Centrale Physique 2 PC 2011

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EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Une étude dynamique de la couche limite

Ce problème met en jeu la notion de couche limite qui intervient lorsqu'on 
étudie les écoulements laminaires, a

nombres de Reynolds néanmoins importants, autour d'un solide. Cette couche 
assure le raccordement entre la

solution d'écoulement parfait qui prévaut loin du corps et la condition de 
vitesse nulle sur les parois. L'étude

simplifiée proposée repose sur les travaux de deux physiciens allemands 
spécialistes en mécanique des fluides.

-- Ludwig Prandtl (1875--1953) qui introduisit en 1904 la notion de couche 
limite dans l'écoulement d'un fluide
autour d'un obstacle. Ses travaux le conduisirent également à établir la 
théorie hydrodynamique de l'aile
portante d'envergure infinie dans un fluide parfait.

-- Heinrich Blasius (1883-1970) qui publia de nombreux mémoires sur les 
écoulement de fluides visqueux autour
d'obstacles et dans les tuyaux cylindriques.

Formulaire : équation de Navier-Stokes d'un fluide newtonien visqueux 
incompressible

--»

317 _ 4 --> s
# [& + (v - gra )v} = #9 -- gradp + 77A'U

I Préliminaire
On s'intéresse à un régime variable d'écoulement au sein d'un fluide visqueux 
et incompressible dont le champ

des vitesses s'écrit 17 = voe(y,t)ü'æ. L'axe 055 est horizontal et la pression 
ne dépend pas de m. Cela peut, par
exemple, concerner le régime transitoire d'accès à un écoulement stationnaire 
de cisaillement simple.

I .A -- Rappeler, en introduisant la viscosité dynamique 77 dont on indiquera 
l'unité S.I., l'expression de la
force de viscosité exercée, au niveau de la surface élémentaire d'aire (15 et 
de normale %, par la portion de
fluide d'abscisses supérieures à y sur la portion de fluide d'abscisses 
inférieures à y.

On dit que cette force traduit un transfert diffusif de quantité de mouvement. 
Préciser cette notion en soulignant
en quoi cela diffère d'un transfert convectif. Quel phénomène simple explique 
le brassage moléculaire qui est a
l'origine de cette diffusion ?

I .B -- Établir l'expression dÊ,iSC de la résultante des forces de viscosité 
agissant sur l'élément de volume dT
défini par les intervalles (:s, 55 + dar), (y, y + dy), (z, 2 + dz).

I.C--

I.C.1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule 
de fluide de volume d7' et
constater que l'on retrouve l'équation de Navier-Stokes dans le cas particulier 
d'écoulement envisagé.

En cas d'échec à cette question (en particulier si l'on n'a pas répondu a la 
question LB) on poursuivra en
utilisant l'équation de Navier--Stokes proposée dans le formulaire dont on 
donnera toutefois la signification des
différents termes.

I.C.2) En projetant cette équation sur ü... obtenir l'équation aux dérivées 
partielles vérifiée par væ(y,t)
appelée équation de diffusion. Lui donner une forme remarquable commune a 
toutes les équations de diffusion
en introduisant la diffusivité de quantité de mouvement ou viscosité 
cinématique y que l'on exprimera a l'aide
de 77 et de la masse volumique u. Quelle est l'unité 8.1. de 1/'?

I.D -- En quoi le phénomène de diffusion est-il irréversible et comment cela 
est-il pris en compte dans
l'équation de diffusion? Donner une autre forme d'équations aux dérivées 
partielles régissant des phénomènes
réversibles que l'on nommera.

I .E -- Grâce à l'équation de diffusion, établir un lien très simple entre la 
viscosité cinématique 1/, la distance
caractéristique selon Oy : Ly, et la durée caractéristique 7' du phénomène de 
diffusion. (On pourra exploiter un
raisonnement en ordre de grandeur ou une analyse dimensionnelle.)

II Ordre de grandeur de l'épaisseur d'une couche limite

On se propose d'évaluer l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche limite 
(affectée par la viscosité) au

voisinage d'une plaque plane sur laquelle arrive un écoulement laminaire 
uniforme de vitesse U = U &" parallèle
à la plaque.

U
_' 5($0)
_) $
330
_)

Figure 1

Cette zone qui assure le raccordement entre la condition de vitesse nulle 
contre la plaque et l'écoulement uni-
forme, s'établit par diffusion perpendiculairement à la plaque à partir du 
moment ou le fluide aborde l'extrémité
de celle-ci.

Estimer l'ordre de grandeur 6(m0) de l'épaisseur de la couche limite en 
exploitant le résultat de la question I.E
et en tenant compte du fait que lorsque le fluide atteint l'abscisse 950 (à 
partir de l'extrémité de la plaque), le
phénomène diffusif perpendiculairement à la plaque, s'est déjà produit pendant 
la durée æ0 / U .

Rappeler l'expression du nombre de Reynolds si l'on prend OE0 comme dimension 
caractéristique d'écoulement :
Reg....

Exprimer 5(OE0)/OE0 a l'aide de Remo.
Proposer alors un critère de pertinence pour l'utilisation de la notion de 
couche limite.

III Cas d'un écoulement de Poiseuille plan

On considère maintenant l'écoulement d'un fluide visqueux entre deux plans 
horizontaux d'abscisses y = --d/ 2
et y = +d/2. L'axe horizontal Oæ définit la direction et le sens de 
l'écoulement tandis que l'axe Oy est vertical
ascendant : {J' = --güy.

Figure 2

III .A -- On considère une zone suflisamment éloignée de l'extrémité par 
laquelle le fluide aborde le dispo-
sitif pour ignorer tout phénomène d'entrée et faire comme si les parois étaient 
illimitées. On étudie alors un
écoulement stationnaire caractérisé par le champ des vitesses 17 = vm(y)üæ et 
un champ de pression p(oe, y).

III.A.1)

@) Écrire l'équation locale du mouvement en mettant à profit le résultat de la 
question I.B (ou en exploitant
l'équation donnée dans le formulaire). La projeter sur üoe et fig.

17) En déduire que Ôp/Ôoe = K (constante).

0) Donner la loi væ(y) en fonction de K , 7], y et d. Montrer que le profil des 
vitesses est parabolique.

III.A.2) On note Ap = p(æ, y) -- p(æ + L, y) la différence de pression qui doit 
exister entre deux points de
même altitude et distants de L selon 036 pour maintenir cet écoulement.

Établir l'expression du débit volumique DV à travers une section de largeur h 
selon Oz en fonction de Ap, L,
h, d et 77.

Avec quelle loi électrique la relation entre Ap et DV suggère-t-elle une 
analogie? Introduire une résistance
hydraulique.

III.A.3) Si, en maintenant Ap, on divise ci par 2, que devient le débit?

Quel débit total circule alors a travers deux dispositifs identiques 
d'épaisseur d/2, chacun étant soumis a la
différence de pression Ap sur une longueur L ?

En déduire une différence importante avec la notion de résistance électrique.
III .B -- On examine maintenant le phénomène d'entrée dans le dispositif 
précédent. Un fluide en écoulement

laminaire uniforme de vitesse Ü : U üoe pénètre dans l'intervalle situé entre 
deux plaques planes parallèles au
plan 2702, distantes de d.

° ...

Figure 3

En exploitant le phénomène de croissance de couche limite a partir de l'arête 
de chaque plaque (cf. partie II),
évaluer en fonction de U , d et u, la distance m1 parcourue par le fluide 
depuis son entrée dans le dispositif avant
que s'établisse le profil parabolique de vitesse.

Montrer qu'on peut exprimer le rapport x1/d à l'aide du nombre de Reynolds si 
l'on choisit judicieusement la
dimension caractéristique de l'écoulement.

IV Équation du mouvement dans la couche limite

On considère un écoulement laminaire stationnaire et incompressible, près d'une 
plaque plane horizontale y = 0,
à nombre de Reynolds grand devant 1, de façon que la notion de couche limite 
ait un sens. On se limite au cas
d'un écoulement uniforme hors de la couche limite : 'Üext : U %. Le fluide a la 
masse volumique ,u et la viscosité
dynamique 7]. On adopte le modèle d'un écoulement bidimensionnel dans la couche 
limite, caractérisé par le
champ des vitesses '5' = væ(oe, y)üm + vy(oe, y)zÏy et le champ de pression 
p(oe, y).

--------- , couche limite

Î' vy<æ, y) | 1735 (m', y) 0'/ / //// /l////////>
CII

Figure 4

On admettra que, dans ce cas, la résultante des forces de viscosité agissant 
sur un élément de volume d7' s'écrit
dFviSC = (Avmü'æ + Avyüy)dT.

I V.A -- Écrire l'équation traduisant l'incompressibilité.

I V.B -- Écrire les projections sur üm et Üy de l'équation fondamentale de la 
dynamique en utilisant les
constantes [r, V et 9.

I V.C -- Raisonnement sur les ordres de grandeur

Pour évaluer (dans la couche limite) l'ordre de grandeur de la dérivée d'une 
grandeur par rapport a IE, on
considère le quotient de cette grandeur par 550 (valeur << typique » de a:) et pour la dérivée d'une grandeur par rapport a y, on considère le quotient de cette grandeur par 5(æg) (épaisseur de couche limite en m0). Exemples : Ôvoe/Ôoe de l'ordre de vOE/oeo, ôvæ/ôy de l'ordre de voe/ô(oeo). IV.C.1) En utilisant l'équation obtenue au IV.A, relier les ordres de grandeur de um et % au nombre de Reynolds Remo. En déduire que Uy << vx. IV.C.2) Montrer également que (92% >> 82% et 82vy >> 82%
ôy2 8332 Ôy2 äoe2
IV.C.3) Montrer que
y ôy "' 855

sont du même ordre de grandeur.
Montrer, en se plaçant au bord extérieur de la couche limite, où vx est de 
l'ordre de U que
2
Ô voe

1/
By?

est du même ordre que les deux termes précédents.

IV.C.4) Réécrire les équations du IV.B en les simplifiant grâce à IV.C.2. On 
admettra que la faiblesse de
vy (en comparaison a %) conduit à ignorer toutes les dérivées partielles de % 
lors de la projection sur %. En
déduire que

@ ... _
ôy ... #9
I V.D -- Puisque la couche limite est très étroite en altitude, et compte tenu 
de la relation précédente, la

pression p, a sc donné, a quasiment la même valeur qu'à l'extérieur immédiat de 
cette couche. Hors de la couche
limite (on rappelle que l'écoulement y est parfait) la pression dépend-t-elle 
de a: ?

Que dire alors de % dans la couche limite ?
En déduire l'équation :

%; Ôvm + 3vx _ Uô2vm

% vyÔ_y_ ôy2

V Autosimilitude des profils de vitesse dans la couche limite dans

le cas d'une vitesse extérieure uniforme

On se sert
. des 2 échelles de longueur :
-- :co parallèlement à la plaque (direction des a:)

-- 5(OE0) : lio/« /Rem0 dans la direction des y

0 des 2 échelles de vitesse :
-- U dans la direction des a:

-- U/VRexÜ dans la direction des y

On définit ainsi des variables sans dimension :
a: y
/ I
117 = _a y :
mo

34 ; 'Uoe /
= Re -- v = -- v = Re
6(OE0) OE0 l'O, 56 U, y OEU

"_y

U

Écrire alors les équations IV.A et IV.D à l'aide de U;, vé, et de dérivées par 
rapport à m' et y' . Ces nouvelles
équations seront notées V1 et V2. Leurs solutions sont de la forme vQ : f1(aï' 
,y' ), v'y : g1(oe' ,y' ) donc

vw = Uf1(oe',y') et

U / / UU / / UU / / UU / /
v = w, = -- 50, = -- m' 117, = --h a:,
y Æ91( y) \/ 350 91( y) x v 91( y) \/ x 1( 11)

Or "ux et vy ne sauraient dépendre de l'échelle arbitraire 1170, par conséquent 
les expressions f1(oe' , y' ) et h1(oe' , y' )

ne peuvent faire intervenir séparément m' et y' mais seulement une combinaison 
de ces variables indépendante
de 1170, soit 9 = y'/Voe'. Ainsi

&: "..., vm=Uf(9) et vy=3/%h(ô)

Ainsi la variation de la composante 'UOE de la vitesse avec la distance y a la 
plaque est toujours la même a un
facteur d'échelle

VOE

U

près, lorsque la distance x à l'arête change. De ce point de vue le profil de 
vitesse dans la couche limite est dit
autosimilaire.

Avertissement : on peut poursuivre le problème en exploitant les résultats 
ci-dessus même si l'on n'a pas traité
le V. De même l'équation de la question IV.D a été donnée. Il suffira d'avoir 
obtenu l'équation très simple de
la question IV.A pour aborder la suite du problème.

VI Équation de Blasius pour un écoulement uniforme le long d'une
plaque plane

VI.A -- Grâce à l'équation IV.A, relier h'(0) à 0 et f'(9).

VI.B -- En déduire que

0
W) -- mm = à (9f(9) -- / f(ê) d£)

VLC -- Compte tenu des conditions aux limites montrer que h(0) = 0.

VI.D -- À partir de la formule de la question IV.D, montrer que

1 9
f"(9) = --äf'(9)/ f(£) d£ (équation de Blasius)
0

VII Résolution approchée de l'équation de Blasius

Avertissement : dans cette partie, les dérivées successives de la fonction f 
seront notées, à partir de la dérivée
seconde, avec des exposants : f(2)(0), f(3)(0), f(4)(9).

Question préliminaire : les parties VILA et VII.B proposent d'envisager les 
comportements à faible 0 ou
a grand 0. Que signifient physiquement 9 << 1 et 9 >> 1 ?

VILA -- Comportement de f(9) à « faible » 9
VII.A.1) Compte tenu des conditions aux limites montrer que f (0) = 0.
VII.A.2) En examinant l'équation de Blasius, préciser f(2)(0).

VII.A.3) En dérivant l'équation de Blasius et en exploitant les résultats des 
questions VII.A.1 et VII.A.2,
préciser f(3)(0).
VII.A.4) En déduire que pour les « faibles >> valeurs de 0 : f(0) % Ûf'(0) + 
b94 (à des termes en 05 près).

VII.A.5) En dérivant une nouvelle fois l'équation de Blasius, relier f ...(0) a 
f'(0) et exprimer b en fonction
de f'(0).
VII.B -- Comportement de f(9) à « grand » 9

VII.B.1) Sachant que, hors de la couche limite, 17 = U 11}... calculer

lim f(9)

9-->oo

et montrer que

/09 f(ê) d£

se comporte comme 9, aux grandes valeurs de @.

VII.B.2) En déduire une forme approchée de l'équation de Blasius pour les « 
grandes >> valeurs de EUR.
VII.B.3) Déduire la forme de f'(9) a « grand >> 0.

VII.B.4) Sans chercher de primitive de f'(0), conclure sur la façon dont f (0) 
« rejoint >> sa valeur asymp-
totique quand 9 --> 00.

VII.C -- Graphe de f(9)

Le comportement quasi linéaire prolongé de f (9) suivi d'un comportement 
asymptotique atteint de façon abrupte
nous conduit à modéliser le graphe de f (9) par sa tangente à l'origine jusqu'à 
l'intersection avec l'asymptote. Cal-
culer & à cette intersection sachant qu'une intégration numérique de l'équation 
de Blasius conduit a f' (0) = 1/3.

Tracer alors sommairement la courbe avec un coude réduit au voisinage de 
l'intersection. On rappellera, sur
l'axe des abscisses, la signification de 0 et, sur l'axe des ordonnées, la 
signification de f (9)

VIII Force de frottement subie par la plaque plane dans l'écoulement

uniforme
Le fluide situé du côté 3; > 0 exerce sur la portion (oe,æ + dæ)(z, 2 + dz) de 
la face supérieure de la plaque :
--» 3 Ô
d2F...C : n [& + &] d...ü,
Ôy 8513 y=0

N.B. : le terme en Ôvy/ôoe s'explique par le fait que l'écoulement 
bidimensionnel dans la couche limite n'est pas
un écoulement de cisaillement simple.

VIII. A -- Exprimer

--»

d2--Fvisc

doe dz

à l'aide de ,u, U, f'(0), V et äm (on rappelle que h(0) = O).
VIII .B -- En déduire la force de frottement par unité de longueur selon Oz, 
subie par une plaque de longueur

L selon 065, en tenant compte de ses deux faces. On exprimera le résultat en 
admettant f /(0) = 1/3. Commenter
l'exposant de U.

On pourra également exprimer cette force à l'aide de /...L, U, L et du nombre 
de Reynolds Re L construit à partir
de la longueur caractéristique L.

IX Approche de la force de traînée par des bilans dynamiques

Avertissement : cette partie peut-être traitée indépendamment des parties 
précédentes, si l'on excepte les
comparaisons suggérées.

Figure 5

On considère à nouveau l'écoulement stationnaire et incompressible d'un fluide 
visqueux au-dessus d'une plaque
plane. Oe fluide arrive parallèlement à la plaque avec une vitesse uniforme Ü = 
U 11}... loin en amont. On néglige
désormais les effets de la pesanteur sur le fluide et on supposera la pression 
uniforme. On donne la masse volumi--
que [A et la viscosité dynamique 77 du fluide. La plaque a une longueur L selon 
055 et une très grande dimension
selon Oz, si bien que l'on adopte une description bidimensionnelle de 
l'écoulement dans laquelle la vitesse du
fluide s'écrit : 17 = væ(æ,y)äoe + vy(æ,y)üy. À grand nombre de Reynolds, il se 
crée une couche limite mince
d'épaisseur locale e(m) sur laquelle voe varie de 0 a U. Les effets de 
viscosité sont localisés dans cette couche.

IX.A -- On considère un volume de contrôle parallélépipédique : 0 < 56 < L, 0 < 3; < h, 0 < z < lm. IX.A.1) Grâce à un bilan de masse, relier L / vy(æ, h) dac 0 a une autre intégrale. IX.A.2) Effectuer un bilan de pm (quantité de mouvement selon 056), en choisissant h assez grand. Déduire la force linéique exercée par le fluide sur la face supérieure de la plaque, puis sur l'ensemble de ses deux faces, par unité de longueur selon 02. Le résultat sera présenté sous la forme T = T1ÏOE avec 11 T = 2uU2 /Û @(y)dy où qô(y) est une expression mettant en jeu diverses puissances du rapport voe(L, 11) U IX.B -- On admet que : y = _ < voe pour y \ e<æ>
vm(fv,y) = U pour y ? 6(OE)
avec
e(m) = 36(OE), ô(æ) = %, V = %

IX.B.1) Estimer la cohérence de cette description avec le graphe de f (0) tracé 
au VII.C. On rappelle que
l'on avait posé vw : Uf(9) avec 9 = y/6(oe).
NB. La réponse a cette question n'est pas nécessaire aux calculs des questions 
suivantes.

IX.B.2) Grâce à cette description, exprimer la force linéique de traînée T en 
fonction de ,u, 1/, L et U.
Commenter ce résultat en le comparant avec celui de la partie VIII.

IX.B.3) Calculer le coefficient de traînée

et le relier au nombre de Reynolds ReL.

oooFINooo