Centrale Physique 1 PC 2015

Thème de l'épreuve Son et audition
Principaux outils utilisés ondes sonores, mécanique des fluides, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


t '» Physique 1 un

%, F|
_/ PCQ

cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Son et audition

L'oreille se compose de trois parties : l'oreille externe, l'oreille moyenne et 
l'oreille interne. Les deux premières
assurent le transfert des ondes sonores à l'oreille interne. L'oreille interne, 
ou cochlée, transforme ce stimulus en
influx nerveux (cf. document 1).

I Ondes acoustiques et oreille externe

I.A -- Équations des ondes acoustiques

On s'intéresse à la propagation unidimensionnelle (selon Oct) d'ondes sonores 
dans un fluide. Un fluide, supposé
parfait et soumis aux seules forces de pression, est caractérisé à l'équilibre 
par des valeurs uniformes PU de la
pression et po de la masse volumique. Du point de vue thermodynamique, ses 
évolutions sont considérées comme
isentropiques, auxquelles correspond le coefficient de compressibilité Xs- Le 
passage d'une onde sonore crée une
perturbation et le fluide se déplace en de petits mouvements autour de 
l'équilibre, les champs de pression et de
masse volumique devenant : P(oe,t) : PO + p(oe, t) et p(oe,t) : po + u(oe,t).

I.A.1) Qu'appelle--t-on approximation acoustique ? Quel est l'ordre de grandeur 
de la surpression p pour des
ondes acoustiques dans l'air ?

I.A.2) Écrire et linéariser les équations locales de la mécanique des fluides 
et l'équation traduisant l'hypothèse
thermodynamique effectuée. Établir l'équation de propagation des ondes 
acoustiques pour la surpression. Quelle
est la célérité c de ces ondes ?

I.A.3) Dans le modèle du gaz parfait, établir la loi de variation de la 
célérité avec la température. Calculer
c dans l'air dans les conditions normales de pression (P0 = 1,0 >< 105 Pa) a la 
température de 290 K.

I.A.4) La célérité des ondes acoustiques dans l'eau est de l'ordre de 1500 
m-s'1. Qu'est ce qui peut expliquer
cette différence par rapport à celle trouvée dans l'air ?

I.A.5) Alors que l'on n'a aucun problème à localiser l'origine d'un son aérien, 
on est incapable, la tête sous
l'eau, de déterminer dans quelle direction se situe un bateau dont on entend le 
bruit d'hélice. Pourquoi ?

I.A.6) À partir des mêmes équations précédentes, on peut établir l'équation

&) 1 2 1 2

-- -- -- di 5 = 0

at (2P0U + 2xsp )+ W} )

Quelle est la signification physique de cette équation? Identifier et 
interpréter chacun de ses termes. Que
représente notamment le flux de piî a travers une surface ? Citer une équation 
analogue dans un autre domaine

de la physique.

I.B -- Impédance et intensité acoustique

I.B.1) On considère une onde plane progressive pour laquelle la surpression et 
la valeur algébrique de la
vitesse des particules de fluide dans la direction de propagation ne dépendent 
que de la variable t -- oe/c et
s'écrivent donc sous la forme p(oe, t) : p(t -- oe/c) et v(oe, t) = v(t -- 
oe/c). On définit l'impédance acoustique liée
à une telle onde comme le quotient Z : [.)/0. Dans un fluide illimité, montrer 
que cette impédance ne dépend
que des caractéristiques du fluide et l'exprimer en fonction de la masse 
volumique po et de la célérité c. Calculer
Z pour l'air et pour l'eau dans les conditions des questions précédentes.

I.B.2) On considère maintenant une onde plane progressive monochromatique de 
pulsation w: g(oe,t) :

pOeY(w'_kæ). On définit l'intensité d'une onde acoustique par la valeur moyenne 
de la norme du vecteur pîî.
Exprimer l'intensité I de cette onde en fonction de 10... po et c.

I.B.3) On définit le niveau d'intensité acoustique en dB comme [dB : 
10log(l/IO), Où I0 est l'intensité
acoustique correspondant au seuil d'audition. Quelle serait l'amplitude de 
déplacement de l'onde sonore incidente
au seuil d'audition et au seuil de la douleur pour un son de fréquence 440 Hz ?

I.C -- L'oreille eæterne

I.C.1) Le pavillon de l'oreille concentre l'énergie sonore. Pourquoi ?

2015-03--18 09:49:51 Page 1/8 [_

I.C.2) Pour une onde sonore progressive dans un tuyau rempli d'air, on souhaite 
réaliser une impédance nulle
à l'une de ses extrémités et une impédance infinie a l'autre. Proposer les 
configurations correspondantes. Quelle
est la nature de l'onde résultant de la superposition des ondes incidente et 
réfléchie ?

I.C.3) Le canal auditif externe, tube d'environ 3 cm de long, joue le rôle de 
caisse de résonance dépendant
de la fréquence. Autour de quelle fréquence le son sera--t-il particulièrement 
amplifié ? Conclure.

LD -- Protection acoustique
On s'intéresse à la protection auditive d'un tromboniste (documents 2, 3 et 4).

La réponse à ces questions nécessite d'y consacrer un temps sufiisant. Le 
candidat devra préciser la manière dont
il eætrait les informations des différents documents. La qualité de la démarche 
et des eæplications sera évaluée
tout autant que le résultat final.

I.D.1) En assimilant le trombone à un tuyau sonore de section constante, 
compléter le tableau 1.

Position de la coulisse 1 2 3 4 5 7
Fréquence de la note (Hz) 115,2

Luuuueuuuuuuu 
tympan

Figure 1 Schématisation de l'oreille moyenne

extrémité et ses réactions mécaniques diffèrent selon l'endroit considéré. 
Ainsi, les hautes fréquences excitent
la base de la membrane alors que les fréquences basses en excitent l'extrémité 
(tonotopie passive). Au milieu
du XIXe siècle, Ludvig von Helmholtz émit l'hypothèse que des résonateurs 
accordés aux différentes fréquences
audibles étaient répartis le long de la membrane basilaire. On se propose dans 
ce qui suit d'étudier ce modèle
de résonateurs.

III .A -- On considère une cavité sphérique de volume VO ouverte sur 
l'extérieur par un tube de longueur EUR et
de section 3 (figure 2). Le volume V() est supposé très grand devant le volume 
du tube. L'ensemble contient de
l'eau de masse volumique P0 à l'équilibre sous la pression P0 et de coefficient 
de compressibilité isentropique xs.

Figure 2 Cavité sphérique ouverte sur l'ex-
térieur par un tube

Au voisinage de l'ouverture, une onde acoustique impose une pression PO + p... 
cos(wt). La masse m de fluide
contenue initialement dans le tube constitue un système fermé oscillant sous 
l'effet de la différence de pression
entre le fluide situé à l'extérieur de la cavité et celui situé à l'intérieur 
de la cavité. On admet que l'évolution
du fluide dans la cavité est isentropique.

Déterminer l'équation du mouvement du bouchon de fluide et montrer qu'il existe 
une résonance en position

dont on exprimera la pulsation en fonction de c, 3, EUR et VO, où (: est la 
célérité des ondes acoustiques dans le
fluide.

III.B -- Expliquer de façon qualitative pourquoi la forme de la membrane 
basilaire a longtemps permis de
donner une explication simple de la tonotopie passive du conduit cochléaire.

III .C -- D'autres modèles se sont développés, et certains ont expliqué la 
différence de sélectivité le long de la
membrane des fréquences excitatrices par les différences de rigidité de 
celle--ci. Par analogie avec un système
masse-ressort, comment pourrait--on expliquer cette variation de la sélectivité 
?

IV L'influx nerveux

Les cellules ciliées qui se trouvent sur la membrane basilaire réagissent aux 
vibrations de celle-ci et les ampli-
fient. Leurs cils s'inclinent de quelques millièmes de degré et déclenchent des 
signaux électriques que les nerfs
transmettent au cerveau.

I V.A -- Modèle électrique des fibres nerveuses

Les axones (ou fibres nerveuses) les plus simples sont formés d'une membrane 
lipidique enfermant un liquide
physiologique riche en ions (l'axoplasme) et baignant dans un liquide 
cellulaire également riche en ions. Un
axone est modélisé par un cylindre de longueur importante par rapport à son 
diamètre. La différence de potentiel
entre l'axoplasme et le liquide extérieur est de l'ordre de --70 mV. Les 
données géométriques et électriques des
constituants de l'axone sont données figure 3 (la résistivité électrique est 
l'inverse de la conductivité électrique).

Les propriétés passives de l'axone illustrées sur la figure 4 sont déterminées 
par :
-- la résistance de l'axoplasme (Ra) s'opposant au passage du courant le long 
de l'axone ;
-- la résistance de la membrane (R... = 1/Gm ) déterminant la fuite du courant ;

-- la capacité de la membrane (C...) capable d'emmagasiner des charges 
électriques à l'intérieur et a l'extérieur
de la membrane.

2015-03-18 09:49:51 Page 3/8 [_

liquide cellulaire
membrane

résistivité p... = 7,1 >< 104 Q--m
permittivité relative e,. = 8
épaisseur 6 = 7 nm

axoplasme
résistivité pa : 0,5 Q--m
diamètre d = 10 pm

Figure 3 Vue en coupe schématisée d'un axone

Figure 4 Circuit électrique équivalent de l'axone

Ainsi un axone peut être assimilé à un câble électrique imparfaitement isolé.

IV.A.1) Déterminer 7"... la résistance électrique par unité de longueur de 
l'axoplasme. Effectuer l'application
numérique.

IV.A.2) Quelle hypothèse peut-on faire quant au calcul de la capacité par unité 
de longueur c... et de la
conductance de fuite par unité de longueur gm au vu de la valeur du rapport e 
/d ?

IV.A.3) Déterminer c... (on remplacera 80 par 8087, dans les calculs) et g.... 
Effectuer les applications numé-
riques.

I V.B -- Constante d'espace

Chaque longueur élémentaire de longueur da: de la fibre nerveuse est modélisée 
par une cellule représentée
figure 5.

i(oe, t) 7'ad93 i(oe + das, t)
> |: >
u(oe, t) cmdoe : Hg...doe u(æ + doe, t)

--|--|-->
93 oe+dæ

Figure 5 Schéma électrique élémentaire d'une fibre nerveuse

IV.B.1) Que devient ce schéma en régime permanent ?

IV.B.2) Déterminer les équations différentielles vérifiées par u(oe) et i(oe), 
puis celle vérifiée par u(oe) seulement.
Faire apparaitre une constante À, appelée constante d'espace, homogène à une 
distance. Donner l'expression de
À. Effectuer l'application numérique.

IV.B.3) Exprimer u(oe) en fonction de u(0) et de À. Préciser la signification 
physique de À.

IV.B.4) Certains axones sont entourés d'une gaine de myéline, sorte de graisse 
aux propriétés électriques
isolantes. Des mesures de tension électrique peuvent être effectuées le long de 
telles fibres. On obtient des
résultats du type de ceux présentés figure 6.

En déduire la conductance linéique de fuite de l'axone myélinisé (que l'on 
notera 97/n par la suite), puis la
conductance linéique de la gaine de myéline seule. Conclure.

I V.C -- Régime variable

On se place en régime dépendant du temps et on supposera que les axones sont 
myélinisés. On supposera dans
un premier temps que la capacité linéique par unité de longueur de l'axone est 
inchangée par rapport a un axone
non myélinisé.

IV.C.1) Déterminer les équations différentielles vérifiées par u(oe, t) et 
i(oe,t) puis celle vérifiée par u(oe, t)
seulement.

On envisage dans la suite une solution sous forme d'onde plane progressive 
monochromatique g(oe, t) = u0eÏ(Wt'kæ).

2015-03-18 09:49:51 Page 4/8 [_

u(oe) (unité arbitraire)

\ > $ (mm)

1 2

Figure 6 Évolution de la tension le long d'un axone myélinisé

IV.C.2) À quelle condition sur au, c... et 97/n l'équation différentielle 
vérifiée par u(oe,t) se simplifie-t-elle en

8% x t ôu \
% : rue...--t ? A quelles fréquences cela correspond-il ? Conclure.

On supposera cette condition vérifiée par la suite.
IV.C.3) Quel est le phénomène décrit par cette équation ? Citer d'autres 
exemples analogues.

IV.C.4) Déterminer la relation de dispersion entre au et k. Montrer que le 
milieu est dispersif et absorbant.
Que valent les vitesses de phase et de groupe ? Quelle relation lie ces deux 
grandeurs ?

IV.C.5) Mettre en évidence une distance caractéristique d'atténuation. 
Commenter.

IV.D -- Ça brûle !

Pour donner une explication et une image simpliste de la transmission des 
infiux nerveux dans une fibre nerveuse,
on pourrait dire que le signal électrique qui se propage par conduction 
électrique le long de l'axone, est ré--amplifié
régulièrement (aux noeuds de Ranvier), ce qui le ralentit (cf. figure 7).

__--
__--
m élme

Y noeud de Ranvier

Figure 7 Schéma d'un axone myélinisé et noeuds de Ranvier

Les fibres nerveuses connectées aux cellules sensibles à la douleur sont 
entourées d'une gaine de myéline (dont
la capacité linéique cï'n est inférieure à c...), contrairement à celles 
sensibles à la chaleur. Expliquer pourquoi,
lorsqu'on se brûle, on a mal avant d'avoir chaud.

Données numériques

Permittivité diélectrique du vide 80 = 8,85 >< 10_12 F-m_1
Perméabilité magnétique du vide ,u0 : 47r >< 10"7 H--m"1
Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -K"1--mol_1
Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol"1
Constante de Boltzmann kB = 1,38 >< 10"23 J --K"1
Masse molaire de l'air Mair : 28,8 g--mol_1
Ëîäïfiï ÎÏ.SËËËÏQZÎJËZÊÎ"IOES . = C,... =

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Document 1 -- L'oreille : un organe fragile et complexe

D'après : Suva (http ://www.suva.ch) « Musique et troubles de l'ouïe »

Oreille externe Oreille moyenne Oreille interne

Elle se compose du pavillon de Les vibrations du tympan sont ampli-- L'oreille 
interne abrite le limaçon
l'oreille (qui aide à localiser les fiées dans l'oreille moyenne, puis trans- 
(cochlée), de la taille d'un petit
sources sonores) et du conduit mises à l'oreille interne par trois osse-- pois. 
Rempli d'un liquide, celui--ci
auditif. Ce dernier se termine lets (le marteau, l'enclume et l'étrier), est 
partagé en deux dans le sens
par le tympan, qui réagit aux les plus petits du squelette humain. Le de la 
longueur par la membrane
variations de pression comme la marteau est relié au tympan et l'étrier a 
basilaire.

membrane d'un microphone. la « platine de l'étrier » qui transmet la

vibration au liquide de la cochlée.

Oreille externe Oreille Oreille interne
moyenne

Tympan

Osselets

Conduit auditif Organe de l'équilibre Nerf auditif

Limaçon

Membrane basilaire avec cellules ciliées

Cellules ciliées La parfaite coordination de ces éléments autorise des
performances extraordinaires

Les sons font vibrer la membrane basilaire de ma- -- l'intensité acoustique 
correspondant au seuil
nière sélective : les plus aigus sont captés sur la par- d'audition est IO = 1 
>< 10--12W-m_2, celle corres-
tie antérieure, tandis que les graves pénètrent au pendant au seuil de la 
douleur Is = 1 W-m"2 ;
fond du limaçon. Ce mode de fonctionnement est -- la gamme de fréquence allant 
de 20 Hz à 10 ou
comparable à celui d'un analyseur de fréquence. La 20 kHz (selon l'âge) 
recouvre trois décadeS. À ce-
membrane basilaire est tapissée d'environ 5000 cel-- la s'ajoute une excellente 
capacité de résolution,
lules ciliées, des capteurs qui transforment les vibra- l'oreille distingue des 
signaux qui restent confus
tions sonores en impulsions électriques transmises pour un analyseur 
sophistiqué, tels que la mélo_
aux nerfs auditifs. Les 20 000 cellules ciliées externes die d'un instrument au 
sein d'un orchestre ;
jouent également un rôle important : véritables am-- -- l'ouïe dispose 
également d'une capacité de locali-
plificateurs, elles permettent d'adapter la réaction sation très développée, 
qui lui permet d'identifier
de la membrane en fonction du signal à traiter. la provenance d'un cliquetis 
dans l'air à 3° près.

2015--03-18 09:49:51 Page 6/8

Document 2 -- Protecteurs d'0uïe

D'après : Suva (http ://www.suva.ch} «Musique et troubles de l'ame »

Les protecteurs d'oui'e ont désor--
mais conquis le public, des fosses
d'orchestre a la Street Parade. Le
manque d'homogénéité de l'atté--
nuation des fréquences hautes et
basses altère la sonorité. On en
trouve de différents types et a diffé--
rents prix, du moins cher (tampons
auriculaires en mousse de type A)
au plus cher (protections otoplas--
tiques de type D).

Document 3 -- Le trombone

D'après : http ://fr.wikipedia.org et http ://dictionnaire.metronim0.com

Le trombone est un instrument de musique à vent et a embouchure de la famille 
des cuivres clairs. Le terme
désigne implicitement le trombone à coulisse caractérisé par l'utilisation 
d'une coulisse télescopique. Le trombone
à coulisse est réputé pour être l'un des instruments les plus difficiles, mais 
également l'un des plus puissants
d'un orchestre. Le trombone peut jouer des variations de nuances (intensités 
mesurées a 20 cm en sortie du
trombone) allant d'une nuance pp (pianissimo : très faible) correspondant a 85 
dB a une nuance ff (fortissimo
: très fort) correspondant a 115 dB.

Le trombone peut, par variation de la position de la coulisse, émettre des sons 
de hauteurs différentes. On
construit la version ténor en sib, en lui donnant, dans sa première position, 
c'est--à--dire, celle où la coulisse ne
fonctionne pas, pour note fondamentale le sib de 115,2 Hz et pour longueur 
théorique 2,950 m. Les allongements
produisent six autres positions, dont le son est chaque fois abaissé d'un 
demi--ton. Les allongements de la coulisse
sont obtenus par les mouvements du bras droit, la main gauche servant avec les 
lèvres à exercer le degré de
pression nécessaire pour obtenir les harmoniques.

***--==--

Position de Fondamentale
la coulisse

1 sib

2 la

3 lab ou solfi

4 sol

5 solb ou fafi

6 fa

7 mi

On calcule les allongements d'après les différences de longueur de tube qui 
correspondent a la production des
sons fondamentaux. Pour un trombone ténor avec une première position, sib, 
d'une longueur de 2,950m la
deuxième, la (soit un demi--ton en dessous), a une longueur de 3,126 m et la 
septième de 4,174 m. Grâce aux
fréquences harmoniques que l'on peut tirer de l'instrument pour chaque position 
de coulisse, la tessiture (gamme
de fréquences) du trombone s'étend sur trois octaves et une quinte.

Une octave est l'intervalle séparant deux sons dont la fréquence fondamentale 
du plus aigu est le double de
celle du plus grave (entre deux do contigus par exemple). La quinte est 
l'intervalle séparant deux sons dont les
fréquences fondamentales sont dans le rapport 2/3. Le ton sépare deux sons dont 
les fréquences sont dans le
rapport 8/9.

2015-03-18 09:49:51 Page 7/8 (ce) BY--NC-SA

Document 4 -- Limites d'exposition au bruit ; niveau sonore audible

D'après : Centre canadien d'hygiène et de sécurité au travail

Le tableau ci--dessous donne les limites d'exposition au bruit en milieu de 
travail exprimées sous forme de durées
maximales d'exposition admissibles pour un niveau de référence de 85 dB et un 
coefficient d'équivalence de 3 dB.

Niveau sonore (dB)

Durée quotidienne Niveau sonore (dB)

maximale admissible

Durée quotidienne
maximale admissible

85 8 heures 97 30 minutes
88 4 heures 15 minutes
91 2 heures 7 minutes

D'après : norme ISO 389--7:2005

La courbe ci-dessous donne le seuil d'audition pour un individu otologiquement 
normal, âgé de 18 à 25 ans.
Elle correspond à l'écoute binaurale en champ libre d'un son pur (onde plane 
progressive sinusoïdale) dont la
source se trouve directement en face de l'auditeur. Le niveau de pression 
acoustique est mesuré, en l'absence de
l'auditeur, à la position qu'aurait dû occuper le centre de sa tête.

Press1on acoust1que
(dB, référence 20 pPa)

2015-03-18 09:49:51

80

70
60

50

40

30
20

10

0

--10

10 100 1000

Fréquence (Hz)

oooFlNooo

Page 8/8

10000

[cc--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Étienne Thibierge (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Julien Dumont
(Professeur en CPGE).

Ce problème propose d'étudier certains des mécanismes physiques mis en oeuvre
dans le processus d'audition. Il se compose de quatre parties globalement 
indépendantes, organisées en suivant la structure biologique de l'oreille.
· La première partie traite de la propagation des ondes acoustiques dans un 
fluide
et du fonctionnement de l'oreille externe. Elle commence par des questions de
cours permettant d'établir les équations de propagation dans le cadre de 
l'approximation acoustique et de rappeler les notions utiles d'impédance 
acoustique
et d'intensité sonore. Les conditions de résonance d'un tuyau sonore sont 
ensuite
exploitées pour modéliser l'oreille externe et un trombone à coulisse. Il est à 
noter que la sous-partie traitant du trombone à coulisse se présente sous forme 
de
questions ouvertes, peu guidées, recourant à l'analyse de plusieurs documents.
· L'oreille moyenne fait l'objet de la deuxième partie. De nouvelles questions 
de
cours abordent la réflexion et la transmission d'une onde acoustique à une 
interface. L'analyse de ces phénomènes permet de mettre en évidence l'importance
de la chaîne d'osselets.
· La courte troisième partie se focalise sur l'oreille interne. Le modèle du 
résonateur de Helmholtz y est utilisé pour modéliser le comportement de la 
membrane
de la cochlée, dont la réponse aux ondes acoustiques diffère selon l'endroit 
excité
de la membrane.
· Enfin, la propagation de l'influx nerveux est au coeur de la quatrième partie.
Celle-ci commence par une modélisation électromagnétique d'une fibre nerveuse
en termes de résistance et capacité linéiques. Un modèle électrocinétique à
constantes réparties qui s'en déduit est ensuite étudié, en régime stationnaire
puis en régime dépendant du temps. Ce modèle permet d'analyser l'atténuation
de l'influx nerveux le long de la fibre.
Une bonne partie de ce sujet est composée de questions proches du cours et 
présentant peu de difficultés supplémentaires. Seule la dernière partie est 
plus originale.
La propagation des ondes acoustiques constitue naturellement le thème le plus 
utilisé par le problème, qui traite l'ensemble chapitre. Des notions 
d'électromagnétisme
des milieux conducteurs et de propagation dispersive des ondes sont nécessaires 
pour
aborder la quatrième partie.
Il est à noter que la partie I.D, posée sous forme de questions peu guidées et
s'appuyant sur une étude de documents, peut être abordée indépendamment du reste
du problème. Un lecteur souhaitant seulement se familiariser avec ce type 
d'exercice
peut donc décider de la travailler isolément.

Indications
Partie I
I.A.3. Écrire la loi de Laplace en fonction de la masse volumique et calculer sa
différentielle.
I.A.5. La provenance d'un son est identifiée grâce au décalage temporel perçu 
lors
de la réception par les deux oreilles.
I.B.3. Le déplacement de fluide associé à l'onde sonore est relié à la vitesse 
d'écoulement par intégration.
I.C.2. Certaines hypothèses sont implicites : l'onde incidente est supposée 
harmonique et elle est imposée à une extrémité du tuyau.
I.D.1. Exploiter d'une part le fait que les fréquences de deux notes séparées 
d'un
ton sont dans un rapport 8/9 et, d'autre part, la condition de quantification
des fréquences de résonance d'un tuyau sonore.
Partie II
II.A.2. L'onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants, la 
relation
entre surpression et vitesse acoustique s'écrit avec un signe moins.
II.B.2. Utiliser le lien entre intensité sonore et surpression établi à la 
question I.B.2.
Partie III
III.A. Étudier la variation de masse volumique puis la surpression induites 
dans la
cavité par un petit déplacement  du bouchon fluide emplissant le tube 
d'ouverture. Appliquer ensuite le principe fondamental de la dynamique 
connaissant les pressions exercées à chaque extrémité du bouchon.
Partie IV
IV.A.3. L'hypothèse de la question IV.A.2 permet d'utiliser astucieusement le 
résultat de la question IV.A.1 pour calculer la conductance de fuite.
IV.B.3. Attention, l'équation différentielle est différente de celle d'un 
oscillateur
harmonique. Utiliser si besoin l'équation caractéristique pour la résoudre.
IV.C.4. Les vitesses de phase et de groupe sont définies à partir de la partie 
réelle
du vecteur d'onde complexe.

Son et audition
N.B. La lecture de l'ensemble des documents est conseillée avant d'entamer
la composition car ils sont utiles dès les premières questions.

I. Ondes acoustiques et oreille externe
I.A.1 L'approximation acoustique considère l'onde acoustique comme une petite 
perturbation par rapport à l'état de repos du fluide. Traduit mathématiquement, 
cela signifie que p/P0  1 et µ/0  1. En outre, cela suppose également que
la vitesse typique de l'écoulement induit par l'onde acoustique est faible 
devant la
célérité de l'onde.
La surpression dépend de l'intensité sonore. Elle vaut typiquement 10-5 Pa au
seuil d'audition, 10-2 Pa à 60 dB et 60 Pa au seuil de douleur de 130 dB.

I.A.2 En notant -
v (x, t) le champ de vitesse de l'écoulement induit par l'onde
acoustique, l'équation d'Euler s'écrit
!

-- -
--
-
v

-

+ ( v · grad ) v = - grad P
t
Notons v  l'échelle de vitesse typique de l'écoulement, t l'échelle de temps et 
L
l'échelle de longueur. Alors,

-- 
-
v
v
v 2

et
(-
v · grad )-
v  
t
t
L
Ainsi, l'accélération convective est négligeable devant l'accélération locale 
dès lors
que v   L /t . Supposons cette condition vérifiée.
Pour une onde plane harmonique, L correspond à sa longueur d'onde et t
à sa période. La condition se reformule alors en
v  c

où c est la célérité de l'onde acoustique, introduite dans la suite de la 
question.
L'approximation acoustique considère en outre que v  /c est un infiniment
petit du même ordre que p/P0 et µ/0 .
Par ailleurs, le champ de pression P ne dépend par hypothèse que de x, soit
--
P -

grad P =
ex
x
Comme le fluide est initialement au repos, les projections de l'équation 
d'Euler sur

-

ey et -
ez permettent d'en déduire que le champ de vitesse est porté par -
ex

-
-

v (x, t) = v(x, t) e
x

Ce résultat peut sembler évident mais n'était pas prouvé jusqu'ici.

L'équation d'Euler projetée sur -
e s'écrit par conséquent
x

v
P
=-
t
x
ce qui devient, en ne gardant que les termes du premier ordre,

0

v
p
=-
t
x

Dans le membre de gauche, le terme µ v/t est un terme du second ordre,
alors que dans le membre de droite le terme P0 du champ de pression est
constant et sa dérivée est donc nulle.
Considérons maintenant l'équation de conservation de la masse

div (-
v)+
=0
t

Comme le champ de vitesse est un terme du premier ordre porté par -
ex , cette équation
se linéarise en négligeant les termes d'ordre supérieur en
0

v
µ
+
=0
x
t

Enfin, les champs de pression et de masse volumique sont reliés par une équation
thermodynamique. Le coefficient de compressibilité est défini par

1 
S =
 P S
1 
 P

qui s'écrit au premier ordre

S =

d'où

µ = 0  S p
Par analogie avec d'autres phénomènes ondulatoires, les champs de vitesse v
et de surpression p apparaissent comme les grandeurs couplées caractéristiques 
des ondes acoustiques. Les équations d'Euler et de conservation de
la masse réécrites en termes de surpression sont les équations couplées, les
constantes de couplage étant la masse volumique au repos 0 et la 
compressibilité isentropique S .

Établissons maintenant l'équation de propagation pour la surpression. 
Commençons par combiner les équations thermodynamique et de conservation de la 
masse
pour substituer la surpression à la masse volumique,
v
p
+ 0  S
=0
x
t
Dérivons ensuite cette équation par rapport au temps
0

2v
2p
+ 0  S 2 = 0
t x
t
et l'équation d'Euler par rapport à x
0

2v
2p
=- 2
x t
x
Comme les variables d'espace et de temps sont indépendantes, le lemme de 
Schwartz
permet d'inverser les dérivées partielles croisées, ce qui conduit à
0

2p
2p
- 0  S 2 = 0
2
x
t
Il s'agit d'une équation de d'Alembert de célérité
1
c= 
0  S