Mines Physique 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Un peu d'aviation, beaucoup de physique....
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

UN PEU D'AVIATION, BEAUCOUP DE PHYSIQUE...
Le sujet comporte trois partie independantes. Les vecteurs sont surmontes d'un 
chapeau s'ils sont
unitaires (ebx ) ou d'une fleche dans le cas general (~V ). Pour les 
applications numeriques on utilisera 3
chiffres significatifs.
L'aviation vit le jour a la fin du siecle dernier avec des moyens pratiquement 
nuls, que ce soit dans
le domaine de la theorie, celui de la technique ou encore celui des materiaux. 
Mais tres vite, des
les premiers vols, l'aviation beneficia des resultats d'un grand nombre de 
chercheurs et connut des
progres acceleres dans tous les domaines...

I. -- Les premiers avions, quelques connaissances de base
Les premiers pionniers de l'aviation (Clement Ader, les freres Wright, 
Santos-Dumont ) ont effectue
des essais avec des gros planeurs a la structure legere mais suffisamment 
robuste pour supporter sans
dommage le poids et les vibrations d'un moteur actionnant une helice.
Quelle que soit sa forme, un avion est toujours constitue par un ensemble 
d'elements correspondant a
diverses fonctions : on retiendra principalement les ailes destinees a soutenir 
1'appareil et l'organe de
propulsion qui lui donne la vitesse necessaire a la sustentation et a la 
translation. La figure 1 represente
un schema elementaire du profil d'une aile d'avion
Le segment de droite  qui joint le bord d'attaque au bord de fuite est appele 
corde de profil. L'angle
 entre ce segment et la direction que suit l'avion est appele incidence. L'air 
immobile attaque par
une aile se deplacant a la vitesse ~V se separe en deux parties : l'une longe 
l'extrados, l'autre l'intrados.
Dans le cas d'un mouvement rectiligne et uniforme de l'aile, on peut se placer 
dans le referentiel de
l'aile et considerer que c'est l'air qui se deplace autour de celle-ci.

Un peu d'aviation, beaucoup de physique...

F IG . 1 ­ Profil d'une aile d'avion
L'etude dynamique d'une aile d'avion montre que celle-ci est soumise a deux 
forces d'origine aerodynamique :
­ la trainee ~Ft , dirigee en sens inverse de la vitesse ~V . En vol sous 
incidence nulle ( = 0), cette force
doit etre equilibree par la force de traction de l'helice ou des reacteurs ;
­ la portance ~Fp qui equilibre le poids de l'avion.
L'air sera suppose incompressible.
1 -- La portance est due au fait que le debit d'air est plus important au 
voisinage de l'extrados
qu'au voisinage de l'intrados. Justifier le fait que cette portance s'oppose a 
l'effet du poids.
Des experiences effectuees notamment en soufflerie, montrent que les modules 
respectifs Ft et Fp de
la trainee et de la portance peuvent se mettre sous la forme :
Ft = CT ( )

µV 2
µV 2
S et Fp = CP ( )
S
2
2

La quantite S represente la surface de la projection des ailes sur le plan 
perpendiculaire a la corde.
Les coefficients de trainee CT ( ) et de portance CP ( ) dependent de l'angle 
d'incidence et µ = 1, 20
kg.m-3 represente la masse volumique de 1'air.
On considere un avion de masse m = 1, 80 · 104 kg, en vol sous incidence nulle 
la projection de
ses ailes represente une surface S = 50, 0 m2 . Le moteur de cet avion 
developpe une puissance P =
2, 70 MW qui lui permet de se deplacer avec une vitesse de module V = 300 
km.h-1 . Le champ de
gravitation terrestre a pour module g = 9, 80 m.s-2 dans toutes les regions 
considerees.
2 -- Determiner l'expression du coefficient de portance en vol sous incidence 
nulle CP (0). Calculer
sa valeur numerique.
3 -- Determiner, toujours en vol sous incidence nulle, l'expression de la 
trainee Ft due aux ailes
sachant que la trainee totale de l'avion est due pour les deux tiers aux ailes. 
En deduire la valeur
numerique du coefficient CT (0) associe.
On se propose maintenant de calculer les expressions de CT ( ) et CP ( ) dans 
le cas d'une aile
rectangulaire qui se deplace a la vitesse constante ~V = -V ebx . On 
travaillera dans le referentiel R,
suppose galileen, associe au repere (O, ebx , eby , ebz ) lie a l'aile et 
represente sur la figure 2 ; dans celui-ci
l'air semble provenir de l'infini avec la vitesse ~V = V ebx . La largeur de 
l'aile est notee , sa longueur,
etendue selon ebz est notee L, son epaisseur est supposee negligeable.
On adoptera les hypotheses simplificatrices suivantes :
­ le fluide est devie de maniere uniforme sur une hauteur h . Apres la 
deviation, il presente une vitesse
uniforme ~V  parallele a 1'aile ;
­ on neglige les frottements, c'est-a-dire que la force de contact exercee par 
l'aile sur l'air est normale
a sa surface ;

Page 2/6

Physique I, annee 2011 -- filiere PC

­ dans les divers bilans, on utilisera le volume de controle dont les sections 
d'entree S et de sortie S sont des rectangles de largeur L et de hauteurs 
respectives h et h . Ces deux sections sont
representees en trait pointille sur la figure 2 ;
­ on se place en regime stationnaire.
Ce modele est tres simplifie mais il permet de rendre compte des grandeurs 
etudiees dans ce probleme.
Les donnees proposees ne sont cependant pas suffisantes pour utiliser le 
theoreme de Bernoulli.

y

S
h

y

z

Aile

V

x
O

V
`

h

S

F IG . 2 ­ Vue de profil de la modelisation de l'ecoulement
4 -- Determiner le debit massique Dm de fluide devie par l'aile. On pourra 
faire le calcul en entree
de l'aile ou le champ des vitesses est connu.
5 -- En ecrivant la conservation du debit massique entre l'entree et la sortie 
de l'aile, exprimer

V = ~V  en fonction de V et  .
6 -- En effectuant un bilan de quantite de mouvement, calculer la force ~Fa/e 
exercee par l'aile sur
l'ecoulement.
7 -- On admet que la force ~Fe/a exercee par l'ecoulement sur l'aile est de la 
forme
2
~Fe/a = µ LV (Cx ebx +Cy eby )
2

Deduire de la question 6 les expressions de Cx et Cy en fonction de  et  = h/.
8 -- On appelle polaire de l'aile la courbe representant Cy en fonction de Cx . 
Determiner une
relation entre Cx , Cy et  . En deduire la representation de la polaire de 
cette aile rectangulaire.
Des essais en soufflerie illustrent deux proprietes importantes des ailes en 
aeronautique :
­ pour des angles  petits correspondant a des incidences faibles, le 
coefficient de portance est une
fonction lineaire de  ;
­ au dessus d'une certaine incidence critique c , la portance est decroissante 
et provoque un decrochage
aerodynamique.
9 -- Retrouver ces deux proprietes a partir des expressions de Cx et Cy 
obtenues a la question 7.
On determinera en particulier la valeur de c .
10 -- Dans quels domaines d'incidences (proches de c ou petites devant c ) 
doit-on operer si
l'on veut optimiser la portance tout en reduisant la trainee afin que les ailes 
ne soient pas soumises a
une trop forte resistance de l'air ?
11 -- Pour proceder a l'atterrissage l'avion doit perdre de l'altitude. Quels 
parametres permettent
au pilote de controler cette operation ? Justifier votre reponse.
FIN DE LA PARTIE I
Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Un peu d'aviation, beaucoup de physique...

II. -- La propulsion des avions contemporains
L'une des prouesses techniques du 20e siecle a ete la mise au point du 
turbo-reacteur qui permet aux
avions d'etre propulses a des vitesses considerables (soniques ou meme 
supersoniques) ; le turboreacteur est utilise par l'aviation civile (A380, 
B757) ainsi que par l'aviation militaire (Rafale, F16).
Bien qu'il existe plusieurs types de turbo-reacteur, le principe general de 
ceux-ci est le meme ; ils sont
notamment composes de plusieurs parties :
­ une entree d'air (air inlet) ;
­ une zone de compression comprenant une premiere roue, de grande taille 
appelee soufflante (fan)
puis de plusieurs etages de compresseurs axiaux (compressors) ;
­ une chambre de combustion (combustion chamber) ou air et carburant sont 
melanges en presence
d'une flamme permanente dont le role est d'augmenter la temperature des gaz ;
­ une zone de detente des gaz, composee d'une turbine montee sur l'arbre 
tournant de la zone de
compression ; son role est de recuperer une partie du travail des gaz apres la 
combustion pour faire
tourner les roues du compresseur situe a l'avant du turbo-reacteur ;
­ une tuyere d'ejection (exhaust nozzle) qui par sa forme continue la detente 
et transforme l'energie
de pression en energie cinetique avant d'ejecter le flux d'air .
L'ensemble du systeme est represente sur la figure 3.
Chambre de combustion
Dans toute cette partie, on assimile l'air a un gaz parfait
diatomique de capacite thermique massique a pression Compresseur
constante c p = 1, 00 · 103 J.kg-1 .K-1 et d'exposant adiabatique  = 1, 4. 
Toutes les transformations subies par les
gaz sont supposees quasi-statiques et reversibles. Enfin,
Tuyère
dans toute cette partie la temperature est representee par

la lettre  quand sa valeur est exprimee en C et par la
lettre T quand sa valeur est exprimee en K.
Turbine
L'air se trouve initialement a la pression atmospherique
P0 = 105 Pa et a temperature ambiante  = 20 C. Il F IG . 3 ­ Schema de principe 
d'un turboentre, avec un debit massique Dm = 65 kg.s-1 , dans le reacteur
compresseur qui le porte a la pression P1 = 5 · 105 Pa.
Une fois dans la chambre de combustion, l'air comprime est melange au 
carburant, ce melange est
alors brule sous pression constante ; cette combustion s'effectue avec un exces 
d'air suffisant qui
permet d'admettre qu'il n'y a pas de modification de la nature et du nombre de 
moles de gaz (hypothese de conservation). Les gaz se detendent ensuite dans la 
turbine puis dans la tuyere jusqu'a la
pression atmospherique P0 . On notera respectivement T2 et T3 les temperatures 
en entree et en sortie
de la turbine et T4 la temperature en sortie de la tuyere. On fera l'hypothese 
que chaque section de
l'ecoulement est homogene (« hypothese des tranches »).
12 -- Representer les diagrammes pression-volume, puis temperature-entropie de 
l'ensemble
des transformations subies par le gaz lors de son passage dans le 
turbo-reacteur.
13 -- Determiner la valeur de la temperature T1 de l'air au niveau de la sortie 
du compresseur ainsi
que la puissance Pc absorbee par celui-ci.
Pour sa bonne tenue aux basses temperatures, le carburant utilise est a base de 
kerosene, son pouvoir
calorifique moyen est q = 43, 1 MJ.kg-1 . En regime permanent, un systeme de 
controle permet de
fixer la temperature en entree de la turbine a la valeur 2 = 860 C.
14 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la quantite de 
carburant injectee par
seconde en regime permanent. On verifiera que ce debit est bien compatible avec 
l'hypothese de
conservation.
La turbine et le compresseur sont mecaniquement relies au meme arbre. On peut 
donc supposer que
la turbine fournit exactement la puissance necessaire au fonctionnement du 
compresseur. On se place
en regime permanent.
Page 4/6

Physique I, annee 2011 -- filiere PC

15 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la temperature T3 de 
l'air a la sortie de la
turbine. En deduire la pression P3 correspondante.
16 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la temperature T4 de 
l'air a la sortie de la
tuyere.
On note respectivement ve,t et vs,t le module de la vitesse des gaz en entree 
et en sortie de la tuyere
dans le referentiel du turbo-reacteur. On admettra que vs,t  ve,t .
17 -- Determiner l'expression de vs,t en fonction de c p , T3 et T4 puis la 
valeur numerique de la
poussee  du turbo-reacteur.
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Le guidage des avions, un instrument essentiel : l'altimetre.
Le principe general d'un altimetre est tres simple. Il
est decrit sur la figure 4. Un oscillateur embarque
dans l'avion emet un signal sinusoidal s(t) module
en frequence. Ce signal se propage verticalement a
la vitesse c = 3, 00 · 108 m.s-1 . Il ne sera pas tenu
compte du dephasage du a la reflexion ni egalement
de 1'effet Doppler. Une antenne fixee sur l'avion permet a l'altimetre de 
mesurer son altitude z a partir du
temps mis par l'onde radioelectrique pour effectuer
l'aller-retour entre le sol et l'avion. La frequence fs (t)
du signal s(t) emis par l'oscillateur de l'altimetre varie periodiquement au 
cours du temps selon le graphe
represente sur la figure 5.

F IG . 4 ­ Principe de l'altimetre

18 -- A partir du graphe de la figure 5, etablir la
loi de variation de la frequence fs (t) sur une periode,
en fonction de t, f0 ,  f et t0 .

La quantite fs (t) est en fait la frequence instantanee
du signal s(t) emis par l'altimetre. Cela signifie ici
que s(t) = A cos( (t)) avec
fs (t) =

1 d (t)
.
2 dt

19 -- Sachant que s(0) = A, determiner l'expression de s(t) en fonction de A, 
t, 0 = 2 f0 et
1 =  f /(2 f0t0 ). Tracer l'allure du graphe de s(t) sur
une periode.
On admet que le signal reflechi par le sol puis capte
par l'antenne de l'altimetre peut se mettre sous la F IG . 5 ­ Frequence du 
signal emis par
forme r(t) = a × s(t -  ) ou le parametre  est positif l'avion
et homogene a un temps.
20 -- Apres avoir donne la signification physique des parametres a et  , 
determiner l'expression
de  en fonction de l'altitude z de l'avion et de la vitesse de propagation c de 
l'onde radioelectrique
qu'il emet. Quelle est la valeur numerique de  si l'altitude de l'avion est z = 
3000 m.
Page 5/6

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Un peu d'aviation, beaucoup de physique...

Le schema bloc decrivant le fonctionnement de l'altimetre est decrit sur la 
figure 6. On admet que
 f  f0 et   t0 .

F IG . 6 ­ Schema de principe de l'altimetre
21 -- Montrer que le signal de sortie du multiplieur n(t) peut s'ecrire comme 
la somme de deux
signaux sinusoidaux dont l'un possede une frequence instantanee f1 qui ne 
depend pas de t et l'autre
une frequence instantanee f2 (t) qui varie avec t. On donnera l'expression de 
ces deux frequences en
fonction de  ,  f et t0 dans le cas de f1 et t,  ,  f , t0 et f0 dans le cas de 
f2 .
22 -- Pour les avions standards on a toujours   100 µ s. Quel type de filtre 
doit on utiliser et
comment calibrer ce dernier pour pouvoir obtenir un signal de sortie u(t) qui 
permette de determiner
facilement la valeur de l'altitude z de l'avion. On justifiera la reponse et on 
pourra proposer un moyen
effectif pour obtenir cette valeur.
23 -- Parmi les filtres dont les schemas sont representes sur la figure 7, quel 
est celui qui vous
parait le plus adapte a l'application d'altimetrie etudiee precedemment ? On 
justifiera sa reponse en
commentant les caracteristiques de chacun d'entre eux.

F IG . 7 ­ Differents filtres
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Michel Fruchart (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, s'intéresse à la physique de
l'aviation. Aucune connaissance en aéronautique n'est cependant requise.
· La première partie définit les notions de portance et de traînée d'une aile 
puis
étudie une aile rectangulaire de faible épaisseur. L'essentiel de cette partie 
de
mécanique des fluides consiste à déterminer des expressions pour les 
coefficients
de portance et de traînée en fonction de l'angle d'incidence de l'écoulement sur
l'aile. Le point central de cette partie est un bilan de quantité de mouvement
permettant de déterminer la force exercée par l'écoulement sur l'aile.
· La deuxième partie aborde la description thermodynamique de l'air traversant
un turboréacteur. Elle débute par la constitution des diagrammes pressionvolume 
et température-entropie de l'air en question, ce qui nécessite une analyse 
préalable complète du fonctionnement du turboréacteur. Une fois ce travail
de compréhension effectué, la suite consiste à préciser cette description par le
calcul de la température et de la pression de l'air aux différents endroits du
turboréacteur. Il s'agit souvent de réaliser un bilan de puissance. Les 
connaissances nécessaires sont peu nombreuses, mais un certain recul est 
indispensable
pour traiter efficacement cette partie.
· La dernière partie étudie le principe d'un altimètre à modulation de 
fréquence.
Une fois de plus, quasiment aucune connaissance spécifique n'est nécessaire,
mise à part celle des différents filtres présentés à la dernière question. Il 
faut
alors être capable d'établir rapidement une fonction de transfert et surtout de
l'interpréter pour savoir quel type de filtre est réalisé.
Cette épreuve est réalisable dans le temps imparti à condition d'aller droit au 
but.
Sa difficulté ne réside pas dans les quelques connaissances mobilisées, ni dans 
les calculs, qui restent sommaires, mais dans les raisonnements. Il faut 
prendre le temps, au
début de chaque partie (spécialement la deuxième), de comprendre le 
fonctionnement
global du système étudié et de lire en diagonale l'énoncé jusqu'au bout pour 
savoir
où l'on va. Sans cette prise de recul préalable, de nombreuses erreurs se 
répercutant
tout au long de la partie sont à craindre.

Indications
Partie I
1 Penser à utiliser la relation de Bernoulli sur une ligne de courant.
5 Utiliser le fait que S = S cos .
6 Effectuer le bilan de quantité de mouvement pour un système fermé entre les
instants t et t + dt. Le volume de contrôle défini dans l'énoncé sera le volume
commun à ces deux instants pour le système considéré.
8 Faire émerger cos 2 et sin 2 et utiliser le fait que la somme de leurs carrés 
vaut 1.
Partie II
12 Il faut supposer que les échanges de chaleur se produisent uniquement lors 
de la
combustion à pression constante dans la chambre de combustion et que les autres
transformations sont adiabatiques et réversibles, donc isentropiques.
13 Utiliser la relation de Laplace P1- T = Cte pour une transformation 
isentropique. Utiliser également la relation (ec + h) = w + q dans cette 
question et les
suivantes.
14 Établir un lien entre le débit massique de carburant multiplié par q et la 
puissance
thermique reçue par le gaz lors du passage de T1 à T2 .
15 Utiliser à nouveau la relation de Laplace.
17 Qu'est devenue la puissance thermique perdue par le gaz à son passage dans la
tuyère ? Pour déterminer la poussée, s'inspirer de la question 6.
Partie III
19 Intégrer f s (t) pour obtenir (t). Est-il possible de représenter l'allure 
de s(t) ?
1
21 Se souvenir que cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a - b)).
2
22 Calculer les ordres de grandeurs des fréquences f1 et f2 .
23 Déterminer rapidement les expressions des fonctions de transfert de chaque 
filtre,
puis identifier leur rôle.

Un peu d'aviation, beaucoup de physique...
I. Les premiers avions, quelques
connaissances de base
1 L'air est supposé incompressible ; on peut appliquer la loi de Bernoulli qui 
s'écrit,
avec les notations usuelles :
v2
µ
+ µ g z + P est une constante le long d'une ligne de courant.
2
Considérons deux lignes de courant voisines, tangentes avant l'aile et se 
séparant,
l'une au-dessus de l'aile, l'autre en dessous. En amont de l'aile, pression, 
vitesse et
altitude sont les mêmes sur les deux lignes de courant, donc la constante est 
la même.
En supposant l'épaisseur de l'aile négligeable, on peut donc dire que la 
grandeur
P + µ v 2 /2 est la même sur l'intrados et l'extrados. D'après l'énoncé, le 
débit de l'air
étant plus grand au voisinage de l'extrados qu'au voisinage de l'intrados, la 
vitesse
de l'air juste au-dessus de l'aile est donc plus grande que la vitesse de l'air 
juste
en dessous. Par conséquent, la pression au niveau de l'intrados est supérieure 
à la
pression au niveau de l'extrados. Ainsi, la force résultante est verticale 
ascendante.
La portance s'oppose à l'effet du poids.
2 D'après l'expression de la portance, l'égalité entre portance et poids 
s'écrit, pour
une incidence nulle,
µ V2
S
m g = CP (0)
2
ce qui donne

2mg
= 0,847
S µ V2

CP (0) =

3 Les deux tiers de la puissance développée par le moteur servent à compenser la
puissance dissipée par la traînée due aux ailes, ce qui s'écrit
2
Ft V = P
3
2
µ V2
SV = P
ou encore
CT (0)
2
3
d'où l'on déduit

CT (0) =

4P
= 0,104
3 V3 µ S

4 Le débit volumique de l'air dévié est S V, donc le débit massique de fluide 
dévié
par l'aile est
Dm = µ S V
5 L'expression du débit massique sortant du volume de contrôle est µ S V .
La conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie de ce volume de 
contrôle
impose Dm = µ S V , qui se traduit par S V = S V . En outre, S = h L et S = h L
d'une part, et d'autre part h = h cos . On en déduit que S = S cos  et il vient
V = V

S
= V cos 
S

6 Considérons un système fermé de fluide, constitué par le fluide contenu à 
l'instant t
dans le volume de contrôle, ainsi que d'une tranche de fluide située à l'entrée 
du
volume de contrôle, de sorte que le fluide contenu dans cette tranche soit 
entré dans
le volume de contrôle à l'instant t + dt.

Système à t

-
V
Tranche dm
Volume de contrôle

La masse de cette tranche de fluide est dm = Dm dt et sa quantité de mouvement 
est

-

-
dm V = Dm dt V . La quantité de mouvement du fluide contenu dans le volume de

contrôle est notée -
p  (t). La quantité de mouvement du système fermé ainsi constitué
est, à l'instant t,

-

-

p (t) = -
p  (t) + D dt V
m

À l'instant t + dt, la tranche de fluide de masse dm est entrée à l'intérieur 
du volume
de contrôle. Une autre tranche de fluide est en revanche sortie de ce volume : 
sa
masse est également Dm dt d'après la conservation du débit massique ; sa 
quantité de
-

mouvement est par conséquent Dm dt V .
Système à t + dt
Tranche dm
Volume de contrôle

-

V 

La quantité de mouvement du système fermé à l'instant t + dt est
-

-

p (t + dt) = -
p  (t + dt) + Dm dt V

Comme l'écoulement est stationnaire, -
p  (t) = -
p  (t + dt). Ainsi, la variation de la
quantité de mouvement du système fermé considéré est
-
 -

d-
p =-
p (t + dt) - -
p (t) = Dm dt (V - V )

-
La seule force qu'il subit est la force exercée par l'aile sur l'écoulement, F 
a/e .
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit ainsi

-
d-
p
F a/e =
dt
L'expression de la force exercée par l'aile sur l'écoulement est par conséquent
-
 -
-

F a/e = Dm (V - V )