Centrale Physique 1 PC 2000

PHYSIQUE I Filière PC

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Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Les réponses non
justifiées aux questions qualitatives ne seront pas prises en compte.

Partie I - Généralités sur la microscopie

I.A - Ordres de grandeur

Un microscope optique permet d'observer des globules sanguins, un microscope
électronique des défauts d'une structure cristalline, un microscope à sonde
locale des atomes. Quels sont les ordres de grandeur des objets observés et du
pouvoir de résolution minimal de chacun des microscopes utilisés ?

I.B - Microscope optique ; étude géométrique

Un microscope optique porte les indications suivantes. Sur son objectif : x40 ;
sur l'oculaire : X10. La notice constructeur précise : ouverture numérique de
l'objectif (00 = O, 65 , intervalle optique A = 16 cm. La signification de ces
indications sera précisée dans la suite. Le microscope sera modélisé par
deux lentilles minces convergentes. Il est réglé pour donner une image à 
l'infini
d'un objet réel AB, perpendiculaire à l'axe optique, A étant placé sur l'axe, 
légè-
rement en avant du foyer objet de l'objectif. Cette image est observée par un 
oeil
emmétrope placé au voisinage du foyer image de l'oculaire. L' oeil nu voit 
nette-
ment des objets situés entre la distance 6 = 25 cm et l'infini.

I.B.l) Faire un schéma du dispositif (sans respecter l'échelle) et tracer soi-
gneusement la marche de 2 rayons lumineux issus du point B de l'objet AB, l'un
émis parallèlement à l'axe optique, l'autre passant par F1 foyer objet de la 
len-
tille L1 équivalente à l'objectif de centre optique 01.

I.B.2)

a) L'indication portée sur l'oculaire (x10) est le grossissement commercial, 
c'est-
à-dire le rapport de l'angle sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet 
à tra-
vers l'0culaire seul et l'angle sous lequel on voit ce même objet à l'oeil nu 
lorsqu'il
est situé à la distance minimale de vision distincte. Déterminer f"2, distance
focale image de l'oculaire.

b) L'intervalle optique correspond à la distance F'1F2 . La valeur absolue du
grandissement de l'objet AB par l'objectif est : x40. Calculer f'1 , distance 
focale
image de la lentille équivalente à l'objectif. Calculer la distance 01A 
permettant
de positionner l'objet.

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c) Déterminer la latitude de mise au point, c'est-à-dire la variation de la dis-
tance 01A compatible avec une vision nette de l'image finale par l'observateur,
dont l'oeil est au foyer image de l'oculaire. Interpréter le résultat obtenu.

(1) Calculer dans le cas d'une image finale à l'infini le grossissement 
commercial
du microscope.

I.B.3) L'ouverture numérique du microscope, (oO, correspond à nsinu, n
indice du milieu dans lequel plonge l'objectif, u angle maximum des rayons
issus de A arrivant sur l'objectif. Calculer u pour un objectif plongé dans 
l'air.
Le microscope est-il utilisé dans les conditions de Gauss ? Quel type d'aberra-

tions doit-on corriger ? Quel est l'ordre de grandeur du diamètre de la monture
de l'objectif ?

I.B.4) Déterminer la position et la taille du cercle oculaire, image de la mon-
ture de l'objectif à travers l'oculaire. Quel est l'intérêt de placer l'oeil 
dans le plan
du cercle oculaire ? On serait tenté pour augmenter le grossissement du micros-
cope de prendre un oculaire de grossissement élevé ; est-ce judicieux ? 
Justifier
votre réponse.

I.C - Pouvoir séparateur

Pour déterminer le pouvoir séparateur du microscope, on considère que l'objet
est un réseau périodique dont la distance entre 2 traits est d , éclairé sous 
inci--
dence normale par une lumière monochromatique de longueur d'onde
"0 = 586 nm .

1.0.1) Établir par des considérations simples la relation donnant les direc-
tions dans lesquelles la lumière est transmise par le réseau.

1.0.2) Montrer que le premier ordre contient une information sur le pas du
réseau utilisé. En déduire une condition sur l'angle maximal du rayon arrivant
sur l'objectif pour que cette information soit transmise par le microscope.

1.0.3) En déduire une relation entre le pouvoir séparateur du microscope,
c'est-à-dire la plus petite distance dmin discernable entre 2 objets, et 
l'ouverture
numérique de l'objectif, pour un objectif plongé dans l'air.

I.C.4) Lorsque le pouvoir séparateur est limité par l'objectif, on utilise le 
cri-
tère de Rayleigh qui indique dm... : O, 61 - ko/ 000 . Justifier la différence 
avec
l'expression obtenue précédemment. Quel serait selon vous un moyen d'amélio-
rer le pouvoir séparateur ?

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1.0.5) Le microscope utilisé est-il adapté à l'observation des globules
sanguins?

1.0.6) Commenter l'affirmation suivante : « Le microscope est vis-à-vis de la
fréquence spatiale l'analogue d'un filtre passe-bas utilisé en électronique »;
quelle serait la fréquence de coupure ?

I.D - Microscope électronique

Pour augmenter le pouvoir séparateur d'un microscope, on peut envisager de
remplacer les photons par des électrons et réaliser un microscope électronique.
La longueur d'onde associée à un électron de quantité de mouvement p est
X = h/ p (relation de de Broglie), avec

constante de Planck : h: 6,62- 10--34J - s ;
masse de l'électron : m = 9, 1 -- 10_31 kg.

I.D.l) Un électron, supposé initialement au repos, est accéléré sous une dif-
férence de potentiel de 10 kV . En supposant que l'on peut effectuer le calcul 
en
mécanique classique, calculer la longueur d'onde associée à l'électron.

I.D.2) Déterminer, à partir de la relation de Rayleigh, le pouvoir séparateur
ultime d'un tel microscope d'ouverture numérique 0,4 et le comparer à celui du
microscope optique utilisé.

I.D.3) Quelles limites peut-on prévoir à l'utilisation de faisceaux électroni-
ques plus énergétiques ?

Les limitations évoquées précédemment ont conduit à l'avènement d'une nouvelle 
famille
de microscopes, d'un principe différent, les microscopes à sonde locale. Les 
microscopes à
sonde locale sont des appareils dont la caractéristique commune est d'explorer 
une sur--
face par des déplacements nanométriques d'une sonde au contact ou au voisinage 
de cette
surface. L'invention du microscope à effet tunnel en 1984 a valu le prix Nobel 
à G. Binnig
et H. Rohrer dès 1986 ; elle a été rapidement suivie par l'invention du 
microscope à force
atomique. Dans le premier cas, la grandeur mesurée est un courant de l'ordre du 
picoam-
père (courant tunnel) circulant entre la sonde et l'échantillon. Dans le second 
cas, la
grandeur mesurée est la force d'interaction entre la sonde et l'échantillon.

Partie II - Déformation d'une poutre

Dans un microscope à force atomique, on mesure le déplacement de l'extrémité
d'une poutre soumise à une force. L'objet de ce paragraphe est de relier la 
défor-
mation d'une poutre aux efforts que subit celle-ci. Le référentiel d'étude est 
sup-
posé galiléen.

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II.A - Poutre dans un champ de pesanteur

On considère une poutre de faible section,
de longueur L, de masse linéique uni-
forme À, soumise à un champ de pesan-
teur uniforme_> g-- -- --gey ,où ey désigne le
vecteur unitaire de la verticale ascen-
dante. On admettra que la poutre reste
localisée dans un plan vertical (fig. 1 et 3).
L'équation de la poutre à l'équilibre est
y : n(x) . La section de la poutre étant faible, un point M de la poutre est 
repéré
par son abscisse curviligne s ,celle- ci étant comprise entre 0 et la longueur 
L de
la poutre. Les efforts exercés par le tronçon [s, L] sur le tronçon [O, 3 ] sont
décrits par une force T(s) appliquée au point M et par un couple F(s). On
désignera par et le vecteur unitaire ta __gent en M à la poutre. La direction de
T(_s;) sera supposée dans le plan (0, ex ,e ), mais pas nécessairement 
colinéaire
à e,.

II.A.1)

a) Préciser l'expression de la densité linéique de forces f (3) décrivant les 
efforts
de pesanteur, le champ de pesanteur --gey et la masse linéique À étant unifor--
mes.

y Figure 1

b) On prend pour système mécanique le tronçon M M ' compris entre les abscis-
ses 3 et s + As ; on appelle G le centre d'inertie de ce tronçon. Représenter 
sur
un schéma les forces s'exerçant sur le système en M , M' et G ; en déduire la
résultante des efforts subis par le système.

c) Donner les contributions au moment en G respectivement de T(s + As) ,
Î"(s + As) exercés en M '(s + As) et du poids du système. Donner de même les 
con-
tributions au moment en G des efforts exercés par le tronçon [O, 3] sur le sys-
tème en M (s) . En déduire le moment résultant en G .

d) Écrire les deux équations vectorielles traduisant l'équilibre du tronçon
[s, s + As] .

II.A.2)
a) Montrer que Tx(3) = TÎÊâ est une constante ; on notera To cette cons-
tante.
. . . . ----+ -->

b) Donner l'équat1on d1fférent1elle rehant Ty(s) : T(s) - ey à X et g

(équation : (l)) (1)

--) --> _,

0) Montrer que F et T sont l1es par

dËîs)+et(S)/\T(S) = 5. (2)

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II.B - Application à de petites déformations élastiques d'une poutre

On utilise le modèle précédent pour
décrire une poutre élastiqueà ; gn intro-
duit pour cela l'angle 6 : (ex, et) où le
vecteur et est toujours le vecteur tangent
àla poutre au point courant. La déforma--
tion du tronçon [s, s + As[ est mesurée
par AO : 6(s + As) -- 6(s) . Dans le domaine
d'élasticité, le moment des efforts est pro-
portionnel à la déformation. D'autre part, un même moment produit une défor--
mation d'autant plus grande que le tronçon est plus long ; la constante de
proportionnalité est ainsi elle-même inversement proportionnelle à As . On peut

donc poser :
-> C -->
F -- ÆAG ' ez \ (3)

\ --> _ _ ----> ---->
ou le vecteur eZ est le vecteur un1ta1re normal au plan (0, ex, e y) dans 
lequel on

suppose localisé le système.

Dans l'approximation des petites déformations, 9 reste faible. Cette approxima-
tion sera utilisée dans toute la suite.

II.B.1)
a) Quelles sont alors les relations entre dx et ds , puis entre 6 et n'(x) ?

b) Donner l'expression approchée de Î" à partir de l'équation (3) en fonction de
n"(x)-

c) Montrer que l'équation (2) permet d'exprimer T y en fonction de C , T0 et de
dérivées de n(x) .

II.B.2) Fléchissement d'une poutre pesante
encastrée à une extrémité.

On choisit l'origine des ordonnées de telle
sorte que n(0) : 0 . L'encastrement est tel que
la tangente à la poutre en x = 0 est horizon-
tale.

a) Compte tenu des conditions aux limites en
x = L, donner les valeurs de T0, Ty (x = L) ,
F (x = L) .

b) Établir, à partir de l'équation différentielle (l) et des résultats 
précédents,
l'expression de Ty(x) .

0) Déterminer n'(0), n"(L) et n"'(L).

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d) Déterminer la loi d'élongation n(x) donnant la forme de la poutre à l'équili-
bre.

e) Préciser le déplacement n(L) de l'extrémité libre.

f) Application numérique : Calculer numériquement le déplacement de l'extré-
mité libre8 pour L = 100 mn, g = 9,81m-s_2, C = 2,12-10_12N-m2,
% = 2, 93 10 8-kg m 1.

H. B. 3) La poutre étant toujours soumise aux efforts de pesanteur envisagés
précédemment, elle est en outre soumise à une force F= Fey appliquée ponc-
tuellement a son extrémité x -- --L .

a) Montrer que

FL3 _4ÀgL
3--0 8C'

b) À partir de quelle valeur de F les effets de pesanteur peuvent-ils être
négligés '?

n(L)-- _ (4)

c) Application numérique : Calculer numériquement le déplacement de l'extré-
mité libre pour L =100um, g = 9,81 m-s--2, C : 2,12-10_12N-m2,
À : 2, 93 - 10_8 kg - nf1 , lorsqu'on applique une force F = --10"8 N à 
l'extrémité de

la poutre.

Partie III - Microscopes à sonde locale

Il est bien sûr essentiel, pour reconstituer des détails fins de la surface,
de contrôler de façon extrêmement fine la position de la sonde d'exploration. Ce
contrôle peut être réalisé au moyen de cales piézo--électriques, dont le 
principe
sera étudié dans le troisième paragraphe.

III.A - Approche de l'origine de la force atomique

III.A.1) Interaction entre ULJ(J) Figure4
deux atomes.

L'interaction entre deux
atomes distants de r peut
être décrite par une énergie
potentielle de Lennard-

Jones (figure 4).
B A
ULJ(r)-- _ -1--2----6 avec
r r ' _10 --10
6 5 - 10"10 1010 15-10

Modèle de Lennard-Jones

A = 10"77 J-m
12

B = 10"134 J-m

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a) Représenter l'allure de la courbe représentative de la force d'interaction 
F(r)
en fonction de la distance r. Préciser si cette force est attractive ou 
répulsive.

b) Déterminer numériquement la distance inter atomique rEUR à l'équilibre.
c) Calculer numériquement F(O, 9 - re) et F(1, 1 -re) . Commenter.

III.B - Modes statiques : mode à hauteur constante et mode asservi

Le mode de fonctionnement le plus direct, dit mode à hauteur constante, consiste
à déplacer la sonde dans un plan au-dessus de l'échantillon (figure 5). On enre-
gistre alors la valeur de la force d'interaction entre l'échantillon et la 
pointe en
fonction des coordonnées x, z dans ce plan. On utilise également un autre mode
de fonctionnement, dit mode asservi, dans lequel la force mesurée est maintenue
constante au cours du balayage, en ajustant, en chaque point x, z de mesure, la
position en y de la sonde. La cale piézo-électrique en y est contrôlée par une
boucle d'asservissement qui impose un balayage à force constante de l'échan-
tillon.

y Figure 5 y Figure 6

Trajectoire de la pointe Trajectoire de la pointe

Mode à hauteur constante Mode à hauteur asservie

III.B.1) Justifier la représentation dans la figure 6 d'une trajectoire de la
pointe parallèle à la surface de l'échantillon.

III.B.2) Ces deux modes de fonctionnement permettent--ils de déterminer la
forme de la surface de l'échantillon si l'on ignore la loi d'interaction entre 
la
pointe et l'échantillon ?

III.B.3) Quels sont, selon vous, les avantages respectifs de ces deux modes ?
III.B.4) Comment peut-on procéder pour accéder à la loi d'interaction ?

Dans la partie HID, on envisagera un troisième mode de fonctionnement du
microscope : le mode vibrant.

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III.C - Étude d'une lame de quartz piézo-électrique

On considère une lame de quartz cylindrique
d'axe Ox et de section S constante ; sur les
faces extrêmes d'abscisses au repos x = --e/ 2
et x : +e/ 2 sont collées deux électrodes
métalliques entre lesquelles on établit la dif-
férence de potentiel

u(t) = V(-- %, )--V(â, ).

Le cristal est légèrement déformable et on note ë(x, t) l'élongation de la 
section
d'abscisse x au repos. Soit F(x, t) la force exercée par la fraction de lame 
située
au repos dans l'intervalle d'abscisses ] x, e/ 2 ] sur la fraction située au 
repos
dans l'intervalle d'abscisses [ --e/2, x [.

En négligeant les effets de bord, on _peut considérer que le champ électrique E
et le déplacement électrique D: sOE + P, où P est le vecteur polarisation, sont

de la forme:

--> --> --> -->
: E(x, t) ex et D : D(x,t) ex.

Au voisinage d'un état d'équilibre, on admet les relations phénoménologiques :

F_ ÊË.
ËEax--g +hD
_D .ôîj,
+hâ_x

où % est le module d'Young du quartz et c sa permittivité diélectrique absolue ;
ces deux coefficients, ainsi que les coefficients piézo-électriques h et h' 
sont des
constantes.

III.C.1) Examiner les cas particuliers D = O, & quelconque, puis & = O, D
quelconque. Commenter.

III.C.2) Comparer les dimensions physiques des coefficients h et h' . Proposer
des unités pertinentes pour ces coefficients.

III. C. 3)

a) Dans le cadre de l'approximation des rég)mes quasi- permanents, écrire les
équations de Maxwell relatives à divD et rotE ,simplifier ces équations dans
le cas où le champ magnétique, ainsi que la densité volumique de charges libres
sont nuls: _ --0 et phbre-- -- 0.

b) Montrer que le vecteur D est uniforme dans le quartz.

c) À la séparation de deux milieux 1 et 2, on rappelle que la discontinuité de 
la
composante normale du déplacement électrique est liée à la densité surfacique

Concours Centrale-Supélec 2000 8/10

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_ \ _ + --> ---> -->
de charges fibres a l'interface par n12 - (Dz--D1) : oliboe, ou n12 est le 
vecteur

unitaire normal à la surface de séparation orienté du milieu 1 vers le milieu 2.

--> , _ -->
Sachant que D est nul dans les électrodes métalhques, expr1mer D dans le
quartz en fonction de la charge q(t) de l'électrode située en x = --e/ 2 et de 
l'aire
S des électrodes.

III.C.4)

a) u désignant la masse volumique du cristal, établir l'équation différentielle
du mouvement d'une tranche de cristal comprise au repos entre les sections x
et x + Ax .

b) Montrer que ë(x, t) est solution d'une équation de d'Alembert et préciser
l'expression de la célérité de propagation c en fonction du module d'Young % et
de la masse volumique u . Vérifier l'homogénéité dimensionnelle du résultat.

c) Application numérique: Pour le quartz, on a ê" : 8,6-1010 Pa et

u = 2, 7 - 103 kg - m--3 . Calculer numériquement c et commenter.

III.C.5) On applique maintenant une force ? constante sur la section d'abs-

cisse initiale x = e/ 2 , la section d'abscisse x = --e/ 2 étant maintenue 
immobile.
Cette opération est réalisée de façon quasi-statique, tandis qu'un générateur
maintient une différence de potentiel continue u entre les deux électrodes.

a) Déterminer l'expression de l'élongation locale E,(x) à l'équilibre en 
fonction
de e , x et de l'allongement total X = &(e/ 2) .

b) Exprimer le champ électrique en fonction de u et de e .

c) Établir l'identité thermodynamique dU : Td 5"+ FdX +eSEdD où U dési-
gne l'énergie interne, T la température thermodynamique et .? l'entropie du
quartz.

d) Montrer que les coefficients piézo-électriques h et h' s'expriment simple-
ment en fonction de S et de dérivées secondes de U . En déduire une relation
entre h et h'.

e) Application numérique : On donne e = 1 mm, h = 4,3 - 109 8.1. ,et
8 = 4,5 - 80 = 4- 10'11 F - m_1. Calculer l'allongement X du cristal soumis à 
une
force F nulle et à une tension continue u = 100 V ; commenter.

III.D - Mode vibrant

Une alternative aux modes statiques décrits précédemment est une étude du
comportement de la poutre en régime d'oscillations forcées.

III.D.1) Pour simplifier l'étude du mouvement de la pointe liée à la poutre, on
considérera que ce mouvement est identique à celui d'un système masse-ressort,
l'élongation de la masse correspondant au déplacement transversal de l'extré-
mité de la poutre.

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a) Soit un ressort de raideur k , à l'extrémité inférieure duquel on accroche 
une
masse m . On désigne par n l'écart par rapport à la position d'équilibre. 
Établir
l'équation différentielle en n si l'extrémité supérieure est fixe et les 
frottements
négligeables.

b) On impose à l'extrémité supérieure un mouvement oscillant de loi horaire
B(t) : BO sinoet . Déterminer l'amplitude H des oscillations de la masse m et la
pulsation (00 pour laquelle cette amplitude présente une singularité.

c) Expérimentalement, on trouve H = 100 S pour (0 = (00. Montrer que ce
résultat est compatible avec un frottement proportionnel à la vitesse de la
masse m et préciser la valeur du facteur de qualité Q de l'oscillateur.

d) Outre la force de frottement précédente et la force de rappel élastique, la
masse m est soumise à une force F(n) dépendant de la position de cette masse.
La position d'équilibre du système est alors no. On effectue un développement
limité à l'ordre 1 de F au voisinage de n ; montrer que l'on obtient alors un
oscillateur amorti de pulsation oe* : Jk*/m, où k* est une raideur effective
s'exprimant en fonction de la raideur k du ressort et d'une dérivée de F.

IH.D.2)

a) On applique le modèle dynamique précédent au microscope à force atomique.
En utilisant l'équation (4), déterminer la valeur du coefficient de raideur k en
fonction de C et L.

b) Estimer l'ordre de grandeur de la masse oscillante m et en déduire celui de
la pulsation propre d'un microscope utilisant la poutre étudiée dans la seconde
partie.

c) Justifier pourquoi on dit qu'en mode vibrant, le microscope à force atomique
est sensible aux gradients de force ?

d) Un déplacement du pic de résonance vers les basses fréquences indique-t-il
une force attractive ou répulsive ?

III.D.3) Les valeurs des déplacements mesurés avec les cales piézo-électriques
nécessitent d'analyser l'influence de l'agitation thermique sur les oscillations
erratiques de l'extrémité de la poutre. En considérant que l'oscillateur a un 
seul
degré de liberté, un théorème de Mécanique Statistique, le théorème d'équipar-
tition de l'énergie, indique que l'énergie cinétique moyenne et l'énergie poten-
tielle moyenne valent chacune (1/ 2) kBT , où kB : 1, 38 - 10_23 J - K_1 . 
Déterminer
l'écart quadratique moyen de la position de la masse par rapport à sa position
d'équilibre dû à l'agitation thermique. Faire l'application numérique pour la
température ambiante. Y a-t-il lieu de refroidir le système expérimental ?

00. FIN 000

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