CCP Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Effets de moyenne en régimes oscillatoires rapides. Propagation le long de lignes à constantes réparties.
Principaux outils utilisés ondes, interférences, diffraction, électrocinétique, transfert thermique
Mots clefs moyenne temporelle, circuit RC, effet Joule, détection synchrone, différence de marche, réseau holographique, battements, effet Doppler, onde évanescente, conductance thermique, convection, conduction, bilan thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A PCP2008

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

SESSION 2009

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées
***

Les deux problèmes sont indépendants.

Leur poids est approximativement 60% pour le premier et 40% pour le second
***

N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives

qu 'il a été amené à prendre.
***

PROBLÈME 1
EFFETS DE MOYENNE EN RÉGIMES OSCILLATOIRES RAPIDES

Lorsque, sous l'action d'une sollicitation périodique, un système présente une 
trop grande inertie
pour pouvoir changer rapidement d'état, on admet en général qu 'en régime 
établi, au terme d'un
grand nombre de périodes, ce système tend à se positionner dans un état 
d'équilibre proche d'une
valeur moyenne calculée pendant une période. Un tel eflet peut aflecter les 
mesures d'un grand
nombre de capteurs, dans tous les domaines de la physique. Quelques exemples 
variés, débouchant
sur des applications notables, sont présentés dans ce problème.

Formulaire :
200sa cos b : cos(a -- b) + cos(a + b)

20052 a = 1 + cos(2a)

a+b a--b
cosa+cosb=2oes( 2 )cos( 2 ]

--ia eia _ e--ia
2i

On considérera que la lettre i désigne le nombre complexe de module unité et 
d'argument n/2 .

eia+e .
cosa=------------ ' s1na=
2 ,

Avertissement : Dans tout ce qui suit, par le terme de "moyenne", utilisé sans 
autre précision, on
entendra "valeur moyenne temporelle"'et, sauf indication contraire, on fera 
l'hypothèse que toute
"moyenne" est definie dans un intervalle de temps très supérieur à la période 
la plus élevée de tous

les termes sinusoïdaux à considérer.
1/11

1) Questions préliminaires

1.1) Le développement en série de Fourier d'une fonction périodique p(t) se 
trouve quelquefois
limité à un petit nombre de termes; ce déve10ppement peut alors, parfois, 
s'obtenir à l'aide de
formules trigonométriques simples. Déterminer ainsi le développement de Fourier 
de la fonction

périodique suivante : p(t) =cos(oet) cos(oet+cp). En préciser la pulsation 
fondamentale et ses

harmoniques éventuels. Quel lien existe-t-il entre la composante continue d'un 
tel développement et
la valeur moyenne de p(t) pendant une période ?

1.2) On considère la somme s(t) de deux sinusoïdes de même pulsation oe , 
présentant entre elles

un déphasage (p : s(t) : A cos est + B cos ( oet + (p) . Exprimer la moyenne < 
sz(t) > du carré de
cette somme.

1.3) On considère maintenant deux sinusoïdes de pulsations différentes : co et 
Q .

Exprimer la moyenne du produit P(t) : cos(oet) cos(Qt + (p) puis en déduire la 
moyenne < 82( t) >
du carré de la somme S(t) : A cosoet + B cos (Qt + (p) .

2) Effet d'inertie thermique
Lorsqu'un radiateur électrique, de résistance R , est branché sur le secteur 
dont la fréquence est
égale à 50 Hz , son équilibre thermique ne peut évoluer aussi rapidement que le 
courant électrique

qui l'alimente. Sa température se fixe sur une moyenne qui dépend de la 
puissance moyenne
dissipée par effet Joule.

2.1) Exprimer cette puissance moyenne PJ dans le cas où la tension secteur v(t) 
est perturbée par
la présence d'un harmonique de pulsation 3co :

A
v(t) : V [cosoet +0,18 cos(3oet + (p)] .

2.2) La résistance R est maintenant alimentée par une tension continue V . 
Exprimer la puissance

P'J dissipée par effet Joule dans R . On ajuste la tension V de telle sorte que 
P] = P'J . Comment

est alors appelée la valeur particulière de V obtenue ?

/\
2.3) Calculer la valeur numérique de l'amplitude V sachant que la valeur 
efficace de la tension

mesurée aux bornes du secteur est égale à 230 volts.

3) Effets de moyenne en électrocinétique

3.1) Filtrage des ondulations autour de la valeur moyenne d'un signal

/\
3.1.1) Une tension périodique v(t) : Vcos2 (00 t) est appliquée à l'entrée du 
circuit schématisé sur

la figure 1. Démontrer que la tension u(t) mesurée aux bornes du condensateur 
de capacité C est
A A
. , . . , . du V V
solut10n de l'equat10n d1fferent1elle : u + 'c a-- : --2---+ îcos(2oet).

Préciser la valeur de la constante de temps "[ en fonction de R et de C .

2/11

Figure 1

3.1.2) La solution de cette équation différentielle, représentant le régime 
forcé (appelé aussi régime
établi), peut s'écrire comme la somme des solutions particulières des équations 
différentielles
suivantes :

/\
U+TOE=Y-- [l]
dt 2
u + T%= %cos(2oe t) [2]

a) Dans l'hypothèse où le condensateur ne porte aucune charge à l'instant t=O , 
résoudre la première
[l] de ces équations et déterminer la valeur de sa solution en régime établi.

b) A l'aide de la notation complexe, préciser la solution de l'équation [2] en 
régime établi et
démontrer que celle-ci a une amplitude qui tend vers zéro lorsque RC >> 1/(2 @) 
.

3.1.3) Dans le cas où 0) = 100 n rad/S : déterminer la condition, concernant la 
résistance R , qui

permet d'obtenir, en régime établi, aux bornes d'un condensateur de capacité C 
= 100 uF , une
tension telle que l'ondulation ait une amplitude inférieure au centième de la 
composante continue.

3.2) Détection synchrone

/\
Un signal harmonique v( t) : Vcosoet dont on veut mesurer l'amplitude est 
bruité par un signal

parasite u(t) = Ucos(Qt + (p) de fréquence différente. Alors, la mesure 
effectivement obtenue se

/\ /\
trouve être égale àla somme : s(t) : Vcosoe t + Ucos(Qt + (p) .

3.2.1) Au moyen de procédés électroniques connus, on multiplie dans un premier 
temps le signal

/\
s(t) par un signal auxiliaire synchrone au premier : W(t) = W cos(oet + oc)

puis on effectue la moyenne du produit obtenu. Exprimer cette moyenne u = < 
s(t).w(t) > .

3.2.2) Pour terminer, on règle à 2 volts l'amplitude du signal auxiliaire puis 
l'on fait varier son

déphasage jusqu'à obtenir une moyenne maximale. Pour quelle valeur de on ce 
maximum est-il
atteint ? Quelle est sa relation avec l'amplitude recherchée ?

3/11

4) Effets de moyenne dans les capteurs optiques

4.1) Sensibilité des instruments d'optique

4.1.1) Préciser les longueurs d'onde ainsi que les fréquences du spectre 
visible pour l'oeil. On
prendra pour vitesse de la lumière dans le vide c = 3.108 m/s .

4.1.2) Du fait de la valeur élevée des fréquences lumineuses, l'oeil, comme la 
plupart des détecteurs
de lumière n'est sensible qu'à la valeur moyenne du carré du champ électrique 
associé à l'onde
lumineuse. Dans la théorie scalaire de la lumière, une onde lumineuse est 
caractérisée, en un lieu

donné, par une grandeur scalaire s(t) , appelée aussi vibration lumineuse. Elle 
produit, en ce lieu,
un signal lumineux dont l'éclairement E est défini par la valeur moyenne du 
carré s2(t) de cette
grandeur.

Que vaut l'éclairement dans le cas où s(t) : Acos(oe t + (p) ?

4.2) Interférences de deux ondes planes
4.2.1) On étudie la superposition de deux vibrations lumineuses sl(t)=A1 
cos(oe1t+(pl) et

52 (t) : A2 cos(oe2 t+ (p2) en un point M d'un écran, les déphasages (p1 et (p2 
dépendant de la

position du point M sur l'écran. De la réponse à la question (1.3) déduire la 
valeur de l'éclairement
£(M) du signal résultant en M , en fonction des éclairements & et 82 associés à 
chaque vibration

lumineuse sl(t) et s2(t) . Conclure quant à la possibilité d'obtention d'un 
phénomène d'interférences
sur l'écran à partir de deux ondes de fréquences différentes.

4.2.2) Rappeler les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences 
lumineuses à deux
ondes. Comment obtient--on en pratique deux sources lumineuses obéissant à ces 
conditions '?

4.2.3) Deux ondes planes de même pulsation co et de longueur d'onde identique À 
, issues de deux
sources à l'infini, se propagent dans le vide (Figure 2) selon des vecteurs 
d'onde contenus dans le
plan de figure. Elles sont reçues sur un écran plan (P) perpendiculaire au plan 
de figure. L'une est
dirigée normalement au plan (P) et sa vibration dans ce plan sera représentée 
par un scalaire :

s() : AO cos oet . L'autre, s1 , qui possède une amplitude A1 , est reçue sous 
l'incidence 9 .

(P) On choisira pour origine des abscisses, sur
l'intersection du plan (P) avec le plan de figure, un
point particulier 0 où les vibrations so et sl sont

X
9 en phase.
a) En précisant avec soin toutes justifications utiles,
exprimer la différence de marche 6 , à l'abscisse x ,
9 0 entre les deux rayons issus de chaque source.
b) En déduire l'expression de la vibration de l'onde
Sl(X,t) .
Dans tout ce qui suit, pour simplifier les calculs,
ceux--ci ne seront développés que dans le plan de la
Figure 2 figure 2 .

4.2.4) Calculer l'éclairement E résultant sur le plan (P), en fonction de x , 9 
, X et des
éclairements E0 et E1 de chaque vibration s0 et s1 .

4/11

4.2.5) Définir puis calculer l'interfrange et le contraste obtenus dans 
l'hypothèse où : A. = 633 nm ,
9=30° et A0=2A1.

4.3) Principe de ! imagerie par difflaction

4.3.1) Les réponses attendues doivent être brèves et données sans démonstration.
- Expliquer en quoi le phénomène de diffraction s'écarte de l'optique 
géométrique.
- Enoncer le principe d'Huygens-Fresnel.

4.3.2) Par un procédé photographique de type "holographique", on réalise un 
film dont la
transparence T(x) , appelée aussi transmittance, est proportionnelle à 
l'éclairement E dans le plan
(P) de la figure 2, soit:

T(x)= u E =oc + B cos{2n xs1n9]

À

Exprimer les paramètres on et B en fonction des résultats obtenus àla question 
(4.2.4).

4.3.3) On dispose le film à la place de l'écran (P) puis on l'éclaire par le 
même faisceau 50 que
précédemment, mais en ayant supprimé le faisceau sl (Figure 3).

De la sorte, l'amplitude de la vibration issue d'un élément de longueur dx , au 
niveau de la partie
droite du plan (P), immédiatement après le film, est égale à : ds : ao T(x) dx .

a) Justifier rapidement que a() = A() Z , si EUR représente la largeur de la 
zone éclairée sur l'écran

perpendiculairement au plan de figure.

b) L'amplitude complexe de l'onde diffractée par l'élément dx dans la direction 
'l' , s'écrit en un
2% 8'

À
lorsque le rayon passant par O est pris à l'infini comme origine des phases.
c) Calculer l'amplitude complexe de l'onde résultante à l'infini, diffractée 
dans la direction T ,

onde issue d'un segment limité par les points d'abscisse h/2 et --h/2 .

point rejeté à l'infini : ds'= aOT(x) exp(i )dx . Exprimer 6' en fonction de x 
et de T ,

(P)

0

Figure 3

4.3.4) Déterminer, dans la limite où h >> À , les directions privilégiées dans 
lesquelles l'on pourra
observer de la lumière à l'infini.

4.3.5) On observe la lumière diffractée dans le plan focal d'une lentille 
convergente de distance

focale égale à f = 30 cm . Dessiner le cheminement de la lumière et déterminer 
les positions des
différents maxima de l'éclairement dans le plan focal, lorsque 9 = 10°.

5/11

4.4) Phénomène de battements
On peut admettre qu'un capteur soumis à une excitation périodique n'en détecte 
que la moyenne

temporelle, seulement si son temps de réponse est très nettement supérieur à la 
période de

l'excitation. Cependant, il est des cas où - par exemple - la composition de 
deux signaux de
fréquences élevées produit un effet de fréquence plus basse, auquel le capteur 
peut être sensible.

4.4.1) Considérons en particulier, la somme de deux signaux de même amplitude 
et de fréquences

très voisines : s(t) : Acos {(CD + ê--29)--) tîl + Acos {(fi) -- %)t} .

- Exprimer la moyenne temporelle < s2(t) > du carré de ce signal, lorsque le 
temps de réponse du

capteur reste très supérieur à la période T = 27c/oe , mais - cette fois - 
demeure très inférieur à la
période T = 2n/ôw . On ne peut plus faire abstraction, dans le calcul demandé, 
de la moyenne

temporelle de cos[(ôoe) t] ; au contraire, on doit maintenant considérer 
qu'elle reste sensiblement
égale à cos[(ôoe) t] .

- L'oreille humaine se comporte, en première approximation, comme un détecteur 
quadratique. On
suppose qu'elle est soumise à deux vibrations acoustiques simultanées de même 
amplitude, l'une de

fréquence 40,5 kHz et l'autre de fréquence 39,5 kHz. Quelle est la bande 
passante de l'oreille
humaine '? Les deux fréquences sont-elles audibles ou non ? Montrer cependant 
qu'un son

particulier est détecté par l'oreille. En préciser la fréquence.

4.4.2) Une onde lumineuse de fréquence f , qui se propage dans le vide à la 
vitesse 0 , se réfléchit
sur un miroir normal à la direction de propagation (Figure 4). Ce miroir 
s'éloigne de l'onde incidente
avec un mouvement de translation de vitesse v .

Miroir
E v |
c .
B(O) --> A(O)
Instant t = O ------------o----------D----------------Px
X1 0
Miroir
v I
È
c
4-- A... B<1>
Instant t =1--0--------4----------------0----+x
0 X2
Figure 4

Considérant l'onde incidente, avec deux maxima A et B qui se succèdent pendant 
une période T,
on suppose que le premier (A) atteint le miroir au temps t=O , à l'abscisse x=O 
.

a) Préciser l'abscisse xl de B au temps t=0 , en B(O) , puis exprimer le temps 
1? au bout duquel

B atteint le miroir et l'abscisse X2 de l'impact au point B(T) .

b) Préciser la distance d = (AO) parcourue par le maximum A pendant le temps t 
. Que représente

la distance (AB) au temps t '?

c) En déduire la fréquence f ' de l'onde réfléchie pour un observateur lié au 
repère fixe.

(1) L'onde incidente et l'onde réfléchie se superposent dans l'espace vide en 
donnant naissance à un
phénomène de battements. Justifier et montrer que la fréquence des battements 
est, au premier ordre

en v/c, telle que: f--f'æ 2fv/c .

EUR) Cette fréquence est-elle située dans le domaine visible lorsque v = 30 m/s 
et 7\. = 0,5 um ?
6/11

PROBLEME Il
PROPAGATION LE LONG DE LIGNES A CONSTANTES RÉPARTIES

Ce problème débute par l'étude, en régime stationnaire, du profil de la tension 
le long d'une ligne
électrique avec déperditions résisfives longitudinales et latérales. Il se 
poursuit, en régime

harmonique, lorsque l'on peut considérer que les fuites latérales sont 
essentiellement de nature
capacifive. Le modèle établi dans ce deuxième cas est alors utilisé, au moyen 
d'analogies, pour
étudier la pénétration dans le sol des variations cycliques imposées par le 
climat en surface. Pour
terminer est considéré le transport industriel de la chaleur le long de longues 
conduites.

]) Modélisation d'une ligne électrique composée de résistances réparties 
uniformément
Une source de tension continue V0 est branchée à l'entrée (abscisse x = 0) 
d'une ligne électrique

de longueur L . Lorsque cette ligne présente, par unité de longueur, une 
résistance longitudinale r

et une conductance transversale g , elle est modélisable selon le réseau en 
échelle dessiné
Figure 1, chaque maillon correspondant à une portion de longueur infiniment 
petite dx .

A l'extrémité de la ligne, à l'abscisse x = L est connectée une résistance RL .

V(X--dX) V(X) V(X+dX)
1- dx r dx |

rdx

rdx

Figure 1

1.1) Ecrire la loi des noeuds au point M en termes de potentiels, incluant V(x) 
, V(X--dX) et
V(X+dx) .

- Simplifier le résultat. Pour ce faire, on pourra remplacer V(X+dX) et 
V(X--dX) par leurs
développements de Taylor limités au second ordre.

°° hn d nf
Rappel de la formule de Taylor : f(x + h) = f(x) + Z --'-- {d n]
_ n=1 n° X X
-- Montrer alors que V(X) est régi par une équation différentielle du second 
ordre.

1.2) Sachant que la solution générale de cette équation différentielle peut 
être écrite sous la forme

V(X) : A e°' X + B e"°'X , préciser la valeur du paramètre oc .

1.3) Dans l'hypothèse d'une ligne infiniment longue, justifier la valeur qu'il 
convient de choisir pour
la constante d'intégration A . Préciser, dans ces conditions et en fonction des 
données, la valeur qui

doit être attribuée à la constante d'intégration B puis écrire l'expression qui 
en résulte pour V(X) .
La valeur de RL intervient-elle dans le résultat obtenu ?

7/11

2) Modélisation d'une ligne électrique infinie composée de résistances 
longitudinales et de

capacités transversales réparties uniformément

/\
Une source de tension harmonique v(t) : Vcosoet, représentée sous forme 
complexe par

/\ .
1oet , \ , . . , . . .
V = V e , est branchee a l'entree (absc1sse x = 0) d'une 11gne electr1que 
1nfime.

Lorsque cette ligne présente, par unité de longueur, une résistance 
longitudinale r et une capacité
transversale y , elle est modélisable selon le réseau en échelle dessiné Figure 
2, chaque maillon
correspondant à une section d'épaisseur infiniment petite dx .

On se propose de déterminer le potentiel à l'abscisse x sous la forme complexe :

v(x, t) : V(x) eioet , la lettre i désignant le nombre complexe de module unité 
et d'argument n/2 .

v(x-dx , t) v(x , t) V(x+dx , t)

Figure 2

2.1) Donner l'expression de l'impédance complexe du condensateur de capacité y 
dx .
- Au moyen d'une analogie formelle avec la ligne résistive précédente, 
déterminer le lien qui en

résulte entre g et y .
-- En déduire, sous forme complexe, l'équation différentielle que vérifie V(x) .

2.2) Montrer que la solution de cette équation différentielle s'écrit sous la 
forme :

...<

Donner l'expression de k . Comment appelle-t--on cette dernière relation '?

2.3) Montrer que l'amplitude de l'onde de tension diminue exponentiellement au 
cours de la
propagation. Exprimer alors, en fonction des données, la profondeur de 
pénétration ô , c'est--à--dire
la valeur de x à partir de laquelle l'amplitude de la tension est divisée par e 
= 2,718 .

- Exprimer, en fonction des données, la vitesse de phase v.p de l'onde de 
tension.

1 . .
On pose a = ---- , paramètre appelé dfiusivité . Ecr1re alors 6 et V(p en 
fonct10n de a et co .

1' Y
3) Propagation de la chaleur dans le sol

Afin d'étudier comment se transmettent dans la terre les variations de 
température imposées par le

climat au niveau du sol, il est possible d'utiliser, par analogies, les 
résultats précédents (2.2 et 2.3)
en considérant que l'axe Ox est un axe vertical descendant et que l'origine est 
prise sur le sol.

8/11

Si l'on s'intéresse à un tube vertical possédant une section égale à l'unité de 
surface, la résistance
thermique par unité de longueur de ce tube correspondra à r tandis que la 
capacité thermique par

unité de longueur correspondra à y .
L'atmosphère impose au niveau du sol, en x=0 , une variation périodique de 
température qui peut

/\ .
être exprimée sous la forme complexe : Q : 0e...)t , par analogie avec la 
tension harmonique
délivrée par la source de la figure 2. On recherche alors une solution de la 
même forme :

@ x,t : @ X e""t , donnant l'évolution tem orelle de la tem érature en tout 
oint d'abscisse x .
P P P

3.1) Déterminer, par analogie avec la question (2), l'expression de Q(x,t) .

3.2) Calculer successivement pour les variations diurnes et pour les variations 
annuelles, la
profondeur à partir de laquelle l'amplitude est réduite à 1% de sa valeur en 
surface. Calculer dans
chaque cas la vitesse de propagation de l'onde et l'exprimer en centimètres par 
jour.

On pourra considérer qu'en moyenne la diffusivité du sol vaut a = 0,35. 10"6 
m2/s .

4) Transport industriel de la chaleur

4.1) Pour évaluer la puissance thermique transférée (flux CD) le long d'un 
câble en cuivre de
longueur L , entouré d'une gaine réalisant une isolation thermique parfaite 
vis-à-vis de l'extérieur,

on peut procéder par analogie, à partir de la figure 1, en négligeant les 
fuites transversales.

Par exemple, en supposant que l'on veuille transférer de cette manière, en 
régime stationnaire, de
la chaleur par conduction sur une centaine de mètre, quelle devrait être la 
température au départ

(x=0) de la ligne pour obtenir à l'arrivée (x=L) un flux CD = 10 kW à 80°C ?
La résistance thermique linéaire du câble en cuivre est donné égale à : 0,3 
K.W"'.m'1 .
Serait-il raisonnable d'envisager un tel moyen de transport pour la chaleur ?

4.2) En fait, le transport industriel de la chaleur s'effectue ordinairement 
par circulation d'un fluide

caloporteur dans une canalisation.
On peut penser, par exemple, à une station de chauffage collectif alimentant en 
eau chaude, en

boucle fermée, au moyen de canalisations enterrées (aller et retour), les 
radiateurs de plusieurs

pavillons situés à une centaine de mètres autour d'elle. Il devient alors 
intéressant d'étudier le profil
de température dans une conduite de longueur L = 100 m , compte tenu des 
déperditions - en

réalité non négligeables - au travers de la gaine isolante.
Cette canalisation (tube en cuivre) sera supposée rectiligne et protégée par 
une gaine présentant,

vis-à--vis de l'ambiance extérieure une conductance thermique g par unité de 
longueur. La paroi

du tube sera supposée suffisamment fine pour qu'il soit possible de négliger sa 
conduction
thermique dans le sens longitudinal. L'eau sera supposée entraînée avec un 
débit indépendant du

temps et suffisamment intense pour considérer que le transfert de chaleur par 
entraînement est
prépondérant devant la conduction thermique dans le volume d'eau, laquelle sera 
négligée de ce

fait. 00 désignera la température d'entrée d'eau dans la conduite, 0L sa 
température de sortie et
0... la température extérieure de la gaine enterrée (température du sol).

9/11

Afin de modéliser le transfert thermique dû à la circulation de l'eau dans la 
conduite, il convient de
s'intéresser à l'enthalpie emportée par une masse dm lorsqu'elle quitte une 
position où elle avait

une température donnée 9(x) (Figure 3).

5523523282:""'î'fiî'î'55 "? Z" Xî""Zîîflîïfi$$!ZZZYZX'Y.Z ' """"Z'ä

AAAAAA AA AA AAAAAAA

!

0 x x+dx L
Figure 3

L'enthalpie emmagasinée dans un corps, ne peut être définie que par référence à 
une température
donnée, que nous choisirons ici égale à 0°C.

Dans ces conditions, une masse d'eau dm , de chaleur massique c , qui quitte 
une position (x) où
sa température Celsius était 9(x) , emporte avec elle une enthalpie dH = dm c 
O(x) . De la sorte, si
ce mouvement s'effectue pendant le temps dt , le flux thermique évacué, exprimé 
en watts, s'écrit

(par référence à un flux qui serait extrait à 0°C) : CD = %} : %?-- c 9(x) : Dm 
c 9(x) .

4.2.1) Comment nomme--t--on D... '?

4.2.2) Sur une portion de conduite de longueur dx , ce flux ne dépend que de la 
température en
amont 9(x) et non pas de la différence de température entre le point de départ 
(abscisse x) et le
point d'arrivée (abscisse x+dx) du fluide. Ainsi, entre deux points de 
températures respectives 9(x)

et 9(x+dx), le transfert de chaleur par circulation de fluide ne peut plus être 
symbolisé par une
résistance thermique. Nous conviendrons de représenter ce transfert par le 
symbole graphique ci-

après où le flux thermique issu, dans le sens du mouvement, d'un point à la 
température 9(x) s'écrit
sous la forme :  9(x+dx)

Figure 4

Exprimer la conductance fluide d'un courant d'eau en fonction de la masse 
volumique p de l'eau,

de son débit volumique DV et de sa chaleur massique c , toutes ces grandeurs 
étant supposées
constantes.

4.2.3) A l'aide de la modélisation analogique schématisée Figure 5, écrire le 
bilan thermique au

point M de température 9(x) , en fonction des températures convenables et de la 
conductance

thermique g dx .
En utilisant ensuite un développement de Taylor limité au premier ordre, écrire 
l'équation

différentielle qui régit le comportement de la température 9(x) le long de la 
canalisation.
10/11

0 (x--dx) {} 9 (x) {} 9(x+dx)

1

gdx

Figure 5

4.2.4) Résoudre l'équation différentielle obtenue puis préciser l'expression de 
l'écart relatif :

e. : 9
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Jean-Julien 
Fleck
(Professeur en CPGE).

Ce sujet, de longueur bien calibrée, est constitué de deux problèmes 
indépendants qui balayent différentes thématiques du programme de physique, 
aussi bien de
première que de deuxième année.
· Le premier problème étudie les effets de moyenne sur différents exemples de
régimes oscillatoires, essentiellement en électricité et en physique des ondes.
Il permet de présenter succinctement des applications concrètes, comme la 
détection synchrone ou l'effet Doppler, et de vérifier sa bonne compréhension du
cours d'optique ondulatoire. Un certain nombre de résultats sont fournis par
l'énoncé au fur et à mesure : comme souvent, il était payant de commencer
l'épreuve par une lecture complète du sujet.
· Le second problème traite de la propagation de signaux le long de lignes à
constantes réparties. Après avoir présenté la modélisation électrique d'une 
telle
ligne, on étudie deux problèmes de thermique : la propagation dans le sol et le
transport industriel de la chaleur. L'aspect calculatoire du problème est 
fortement réduit grâce à l'utilisation d'analogies, ce qui permet de se 
concentrer sur
la compréhension des phénomènes. Seule la dernière partie s'éloigne un peu du
cours et nécessite plus de recul.
Cette épreuve est bien structurée, l'énoncé étant directif, de difficulté 
raisonnable
et constante. Abordant un certain nombre de parties du programme, elle peut être
utilisée comme problème de synthèse.

Indications
Problème I
1.1 Utiliser le formulaire. La valeur moyenne de la fonction cos(t) est nulle.
2.1 Appliquer le résultat de la question 1.3.
3.1.2.b La fonction cos(2t) s'écrit en notation complexe e 2it .
3.1.2.b Afin de trouver rapidement l'amplitude, écrire la solution complexe 
sous la
forme module et argument.
4.2.1 Développer l'expression de E(M) et utiliser la question 1.3.
4.2.3.a Quelle est la différence de marche entre deux rayons parallèles 
provenant de
l'infini ?
4.3.3.a En l'absence de la source S1 , y a-t-il un déphasage entre les 
différents rayons
venant frapper l'écran ?
4.3.3.c Développer la fonction cosinus en utilisant sa forme complexe. Intégrer 
le
résultat en utilisant la fonction sinus cardinal définie par sinc (u) = sin u/u.
4.3.4 Où se situe le pic principal de diffraction associé à la fonction sinc ( 
u) ?
Comment est modifiée cette figure si  augmente ?
4.4.2.c La célérité c de la lumière est indépendante du référentiel d'étude.
Problème II
1.3 La ligne est supposée infinie et est constituée uniquement d'éléments 
passifs.
Que peut-on en déduire sur la tension à l'infini ?
2.1 L'analogie formelle fait aussi intervenir la pulsation .
2.3 Séparer les parties réelle et imaginaire de k. Que vaut alors l'amplitude ?
La vitesse de phase s'écrit v = / Re (k).
4.1 Comment est modifié le schéma de la figure 1 en l'absence de pertes ? Quel 
est
l'équivalent électrique du flux thermique ? De la température ? Pour discuter
de la pertinence d'un tel mode de transport, regarder la valeur de la 
température de la source.
4.2.2 Le fluide étudié est incompressible. Quelle est alors la relation entre 
le débit
massique et le débit volumique ?
4.2.3 Le flux entrant est égal à la somme du flux sortant et des pertes. Pour 
évaluer
les pertes, utiliser l'analogie électrique.
4.2.5.c Faire un bilan thermique sur le pavillon, puis exprimer les flux 
entrant et
sortant à l'aide de la conductance fluide G.

Les conseils du jury
En introduction de son rapport, le jury rappelle quelques idées simples mais
importantes. Cet extrait peut servir de guide pour les deux années de 
préparation...
· « On note globalement un effort pour la présentation et la clarté de la 
rédaction bien que certaines copies restent rédigées sans soins : méthodes
et calculs développés sans la moindre explication, résultats insuffisamment mis 
en valeur, écriture parfois indéchiffrable. »
· « Le second problème de l'épreuve a été en général moins bien achevé
que le premier. On peut conseiller aux futurs candidats de prendre
le temps de parcourir les deux sujets, pour commencer par celui qui
pourrait leur être le plus favorable. »
· « Parmi les erreurs les plus communes, on relève des formules inhomogènes, 
des résultats numériques sans unité, des raisonnements irrecevables, des 
phrases dénuées de sens. Rappelons que la vérification
de l'homogénéité permet d'éliminer bon nombre d'erreurs et que son
absence est, de ce fait, impardonnable ! »
· « Les connaissances mathématiques de base (comme la résolution d'une
équation différentielle du second ordre à coefficients constants, voire
d'une équation du premier ordre ; la maîtrise des nombres complexes)
ne sont pas toujours acquises. »
· « Enfin, il semble qu'un grand nombre de candidats peinent à se servir de 
leurs calculatrices, dans la mesure où des expressions littérales correctes 
sont souvent suivies d'applications numériques fausses.
D'un point de vue pragmatique, il n'est pas raisonnable de se priver
des points systématiquement attribués aux applications numériques et
plus fondamentalement, pour l'ingénieur et l'industriel, le résultat final
se traduit par un nombre ! »
Le rapport énonce également un commentaire général sur le sujet. « Cette
épreuve, très modulaire, recouvrant une grande partie du programme de PC
et associant des questions faciles, des questions de cours et d'autres 
demandant un bon esprit de modélisation, a été globalement bien réussie par les
candidats sérieux ayant une bonne connaissance transversale du programme ;
toutes les questions ont reçu pour le moins un petit nombre de réponses 
satisfaisantes. D'un nombre appréciable de très bons scores, à quelques copies
étonnamment bien en deçà du niveau exigible, la répartition des notes s'est
trouvée très étalée. »

I. Effets de moyenne en régimes oscillatoires rapides
1.

Questions préliminaires

1.1 Développons la fonction p(t) = cos( t) cos( t + ) en utilisant la première
relation du formulaire de trigonométrie. On trouve
p(t) =

1
[cos  + cos(2 t + )]
2

On reconnaît alors le développement en série de Fourier d'une fonction de 
pulsation
fondamentale 2 et ne présentant aucun harmonique.
La fonction p(t) étant périodique, on peut calculer hpi sur sa période T = / :
Z
1 T
hp(t)i =
p(t) dt
T 0
Z T
1
=
(cos  + cos(2 t + )) dt
2T 0
1
cos 
2

hp(t)i =

la moyenne temporelle d'une fonction sinusoïdale étant nulle.
La valeur moyenne de la fonction p(t) s'identifie à la composante continue de
son développement en série de Fourier.
p(t)
cos 

hp(t)i

0

t

1.2 La moyenne temporelle du signal s2 (t) s'écrit
hs2 (t)i = h[A cos( t) + B cos( t + )]2 i
= A2 hcos2 ( t)i + B2 hcos2 ( t + )i + 2 A B hcos( t) cos( t + )i
Sachant que
hcos2 ( t)i =

1
T

Z

T

cos2 ( t) dt =

0

1
2T

Z

T

(1 + cos(2 t)) dt =

0

on obtient, en utilisant le résultat de la question 1.1,
hs2 (t)i =

A2 + B2
+ A B cos 
2

1
2