Mines Physique 1 PC 2011

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

UN PEU D'AVIATION, BEAUCOUP DE PHYSIQUE...
Le sujet comporte trois partie independantes. Les vecteurs sont surmontes d'un 
chapeau s'ils sont
unitaires (ebx ) ou d'une fleche dans le cas general (~V ). Pour les 
applications numeriques on utilisera 3
chiffres significatifs.
L'aviation vit le jour a la fin du siecle dernier avec des moyens pratiquement 
nuls, que ce soit dans
le domaine de la theorie, celui de la technique ou encore celui des materiaux. 
Mais tres vite, des
les premiers vols, l'aviation beneficia des resultats d'un grand nombre de 
chercheurs et connut des
progres acceleres dans tous les domaines...

I. -- Les premiers avions, quelques connaissances de base
Les premiers pionniers de l'aviation (Clement Ader, les freres Wright, 
Santos-Dumont ) ont effectue
des essais avec des gros planeurs a la structure legere mais suffisamment 
robuste pour supporter sans
dommage le poids et les vibrations d'un moteur actionnant une helice.
Quelle que soit sa forme, un avion est toujours constitue par un ensemble 
d'elements correspondant a
diverses fonctions : on retiendra principalement les ailes destinees a soutenir 
1'appareil et l'organe de
propulsion qui lui donne la vitesse necessaire a la sustentation et a la 
translation. La figure 1 represente
un schema elementaire du profil d'une aile d'avion
Le segment de droite  qui joint le bord d'attaque au bord de fuite est appele 
corde de profil. L'angle
 entre ce segment et la direction que suit l'avion est appele incidence. L'air 
immobile attaque par
une aile se deplacant a la vitesse ~V se separe en deux parties : l'une longe 
l'extrados, l'autre l'intrados.
Dans le cas d'un mouvement rectiligne et uniforme de l'aile, on peut se placer 
dans le referentiel de
l'aile et considerer que c'est l'air qui se deplace autour de celle-ci.

Un peu d'aviation, beaucoup de physique...

F IG . 1 ­ Profil d'une aile d'avion
L'etude dynamique d'une aile d'avion montre que celle-ci est soumise a deux 
forces d'origine aerodynamique :
­ la trainee ~Ft , dirigee en sens inverse de la vitesse ~V . En vol sous 
incidence nulle ( = 0), cette force
doit etre equilibree par la force de traction de l'helice ou des reacteurs ;
­ la portance ~Fp qui equilibre le poids de l'avion.
L'air sera suppose incompressible.
1 -- La portance est due au fait que le debit d'air est plus important au 
voisinage de l'extrados
qu'au voisinage de l'intrados. Justifier le fait que cette portance s'oppose a 
l'effet du poids.
Des experiences effectuees notamment en soufflerie, montrent que les modules 
respectifs Ft et Fp de
la trainee et de la portance peuvent se mettre sous la forme :
Ft = CT ( )

µV 2
µV 2
S et Fp = CP ( )
S
2
2

La quantite S represente la surface de la projection des ailes sur le plan 
perpendiculaire a la corde.
Les coefficients de trainee CT ( ) et de portance CP ( ) dependent de l'angle 
d'incidence et µ = 1, 20
kg.m-3 represente la masse volumique de 1'air.
On considere un avion de masse m = 1, 80 · 104 kg, en vol sous incidence nulle 
la projection de
ses ailes represente une surface S = 50, 0 m2 . Le moteur de cet avion 
developpe une puissance P =
2, 70 MW qui lui permet de se deplacer avec une vitesse de module V = 300 
km.h-1 . Le champ de
gravitation terrestre a pour module g = 9, 80 m.s-2 dans toutes les regions 
considerees.
2 -- Determiner l'expression du coefficient de portance en vol sous incidence 
nulle CP (0). Calculer
sa valeur numerique.
3 -- Determiner, toujours en vol sous incidence nulle, l'expression de la 
trainee Ft due aux ailes
sachant que la trainee totale de l'avion est due pour les deux tiers aux ailes. 
En deduire la valeur
numerique du coefficient CT (0) associe.
On se propose maintenant de calculer les expressions de CT ( ) et CP ( ) dans 
le cas d'une aile
rectangulaire qui se deplace a la vitesse constante ~V = -V ebx . On 
travaillera dans le referentiel R,
suppose galileen, associe au repere (O, ebx , eby , ebz ) lie a l'aile et 
represente sur la figure 2 ; dans celui-ci
l'air semble provenir de l'infini avec la vitesse ~V = V ebx . La largeur de 
l'aile est notee , sa longueur,
etendue selon ebz est notee L, son epaisseur est supposee negligeable.
On adoptera les hypotheses simplificatrices suivantes :
­ le fluide est devie de maniere uniforme sur une hauteur h . Apres la 
deviation, il presente une vitesse
uniforme ~V  parallele a 1'aile ;
­ on neglige les frottements, c'est-a-dire que la force de contact exercee par 
l'aile sur l'air est normale
a sa surface ;

Page 2/6

Physique I, annee 2011 -- filiere PC

­ dans les divers bilans, on utilisera le volume de controle dont les sections 
d'entree S et de sortie S sont des rectangles de largeur L et de hauteurs 
respectives h et h . Ces deux sections sont
representees en trait pointille sur la figure 2 ;
­ on se place en regime stationnaire.
Ce modele est tres simplifie mais il permet de rendre compte des grandeurs 
etudiees dans ce probleme.
Les donnees proposees ne sont cependant pas suffisantes pour utiliser le 
theoreme de Bernoulli.

y

S
h

y

z

Aile

V

x
O

V
`

h

S

F IG . 2 ­ Vue de profil de la modelisation de l'ecoulement
4 -- Determiner le debit massique Dm de fluide devie par l'aile. On pourra 
faire le calcul en entree
de l'aile ou le champ des vitesses est connu.
5 -- En ecrivant la conservation du debit massique entre l'entree et la sortie 
de l'aile, exprimer

V = ~V  en fonction de V et  .
6 -- En effectuant un bilan de quantite de mouvement, calculer la force ~Fa/e 
exercee par l'aile sur
l'ecoulement.
7 -- On admet que la force ~Fe/a exercee par l'ecoulement sur l'aile est de la 
forme
2
~Fe/a = µ LV (Cx ebx +Cy eby )
2

Deduire de la question 6 les expressions de Cx et Cy en fonction de  et  = h/.
8 -- On appelle polaire de l'aile la courbe representant Cy en fonction de Cx . 
Determiner une
relation entre Cx , Cy et  . En deduire la representation de la polaire de 
cette aile rectangulaire.
Des essais en soufflerie illustrent deux proprietes importantes des ailes en 
aeronautique :
­ pour des angles  petits correspondant a des incidences faibles, le 
coefficient de portance est une
fonction lineaire de  ;
­ au dessus d'une certaine incidence critique c , la portance est decroissante 
et provoque un decrochage
aerodynamique.
9 -- Retrouver ces deux proprietes a partir des expressions de Cx et Cy 
obtenues a la question 7.
On determinera en particulier la valeur de c .
10 -- Dans quels domaines d'incidences (proches de c ou petites devant c ) 
doit-on operer si
l'on veut optimiser la portance tout en reduisant la trainee afin que les ailes 
ne soient pas soumises a
une trop forte resistance de l'air ?
11 -- Pour proceder a l'atterrissage l'avion doit perdre de l'altitude. Quels 
parametres permettent
au pilote de controler cette operation ? Justifier votre reponse.
FIN DE LA PARTIE I
Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Un peu d'aviation, beaucoup de physique...

II. -- La propulsion des avions contemporains
L'une des prouesses techniques du 20e siecle a ete la mise au point du 
turbo-reacteur qui permet aux
avions d'etre propulses a des vitesses considerables (soniques ou meme 
supersoniques) ; le turboreacteur est utilise par l'aviation civile (A380, 
B757) ainsi que par l'aviation militaire (Rafale, F16).
Bien qu'il existe plusieurs types de turbo-reacteur, le principe general de 
ceux-ci est le meme ; ils sont
notamment composes de plusieurs parties :
­ une entree d'air (air inlet) ;
­ une zone de compression comprenant une premiere roue, de grande taille 
appelee soufflante (fan)
puis de plusieurs etages de compresseurs axiaux (compressors) ;
­ une chambre de combustion (combustion chamber) ou air et carburant sont 
melanges en presence
d'une flamme permanente dont le role est d'augmenter la temperature des gaz ;
­ une zone de detente des gaz, composee d'une turbine montee sur l'arbre 
tournant de la zone de
compression ; son role est de recuperer une partie du travail des gaz apres la 
combustion pour faire
tourner les roues du compresseur situe a l'avant du turbo-reacteur ;
­ une tuyere d'ejection (exhaust nozzle) qui par sa forme continue la detente 
et transforme l'energie
de pression en energie cinetique avant d'ejecter le flux d'air .
L'ensemble du systeme est represente sur la figure 3.
Chambre de combustion
Dans toute cette partie, on assimile l'air a un gaz parfait
diatomique de capacite thermique massique a pression Compresseur
constante c p = 1, 00 · 103 J.kg-1 .K-1 et d'exposant adiabatique  = 1, 4. 
Toutes les transformations subies par les
gaz sont supposees quasi-statiques et reversibles. Enfin,
Tuyère
dans toute cette partie la temperature est representee par

la lettre  quand sa valeur est exprimee en C et par la
lettre T quand sa valeur est exprimee en K.
Turbine
L'air se trouve initialement a la pression atmospherique
P0 = 105 Pa et a temperature ambiante  = 20 C. Il F IG . 3 ­ Schema de principe 
d'un turboentre, avec un debit massique Dm = 65 kg.s-1 , dans le reacteur
compresseur qui le porte a la pression P1 = 5 · 105 Pa.
Une fois dans la chambre de combustion, l'air comprime est melange au 
carburant, ce melange est
alors brule sous pression constante ; cette combustion s'effectue avec un exces 
d'air suffisant qui
permet d'admettre qu'il n'y a pas de modification de la nature et du nombre de 
moles de gaz (hypothese de conservation). Les gaz se detendent ensuite dans la 
turbine puis dans la tuyere jusqu'a la
pression atmospherique P0 . On notera respectivement T2 et T3 les temperatures 
en entree et en sortie
de la turbine et T4 la temperature en sortie de la tuyere. On fera l'hypothese 
que chaque section de
l'ecoulement est homogene (« hypothese des tranches »).
12 -- Representer les diagrammes pression-volume, puis temperature-entropie de 
l'ensemble
des transformations subies par le gaz lors de son passage dans le 
turbo-reacteur.
13 -- Determiner la valeur de la temperature T1 de l'air au niveau de la sortie 
du compresseur ainsi
que la puissance Pc absorbee par celui-ci.
Pour sa bonne tenue aux basses temperatures, le carburant utilise est a base de 
kerosene, son pouvoir
calorifique moyen est q = 43, 1 MJ.kg-1 . En regime permanent, un systeme de 
controle permet de
fixer la temperature en entree de la turbine a la valeur 2 = 860 C.
14 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la quantite de 
carburant injectee par
seconde en regime permanent. On verifiera que ce debit est bien compatible avec 
l'hypothese de
conservation.
La turbine et le compresseur sont mecaniquement relies au meme arbre. On peut 
donc supposer que
la turbine fournit exactement la puissance necessaire au fonctionnement du 
compresseur. On se place
en regime permanent.
Page 4/6

Physique I, annee 2011 -- filiere PC

15 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la temperature T3 de 
l'air a la sortie de la
turbine. En deduire la pression P3 correspondante.
16 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la temperature T4 de 
l'air a la sortie de la
tuyere.
On note respectivement ve,t et vs,t le module de la vitesse des gaz en entree 
et en sortie de la tuyere
dans le referentiel du turbo-reacteur. On admettra que vs,t  ve,t .
17 -- Determiner l'expression de vs,t en fonction de c p , T3 et T4 puis la 
valeur numerique de la
poussee  du turbo-reacteur.
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Le guidage des avions, un instrument essentiel : l'altimetre.
Le principe general d'un altimetre est tres simple. Il
est decrit sur la figure 4. Un oscillateur embarque
dans l'avion emet un signal sinusoidal s(t) module
en frequence. Ce signal se propage verticalement a
la vitesse c = 3, 00 · 108 m.s-1 . Il ne sera pas tenu
compte du dephasage du a la reflexion ni egalement
de 1'effet Doppler. Une antenne fixee sur l'avion permet a l'altimetre de 
mesurer son altitude z a partir du
temps mis par l'onde radioelectrique pour effectuer
l'aller-retour entre le sol et l'avion. La frequence fs (t)
du signal s(t) emis par l'oscillateur de l'altimetre varie periodiquement au 
cours du temps selon le graphe
represente sur la figure 5.

F IG . 4 ­ Principe de l'altimetre

18 -- A partir du graphe de la figure 5, etablir la
loi de variation de la frequence fs (t) sur une periode,
en fonction de t, f0 ,  f et t0 .

La quantite fs (t) est en fait la frequence instantanee
du signal s(t) emis par l'altimetre. Cela signifie ici
que s(t) = A cos( (t)) avec
fs (t) =

1 d (t)
.
2 dt

19 -- Sachant que s(0) = A, determiner l'expression de s(t) en fonction de A, 
t, 0 = 2 f0 et
1 =  f /(2 f0t0 ). Tracer l'allure du graphe de s(t) sur
une periode.
On admet que le signal reflechi par le sol puis capte
par l'antenne de l'altimetre peut se mettre sous la F IG . 5 ­ Frequence du 
signal emis par
forme r(t) = a × s(t -  ) ou le parametre  est positif l'avion
et homogene a un temps.
20 -- Apres avoir donne la signification physique des parametres a et  , 
determiner l'expression
de  en fonction de l'altitude z de l'avion et de la vitesse de propagation c de 
l'onde radioelectrique
qu'il emet. Quelle est la valeur numerique de  si l'altitude de l'avion est z = 
3000 m.
Page 5/6

Tournez la page S.V.P.

Un peu d'aviation, beaucoup de physique...

Le schema bloc decrivant le fonctionnement de l'altimetre est decrit sur la 
figure 6. On admet que
 f  f0 et   t0 .

F IG . 6 ­ Schema de principe de l'altimetre
21 -- Montrer que le signal de sortie du multiplieur n(t) peut s'ecrire comme 
la somme de deux
signaux sinusoidaux dont l'un possede une frequence instantanee f1 qui ne 
depend pas de t et l'autre
une frequence instantanee f2 (t) qui varie avec t. On donnera l'expression de 
ces deux frequences en
fonction de  ,  f et t0 dans le cas de f1 et t,  ,  f , t0 et f0 dans le cas de 
f2 .
22 -- Pour les avions standards on a toujours   100 µ s. Quel type de filtre 
doit on utiliser et
comment calibrer ce dernier pour pouvoir obtenir un signal de sortie u(t) qui 
permette de determiner
facilement la valeur de l'altitude z de l'avion. On justifiera la reponse et on 
pourra proposer un moyen
effectif pour obtenir cette valeur.
23 -- Parmi les filtres dont les schemas sont representes sur la figure 7, quel 
est celui qui vous
parait le plus adapte a l'application d'altimetrie etudiee precedemment ? On 
justifiera sa reponse en
commentant les caracteristiques de chacun d'entre eux.

F IG . 7 ­ Differents filtres
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'EPREUVE

Page 6/6