Centrale Physique 1 PC 2002

Thme de l'preuve Propagation d'ondes lectromagntiques dans un dilectrique. Effet Faraday.
Principaux outils utiliss ondes lectromagntiques dans les milieux, modle de l'lectron lastiquement li, polarisation des ondes
Mots clefs dilectrique, susceptibilit

Corrig

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MA Sujets 2002:Bon  tirerzPC Physique 13.11.01 -- 9:PC Physiquel3.l 1 .01 -- 9 
rduit version du 3 avril 2002 15:04

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique 1 PC 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par David Chapot (ENS Lyon) ; il a t relu par Arnaud
Gossart (Professeur en CPGE) et Stphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l'tude de la propagation des ondes lectromagntiques et sur
l'effet Faraday dans un milieu dilectrique. Il est compos de deux parties 
dont la
deuxime dpend assez largement de la premire.
 Dans la premire partie du problme, on s'intresse  la propagation des ondes
lectromagntiques dans un milieu dilectrique isotrope. On rappelle d'abord
la forme des quations de Maxwell dans un tel milieu et on introduit sa 
susceptibilit dilectrique e dont on analyse l'origine du caractre complexe et
de la dpendance par rapport  la frquence. Puis on considre le modle de
l'lectron lastiquement li qui fournit une expression analytique simple de e .
 La deuxime partie est consacre  l'tude de l'effet Faraday dans un milieu
dilectrique. La prsence d'un champ magntique selon la direction de 
propagation de l'onde introduit une anisotropie dans le dilectrique que l'on 
traite par
la matrice susceptibilit, gnralisation de la susceptibilit (scalaire) 
introduite
dans la premire partie. L'effet Faraday se traduit par l'apparition d'une 
diffrence de vitesse de propagation entre deux ondes polarises circulaires 
gauche
et droite, ce qui a pour effet la rotation du plan de polarisation d'une onde
polarise rectilignement. Enfin, on tudie une application de l'effet Faraday 
la mesure de courants lectriques de grande intensit.
Ce problme est de difficult et de longueur trs raisonnables. La premire 
partie
n'est ni plus ni moins qu'une question de cours et dans la deuxime partie, le 
candidat
peut se laisser guider par l'nonc trs dtaill jusqu' la question II.B.3  
partir de
laquelle il doit davantage faire preuve d'initiative. La partie II.C est la 
plus dlicate
de cette preuve car elle ncessite une analyse des longues explications 
prliminaires
et une rflexion physique approfondies.
Les notions requises concernent la propagation des ondes lectromagntiques dans
les milieux dilectriques et le modle de l'lectron lastiquement li.

Indications
Partie I
I.A.2.c crire que la charge totale est gale  la charge libre plus la charge 
de
polarisation. De mme, crire que le courant total est gal au courant libre
auquel on ajoute le courant de polarisation et le courant d'aimantation.

-

-

-
dP
+ P = e0 E pour
I.A.4.b Introduire de faon ad hoc un modle du type 
dt
traduire la non instantanit de la rponse du milieu  son excitation par
un champ lectrique. Constater que le caractre complexe non rel de e est
d  la non-nullit de  .
I.A.4.d Dire qu'un milieu usuel est absorbant et en dduire, selon le sens de 
propagation de l'onde, le signe de k2 .
D
E
-

I.A.4.e crire que l'nergie volumique dissipe par le milieu vaut -
 E .
P

I.B.1.b Pour justifier le fait que la force magntique due  l'onde est 
ngligeable
devant la force lectrique pour les lectrons non relativistes, se rappeler que

-

-
kEk
k B k est de l'ordre de
.
c
I.B.3 Reconnatre une fonction analogue  celle tudie pour la rsonance en 
intensit d'un filtre R-L-C.
Partie II

II.A.3.a Rsoudre le systme en P x , P y et P z en fonction de Ex , Ey et Ez .

commutent.
t
II.A.4.d La solution du systme d'quations est non triviale si et seulement si 
le
dterminant du systme est nul. Les vecteurs propres (Ex , Ey ) sont les 
polarisations qui se propagent sans dformation dans le milieu.
II.A.4.c crire que les oprateurs [e ] et

II.B.3.a crire que les polarisations circulaires gauche et droite se propagent 
 des
c
c
vitesses de propagation
et
diffrentes.
ng
nd

-
nd + ng z
II.B.3.b Symtriser l'expression de E en factorisant par exp j
- jt .
2
c
Reconnatre alors l'expression d'une onde polarise rectilignement dont le
nd - ng z
plan de polarisation a tourn d'un angle (z) =
.
2
c
II.B.3.e Faire attention au sens de la dviation suivant le sens de propagation 
de
l'onde !
II.C.1 Les deux ondes n'interfrent qu'en prsence de l'analyseur car, dans le 
cas
(M)  -
(M) = 0. Pour calculer l'effet de l'intgrateur sur les
contraire, -
u
u
1
2
deux ondes, noter que 1  , 2   1 bien que |1 - 2 |   1.
-

II.C.4.b L'onde 1, polarise circulaire gauche, se dplace dans le sens oppos 
 Ba 
la vitesse de propagation c/nd et non c/ng . Exprimer ensuite la diffrence
nd - ng en fonction de la constante de Verdet et conclure.

I. Ondes lectromagntiques dans
un milieu dilectrique
I.A

Propagation dans un milieu dilectrique

I.A.1 Dans le vide, les quations de Maxwell s'crivent :

-
T

 div E = 0

-

 div B = 0

-

B
- -

rot
E
=
-

t

-

-
E
-

 rot B = 0 -
 T + 0  0
t

o T et -
T sont les densits volumiques de charges et de courants totaux au point et
 l'instant de l'tude.
Dans le vide, les densits volumiques de charges et de courants totaux sont

gaux aux densits volumiques de charges et de courants libres  et -
 car il
n'y a ni charges de polarisation ni courants de polarisation ou d'aimantation :
-

-
T = 
et

T = 

-
-

I.A.2.a P (M, t) et M(M, t) reprsentent les moments dipolaires lectrique et 
magntique du matriau par unit de volume au point M  l'instant t.
Un moment dipolaire lectrique s'exprime en C.m (conformment  la relation

-

-

-
p = q d o q est une charge et d une distance). Par consquent, l'unit de P 
(M, t)
-2
est le C.m .
De mme, un moment dipolaire magntique s'exprime en A.m2 d'aprs la dfini
-

tion -
m = I S du moment dipolaire magntique d'une boucle de courant de surface

-
-

S parcourue par un courant I. Par consquent, l'unit de M(M, t) est l'A.m-1 .
I.A.2.b D'aprs les rsultats du cours,

-
P (M, t) = - div P (M, t)

-
P

-
(M, t)
P (M, t) =
t

- -

-
a (M, t) = rot M(M, t)
Le programme des classes de PC exige que les candidats sachent montrer que

-
P (M, t) = - div P (M, t) du point de vue de l'expression du champ lectrique
cr par un dilectrique en dehors de lui-mme (dmonstration fonde sur
l'approximation dipolaire). Cette expression est aussi valable du point de
vue du champ lectrique cr  l'intrieur du matriau (o l'approximation
dipolaire n'est plus valable) mais cette dmonstration est hors programme et
le rsultat admis.

I.A.2.c La densit de charges totale est gale  la densit de charges libres 
plus
la densit de charges de polarisation. De mme, le courant total est gal au 
courant

libre auquel on ajoute le courant de polarisation -
P et le courant d'aimantation -
a .
Par consquent, les quations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampre s'crivent

-
 + P

div E =

0

-
!
-

-

P
E
-

- -

-

 rot B = 0  + t + rot M + 0 t

-
I.A.2.d On dfinit les vecteurs dplacement lectrique D (M, t) et excitation ma
-
gntique H (M, t) par
 -

-

-

 D (M, t) = 0 E (M, t) + P (M, t)

-

-
-

B

 H (M, t) =
(M, t) - M(M, t)
0

I.A.2.e Des questions I.A.2.c et I.A.2.d, on dduit les quations de Maxwell 
vrifies

-

-

-

-
par E (M, t), D (M, t), H (M, t) et B (M, t) :

-

div D = 

-

div B = 0

-

B
- -

 rot E = -

t

-

-
D
-

 rot H = -
 +
t

-

I.A.3.a Le caractre isolant du milieu signifie que -
 = 0 . Dans un milieu non
charg,  = 0 (mais P peut tre non nul !). Enfin, un milieu dont les proprits
-
 -

magntiques sont ngligeables est caractris par M = 0 ou, de faon 
quivalente,
 -
-

par H = B /0 . En dfinitive,
- = 0

=0

-
 -

M= 0

I.A.3.b Dans un milieu isolant, non charg, aux proprits magntiques 
ngligeables, les quations de Maxwell se rduisent 

-

div D = 0

-

div B = 0

-

B
- -

rot E = -

t

-

D
-

 -
rot H =
t