CCINP Physique 2 PC 2014

SESSION 2014 PCP2008

.::=_ CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids.

PROBLEME A : THERMODYNAMIQUE DANS UN REACTEUR A EAU PRESSURISEE

Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée 
par la fission de
noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau 
d'un premier circuit
appelé circuit primaire. Ce dernier va transférer son énergie thermique, via un 
échangeur appelé
générateur de vapeur, à un deuxième circuit : le circuit secondaire. L'eau du 
secondaire subit un
cycle thermodynamique qui consiste en une vaporisation au niveau de la source 
chaude, une détente
de la vapeur dans une turbine (reliée à un alternateur qui va produire de 
l'électricité), une
condensation de la vapeur sortant à basse pression de la turbine et une 
compression de l'eau
condensée afin de ramener cette eau àla pression initiale.

Ce problème a pour objectif d'étudier des aspects thermodynamiques du circuit 
secondaire et ce,
systématiquement, en régime permanent.

1/11

Données :

Pression de enthalpies massiques (kJ .kg") entropies massiques (kJ .K'1 kg")
sïtÎiiîiiî e à l'état de à l'état de vapeur à l'état de à l'état de vapeur
(bar) liquide saturant : saturante : liquide saturant : saturante :
1bar=105 Pa '" "" S' S"
0,05 137,8 2 561,6 0,4763 8,3960
10 762,6 2 776,2 2,1382 6,5828
70 1267,4 2773,5 3,1219 5,8162
Tableau 1

On rappelle que l'enthalpie massique h d'un mélange diphasique de titre 
massique en vapeur x est
donnée par la relation : h : x.h" + (1-x).h', où h" et h' sont respectivement 
les enthalpies
massiques à l'état de vapeur saturante et à l'état de liquide saturant. Par 
ailleurs, l'entropie massique
s d'un mélange diphasique de titre x est donnée par la relation : s : x.s" + 
(1-x).s', où s" et s' sont
respectivement les entropies massiques à l'état de vapeur saturante et à l'état 
de liquide saturant.

A1- Etude thermodynamique du circuit secondaire simplifié
Le circuit secondaire est constitué du générateur de vapeur (G.V.), d'une 
turbine (T) reliée à un

alternateur, d'un condenseur (C) et d'une pompe d'alimentation secondaire (P), 
comme précisé en
figure 1.

_, > = Turbine (T)
1
Circuit primaire @ Alternateur
° G.V.
O 2 |»

il 0 CD Condenseur (C)

Pompe (P) 3

Figure 1 : circuit secondaire simplifié

Pour l'ensemble du problème, nous négligerons les frottements ainsi que les 
variations d'énergie
cinétique et d'énergie potentielle du fluide secondaire. L'expression du 
premier principe pour
une masse m = 1 kg de fluide en écoulement au travers d'une machine est : Ah : 
W,- + qe, où Ah
représente la différence hs --he entre les enthalpies massiques (en k] .kg") du 
fluide à la sortie hs et
a l'entrée he de la machine, W, le travail massique indiqué, c'est-à-dire le 
travail massique (en
kJ.kg") échangé entre une masse m = 1 kg de fluide et les parois mobiles de la 
machine, qe le

transfert thermique entre le kilogramme de fluide et la machine (en k] kg"). 
Dans le condenseur et
le générateur de vapeur il n'y a pas de pièce mobile.

2/11

A1.1- Questions préliminaires

A1.1.1- Sur un diagramme de Clapeyron (figure 2) que vous reproduirez, préciser 
la position du
point critique, les parties courbes de rosée et d'ébullition. Indiquer 
également les domaines du
liquide, du mélange diphasique et de la vapeur surchauffée. Mentionner où se 
trouve le liquide
saturant et la vapeur saturante.

Pression P (Pa) "

Courbe de saturation

/

> Volume massique
v (m3.kg'l)

Figure 2 : diagramme de Clapeyron

A1.1.2- Sur le diagramme de Clapeyron de la figure 3, l'allure de l'isotherme 
correspondant à la
température T = 306 K a été représentée. Justifier l'allure de cette isotherme 
pour chaque
domaine. On pourra, dans le domaine de la vapeur surchauffée, se référer au 
modèle du gaz
parfait. Tracer l'allure de l'isotherme correspondant à la température T = 559 
K sur un diagramme
de Clapeyron que vous reproduirez et où apparaît l'allure de l'isotherme 
correspondant
à la température T = 306 K.

Pression P (Pa) "

Isotherme T = 306 K

/
/ \_

Volume massique
v (m3.kg'l)

Figure 3 : isotherme dans le diagramme de Clapeyron

A1.1.3- Démontrer qu'une transformation adiabatique réversible est une 
transformation
isentropique .

A1.1.4- En considérant que l'eau liquide dans une pompe est incompressible et 
de volume massique
v = 10"3 m3.kg'l, calculer le travail massique indiqué w,-p échangé par l'eau 
circulant dans une
pompe, en considérant la transformation adiabatique réversible et une 
augmentation de pression de
AP : 70 bar. On rappelle que la variation élémentaire de l'enthalpie massique 
dh du fluide peut
s'écrire: dh=T--ds+v-dP.

3/11

Ce travail peut être considéré comme négligeable devant les autres échanges 
énergétiques ; dans
toute la suite du problème, le travail indiqué échangé par un liquide sera 
systématiquement
considéré comme nul.

En déduire alors, que l'enthalpie massique du liquide reste constante lors de 
son passage dans une
pompe.

A1.2- Etude du cycle thermodynamique simplifié
Le fluide secondaire subit le cycle thermodynamique suivant :
0 l + 2 : détente adiabatique réversible dans la turbine,
2 + 3 : liquéfaction isobare totale dans le condenseur,
3 + 4 : compression adiabatique réversible dans la pompe d'alimentation 
secondaire,
4 + 1 : échauffement puis vaporisation isobare dans le générateur de vapeur 
saturante.

Le tableau suivant précise l'état thermodynamique du fluide secondaire en 
certains points du cycle :

Point Pression Tempé- Etat du fluide Enthalpie Entropie
(bar) rature secondaire massique massique
1 bar = 105 Pa (K) (kJ.kg") (kJ.K".kg")
] 70 559 Vapeur saturante 2 773,5 5 ,8162
2 0,05 306 Mélange diphasique
3 0,05 Liquide saturant 137,8 0,4763
4 70 Liquide sous-saturé
Tableau 2

A1.2.1- Tracer dans un diagramme de Clapeyron l'allure du cycle thermodynamique 
subi par le
fluide secondaire. Y placer notamment les points 1, 2, 3 et 4.

A1.2.2- Calculer, en sortie de turbine, le titre X2 et l'enthalpie massique h2 
du fluide. En déduire le
travail massique indiqué wiT échangé par le fluide dans la turbine. On rappelle 
que le titre
correspond àla fraction massique de la vapeur dans le mélange liquide--vapeur.

Une vapeur humide est d'autant plus corrosive pour les pales de la turbine que 
son titre est faible,
que pensez-vous de la détente étudiée ?

A1.2.3- Déterminer la température T3 et la valeur du titre X3 du fluide en 
sortie du condenseur.
Calculer la chaleur massique qu échangée par le fluide avec le condenseur.

A1.2.4- Calculer la chaleur massique 6]er échangée par le fluide dans le 
générateur de vapeur.

A1.2.5- Calculer le rendement de ce cycle thermodynamique 77...æ puis celui de 
Carnot 77Camot en
utilisant les mêmes sources chaude et froide. D'où provient la différence de 
rendement entre ces
cycles ?

A2- Etude thermodynamique du circuit secondaire réel

Afin d'optimiser la qualité de la vapeur utilisée (augmentation du titre en 
sortie de turbine),
l'industriel utilise un circuit secondaire plus complexe, représenté àla figure 
4 de la page 5.
On rappelle qu'à chaque échangeur du circuit à plusieurs entrées/sorties, la 
conservation de

l'énergie impose un bilan de puissance sous la forme générale : sze -he =Z D... 
-hs , où he et hs
sont respectivement les enthalpies massiques d'entrée et de sortie de 
l'échangeur concerné, Dme et

D... les débits massiques d'entrée et de sortie de l'échangeur concerné.

4/11

--  @

Surchauffeur

V

GV

Les turbines haute pression (HP) et basse pression (BP) entraînent 
l'alternateur.

\ _.
110)

@@

Turbine
HP

As sécheur
Séparateur

V

Réchauffeur

Pompe alimentaire

Turbine
BP

' _

Détendeur

Alternateur

d'extraction

Condenseur

Pompe

l
)

Figure 4 : circuit secondaire industriel

Le débit massique de vapeur en sortie du générateur de vapeur vaut Dml= 1 500 
kgs", le débit

massique de vapeur alimentant le surchauffeur est Dm11 : 100 kgs".

Le tableau suivant précise l'état thermodynamique du fluide secondaire en 
certains points du cycle :

Point Pression Tempé- Etat du fluide Enthalpie Entropie
(bar) rature secondaire massique massique
1 bar = 105 Pa (K) (kJ.kg") (kJ.K".kg")
1 70 559 Vapeur saturante 2 773,5 5 ,8162
2 10 453 Mélange diphasique
3 10 Vapeur saturante
4 10 Liquide saturant
5 10 250 Vapeur surchauffée 2 943,0 6,9259
6 0,05 Mélange diphasique
7 0,05 Liquide saturant
8 10 Liquide sous-saturé
9 10 Liquide sous-saturé
10 70 Liquide sous-saturé
1 1 70
12 10

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A2.1- En considérant qu'une partie du fluide primaire effectue une détente 
adiabatique réversible
dans la turbine haute pression (HP), déterminer les valeurs de l'entropie 
massique 82, du titre X2 et
de l'enthalpie massique h2 au point 2.

Calculer le travail massique indiqué w,--THP échangé par le fluide dans la 
turbine HP. En déduire la
puissance PHP développée par la turbine HP.

A2.2- Un assécheur-séparateur permet la séparation du mélange diphasique obtenu 
au point 2 en,
d'une part, de la vapeur saturante au point 3 et d'autre part, du liquide 
saturant au point 4. Ecrire
deux relations vérifiées, au niveau de l'assécheur-séparateur, par les débits 
massiques D D

m2 ' m3 '
D...4 et les enthalpies massiques h2, kg et m. Donner l'expression, en fonction 
de Dm2 , h2, kg et m,
des débits massiques D...3 et Dm4 aux points 3 et 4. Calculer la valeur de ces 
débits massiques.

Exprimer les débits massiques D...3 et Dm4 en fonction du titre X2 et du débit 
massique Dm2 .

A2.3- Une partie du fluide issu du générateur de vapeur circule dans un 
surchauffeur pour échanger
une partie de son énergie à la vapeur saturée issue de l'assécheur-séparateur 
afin de la surchauffer.
A partir d'un bilan de puissance sur le surchauffeur, déterminer l'enthalpie 
massique du fluide km
au point 11.

A2.4- La puissance PBP développée par la turbine basse pression (BP) vaut PEP 
=963 MW.
Calculer le travail massique indiqué w,--TBP échangé par le fluide dans la 
turbine BP. Déterminer la
valeur du titre x6 au point 6.

A2.5- Calculer la chaleur massique qu échangée par le fluide au condenseur.

A2.6- Un détendeur est un organe adiabatique qui ne présente pas de parois 
mobiles et qui permet
au fluide d'abaisser sa pression. Montrer qu'une des grandeurs d'état reste 
constante lors de
l'écoulement d'un fluide au travers d'un détendeur. Comment s'appelle ce type 
de détente ? Est-elle
réversible ?

A2.7- A l'aide d'un bilan de puissance sur le réchauffeur, déterminer 
l'enthalpie massique kg au
point 9. Quel est le rôle du détendeur ?

A2.8- Calculer la chaleur massique 6]er échangée par le fluide dans le 
générateur de vapeur. En
déduire la puissance PGV générée par le générateur de vapeur.

A2.9- Calculer le rendement de ce cycle thermodynamique 77...æ. Le comparer 
avec le rendement
du circuit simplifié et en déduire quel pourrait être l'avantage principal du 
cycle réel.

6/11

PROBLEME B : RAYONNEMENT

On suppose, dans ce problème, que la vitesse des particules chargées est très 
inférieure à la vitesse
de la lumière dans le vide, ce qui revient à négliger toute correction 
relativiste. Les effets de la
gravitation seront également négligés.

Données :
La charge électrique élémentaire vaut 6 = l, 60 - 10_19 C.
La vitesse de la lumière dans le vide vaut c = 3,00.108 m.s'l.

La splitéabilité et la permittivité du vide valent : ,uO = 4 - 75-10'7 H.m'1 et 
80 = W F m
. fl' .

B1- Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

-->-->-->

B1.1- On considère un référentiel 9î galiléen muni d'un repère cartésien 
(O,ex,ey,ez). Une

_»

particule chargée de charge q positive et de masse m pénètre avec un vecteur 
vitesse 170) = vo -ex au
point 0 de coordonnées (0,0,0) dans une région de l'espace où règne un champ 
magnétique
uniforme Ë =B-eî perpendiculaire à 170) (figure 1). Montrer que cette particule 
décrit, à vitesse

. . . . m-v
constante, une trajectone plane et c1rcula1re de rayon de courbure R = BO . 
Pour cela, vous
q.
pourrez, notamment, introduire la quantité complexe @ (t) = x(t) + j - y(t) .
-->A
ey
VO _)
---------- >-------- -
O \_\\--> ex
@ ez \ @ B
?

Figure 1 : trajectoire d'une particule de charge q positive dans
une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme

B1.2- Pour séparer les deux isotopes naturels de l'Uranium, l'uranium 238 et 
l'uranium 235, il avait
été envisagé d'utiliser un spectrographe de masse. Cet appareil comporte trois 
parties, représentées
en figure 2, page 8, où règne un vide poussé. Les atomes d'uranium sont ionisés 
dans une chambre

d'ionisation en ions U + de char e électri ue + =e d'où ils sortent ar la fente 
F1 avec une
g q % P

vitesse négligeable. Ces ions sont accélérés par un champ électrostatique 
uniforme imposé par une
tension W = VP2 --VP1 entre deux plaques P1 et P2. Enfin, les ions pénètrent 
dans une chambre de

déviation où règne un champ magnétique uniforme Ë (B = 0,1 T) perpendiculaire 
au plan de la
figure. Ils décrivent alors deux trajectoires circulaires de rayons R1 et R2 et 
parviennent dans deux
collecteurs C1 et C2.

Calculer la tension W pour que la distance entre les collecteurs soit égale à d 
= 2 cm.
Les masses de l'uranium 235 et de l'uranium 238 sont: m... = 235 u.m.a. et mU8 
= 238 u.m.a..
Une unité de masse atomique (uma) vaut : l u.m.a. : 1,66.10'27 kg.

7/11

Chambre
d'ionisation

Rayon R1

Rayon R2

Figure 2 : schéma de principe du spectrographe de masse

B2- Le cyclotron

Le cyclotron est formé de deux demi--cylindres conducteurs creux D1 et D2 
dénommés dees et
séparés par un intervalle étroit. Un champ magnétique uniforme Ë (B = 1,0 T) 
règne à l'intérieur
des dees, sa direction est parallèle à l'axe de ces demi-cylindres. Un champ 
électrostatique variable
Ë peut être établi dans l'intervalle étroit qui sépare les dees en appliquant 
entre les dees une tension
alternative sinusoïdale u(t) qui atteint sa valeur maximale U m = 105 V lorsque 
le proton traverse cet

espace. Les protons, de masse mp : 1,67.10'27 kg et de charge électrique qp : 
6, sont injectés au
centre du cyclotron avec une énergie cinétique négligeable. Dans chaque dee, 
ils décrivent des
trajectoires demi--circulaires de rayon croissant. Le rayon de la trajectoire 
des protons a la sortie du
cyclotron est RS : 50 cm.

A

@@ ®ë

V

V

dee D1 dee D2

u(t)=Um-Sin(2-7Z-f-t)

Figure 3 : schéma de principe du cyclotron

8/11

B2.1- Donner l'expression littérale de la durée T1/2 mise par un proton pour 
effectuer un demi-tour
en fonction de mp, 6 et B. Qu'en déduisez-vous '?

B2.2- Justifier le choix d'une tension u (t) alternative sinusoïdale.

B2.3- En déduire l'expression, puis la valeur de la fréquence f de la tension 
alternative sinusoïdale
u(t)=Um -sin(2-7z- f -t) pour que les protons subissent une accélération 
maximale à chaque

traversée. On négligera le temps de parcours d'un dee a l'autre.

B2.4- Déterminer l'expression, puis la valeur de l'énergie cinétique ECS des 
protons a la sortie du
cyclotron.

B2.5- Déterminer l'expression du nombre de tours N effectués par les protons 
dans le cyclotron
jusqu'à leur sortie en fonction de : e, R,, B, mp et U.... Effectuer 
l'application numérique.

B2.6- Puissance rayonnée.
Pour une particule non relativiste, toute particule chargée de charge q et 
d'accélération a rayonne

P =fl0'q2

, -a2. On rappelle que c est la
6-75-c

une puissance Pr, donnée par la formule de Larmor:

vitesse de la lumière dans le vide.

B2.6.1- Montrer qu'une particule chargée de charge q, de vitesse v, qui décrit 
une trajectoire
circulaire de rayon R, rayonne une puissance P,, de la forme : R = a-v4. 
Exprimer le coefficient 0!
en fonction de q, (2, ,ng et R.

B2.6.2- Calculer l'énergie rayonnée par le proton dans le cyclotron lors de sa 
dernière trajectoire
demi-circulaire de rayon R, = 50 cm. Conclure.

B3- Modèle microscopique de l'électron élastiquement lié

Lorsqu'une onde électromagnétique rencontre un atome, elle interagit avec les 
électrons de cet
atome. Il apparaît ainsi un moment dipolaire oscillant, source d'émission d'un 
rayonnement de
même fréquence que l'onde incidente excitatrice. Nous allons considérer ici que 
le milieu est
suffisamment dilué (atomes peu nombreux par unité de volume) pour que le champ 
électrique créé
par les atomes excités dans le milieu soit négligeable devant le champ 
électrique incident.

B3.1- On envoie dans le milieu une onde électromagnétique monochromatique, 
plane, progressive,

polarisée rectilignement selon l'axe (02), de champ : {Ê(M,t) ; Ë(M,t)}. Donner 
l'expression

littérale de la force de Lorentz F a laquelle est soumis un électron, possédant 
un vecteur vitesse ;
situé en M.

B3.2- L'atome va être modélisé de la façon suivante. Le centre d'inertie sera 
placé en O et un
électron de masse me, de charge électrique qe= - 6, situé au point M, sera 
soumis a une force de

, une force de Lorentz F ,

rappel élastique : --me wâ -OM , une force de frottement : --me -F-

où (00 et F sont des constantes caractéristiques de l'atome.

9/11

. . . , E' - , ° , r \
B3.2.1- Pour un m1heu d11ue, on aura : B, E --'. En cons1derant que la v1tesse 
de l electron est tres
(:

petite devant la vitesse de la lumière dans le vide (approximation non 
relativiste), simplifier
l'expression de la force de Lorentz a laquelle il est soumis.

B3.2.2- Montrer, qu'au niveau atomique (dimension de l'ordre du dixième de 
nanomètre), nous
pouvons négliger la variation spatiale d'une onde électromagnétique excitatrice 
associée à de la
lumière visible.

B3.2.3- Rechercher l'expression complexe du mouvement forcé de l'électron
E = O_M = a - exp(jæt) en considérant Ê(O,t)= É, - exp(jæt) .

B3.3- Puissance rayonnée.

B3.3.1- En considérant que l'onde incidente est polarisée rectilignement selon 
l'axe (02) de vecteur
unitaire EUR : É (M, [) = EO -exp ( jwt) - EUR , donner l'expression littérale 
de l'amplitude pg du moment

dipolaire ; acquis par l'atome. En déduire, en utilisant la formule de Larmor 
sous la forme:

4 2
P,(a))=flo.w 'P0

12 , l'expression de la puissance moyenne P, (a)) alors rayonnée.
-7z - c

B3.3.2- Représenter l'allure de la puissance moyenne P,(a)) rayonnée. Préciser, 
en particulier,

l'expression de la pulsation a), pour laquelle elle est maximum (considérer que 
F> 8; > 0 , trouver l'expression de n' en fonction de e, N, me, 80 , F, (00 
et a).

10/11

B3.4.3- Montrer qu'à basse fréquence (w<< (00) et lorsqu'il y a une faible dissipation (F << (00 ), on retrouve la loi de Cauchy n'(Â)=1+B+%. Pour cela, vous utiliserez l'approximation: @: _ 1 . 2 (1 + 9) z 1+ 9- 05 lorsque 19-04 << 1 , en cons1dérant que -- - N_62 << 1 . Donner les 2 80 -me -w0 expressions littérales de B et C en fonction de : e, N, me, 80 , (00 etc. On peut rendre compte des mesures de n'(Â) du dihydrogène gazeux dans les conditions normales de pression et de température (0 °C, 1 bar), pour des longueurs d'onde comprises entre 500 nm et 9,210" 600 nm, par la relation : n' /1 =1+1,365-10'4 + où Â est ex rimé en m. /12 p En admettant que les résultats précédents se généralisent a une vapeur moléculaire et en remarquant que la molécule de dihydrogène possède deux électrons actifs, en déduire une valeur de la masse de l'électron me. Commenter le résultat obtenu. Données : Constante d'Avogadro N A : 6,02.1023 mol--1. Volume molaire d'un gaz parfait (à P = 1 bar, T = 0 °C) : V... : 22,4.10'3 m3.mol'l. Fin de l'énoncé 11/11