E3A Physique PC 2007

Thème de l'épreuve Ondes élastiques dans les milieux solides. Application à la détection d'ondes sismiques.
Principaux outils utilisés mécanique, ondes, induction, électronique, optique géométrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique PC

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est autorisé

GX72

CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique PC

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une

part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Ce problème étudie les ondes élastiques dans les milieux solides et leurs
applications dans les phénomènes sismiques. Il est constitué de trois parties

totalement indépendantes.

La première partie est consacrée aux propriétés microscopiques et
macroscopiques des ondes élastiques et établit le lien entre les paramètres
microscopiques régissant les interactions entre les atomes du solide et le 
module
d'Young qui décrit le comportement élastique du solide au niveau macroscopique.

La deuxième partie s'intéresse à la propagation d'ondes élastiques 
longitudinales
(ondes P) qui peuvent se propager à l'intérieur de la Terre après une explosion 
ou un
séisme. L'étude de cette propagation permet d'accéder à des informations 
importantes
concernant la structure géologique interne du globe terrestre.

Enfin, la troisième partie est focalisée sur la détection de ces ondes au moyen
d'un sismographe électromagnétique. Bien que ce type d'appareil soit 
actuellement
partiellement remplacé par des sismographes piézoélectriques, son importance
historique est considérable et il fut longtemps le seul dispositif à être 
utilisé.

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même
titre que les développements analytiques et les applications numériques,

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,

.-- tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il
n'a pas été démontré par les candidat(e)s.

Dans tout le problème, le référentiel terrestre (RT), supposé galiléen sera 
utilisé.

Tournez la page S.V.P.

PREMIÈRE PARTIE
ONDE ELASTIQUE DANS UN BARREAU SOLIDE

A -- Modèle microscopique et approximation des milieux continus

À l'échelle microscopique, un matériau solide homogène peut être modélisé par 
une
chaîne infinie d'atomes assimilés à des points matériels de même masse m et 
reliés entre eux
par des ressorts identiques, de longueur à vide a et de raideur K. Ces ressorts 
modélisent, dans
l'approximation linéaire, les interactions électromagnétiques entre les atomes 
lorsqu'ils se
déplacent au voisinage de leur position d'équilibre.

Considérons un modèle unidimens/onnei dans lequel tous les atomes se déplacent 
sans
frottement sur un axe Ox. La figure 1 représente cette disposition où chaque 
atome est numéroté
par un entier n. Lorsqu'il est en équilibre mécanique, l'atome référencé (n) 
est situé à I'abscisse
x,,(éq) = n a ; en dehors de l'équilibre, sa position devient x,,(t) = x,,(éq) 
+ u,,(t).

Un - 1(t) un") Un +1(t)

: K K |
0 :..--_); | : l : X
"..---:.:- ' " ::o ° ° ° " .:. """" : "' " (" ?: """" )
(n--1)a na (n+1)a

Figure 1 : Chaîne infinie d'atomes

A1*a. Établir l'expression de la résultante des forces exercées par les atomes 
(n -- 1) et (n + 1)
sur l'atome (n).

A1*b. En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'atome (n) et 
montrer qu'elle peut

d2un
dt2 =oeâ("

s'écrire :

+ u,,_1 ---- Zu") , en explicitant 000 en fonction de K et m.

n+1

L'équation précédente admet des solutions sinusoïdales de pulsation a). Afin de 
les
étudier, introduisons la représentation comp/exe g,,(t) et cherchons ces 
solutions sous la forme

g,,(t) = _L_l,, exp(jwt) où _U_,, désigne l'amplitude complexe du déplacement 
de l'atome (n).

A2*a. Établir la relation entre oe, (bg, _U_...-1, Un et g....

A2*b. Quelle est la valeur particulière de w associée ,à une solution telle que 
_U_...-1 = _l_J_... pour
toute valeur de n '? Quelle interprétation physique peut-on en donner ?

A2*c. Déterminer de même la pulsation correspondant à _U_... = -- _L_l_...-1 
pour toute valeur de n.

Dans toute la suite de cette partie, nous étudierons une solution particulière 
de la forme
y_,,(t) = _A_ exp[j(æt --- k na) ] où A est un nombre complexe indépendant de n 
et k un nombre réel.

A3*a. Quelle signification physique peut--on attacher à ce type de déplacement? 
Quelle
hypothèse fait--on en'supposant que A est indépendant de n ?

A3*b. Vérifier que l'expression proposée est bien solution de l'équation 
établie en A1*b, à
condition que k, w, (00 et a soient reliés par une équation a expliciter.
Réaliser un schéma représentant l'évolution de ce en fonction de k. Quel est le 
domaine
de pulsations admissibles ?

A3*c. Pourquoi est-il possible de restreindre les valeurs de k à l'intervalle [ 
- n/a, ala [ ?

3

A3*d. Montrer que le déplacement _u_...(t) reproduit exactement le déplacement 
u...(t), mais avec
un retard temporel 1 dont on donnera l'expression en fonction de (bo, k et a.
En déduire qu'il est possible de définir une vitesse de phase V(" : oe/ k. La 
propagation

est--elle ou non dispersive ?

Considérons désormais le cas particulier où k est positif.

A4*a. Déterminer la vitesse de phase V(" et la vitesse de groupe V9 en fonction 
de (00, k et a.

A4*b. Quelles sont les valeurs limites de ces deux vitesses lorsque k ----> O. 
Commenter.

A4*c. Étudier de même les limites lorsque k ----> ala. Quelle signification 
physique peut-on
attribuer aux résultats obtenus ?

L'approximation des milieux continus permet u(x, "
de faire passer une fonction u(x, t) par tous les points u...(t)
représentatifs des atomes de la chaîne à chaque
instant (figure 2). Cela est possible lorsque u,, est
peu différent de u,, + 1.

Définissons la fonction continue et dérivable
u(x, t) des variables d'espace x et de temps t telle
que u(x, t) = u,,(t) lorsque x = na. Supposons que
u(x,t) varie peu dans l'espace, à l'échelle de a. En
considérant que l'atome (n) occupe l'abscisse x,
remarquons que : na (n+1)a

u(x + a,t) = u(na + a,t) = u,... 1(t)

et Ejgy_æ_2 : Représentation de u(x, t) à t fixé

u(x - a, t) = u(na - a, t) = un- ,(t).

A5. En utilisant un développement limité à l'ordre 2, montrer que la fonction 
u(x,t) vérifie une

_ 2 2
équation de d'Alembefl de la forme Ê--Ë- --- --ÏîÊ--Ë-- : 0 et exprimer la 
célérité C en fonction
ôx C ôt
de K, m et a. Comparer C à une expression obtenue en _A_AL et interpréter ce 
résultat.

B --- Modèle macrosc0pique et module d'Young

Un barreau solide est initialement immobile dans un référentiel galiléen d'axe 
Ox.
Lorsqu'il est au repos, ce barreau est un cylindre homogène d'axe Ox, taillé 
dans un matériau de

masse volumique p, dont l'aire de chaque section sera notée 8.

Une onde de déformation élastique longitudinale (onde de 
compression--dilatation) se
propage à l'intérieur du barreau dans la direction de Ox ; cette onde est 
caractérisée par le
champ scalaire des déplacements u(x, t) tel qu'une section située à l'abscisse 
x en l'absence
d'onde se déplace à l'abscisse x + u(x, t) lors du passage de celle--ci (figure 
3).

Figure 3 : Onde élastique longitudinale dans un barreau

Tournez la page S.V.P.

4

Dans la limite des petites déformations, la matière située à gauche de la 
section

déplacée en x + u(x, t) exerce sur celle-ci une force de rappel F 9 dont 
l'expression générale est :

È, : -- E â--î-(x, t) S à.... où E désigne le module d'élasticité d'Young. De 
même, la matière située

à droite dela section exerce sur celle-ci une force Fa .

__B_1_._ Etablir la dimension de E et justifier que |Ed : -- È, .

En l'absence d'onde, une tranche élémentaire de barreau située entre les 
abscisses x et
x + dx possède un volume dV = S dx. Lors du passage de l'onde, son volume 
devient dV'. La

dilatation volumique 5 de cette tranche est définie comme le quotient 6 : W .
ê_2_= Expliciter la relation entre 5 et ôu£(;,t) .

52_3_._ En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette tranche, 
montrer que dans
la limite des petits déplacements u(x,t) satisfait à une équation de d'Alembefl 
de la

forme: -----------------------=O.

Exprimer la célérité C en fonction de E et p.

C -- Liaison interatomique et module d'Young

Au sein d'un réseau cristallin métallique, l'énergie potentielle d'interaction 
de deux atomes

A et B distants de r peut s'écrire : E,,(r) : -----%-- + -;%--, où a et p sont 
deux constantes positives.
r

La force exercée par A sur B est de la forme lËA/s = F(r) u, où Ü désigne le 
vecteur unitaire

directeur dela droite (AB), dirigé de A vers B.

C1*a. Déterminer l'expression de F(r) en fonction de >», p et r. La distance 
d'équilibre entre deux
atomes étant ro, en déduire une relation entre ?... U et ro.

C1*b. Calculer les valeurs numériques de u (exprimé en eV.nm'°) et de Ep(ro) 
(exprimé en eV)

dans le cas précis du tungstène, métal pour lequel ro = 0,274 nm , k = 0,37 
eV.nm'°:
(rappelons qu'un électron-volt est égal à 1,610"19 J)
Quel sens concret peut on donner à Ep(ro) '?

C1*c. Tracer l'allure de la courbe Ep(r) en indiquant ses points remarquables.
Dans quels domaines de r la force entre les deux atomes est elle attractive ou 
répulsive?

_C_2_. En effectuant un développement limité de F(r), montrer que pour de 
petits déplacements
autour de la position d'équilibre ro, la force d'interaction F(r) est 
équivalente à celle d'un

ressort dont on explicitera la raideur K en fonction de X et ro.
Calculer K (exprimé en Nm") pour le tungstène.

Le tungstène cristallise dans un systéme cubique centré. La maille est un cube 
d'arête a
dont les atomes occupent tous les sommets ainsi que le centre. Dans cette 
structure, chaque
atome A possède huit plus proches voisins, tous situés à une même distance ro 
de A, ro étant la
distance d'équilibre introduite en C1 *a.

C3*a. Etablir la relation entre ro et a puis calculer a (exprimé en nm).

C3*b. Quel est le nombre d'atomes par maille cubique ? Donner l'expression de 
la masse
volumique p de ce métal en fonction m (masse d'un atome) et de a.

5

Une étude approfondie de la propagation des ondes élastiques longitudinales 
dans ce
milieu tridimensionnel montre que, dans l'hypothèse des interactions limitées 
aux atomes les

plus proches voisins et dans la limite des grandes longueurs d'onde (k --» O), 
l'expression de la
célérité obtenue en A_Q doit être remplacée par :

C = ,/ 5% a , où K est la raideur du ressort, calculée en _ç_2_.

En comparant cette expression aux résultats obtenus dans la partie 8, il est 
possible de
relier le module d'élasticité d'Young E aux paramètres microscopiques du métal.

C4*a. Exprimer le module E, d'abord en fonction de K, a et m, puis en fonction 
de ?» et ro.

C4*b. Calculer le module E du tungstène, à l'aide des données numériques 
précédemment
fournies.

DEUXIEME PARTIE
ETUDE DES ONDES SISMIQUES TERRESTRES

Les ondes sismiques sont des ondes de déformation élastique qui se propagent à
l'intérieur du globe terrestre (ondes de volume) ou en surface (ondes de Love 
et de Rayleigh).
Ces ondes peuvent être longitudinales (la déformation se fait dans le sens de 
la propagation de
l'onde) ou transversales {déformation perpendiculaire à la direction de 
propagation). Dans ce
dernier cas, il s'agit d'ondes de cisaillement.

Nous allons étudier dans cette partie un type particulier
d'ondes de volume longitudinales : les ondes P (primaires). La
propagation de ces ondes dans la Terre, peut être décrite au C1
moyen d'une analogie avec l'optique géométrique : l'onde se
propage le long de « rayons sismiques » avec une célérité C.
Dans un milieu homogène, les rayons sismiques sont des Cz
segments de droite. A l'interface entre deux milieux, il y a
réflexion et réfraction du rayon incident, selon les lois de

Snell--Descartes (figure 4), notamment :

- l'angle entre le rayon réfléchi et la normale au dioptre Figure 4 _._ Lois de 
Snell _ Descartes
est égal à l'angle d'incidence,
. les angles d'incidence i et de réfraction r vérifient :
smi=smr
C, C2

A -- Étude locale

La courbure de la Terre est négligée. Le sol est divisé en deux couches 
homogènes : la
croûte terrestre d'épaisseur h dans laquelle la célérité des ondes est C1 et le 
manteau a
l'intérieur duquel leur célérité vaut Cz > C1. Une explosion a lieu en un point 
8 proche de la
surface et les ondes produites sont détectées par un capteur lui aussi en 
surface, placé en M, a
une distance x de S. Le capteur reçoit trois ondes qui sont représentées sur la 
figure 5.

Tournez la page S.V.P.

A3*a.

A3*b.

8 x M (Capteur)
-->

Croûte

-_- ------ "'--_--- '

.........

ï'ïî$ICÏ'{ .................. :-:- Manteau

............................................
............................................

............................................
............................................

Figure 5 : Les trois types d'onde arrivant sur le capteur

L'onde qui se propage parallèlement à la surface est l'onde directe. Déterminer 
son
temps de propagation 'n en fonction de C1 et x.

Le capteur reçoit une deuxième oncle qui s'est réfléchie en P1 sur la surface de

séparation entre la croûte terrestre et le manteau. Exprimer son temps de 
propagation 1:2
en fonction de C1, x et h.

Une troisième onde peut se propager jusqu'au capteur après s'être réfractée en 
P dans
le manteau, puis être ressortie en P'. Quel doit être l'angle d'émission ou 
pour que l'onde
réfractée se propage le long de l'interface plane (trajet PP') ?

Montrer que cette onde ne peut être détectée que si x est supérieur à une 
distance
minimale x... que l'on exprimera en fonction de h, C1 et C2.

Etablir le temps de propagation 13 de cette troisième onde en fonction de C1, 
C2, x et h
pour x > x....

Tracer sur un même graphe les allures des temps de propagation r1, 1:2 et 173 
en fonction
de la distance x.

Les courbes ainsi obtenues sont appelées hodochrones. Les géophysiciens les 
utilisent

pour obtenir des informations sur l'épaisseur de la croûte terrestre et les 
célérités des ondes
sismiques dans la croûte et le manteau. En disposant plusieurs capteurs à 
différentes distances
x du lieu de l'explosion et en mesurant le temps de propagation de l'onde qui 
arrive la première,
on obtient la courbe représentée sur la figure 6.

't (s)
A

30

20 -----

15 "'
10
5
0 > x (km)
0 50 100 150 200

Figure 6 : Résultats expérimentaux

7

A5*a. Déduire de la figure les vitesses de propagation C1 et C2 puis, en 
considérant
l'intersection des deux courbes, évaluer l'épaisseur h de la croûte terrestre.

A5*b. Déterminer une nouvelle valeur numérique de h en exploitant la 
prolongation de la
deuxième courbe jusqu'en x = 0.
Que pensez-vous de la précision des mesures ?

B --- Étude à grande échelle

À grande échelle, la courbure de la Terre ne peut plus être négligée : celle-ci 
est donc
assimilée à une boule de centre O et de rayon RT (figure 7).

Nous supposerons que la Terre est constituée d'un noyau liquide de rayon RN 
inférieur à
RT où la célérité des ondes sismiques P vaut C3 = 9 kms", entouré du manteau 
solide
d'épaisseur RT -- RN, à l'intérieur duquel la célérité vaut C2 = 11 kms". Dans 
cette partie,
l'épaisseur dela croûte terrestre sera totalement négligée.

Figure 7 : Noyau et manteau terrestres

Un tremblement de Terre localisé au point 8 (à la surface de la Terre) émet des 
ondes
sismiques P dans toutes les directions. Des détecteurs sont placés en 
différents points M de la

surface terrestre, situés dans le même plan méridien et repérés par l'angle 9 = 
(ÔÎË,ÔÜ ).

B1*a. Considérons les ondes issues de S qui arrivent en M en empruntant le 
trajet direct SM.
Ces ondes ne se propagent que dans le manteau. Exprimer leur temps de 
propagation 't
en fonction de RT, 9 et C2.

B1*b. Montrer que ces ondes ne peuvent pas atteindre le point M lorsque 9 est 
supérieur à une
valeur 9....... Déterminer l'expression de G...... en fonction de RT et RN.

B1*c. Des mesures ont montré que e...... = 106°. En déduire la valeur numérique 
de RN sachant
que RT = 6,4.103 km.

Considérons maintenant les ondes issues de S qui subissent une réfraction en N 
et
pénètrent à l'intérieur du noyau. Ces rayons subissent une deuxième réfraction 
en N' et

atteignent un point M sur la surface terrestre, repéré par l'angle 9 (figure 8).
Posons ça = (08, ON) et appelons Q le projeté orthogonal de S sur ON. L'angle
d'incidence du rayon sismique en N est noté on (ou > 0). Son angle de 
réfraction est appelé r.

Tournez la page S.V.P.

Figure 8 : Trajet du rayon réfracté

\\\À'I M

BZ*a. Peut-il y avoir une réflexion totale en N ?

BZ*b. Montrer que ce type de rayon ne peut exister que si (p est inférieur à un 
angle maximum

			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Geoffroy Aubry (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l'étude des ondes élastiques dans les solides et leurs 
applications
dans les phénomènes sismiques.
· Dans une première partie, on relie les propriétés microscopiques (au niveau
atomique) aux propriétés macroscopiques des matériaux. On résout d'abord
le problème de la chaîne linéaire d'oscillateurs en faisant l'approximation des
milieux continus, puis on fait une modélisation acoustique du matériau. Enfin,
on confronte ces deux approches.
· On étudie ensuite la propagation d'ondes mécaniques à l'intérieur de la Terre
en faisant une analogie optique des rayons d'ondes mécaniques se propageant
dans la planète.
· Enfin, dans une dernière partie, on étudie le principe d'un sismographe 
électromagnétique. Ce dispositif est un transducteur électromagnétique, 
c'est-à-dire
un dispositif qui couple des effets mécaniques et électromagnétiques. On 
s'intéresse d'abord au système d'équations couplées, avant d'étudier le 
dispositif
électronique de détection des vibrations.
Ce problème aborde plusieurs domaines des programmes de première et seconde
année. La première partie est une application directe du cours faisant 
intervenir les
ondes mécaniques dans l'approximation des milieux continus, et les ondes 
élastiques.
La deuxième utilise des notions d'optique géométrique mais fait surtout appel à
la géométrie, tandis que la troisième met en jeu des connaissances et 
savoir-faire
d'induction électromagnétique, d'électronique et de filtrage. Cette dernière 
partie est
un peu plus calculatoire que les précédentes.
Les trois parties sont inégales dans leur difficulté et leur intérêt. La 
première est
un grand classique permettant de tester ses connaissances en ondes mécaniques et
élastiques ; tout candidat doit maîtriser les notions abordées. La deuxième 
partie, bien
qu'assez originale dans sa présentation, n'est pas d'un intérêt majeur. La 
troisième,
quant à elle, est un bon exercice classique de transduction, de filtrage... et 
de calcul !

Indications
Première partie
I.A.1.a L'atome n est soumis aux forces exercées par ses voisins.
I.A.2.a Injecter les expressions de un dans l'équation trouvée à la question 
I.A.1.b.
I.A.2.b Faire Un = Un+1 = Un-1 dans l'équation trouvée à la question I.A.1.b.
I.A.3.d Exprimer un en fonction de un-1 .
I.A.5 Remplacer un-1 , un et un+1 par leurs expressions en fonction de u, et les
injecter dans l'équation trouvée à la question A.1.b.
I.B.2 Exprimer dV et dV en fonction des paramètres à l'aide d'un schéma.
--

-

-
I.C.1.a La force F dérive de l'énergie potentielle EP telle que F = - grad EP .
Si une particule est à l'équilibre, alors la résultante des forces s'exerçant 
sur
elle est nulle.
I.C.4.a Égaler l'expression de C donnée ici à celle trouvée dans la partie I.B.
Deuxième partie
II.A.3.a Utiliser la deuxième loi de Descartes. Pour   [0, /2],
p
cos  = 1 - sin2 

II.A.5.a Deux des trois courbes tracées précédemment se retrouvent sur la 
figure 6.

II.B.1.b Il ne faut pas que l'onde traverse le noyau.
II.B.2.b Il faut que l'onde traverse le noyau.
II.B.2.c Après avoir remarqué que sin  = SQ/SN calculer SQ et SN. S'aider du
projeté orthogonal de N sur OS.
Troisième partie
III.A.3 Exprimer la hauteur de la « cage » de deux manières différentes.
III.A.4 Penser aux forces d'inertie.
III.B.1 Exprimer la force de Laplace sur un petit élément de fil, puis faire la 
somme
pour avoir la force globale exercée par le champ sur le conducteur.
III.B.2.a La force électromotrice est égale à la circulation du champ 
électromoteur
de Lorentz.
I

- -
- -
-

e = Em · d
avec
Em = 
v B

-
III.B.2.b Écrire la relation constitutive de la bobine placée dans le champ B 
(sans
oublier la force électromotrice).
III.B.3.c Partir de la relation trouvée à la question III.B.1 et remplacer Z à 
l'aide
de la relation trouvée à la question III.B.3.a, puis exprimer I en fonction
de UL , enfin remplacer UL par la relation trouvée en III.B.3.b.
III.B.5.a Le gain doit être constant sur la gamme d'utilisation.

Le rapport du jury pointe le manque d'aisance en mathématiques d'un certain
nombre de candidats. De la rigueur est requise pour mener à bien les calculs,
surtout lorsque ceux-ci sont un peu fastidieux, comme dans la partie III.
De plus, les questions demandant une interprétation physique ne sont pas
accessoires : « Il est dommage de réduire un problème de physique à une
succession de calculs convenus, sans jamais chercher à comprendre de manière
plus fine la nature et les liens qui unissent les phénomènes étudiés ».

I. Onde élastique dans un barreau solide
I.A

Modèle microscopique et approximation des milieux continus

A.1.a Les seules forces appliquées selon -
ex sur l'atome (n) sont les forces exercées
par ses voisins via les ressorts. La force exercée par un ressort est 
proportionnelle à
son allongement par rapport à sa longueur à vide a.
a

un-1

a

un

un+1

x

Notons  cet allongement. On a donc pour un ressort
-

-
F = -K  
e
-
avec 
e le vecteur unitaire allant du ressort vers l'atome sur lequel la force 
s'exerce.

· Force exercée par l'atome n - 1 sur l'atome n : -
e est dirigé selon -
e . De plus,
x

 =  - a
= a + un - un-1 - a
 = un - un-1
donc

-

F n-1/n = -K (un - un-1 ) -
ex

· Force exercée par l'atome n + 1 sur l'atome n : -
e est dirigé selon --
ex . De plus,
 =  - a
= a + un+1 - un - a
 = un+1 - un
donc

-

F n+1/n = -K (un - un+1 ) -
ex

L'atome (n) est aussi soumis à son poids, vertical, et à la réaction du 
support, normale car il n'y a pas de frottements. Les deux forces se compensent 
donc selon z

-
et n'interviennent pas dans la dynamique du problème. La résultante R des forces
exercées sur l'atome n s'écrit donc
-

R = -K (2 un - un-1 - un+1 ) -
ex

A.1.b D'après le principe fondamental de la dynamique, la résultante des forces
extérieures est égale au produit de la masse par l'accélération. Or, pour un 
mouvement
unidimensionnel,
d2 un -

-

a =
ex
dt2
d'où

d2 un
= 0 2 (un+1 + un-1 - 2 un )
dt2

avec

0 2 =

K
m

A.2.a En représentation complexe, la dérivation par rapport au temps revient à
une multiplication par j. En effet,

d
Un e jt = j Un e jt
dt

d2
d'où
Un e jt = (j)2 Un e jt
2
dt
En utilisant le résultat de la question précédente, on a alors

-Un  2 e jt = 0 2 Un+1 e jt + Un-1 e jt - 2 Un e jt
Soit en simplifiant par e jt qui ne s'annule jamais

- 2 Un = 0 2 Un+1 + Un-1 - 2 Un
A.2.b Si quel que soit n entier naturel, Un-1 = Un , alors Un+1 = Un . Il en
résulte Un-1 = Un = Un+1 . La relation trouvée dans la question A.2.a s'écrit
- 2 Un = 0
Deux cas sont possibles :
1. soit Un = 0 : l'amplitude des oscillations est nulle, il n'y a pas 
d'oscillations ;
2. soit  = 0 : la fréquence des oscillations est nulle.
Dans ce dernier cas, tous les atomes sont à la même distance algébrique de leur
position d'équilibre, il y a toujours la même distance a entre des atomes 
voisins donc
les ressorts exercent une force nulle sur les atomes. Par conséquent, il n'y a 
pas de
mouvement relatif entre deux atomes.
En règle générale, lorsqu'on considère que la fréquence d'une oscillation est
nulle, c'est que les variations locales de la grandeur oscillante sont tellement
lentes que le système subit une évolution quasi statique : chaque état traversé
durant l'évolution est un état d'équilibre.
A.2.c De même, si quel que soit n entier naturel, Un = -Un-1 , alors Un+1 = -Un 
.
La relation trouvée à la question A.2.a s'écrit alors

- 2 Un = 0 2 Un+1 + Un-1 - 2 Un
= 0 2 (-Un - Un - 2 Un )

- 2 Un = -4 02 Un
Par conséquent,

 2 = 4 0 2

ou

Un = 0

Si Un = 0, il n'y a pas de phénomène propagatif. La solution Un 6= 0 correspond 
au
cas où tous les ressorts sont en opposition.