l'instant t par une ligne d'equation y (x,t) de 
masse
lineique µ uniforme.
En un point M (x,y) de la passerelle, on definit
~
T(x+dx,t)
le vecteur unitaire tangent u
b a la passerelle tel y(x+dx)
que u
b (x,t) = cos [ (x,t)] u
bx + sin [ (x,t)] u
by . Les
®(x,t)
deplacements sont contenus dans un plan vertiy(x)
cal et sont de faible amplitude. On suppose donc
~ (x,t)
¡T
qu'a chaque instant  (x,t)  y(x,t)
 1. Sous
x
uy
b
ces hypotheses, la longueur de la corde ne varie
x+dx
x
pas et chaque troncon infinitesimal de la passeubx
relle n'est deplace que selon la verticale. En chaque Figure 5 ­ Troncon de 
corde elastique
point M (x,y) de la passerelle regne a chaque instant t une tension T~ (x,t) 
portee par u
b . Un troncon de corde est represente sur la figure 5.
12 -- En appliquant
un theoreme de mecanique a un troncon de corde infinitesimal de
p
2
2
longueur d = dx + dy , montrer que, sous les hypotheses effectuees, le module 
de la tension
de la corde est independant de x. On le notera T0 .
 2y
 2y
13 -- Montrer alors que l'on peut ecrire 2 = c2 2 ou l'on exprimera c en 
fonction de
t
x
T0 et µ.
FIN DE LA PARTIE II

Page 5/7

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Le Millennium Bridge

III. -- Modele de la poutre elancee
Dans un modele couramment utilise, on peut assimiler une passerelle a une 
poutre homogene de
section rectangulaire de largeur b selon (O,b
uz ) et de hauteur h selon (O,b
uy ). Pour des contraintes
moderees, induisant un deplacement vertical petit devant les dimensions 
transversales de la
poutre, c'est-a-dire y(x) tres petit devant h ou b, on peut alors se placer 
dans une extension du
modele de la corde.
On considere une passerelle de section S, de masse volumique , de module 
d'Young E et dont
1
le moment quadratique de la section droite par rapport a l'axe (O,b
uz ) est I = 12
bh3 . L'ecriture
des contraintes conduit alors a une equation aux derivees partielles de la forme
S

 4y
 2y
+
IE
=0
t2
x4

14 -- On cherche des solutions sous la forme y (x,t) = f (x) g (t). De quel 
type d'onde
s'agit-il ? Sous quelles hypotheses de telles ondes apparaissent-elles dans ce 
genre de structure ?

15 -- Determiner les equations differentielles verifiees par f (x) et g (t). En 
deduire que
g (t) est une fonction periodique de pulsation  constante. Combien de 
constantes d'integrations
sont necessaires a la determination complete de la solution y (x,t) 
correspondant a la situation
etudiee ?
16 -- Justifier precisement que l'on puisse ecrire
f (x) = A cos (x) + B sin (x) + C ch (x) + D sh (x)
ou A,B,C et D sont des constantes d'integration, on precisera l'expression de  
en fonction des
donnees du probleme.
On se place dans l'hypothese d'une passerelle de longueur L en appui simple a 
ses extremites,
 2y
 2y
=
= 0.
les conditions aux limites s'ecrivent y|x=0,t = y|x=L,t = 0 et
x2 x=0,t
x2 x=L,t
17 -- Determiner les pulsations propres n de vibration transversale d'une 
poutre en appui
simple en fonction de L, E, I, , S et d'un entier n caracterisant le mode.
18 -- Differents modes de vibrations d'une passerelle ont ete representes sur 
la figure 6,
quels sont ceux correspondants a l'etude proposee dans cette section ? 
Identifier de facon argumentee pour chacun de ces modes, l'entier n le 
caracterisant.
La passerelle du Millennium Bridge est globalement une poutre en aluminium de 
322 m de
longueur, d'epaisseur h = 1,07 m (42 pouces) et de largeur b = 4 m (158 
pouces). Elle repose
sur 4 appuis en creant 3 travees solidaires de L1 = 70 m, L2 = 144 m et L3 = 
108 m. On donne
la masse volumique de l'aluminium  = 2700 kg · m-3 et son module d'Young E = 69 
× 109 SI.
19 -- Dans le cadre du modele de la poutre sur appui simple, existe-t-il des 
modes de
vibration transversale du Millennium Bridge susceptibles d'entrer en resonance 
avec un forcage
par des pietons ? Discuter egalement de la possibilite d'une excitation 
resonante de certains
modes de vibration laterale, c'est-a-dire dans le sens de la largeur b. On 
motivera ses reponses
par une argumentation precise.
Page 6/7

Physique I, annee 2016 -- filiere PC

Mode a
Mode b

Mode c
Mode d

Mode e
Mode f

Mode g
Mode h

Figure 6 ­ Differents modes de vibration d'une passerelle en appui libre aux 
deux extremites
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'EPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet est composé de trois parties qui ont pour fil conducteur l'étude des 
oscillations du Millenium Bridge, à Londres. D'importantes oscillations avaient 
conduit à
sa fermeture, quelques jours seulement après son inauguration !
· La première partie propose une modélisation simple du pont. Le système est
décrit à l'aide d'un oscillateur masse-ressort faiblement amorti. On analyse la
réponse de ce système à un échelon, puis à un forçage sinusoïdal qui décrit
l'excitation périodique due au passage d'un piéton sur la passerelle. L'étude de
la réponse fréquencielle fait ressortir une résonance à la fréquence typique de 
la
marche des piétons. Un dispositif mécanique est alors ajouté pour supprimer le
phénomène de résonance. Pour pouvoir conclure quant à l'utilité de cet ajout,
on est conduit à analyser finement le contenu spectral de l'excitation du pont
par les pas des piétons.
· C'est l'étude des ondes de compression longitudinales à travers la structure
du pont qui débute la deuxième partie. S'ensuit l'établissement de l'équation
d'onde pour la propagation d'ondes transversales le long d'une corde tendue.
· Dans la troisième partie, on modifie l'équation différentielle établie 
précédemment pour tenir compte de la rigidité interne de la structure. L'étude 
des modes
propres d'oscillation de la passerelle est alors réalisée.
De difficulté modérée, cet énoncé aborde essentiellement les oscillateurs et les
ondes mécaniques. Il est proche du cours et contient peu d'applications 
numériques.
Quelques analyses de courbes nécessitent un peu d'entraînement ou de bon sens.

Indications
Partie I
1 Remarquer que x =  = OG. L'expression de x
e est obtenue en cherchant la
position d'équilibre.

2 La prise en compte de l'effet du vent revient à changer  en  - .
3 On peut poser indifféremment F1 = F1 ou F1 = -F1 .

4 Inutile de dériver |H| par rapport à , il suffit de dériver (1 - 2 )2 + 4  2 
2 .

5 Remarquer que pour  2  1,  r  0 . Utiliser les propriétés d'une résonance
aiguë pour estimer graphiquement la valeur de .
8 Le spectre d'un signal périodique possède une propriété particulière, que seul
un des spectres proposés vérifie. Remarquer que les autres spectres violent le
théorème de Shannon (ce qui entraîne l'apparition de pics fantômes).
Partie II
11 S'aider d'un schéma pour relier L à X(x + dx, t), X(x, t), x et dx. 
Effectuer un
développement limité à l'ordre 1 en dx. Noter ensuite que L = dx.
Invoquer le principe des actions réciproques pour montrer que la force exercée 
par

-
la partie à gauche de la tranche est - F (x, t). Réaliser un développement 
limité
à l'ordre 1 en dx.
12 Projeter l'équation vectorielle obtenue sur u
cx .

13 Projeter l'équation vectorielle obtenue à la question 12 sur u
cy . Effectuer un développement limité à l'ordre 1 en dx.
Partie III

15 Montrer que g(t) est solution de l'équation g  (t) -  g(t) = 0 où  est une
constante. Utiliser l'hypothèse des très petits déplacements (devant h ou b) 
pour
déterminer le signe de  et reconnaître une équation d'oscillateur harmonique.
16 L'équation différentielle vérifiée par f est homogène, linéaire, du 
quatrième ordre.
Le cours de mathématiques indique que f est une combinaison linéaire de quatre
fonctions indépendantes. Il suffit alors de montrer que les quatre fonctions 
apparaissant dans la combinaison linéaire proposée sont bien solutions de 
l'équation
différentielle.
17 Commencer par déterminer les valeurs de A et C en utilisant les conditions en
x = 0. Les conditions en x = L permettent de trouver D, puis la condition de
quantification.
18 Certains modes semblent présenter une dépendance à la coordonnée z qui n'est
pas prise en compte dans le modèle. Les autres modes rappellent ceux de la corde
de Melde.

Le Millenium Bridge
I. Oscillateur simple
1 Appliquons la loi de la quantité de mouvement au barycentre G, de masse m,
dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

d-
v
= -x u
cx - mg u
cx - k( - 0 ) u
cx
m
dt
D'après l'énoncé,  = OG = x. Projetons cette relation sur u
cx :
mx = -x - mg - k(x - 0 )

Divisons cette égalité par m et posons :
r
k
0 =
et
m

2 0 =

m

x + 2 0 x + 0 2 (x - 0 ) + g = 0

Il vient

Notons x
e la valeur de x à l'équilibre. Alors,

0 2 (e
x - 0 ) + g = 0
x
e = 0 -

Il s'ensuit que

g
0 2

Posons x(t) = X(t) + x
e, où X(t) représente la position de G par rapport à sa position
à l'équilibre. L'équation du mouvement devient :

g
X + 2 0 X + 0 2 X + 0 - 2 - 0 + g = 0
0
Après simplification, il apparaît que
2

avec

X + 2 0 X + 0 X = 0

0 =

r

k
m

et

= 
2 mk

La constante 0 est la pulsation propre, c'est la pulsation naturelle de 
l'oscillateur
en l'absence d'amortissement. Le coefficient  est le facteur d'amortissement,
il croît proportionnellement avec le coefficient de frottement .
2 Pour  = 0, l'équation du mouvement devient :
X + 0 2 X = 0
Il s'agit de l'équation de l'oscillateur harmonique de pulsation 0 . La 
solution X(t)
est de la forme :
X(t) = A cos 0 t + B sin 0 t
Avec les conditions initiales imposées, on obtient que :
A = X(0) = X0
Par conséquent,

et

B 0 = X(0) = V0

X(t) = X0 cos 0 t +

V0
sin 0 t
0

(pour  = 0)

Pour 0 <  < 1, en cherchant des solutions sous forme X(t) = A e pt , on aboutit 
à
l'équation caractéristique :

p2 + 2 0 p + 0 2 = 0
dont le discriminant est
Il s'ensuit que
Ainsi, X(t) est de la forme :

 = 4 0 2 ( 2 - 1) < 0
p
2
p = -0 +
- i0 1 - 

X(t) = (A cos  a t + B sin  a t) e -0 t

avec

 a = 0

Cette fois, les conditions initiales se traduisent par
A = X(0) = X0

et

p
1 - 2

- A 0 + B  a = X(0) = V0

si bien que

1
X(t) = X0 cos  a t +
[V0 + 0 X0 ] sin  a t e -0 t
a

avec  a = 0

p
1 - 2

On observe des pseudo-oscillations.
Enfin, l'ajout d'une force due au vent revient à changer  en  - , c'est-à-dire
à redéfinir le facteur d'amortissement  et à l'écrire :
=

-
2m 0

Si  > ,  < 0 et l'oscillateur devient instable. Sous l'effet du vent, 
l'oscillateur
peut se mettre à osciller spontanément.
3 La nouvelle équation du mouvement est
x + 2 0 x + 0 2 (x - 0 ) + mg = -F0 - F1 cos t
Divisons par m et introduisons X, comme à la question 1,
X + 2 0 X + 0 2 X = -

F0
F1
-
cos t
m
m

Comme X = Y - F0 /(m0 2 ), il vient :
Y + 2 0 Y + 0 2 Y = -

F1
cos t
m

En régime sinusoïdal forcé (en posant F1 = -F1 ), on a :

Par conséquent,
donc

 F
Y - 2 + 2i 0  + 0 2 = 1
m
Y
1
=
E
- 2 + 2i 0  + 0 2
H=

1 - 2 + 2i 

On aurait aussi pu poser F1 = F1 . Dans ce cas,
H=-

1/0 2
1 - 2 + 2i 

4 Une résonance se produit si |H| présente un maximum au voisinage d'une 
pulsation
propre de l'oscillateur. Comme