Centrale Physique 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Biophysique de la bactérie E. Coli.
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, diffusion, électrostatique
Mots clefs bactérie, flagelle, potentiel de membrane, force de traînée, moteur pas à pas, biologie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE I

Filière PC

PHYSIQUE I
Calculatrices autorisées.
Biophysique de la bactérie Escherichia coli
L'objet de ce problème est d'appliquer les lois de la physique à la bactérie 
Escherichia coli, que l'on nommera par la suite E. coli. Aucune connaissance de 
biolo­6
­9
gie n'est nécessaire. On rappelle que 1µm = 1  10 m et 1nm = 1  10 m . On
rappelle également les valeurs :
de la constante de Boltzmann :
de la constante d'Avogadro :

k B = 1, 38  10

NA

­ 23

= 6, 02  10

de la permittivité du vide :

 0 = 8, 85  10

de la charge élémentaire :

e = 1, 6  10

23

­ 12

­ 19

JK
mol

Fm

­1

­1
­1

C

Les quatre parties de ce problème sont indépendantes.

Partie I - Taille critique d'une bactérie aérobie
On étudie les conditions de survie d'une bactérie aérobie dans un lac de très
grande taille à la température de 297 K . Pour vivre, elle a besoin de consommer
le dioxygène dissous dans l'eau au voisinage de sa surface.
La bactérie est modélisée par une sphère de centre O fixe, de rayon R , sa masse
volumique µ est assimilée à celle de l'eau. On se place en régime stationnaire 
et
­3
on note n ( r ) la densité particulaire, exprimée en m , du dioxygène dissous à 
la
distance r du centre O ( r > R ) . La diffusion du dioxygène dans l'eau obéit à 
la
­9 2
­1
loi de Fick avec un coefficient de diffusion D  2  10 m  s . Loin de la 
bactérie,
la concentration molaire volumique du dioxygène dissous dans le lac vaut
­3
c 0  0, 2 mol  m .
On admet que la consommation en oxygène de la bactérie est proportionnelle à
sa masse et on introduit le taux horaire A de consommation de dioxygène par
­1
­1
unité de masse, mesuré en mol  kg  s .
I.A - Densité particulaire en dioxygène au voisinage de la bactérie
I.A.1)
Rappeler la loi de Fick reliant la densité de courant particulaire
j = j ( r )e r à la densité particulaire n ( r ) .

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PHYSIQUE I

Filière PC

Filière PC
I.A.2)
Exprimer  ( r ) le nombre de molécules de dioxygène entrant par unité
de temps dans une sphère de rayon r ( r > R ) en fonction de j ( r ) et de r . 
Justifier
que  ne dépend pas, dans le cas étudié, du rayon r de la sphère considérée.
I.A.3)
Déterminer l'expression de la densité particulaire n 1 en dioxygène dis+
sous sur la surface extérieure de la bactérie ( n 1 = n ( R ) ) en fonction de  
, D , R ,
N A et de la concentration molaire volumique c0 de dioxygène à grande distance
de la bactérie.
I.B - Taille critique de la bactérie
I.B.1)
Exprimer  en fonction de N A , A , de la masse volumique µ et du
rayon R de la bactérie.
I.B.2)
En déduire l'expression de n 1 en fonction de µ , A , R , D , N A et c 0 .
Commenter la variation de n 1 en fonction du rayon R de la bactérie.
I.B.3)
Quelle inégalité doit vérifier n 1 afin que la bactérie ne suffoque pas ?
En déduire l'expression du rayon critique R c d'une bactérie aérobie en fonction
de D , c 0 , µ et A . Vérifier l'homogénéité du résultat. Calculer numériquement
­1
­1
R c sachant que A = 0, 02mol  kg  s . Comparer ce résultat à la dimension
caractéristique R = 1µm de la bactérie E. coli.
I.B.4)
Pour une bactérie sphérique de rayon critique R c , calculer la valeur
numérique du nombre total de molécules de dioxygène consommées par unité de
temps.

Partie II - Propriétés électrostatiques de la membrane de
la bactérie
On considère une bactérie E.coli en suspension dans une solution aqueuse
+
­
(milieu extérieur) contenant des ions N a , Cl etc... La bactérie est limitée à 
sa
périphérie par une couche continue de lipides et de protéines, appelée 
membrane, d'épaisseur d = 10nm . La membrane sépare le milieu interne de la 
bactérie, appelé cytoplasme, du milieu extérieur. Le cytoplasme est également 
une
solution aqueuse contenant des ions, des molécules, des protéines, etc... Le 
cytoplasme et le milieu extérieur sont donc des électrolytes, c'est-à-dire des 
solutions
conductrices contenant des cations et des anions. L'ensemble formé par le 
cytoplasme et le milieu extérieur est globalement neutre.

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PHYSIQUE I

Filière PC

II.A - Étude préliminaire : longueur de Debye dans un électrolyte
Soit un électrolyte à la température T , globalement neutre, constitué d'une
+
­
solution aqueuse contenant majoritairement des ions N a et Cl avec un nom+
bre de cations N a par unité de volume uniforme n (densité volumique des
cations). La permittivité de l'électrolyte est notée  .
On introduit dans cet électrolyte une plaque isolante chargée négativement ; les
charges liées à la plaque sont réparties de manière uniforme sur sa surface. La
plaque est confondue avec le plan x = 0 et l'électrolyte occupe le demi-espace
x > 0 . Les effets de bord sont négligés.
II.A.1) Après introduction de la plaque chargée, les densités volumiques des
ions ne sont plus uniformes, pourquoi ? Représenter qualitativement sur un
schéma la répartition des ions dans l'électrolyte. Que peut-on dire de la 
densité
volumique de charge électrique dans une région proche de la plaque ? Dans une
région très éloignée de la plaque ?
+
­
À présent, les densités volumiques des ions N a et Cl en un point M sont
notées respectivement n + ( M ) et n ­ ( M ) . Ces ions obéissent à la loi de 
Fick avec
+
­
des coefficients de diffusion D + pour N a et D ­ pour Cl .
II.A.2) Exprimer les vecteurs densités de courant volumique électrique j D+ et
+
­
j D ­ associés respectivement à la diffusion des ions N a et Cl .
II.A.3) Soumis à un champ électrostatique E , un ion acquiert une vitesse
+
­
limite µ ion E où le coefficient µ ion est sa mobilité. Les mobilités de N a et 
Cl
sont notées µ + et µ - . Donner les expressions des vecteurs densités de courant
volumique électrique j e+ et j e ­ associés à l'action du champ électrostatique 
E
+
­
respectivement sur les ions N a et Cl .
II.A.4) Écrire les équations de Maxwell de l'électrostatique dans l'électrolyte,
en présence d'une densité volumique de charge  due à un déséquilibre local
entre le nombre de cations et le nombre d'anions ; on admettra que la prise en
compte de la permittivité de l'électrolyte consiste à remplacer par  la 
permittivité  0 du vide. Montrer que tout champ électrostatique E dérive d'un 
potentiel
scalaire  .
Par la suite, on se place dans le cadre unidimensionnel, c'est-à-dire que tous 
les
champs eulériens ne dépendent plus que de l'abscisse x (coordonnée cartésienne
normale à la plaque chargée) : E = E ( x )e x ;  =  ( x ) ; n + = n + ( x ) ; n 
­ = n ­ ( x ) .
II.A.5) On suppose que l'équilibre est réalisé.
a) Écrire pour chaque ion, une relation simple valable à l'équilibre, entre son
vecteur densité de courant volumique électrique de diffusion et son vecteur 
densité de courant volumique électrique dû à l'action du champ électrostatique. 
En

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PHYSIQUE I

Filière PC

déduire, pour chaque ion, l'équation différentielle liant sa densité volumique 
au
potentiel électrostatique  ( x ) .
b) Déterminer la loi de variation de la densité volumique de chaque ion en 
fonction de  ( x ) . Le potentiel électrostatique sera supposé nul loin de la 
plaque :
 (  ) = lim  ( x ) = 0 .
x  +

c) En utilisant la relation d'Einstein qui relie la mobilité d'un ion à son 
coefficient de diffusion µ ± / D ± = ± e / k B T , où e est la charge 
élémentaire, k B est la
constante de Boltzmann et T la température de l'électrolyte, montrer que les
densités volumiques de ions peuvent finalement s'écrire :
e ( x )
n + ( x ) = nexp  ­ ---------------
 kBT 

et

e ( x )
n ­ ( x ) = nexp  + --------------- .
 kBT 

Quel nom donneriez-vous à ces lois de variation ?
II.A.6) On désire déterminer la densité volumique de charge électrique  ( x ) à
l'équilibre.
a) Exprimer  ( x ) en fonction de  ( x ) , n , e , k B et T . Simplifier cette 
expression
dans l'hypothèse où e ( x ) « k B T . Dans la suite de cette partie, on 
utilisera
l'expression simplifiée de  ( x ) .
b) Déduire de l'une des équations de Maxwell, une équation différentielle liant
( x) à ( x) .
c) En déduire l'équation différentielle vérifiée par  ( x ) . On fera 
apparaître une
longueur caractéristique  , appelée longueur de Debye, que l'on exprimera en
fonction de e , n ,  (permittivité de l'électrolyte), k B et T .
+
d) Résoudre l'équation différentielle précédente sachant que E ( x = 0 ) =  eff 
/ 
où  eff représente la densité surfacique de charge associée aux ions de 
l'électrolyte appartenant à l'interface solide/liquide en x = 0 . On exprimera 
la solution
 ( x ) en fonction de x ,  ,  et  eff (que l'on ne cherchera pas à déterminer). 
Quel
est le signe de  eff ?
e) En déduire la loi de variation de la densité volumique de charge  ( x ) . 
Vérifier
la conservation de la charge dans l'électrolyte. À quelle distance 
caractéristique
de la plaque peut-on considérer que le potentiel électrostatique et la densité
volumique de charge électrique sont négligeables ?

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PHYSIQUE I

Filière PC

II.B - Répartition des charges de part et d'autre de la membrane de la
bactérie
cytoplasme

x1x 1

milieu extérieur

membrane

x2x 2

x3 x 3

x4x 4

x5x 5

x6x 6

xx

E(x)
E( x)
0

xx

E0
­ ------E
0/2
2

­-E
E0
Figure 1 : Champ électrostatique

La membrane de la bactérie permet des échanges d'ions et de molécules entre le
cytoplasme et le milieu extérieur mais sa perméabilité varie d'un ion à l'autre.
À l'équilibre, la concentration de chaque ion est différente de part et d'autre 
de
la membrane, il apparaît alors un champ électrostatique E . La figure 1 
représente l'allure de la composante E ( x ) du champ électrostatique dans le 
modèle
unidimensionnel ( E ( x )  0 ) . Les domaines représentent :
· le cytoplasme pour x  x 2
· la membrane pour x 2  x  x 5
· le milieu extérieur pour x  x 5
Les permittivités du cytoplasme, de la membrane et du milieu extérieur sont
supposées égales et ont la même valeur que la permittivité  de l'eau.
II.B.1) Tracer, sans effectuer de calcul mais en justifiant, l'allure du 
potentiel
électrostatique  ( x ) .
II.B.2) Faire de même pour la distribution volumique de charge  ( x ) .
II.B.3)
a) En utilisant les résultats de l'étude préliminaire II.A, donner l'expression 
de
la dimension caractéristique d c des régions chargées.

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PHYSIQUE I

Filière PC

b) Au laboratoire, le milieu de culture utilisé pour étudier la bactérie
­1
E. coli contient 5, 0 g  L de NaCl (le milieu contient également d'autres ions
+
­
que N a et Cl mais avec des concentrations beaucoup plus faibles). Calculer
numériquement d c et comparer le résultat à l'épaisseur d = 10nm de la membrane 
de la bactérie. Conclusion ?
­1
Données :   80  0 (permittivité de l'eau), T = 297 K , M Na = 23, 0 g  mol
­1
(masse molaire de Na ) et M Cl = 35, 5g  mol (masse molaire de Cl ).
II.C - Potentiel de repos de la membrane de la bactérie
La membrane de la bactérie possède une perméabilité sélective suivant la
+
nature des ions. À l'intérieur du cytoplasme, les cations majoritaires sont K .
Nous considérons à présent le modèle de Bernstein (1902) dans lequel seule la
+
diffusion des ions K est prise en compte, la membrane étant supposée imper+
méable à tous les autres ions. De plus, la densité volumique des ions K dans le
cytoplasme est beaucoup plus élevée qu'à l'extérieur. On considère à nouveau le
modèle unidimensionnel de la figure 1.
II.C.1) Justifier l'existence d'un champ électrostatique E = E ( x )e x à 
l'équili+
bre, dû aux ions K . Dans quel sens est-il dirigé ?
+
II.C.2) La condition d'équilibre pour l'ion K conduit à l'équation 
différentielle suivante (résultat admis) :
1 dn
e d
------------ ------- = ­ ----------- -------n ( x ) dx
k B T dx
+

où n ( x ) représente la densité volumique des ions K à l'abscisse x et  ( x ) 
est
le potentiel scalaire associé au champ électrostatique E = E ( x )e x .
a) En déduire la différence de potentiel  =  int ­  ext entre l'intérieur et
l'extérieur de la bactérie, appelée potentiel de repos. Le résultat sera 
exprimé en
fonction de k B , T , e , n int et n ext où n int et n ext représentent les 
concentrations
+
des ions K à l'intérieur et à l'extérieur de la bactérie.
b) Sachant que n int / n ext = 100 pour la bactérie E. coli dans un milieu de 
culture
à la température de 297 K , en déduire la valeur numérique de son potentiel de
repos  .

Partie III - Propulsion d'un micro-organisme par flagelle
Dans toute la suite du problème, on supposera que les nombres de Reynolds Re
des écoulements sont petits devant 1 . L'observation d'une différence de 
direction entre la vitesse de sédimentation et la force de traînée s'exerçant 
sur un
bâtonnet en mouvement dans un fluide visqueux a été à l'origine de la théorie
de la propulsion des micro-organismes par le mouvement rotatif d'un flagelle.

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PHYSIQUE I

Filière PC

III.A - Chute d'un bâtonnet dans un fluide visqueux
On considère un bâtonnet cylindrique à section circulaire ; ce bâtonnet présente
donc une invariance par rotation autour de son axe  que l'on notera Cz , C
désignant le centre de masse du bâtonnet. La longueur L du bâtonnet est 
supposée grande devant son rayon. On notera P le poids apparent du bâtonnet,
c'est-à-dire la somme de son poids et de la poussée d'Archimède exercée par le
fluide.
On réalise une série d'expériences de chutes du bâtonnet dans un fluide 
visqueux de viscosité  .
III.A.1) On observe qu'en régime permanent, la vitesse de chute v // , lorsque 
le
bâtonnet est vertical, est égale au double de la vitesse de chute v  lorsque le
bâtonnet est horizontal. Dans les deux cas, la chute est un mouvement de 
translation verticale. Ceci conduit à une force de traînée qui s'exprime, pour 
un
bâtonnet de longueur L , en fonction de la vitesse selon la loi :
F x = ­   v x ; F y = ­   v y ; F z = ­  // v z .
Déterminer la valeur numérique du rapport  =   /  // .
III.A.2) Comment varient  // et   en fonction de la longueur L du bâtonnet ?

On pourra supposer que  // = K L , K étant une constante adimensionnée, et
déterminer l'exposant  par analyse dimensionnelle.
III.A.3) En déduire que, pour un bâtonnet de longueur L , animé d'une vitesse
v , dont la grande dimension est orientée selon le vecteur directeur u , la 
force
de traînée peut s'écrire :
F = ­ KL ( 2v ­ v // ) avec v // = ( v  u )u .

III.B - Propulsion d'une bactérie par flagelle ; aspect cinématique
La propulsion de
certaines bactéries
est assurée par le
mouvement
de
longs
filaments
appelés flagelles.
Le flagelle de la bactérie E. coli est
modélisé par un
solide  en forme
d'hélice de rayon
Figure 2
a = 0, 20 µm et de
pas
avec
2h

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PHYSIQUE I

Filière PC

h = 0, 10 µm . La longueur totale du filament est L = 10 µm . On note Oz l'axe 
du
cylindre imaginaire sur lequel est enroulée cette hélice. Soit M (  ) le point 
courant de l'hélice ; on a, en coordonnées cylindriques : OM (  ) = ae r + he z 
.
Un moteur biologique implanté dans la membrane de la bactérie peut imprimer
2
­1
au flagelle un mouvement de rotation à la vitesse angulaire  = 7, 0  10 rad  s .
­3
La bactérie est plongée dans l'eau de viscosité  = 1, 0  10 Pa.s contenue dans
un récipient immobile dans le référentiel L du laboratoire. La masse volumique 
de la bactérie est pratiquement égale à celle de l'eau.
III.B.1)
a) En supposant que le flagelle se visse dans le fluide environnant, de quelle 
distance d se propulse la bactérie pendant que le flagelle effectue un tour 
complet ?
En déduire une première estimation de la vitesse de la bactérie.
b) Vérifier la pertinence de l'hypothèse Re « 1 .
III.B.2) La bactérie étant maintenue immobile dans le référentiel L du 
laboratoire, le flagelle  est mis en rotation à la vitesse angulaire  (  / L ) 
= e z
dans le référentiel du laboratoire.
a) Donner en coordonnées cylindriques l'expression dans L de la vitesse du
point courant M du flagelle.
b) Un tronçon du solide  compris entre  et  + d est assimilé à un petit
2
2
bâtonnet de longueur dL = a + h d . Le vecteur unitaire u de l'axe de ce
petit bâtonnet est :
( ae  + he z )
u = ---------------------------2
2
a +h

Préciser l'expression de la composante v // de la vitesse parallèle à l'axe du
bâtonnet.
III.C - Existence d'une force propulsive
Les résultats du premier paragraphe, avec K = 4 , conduisent pour un tronçon
de flagelle de longueur dL à une force de traînée dF = ­ 4 ( 2v ­ v // )dL .
III.C.1) La bactérie est maintenue immobile, et le flagelle  est en rotation à
la vitesse angulaire  (  / L ) = e z dans le référentiel L du laboratoire.
a) Exprimer la force de traînée dF 1 s'exerçant sur ce bâtonnet élémentaire.
b) En supposant que  varie de ­ 2 p à 0 où p = L / ( 2a ) est entier, montrer
que la force de traînée exercée par le fluide environnant sur le flagelle 
entier est
Lah
F 1 = 4 ---------------------- e z .En déduire que, pour un signe approprié de  
, la
2
2
a +h

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PHYSIQUE I

Filière PC

bactérie peut se propulser selon e z .
III.C.2) Lorsque le flagelle est en mouvement de translation à la vitesse ve z
par rapport au référentiel L on montre, par un raisonnement analogue au 
précédent, que la force de traînée F 2 exercée par le fluide environnant sur le 
flagelle entier est
2

2

h + 2a
F 2 = ­ 4 Lv -------------------------- e z .
2
2
a a +h

(résultat admis)

En remarquant la linéarité de la relation entre la force de traînée et la 
vitesse,
quelle est la force de traînée F exercée par le fluide environnant sur le 
flagelle
entier lorsqu'il tourne à la vitesse angulaire e z tandis que la bactérie se 
propulse à la vitesse ve z ?
III.C.3) La bactérie (hors flagelle) est modélisée par une sphère de rayon
R = 0, 5µm . On rappelle l'expression de la traînée s'exerçant sur une sphère de
rayon R en mouvement à la vitesse v dans un fluide de viscosité  :
T = ­ 6Rv .

a) Montrer que cette force peut être négligée devant F 2 .
b) Justifier l'estimation de la vitesse de la bactérie en régime permanent :
2

a
v p = h --------------------- e et calculer numériquement cette vitesse.
2
2 z
2a + h

III.D - Aspect énergétique
III.D.1) Exprimer en fonction des forces dF 1 et dF 2 définies au paragraphe
précédent le moment élémentaire d M O en O des efforts exercés par le fluide sur
un tronçon [ ,  + d ] du flagelle.
III.D.2) Lorsque la bactérie est propulsée par le flagelle à la vitesse v p , on
obtient par sommation une composante sur e z de ce moment
2

Mz

2 3/2

aL ( a + h )
= ­ 8  -------------------------------------- .
2
2
2a + h

(résultat admis)

Calculer M z numériquement.
III.D.3) Déterminer littéralement puis numériquement la puissance P m du
moteur cellulaire qui maintient le flagelle en rotation à la vitesse angulaire
2
­1
 = 7, 0  10 rad  s .

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PHYSIQUE I

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Partie IV - Moteur rotatif biologique
La rotation du flagelle est assurée par un moteur rotatif biologique de taille
nanométrique, incorporé dans la membrane de la bactérie. L'objectif de cette
partie est d'étudier quelques caractéristiques de ce moteur rotatif.
IV.A - Source d'énergie du moteur
IV.A.1) Question préliminaire
Soit G = U + pV ­ TS l'enthalpie libre d'un système thermodynamique d'énergie
interne U , de volume V , d'entropie S à la température T et sous la pression p 
.
On rappelle l'inégalité vérifiée par le travail utile récupérable W (autre que 
celui
des forces de pression) et la variation d'enthalpie libre G du système entre un
état d'équilibre initial et un état d'équilibre final au cours d'une évolution 
monotherme et monobare : W  ­ G . À quelle condition l'inégalité précédente
devient-elle une égalité ?
On considère le système fermé constitué de la bactérie et du milieu aqueux
(milieu extérieur) dans lequel elle évolue. La température T et la pression p du
système, grandeurs uniformes, sont maintenues constantes. On admet que la
différentielle de l'enthalpie libre du système s'écrit dans cette situation
dG = ( µ e + e e )dn e + ( µ i + e i )dn i , où :
· dn e et dn i représentent respectivement les variations du nombre de protons
+
H à l'extérieur et dans le cytoplasme (milieu intérieur) de la bactérie ;
·  e et  i sont respectivement les potentiels électrostatiques du milieu 
extérieur et du cytoplasme ( e est la charge élémentaire) ;
+

[H ]
c°

+

[H ]
c°

· µ e = µ° + k B T ln  --------------e- et µ i = µ° + k B T ln  --------------i 
, où :
· le terme µ° ne dépendant que de T est une constante ;
· k B est la constante de Boltzmann ;
+
+
· [ H ] e et [ H ] i sont les concentrations molaires des protons à l'extérieur 
et dans le cytoplasme ;
­1
· c° = 1, 0 mol  L est une concentration de référence.
IV.A.2) Les protons en traversant la membrane fournissent l'énergie nécessaire 
au fonctionnement du moteur. Montrer que le travail utile récupérable W
lorsque dn protons traversent la membrane dans le sens milieu extérieur 
cytoplasme s'écrit, à la limite du fonctionnement réversible : W = ­ epdn où
p , grandeur appelée force protomotrice, sera exprimée en fonction de e , k B , 
T ,
+
+
[ H ] e , [ H ] i et  =  i ­  e .

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IV.A.3) En déduire qu'à la température de 297 K , la force protomotrice peut
également s'écrire : p = ­ 0, 059pH +  ( V ) où pH = pH i ­ pH e avec
+
+
pH i = ­ log ( [ H ] i / c° ) et pH e = ­ log ( [ H ] e / c° ) .
IV.A.4) Calculer p à 297 K sachant que la bactérie E. coli maintient
pH i = 7, 8 à l'intérieur de son cytoplasme, que le milieu extérieur impose
pH e = 7, 0 et que  = ­ 0, 12 V .
IV.B - Caractéristique couple-fréquence de rotation
On désire étudier la loi de
flagelle raccourci
variation du couple  délivré
bille de latex
par le moteur rotatif en fonction de la fréquence de rota
tion f du flagelle. À cette fin,
on considère une bactérie
bactérie
E. coli, ayant la forme d'un
bâtonnet cylindrique aux
surface en verre
Figure 3
extrémités arrondies, liée à la
surface en verre de l'une des
faces du récipient qui la contient. En outre, la longueur du flagelle a été 
considérablement réduite par un procédé chimique et on y a attaché une petite 
bille
de latex de rayon micrométrique a 0 (cf. figure 3).
Lorsque la petite bille de latex tourne à la vitesse de rotation uniforme  = 2f
autour d'un axe passant par son centre, elle subit un couple de frottement 
fluide
3
 v = ­ 8a 0  résultant de l'action des forces de viscosité où  est la viscosité
dynamique de la solution dans laquelle plonge la bactérie. Le couple visqueux
s'exerçant sur le flagelle raccourci sera négligé.
IV.B.1) Montrer que  v est bien homogène à un couple. Donner l'expression,
en régime permanent, du couple moteur  en fonction de a 0 ,  et  .
IV.B.2) La fréquence de rotation f de la bille de latex peut être mesurée par un
procédé d'optique physique. Sur quel(s) paramètre(s) peut-on jouer pour obtenir
le tracé de la caractéristique  en fonction de f ? L'allure de la 
caractéristique
expérimentale  ( f ) est fournie sur la figure 4.
On y distingue deux régimes de fonctionnement :
· un bas régime ( 0  f  175 Hz ) où le couple moteur est pratiquement constant ;
· un haut régime ( 175  f  350 Hz ) où le couple moteur chute avec la fréquence
de rotation.

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PHYSIQUE I

Filière PC

/ / max
max
Figure 4

1

bas régime

haut régime

0
0

50

100

150 175 200

250

300

350 f (Hz)

IV.B.3) Déterminer la valeur numérique du couple maximal  max , sachant
qu'une petite bille de latex de rayon a 0 = 0, 50µm tourne à la fréquence
f = 10 Hz dans une solution de viscosité  = 0, 020 Pa  s .
IV.B.4) Donner l'ordre de grandeur numérique de la fréquence de rotation du
flagelle raccourci lorsqu'aucune bille de latex n'est accrochée.
IV.C - Évaluation du rendement du moteur
On considère toujours la même bille de latex entraînée à la fréquence de 
rotation
f = 10 Hz par le moteur de la bactérie dans une solution de viscosité
 = 0, 020 Pa  s .
IV.C.1) Déterminer l'expression de la puissance mécanique P m fournie par le
moteur. Faire l'application numérique avec les données précédentes.
IV.C.2) Sachant que pour chaque tour effectué par le moteur, le nombre de 
protons traversant la membrane de la bactérie est n = 1200 , déterminer 
l'expression littérale du flux de protons  traversant la membrane en fonction 
de n et
f . Faire l'application numérique.
IV.C.3) En utilisant le résultat de la question IV.A.2, exprimer la puissance
Pr reçue par le moteur due à la traversée de la membrane par les protons en
fonction de la force protomotrice p , de la charge élémentaire e et du flux des
protons  . Faire l'application numérique sachant que p = ­ 0, 17 V .
IV.C.4) Définir et calculer la valeur du rendement de ce moteur rotatif 
biologique pour la fréquence f = 10 Hz . Comment évolue le rendement lorsque la 
fréquence de rotation f varie dans le domaine de fonctionnement bas régime ?
Dans le domaine de fonctionnement haut régime ?

Concours Centrale-Supélec 2008

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PHYSIQUE I

Filière PC

IV.D - « Moteur pas à pas »
Le rotor du moteur
U.B.
est assimilé à un
F
F
disque de rayon
U.B.
U.B.
r = 20 nm
et
rotor
F
F
axe de rotation : 
d'épaisseur négli
geable. La rotation
U.B.
«
``unité
biologique''»: U.B.
du rotor est assu- U.B.
r

rée par un stator
F
F
constitué de huit
« unités
U.B.
U.B.
biologiques »,
F U.B. F
Figure 5
régulièrement
réparties sur sa
périphérie et générant chacune une force orthoradiale d'intensité F (cf.
figure 5). On envisage le fonctionnement du moteur en bas régime.
IV.D.1) Exprimer l'intensité F de la force en fonction de r et  max . Calculer
numériquement F . Afin d'avoir une idée intuitive de ce que représente cette
force, calculer numériquement la distance qui doit séparer deux électrons dans
le vide pour obtenir une force électrostatique de même intensité.
IV.D.2) Le moteur biologique est en fait un « moteur pas à pas », c'est-à-dire
qu'il tourne par bonds successifs d'un angle fixe dit incrément. Dans notre cas,
un tour complet s'effectue en 52 incréments. Calculer le déplacement d d'un
point de la périphérie du rotor correspondant à un incrément. En déduire la
valeur numérique du travail fourni par une « unité biologique » pour réaliser un
incrément.
IV.D.3) Déterminer le nombre de protons n qui doivent traverser la membrane 
pour qu'une « unité biologique » réalise un incrément. On supposera que
le rendement du moteur est de 100% pour ce calcul.
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2008

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) ; il a été relu
par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

L'objet de ce problème est de comprendre quelques phénomènes physiques qui
gouvernent la vie d'une bactérie, l'Escherichia Coli. Cette bactérie, présente 
naturellement dans le corps humain, intervient notamment dans le processus de 
digestion. Sa
petite taille et sa multiplication très rapide en font un objet d'étude 
particulièrement
intéressant pour les chercheurs.
L'énoncé comporte des questions de cours et d'analyse dimensionnelle faciles à
traiter, ce qui permet de réserver du temps pour le reste. L'énoncé est assez 
directif et
donne les résultats intermédiaires, ce qui permet de ne pas rester bloqué. Les 
calculs
exigés ne sont pas très lourds et les questions où une véritable réflexion 
physique est
attendue ont une grande importance sur l'opinion que le correcteur se fait de 
la copie.
· La première partie est courte. Elle a pour thème central la diffusion et vise 
à
calculer la taille limite que peut atteindre une bactérie qui consomme un 
nutriment diffusant dans le milieu. Comme la bactérie consomme d'autant plus de
dioxygène que sa taille est importante, une taille limite apparaît 
naturellement.
Il est intéressant de comparer cette taille à celle des bactéries.
· La deuxième partie porte sur l'électrostatique. Elle a pour but d'estimer la
différence de potentiel qui règne entre les deux côtés de la membrane. Elle
commence par l'étude de l'influence qu'une plaque chargée négativement peut
avoir sur un électrolyte.
· La troisième partie est consacrée à l'étude de la propulsion d'une bactérie à
l'aide d'un flagelle en forme d'hélice. Elle nécessite une bonne compréhension
du cours de mécanique. Les notions de travail, de puissance et d'énergie sont
toutes mises en oeuvre.
· Enfin, le « moteur » qui actionne un flagelle est étudié dans la dernière 
partie.
Son rendement est évalué en comparant sa puissance à la puissance cédée par
des protons qui descendent un gradient de potentiel. Dans cette partie, on 
utilise
des notions de thermodynamique et de mécanique du solide. Une sous-partie,
la plus difficile du sujet, s'intéresse à la caractéristique couple/fréquence de
rotation d'un moteur biologique et requiert un bon sens physique pour être
interprétée correctement.
Ce sujet aborde une grande partie du programme de physique de deuxième année
et constitue un bon problème de synthèse. On voit également combien ces notions 
de
physiques sont utiles à l'étude de phénomènes biologiques.

Indications
I.A.1 Utiliser les invariances et la symétrie du problème pour mettre le vecteur
densité de courant sous la forme donnée par l'énoncé.
I.A.2 Attention au signe de  : c'est le flux entrant qui est demandé. Écrire 
l'équation de conservation des molécules de dioxygène entre deux sphères de
rayon r1 et r2 .
I.B.1 Relier le flux de dioxygène entrant dans la sphère de rayon R et la 
consommation de la bactérie.
II.A.1 Juste après l'introduction de la plaque chargée, quelle force ressentent 
les
anions et les cations ? À l'équilibre, où se situent-ils majoritairement ?
II.A.5 À l'équilibre, les courants de diffusion et de convection se compensent.
II.A.6.a Relier tout d'abord  à n+ et n- puis utiliser les relations trouvées à 
la
question précédente.
--

-
II.B.1 Utiliser l'identité E = - grad .
II.B.2 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
II.C.1 Un champ électrique fuit les zones chargées positivement.
II.C.2 Il est possible d'intégrer les deux membres de l'équation donnée par 
l'énoncé.
III.A.1 Dans quel cas la force de traînée est-elle la plus grande ?

III.A.3 Écrire une décomposition de la vitesse -
v en une partie selon -
u et une qui lui
est orthogonale. La linéarité de la force de traînée permet alors de conclure.
III.B.2 Quelle est la figure décrite par un point courant du flagelle ?
III.C.1 Pour l'intégration de la force de traînée, remarquer que la composante 
angulaire intégrée sur un tour est nulle.
III.C.3 En régime permanent, la vitesse est constante et l'accélération nulle. 
Ainsi,
les forces qui s'appliquent sur la bactérie se compensent.
IV.A.2 Lorsque dn protons passent de l'extérieur à l'intérieur, quelle est la 
variation
du nombre de protons à l'extérieur et à l'intérieur ? En déduire une expression 
de la variation dG de l'enthalpie libre et donc du travail récupérable.
IV.B.1 En régime permanent, la somme des moments qui s'appliquent sur l'axe du
moteur est nulle.
IV.B.3 Pour interpréter cette caractéristique couple/fréquence de rotation, 
penser
à la caractéristique d'un générateur de tension sur lequel on branche une
résistance.
IV.D.1 Attention, il y a huit unités biologiques.

I. Taille critique d'une bactérie aérobie
I.A

Densité particulaire en dioxygène au voisinage de la bactérie

I.A.1 La loi de Fick relie de manière phénoménologique la densité de courant
particulaire à la densité particulaire. Elle s'écrit de manière générale
--

-
 = -D grad n
Ici, compte tenu de la symétrie sphérique du problème, le vecteur densité de 
courant

est nécessairement dirigé selon le vecteur radial -
er . De plus, ce vecteur et la densité
particulaire ne dépendent que de la variable r en raison de l'invariance du 
problème
par rapport aux deux variable sphériques  et . Finalement, la loi de Fick 
devient
j(r) = -D

dn
dr

Il est important de remarquer que ce sont les considérations de symétrie qui

donnent la direction du vecteur -
 et que les invariances donnent des in
formations sur la dépendance des grandeurs (ici -
 et n) par rapport aux
variables. Ce type de raisonnement est introduit en cours pour la détermination 
de champs électriques et magnétiques.
I.A.2 Le nombre (r) de molécules de dioxygène qui
entrent dans une surface sphérique S de rayon r est relié
à la densité de courant par
ZZ

-

-

-

(r) = -
 · dS
avec
d S = dS -
n

-
- (r) n

O

S

Attention au signe moins qui vient du fait que c'est le flux entrant que l'on
souhaite calculer alors que la normale à la surface est sortante.

Mais ici, -
 = j(r) -
er . On obtient, après intégration sur la sphère de rayon r et de
2
surface 4 r
(r) = -4r2 j(r)
Considérons maintenant le volume V compris entre deux sphères de rayon r1 et r2
(on suppose r1 < r2 ). En régime permanent, et en l'absence de source de 
dioxygène,
l'équation de conservation du nombre de molécules de dioxygène s'écrit 
simplement

div -
 =0
De manière générale, l'équation qui traduit la conservation du nombre de
molécules de dioxygène de manière locale s'écrit
dn

+ div -
 =
dt
avec  le terme source correspondant au nombre de molécule de dioxygène

créées par unité de volume et de temps. Pour justifier que -
 est à flux
conservatif, il faut d'une part citer le régime permanent qui permet d'annuler
la dérivée temporelle, mais aussi l'absence de source, comme cela est décrit
dans le rapport du jury.

Le vecteur -
 est donc à flux conservatif. Cela impose
en particulier
ZZZ
ZZ

-

-
 · d S = (r1 ) - (r2 )
0=
div -
 dV =
V

S1 S2

d'après le théorème de Green-Ostrogradski. Enfin,

r2
r1

-
O dS 1

-
dS 2

(r1 ) = (r2 ) = 
Le flux de dioxygène à travers une surface sphérique ne dépend donc pas du rayon
de cette surface. On le note  dans la suite.
I.A.3 Exprimons maintenant la densité n(r) dans tout l'espace en utilisant la 
loi
de Fick et le résultat de la question I.A.2
dn

=
dr
4 D r2
Une intégration donne l'expression recherchée :

n(r) = -
+ Cte
4 D r
Enfin, on détermine la constante en remarquant que la densité à l'infini vaut 
c0 N A :
n1 = n(R+ ) = c0 N A -

I.B

4 DR

Taille critique de la bactérie

I.B.1 La consommation donnée s'exprime en mol.kg-1 .s-1 ; il faut donc la 
multiplier par la constante d'Avogadro pour obtenir le nombre de molécules de 
dioxygène
consommées par unité de masse et de temps. Enfin, en multipliant par la masse de
la bactérie, on obtient la consommation de la bactérie par unité de temps, qui 
n'est
autre que le flux  avec lequel le dioxygène entre dans la sphère de rayon R. 
Ainsi,
 = A NA m
où m = 4 µR /3 est la masse de la bactérie. On obtient finalement
3

=

4
 µR3 N A A
3

I.B.2 Substituons ce résultat dans l'expression trouvée à la question I.A.3
n 1 = c0 N A -

µR2 N A A
3D

Cette grandeur diminue lorsque le rayon R augmente. En effet, la bactérie 
consommant plus de dioxygène, le flux  augmente et le gradient de n est plus 
important.
On constate donc un écart plus grand entre la densité particulaire près de la 
bactérie
et celle à l'infini.