CCP Physique 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Fentes d'Young. Mise en équilibre thermique.
Principaux outils utilisés diffraction, analogie électrique, conduction thermique, électrocinétique, amplificateur opérationnel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

OEOH50--m .? " 0@H5ñ--...

« Ê5...wÈË

Un... âfl--A--h - HDO--h--Oflùæ ËËAM

......=o_z=vuh>dOm oe2=$£ov moe=0u20v

'

Les calculatrices sont autorisées
>l<>l<>l<

Les deux problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids.
***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la
concision de la rédaction ; si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui 
sembler être une

erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant
les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre.

>X<>X<>X<

PROBLÈME 1 - FENTES D'YOUNG

Ce problème étudie, a l 'aide d 'un goniomètre, les interférences produites a l 
infini entre les deux
faisceaux de lumière diffractés par une bifente d'Young. Une représentation de 
l'intensité
lumineuse en fonction de la direction de diffraction, appelée indicatrice 
d'intensité, permet
d'analyser l influence de la largeur de ces fentes. Dans une deuxième partie, 
une méthode de
mesure de l'indice de l'air est proposée, utilisant des compensateurs a prismes 
réglables.
Globalement, en incluant les questions annexes, l'ensemble est composé de cinq 
parties
indépendantes.

1) Questions préliminaires

Les réponses attendues doivent être brèves et données sans démonstration :

1.1) Expliquer en quoi le phénomène de diffraction s'écarte de l'optique 
géométrique.

1.2) Enoncer le principe d'Huygens-Fresnel en différenciant les contributions 
de chaque savant.
1.3) La diffraction à l'infini exige quelques conditions pour être observée. 
Préciser lesquelles.
1.4) Rappeler les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences 
lumineuses à deux
ondes. Comment obtient-on en pratique deux sources lumineuses obéissant à ces 
conditions ?

1/12

2) Réglage du goni0mètre

L'appareillage utilisé (Figure 1) comporte :

a) Une lampe spectrale.

b) Un collimateur dont la fente d'entrée F est accolée à la lampe spectrale et 
dont l'optique est
réglable au moyen d'une lentille mobile Ll .

c) Une lunette de visée, autocollimatrice, possédant un réticule fixe R , un 
oculaire assimilable à
une lentille mobile L3 et un objectif à tirage réglable, assimilable à une 
lentille mobile L2 .

Ay

Collimateur à fente F

Ll

Bifente d'Young

/

,/
//

/

Lampe \/ \ f / 0 l// \_(î /// ,
spectrale / -- //

Figure 1

Dans un premier temps, on veut régler le système pour avoir à la fois une 
source lumineuse à
l'infini et une lunette afocale pour une visée à l'infini. Pour ce faire, on 
dispose d'un miroir plan

auxiliaire que l'on peut, lorsque nécessaire, poser sur le plateau du 
goniomètre.

-- Décrire le processus de mise au point en précisant l'ordre chronologique du 
déplacement des
trois lentilles.

3) Observation du faisceau diffraeté par une fente très fine
L'observation des franges d'Young au goniomètre doit se faire avec des fentes 
bien parallèles à

l'axe de rotation de l'appareil. On se limitera ici à démontrer que pour un 
ensemble de sources
ponctuelles, monochromatiques, de même longueur d'onde, cohérentes et en phase, 
réparties de

manière continue le long d'une droite, l'émission ne peut s'observer que dans 
une direction
normale à cette droite. Pour ce faire, il conviendra de suivre la démarche 
proposée ci-après.

3.1) Cas d'un segment de droite
Une infinité de sources lumineuses infinitésimales se trouvent réparties de 
manière continue sur

un segment de droite [Figure 2] de longueur h dont les extrémités sont 
positionnées, selon un
repère cartésien orthonormé (O,x,y,z), en C1(O , 0 , h/2) et C2(O , 0 , --h/2) .
On admettra qu'en tout point C(O , 0, z) de ce segment existe une source quasi 
ponctuelle de

longueur infiniment petite dz . Toutes ces sources, continuellement en phase, 
rayonnent dans le
vide une même lumière monochromatique de longueur d'onde 7t .

Dans ce qui suit, on se limitera à l'étude des interférences à l'infini de tous 
les rayons possédant
une même direction d'angle B par rapport à l'axe OZ et situés dans un même plan 
contenant cet

axe (plan de figure). Chaque source est caractérisable à l'infini par une 
amplitude complexe :
@ = AO eXp(J' 'P) dz

Le nombre complexe de module unité et d'argument Tt/2 est noté j .

2/12

La phase '--P , liée à l'angle B et à la position 2 du point C , sera 
référencée par rapport à la
phase de la source située en O , laquelle phase sera considérée comme nulle à 
l'infini.

3.1.a) Exprimer, en fonction de z et de B , la différence de
marche ôm avec laquelle s'accompagnent jusqu'à l'infini le
rayon issu du point courant C positionné à la côte z et le
rayon issu de l'origine des coordonnées 0 . En déduire le
déphasage 'P correspondant.

3.1.b) En sommant toutes les vibrations lumineuses diffractées
dans la direction B , démontrer que l'amplitude résultante peut

s'écrire sous la forme :

. h
sm nicosB
S=A
_ 0 nicosB
?»

3.1.c) Dans le cas particulier où B : Tt/ 2 calculer la limite SO
de l'expression & précédente puis exprimer & en éliminant
A() au profit de S0 et de h .

3.2) Cas de la droite infinie

Pour obtenir l'amplitude résultante dans le cas d'une droite infinie, il suffit 
de reprendre le
résultat précédent en faisant tendre le rapport h/Â vers l'infini.

-- Expliquer alors pourquoi, en valeur relative par rapport à l'amplitude SO 
dans la direction

strictement normale à la droite Oz , cette amplitude & peut être considérée 
comme nulle dans
toutes les directions B différentes de TC/2 .

-- Si l'on se satisfaisait d'un rapport h/À % 2000 , quel serait, dans le 
domaine visible, l'ordre de
grandeur de la hauteur de fente suffisante ?

4) Bifente d'Young
-- Le plateau du goniomètre (Figures 1 et 3) est situé dans le plan (xOy) d'un 
repère cartésien

orthonormé (O,x,y,z) et a pour axe OZ .
-- Le plan (yOz) est occupé par un écran dans lequel sont ouvertes deux fentes 
orientées

parallèlement à l'axe Oz. L'intersection de la première ouverture avec le plan 
(xOy) correspond

au segment de droite situé entre les points d'ordonnées a et b . Celle de la 
seconde, symétrique
de celle de la première, est située entre les points d'ordonnées --a et --b .

-- Le collimateur, muni d'un filtre, envoie vers les fentes, normalement à 
celles-ci, un faisceau de
lumière parallèle, monochromatique et cohérent.

-- La lumière diffractée par les fentes, dans une direction d'angle 9 par 
rapport au plan sz, est
observée à l'aide de la lunette autocollimatrice, pour être focalisée sur la 
rétine de l'oeil.

4.1) Exprimer, dans un même plan normal aux faisceaux observés (Figure 3), la 
différence de
marche 8 , entre le rayon diffracté sous l'angle 0 , issu de la fente au point 
courant M(0, y, 0) et

un rayon hypothétique (pris pour référence de phase) issu du point 0 sous le 
même angle 0 .

3/12

-b Ï
Figure 3

4.2) Exprimer en fonction de la longueur d'onde % de la lumière dans l'air, de 
l'ordonnée y et
de l'angle @ , le déphasage (|) du rayon issu de M par rapport au rayon de 
référence.

4.3) La vibration lumineuse issue d'un point M((), y, 0) , répartie sur une 
largeur dy , peut être
caractérisée à l'infini par une amplitude scalaire complexe telle que cÆ : A0 
exp @ (l)) dy tandis
que la vibration de même direction @ issue du point symétrique M'(O, --y, 0) 
peut s'écrire :

cÆ : A0 exp (--j (|)) dy. Exprimer, a l'aide d'une fonction trigonométrique 
réelle simple, la vibration
résultante d_S : cÆ + cÆ .

- Pour sommer l'ensemble des rayons lumineux issus des deux fentes, dans la 
direction 9 , il
suffit alors de calculer l'intégrale de cÆ depuis la borne y = a jusqu'à la 
borne y = b . Effectuer
ce calcul puis en déduire l'intensité lumineuse résultante I .

- Exprimer I en fonction de la largeur des fentes d : b--a , de leur 
l'écartement D : b+a , de
l'angle d'observation @ et du paramètre 10 : 4(A0 d)2 .

Rappel : sin p -- sin q = 2 sin{(p--q)/2)} cos{ [p+q]/2}.

4.4) Cas particulier où les fentes d'Young deviennent infiniment minces :

Dans son principe, ce cas reste intéressant à étudier bien que sujet & 
critiques.

4.4.a) Dans le cas où le paramètre b diminue jusqu'à tendre vers la limite 
supérieure du
paramètre a , donner l'expression de l'intensité qui en résulte.

4.4.b) Les dimensions D : 2a et % étant fixées, on peut alors représenter, dans 
le plan (xOy),
l'intensité lumineuse sous forme d'un vecteur de longueur I(9) orienté selon 
l'angle polaire @ .
Par exemple, pour une valeur simple du rapport D/À , on obtient la 
représentation dessinée sur
la figure 4 , que l'on peut nommer "indicatrice d'intensité".

- Déterminer la valeur du rapport D/À correspondant a cette figure puis 
calculer la valeur 91
de l'angle polaire correspondant a la zone sombre la plus voisine de l'axe Ox .

- Calculer la valeur 92 de l'angle polaire immédiatement supérieur a 91 , 
correspondant au
maximum du lobe le plus voisin de l'axe Ox .

- Expliquer pourquoi le nombre de lobes augmente avec le rapport D/À .

4/12

Figure 4 Figure 5

4.5) Cas de fentes larges vis-à-vis de la longueur d'onde % :

Sachant que la fonction (sin x)/x devient pratiquement négligeable dès que la 
variable x
excède TC , définir la valeur maximale 9maX de l'angle d'observation @ en 
limite de netteté.
Exprimer la largeur angulaire AG : 2 9maX de la tache centrale de diffraction, 
en fonction de la
longueur d'onde % et de la largeur d de chaque fente. Expliquer pourquoi, 
lorsque les fentes
sont élargies, la zone d'observation A9 se resserre autour de l'axe Ox . 
Lorsque D/À et d/À
augmentent simultanément, l'indicatrice d'intensité se déforme selon l'aspect 
représenté figure 5.
- Sachant que X = 633 nm et qu'une mesure a donné A9 : 0,720, en déduire la 
largeur d .

- Lorsque d / % >> 1 , le champ d'observation étant très étroit, dans 
l'expression de I(9) on peut
réduire sin 9 au terme du premier ordre de son développement limité en 9. En 
déduire
l'expression de l'interfrange angulaire Bi en fonction de X et de D .

Préciser la valeur numérique de Qi sachant que D = 0,60 mm .

5) Mesure de l'indice de l'air

L'indice de l'air étant exprimé sous la forme n = l + 8 , on cherche à mesurer 
l'écart 8 , très
petit devant l'unité. Dans ce but, on interpose sur chacun des faisceaux 
atteignant les fentes, en
avant de celles--ci, un tube de petit diamètre, de longueur L = 10 cm , orienté 
parallèlement à
l'axe Ox . Ces tubes sont identiques et initialement remplis d'air dans les 
conditions normales de
température et de pression. On interpose en outre, entre chaque tube et 
l'écran, un compensateur
de différence de marche. En sortie des compensateurs, les deux faisceaux sont 
repris par un
système optique particulier (fibres optiques) de manière à être ramenés dans 
l'axe des fentes,
nécessairement très rapprochées l'une de l'autre. Les compensateurs sont alors 
réglés de manière
à retrouver la figure de diffraction initiale. On établit ensuite un vide 
poussé dans le tube face a
l'ouverture (a,b), puis l'on modifie le réglage du compensateur aligné avec ce 
tube afin de
ramener le système de franges en place. L'écart &: se déduit de cette 
modification.

5.1) Pendant que le vide s'établit dans ce tube, dans quel sens 
(trigonométrique ou horaire autour
de l'axe OZ) tourne la figure de diffraction ? En donner ici une explication 
sommaire.
5/ 12

5.2) Etude d'un compensateur -- Réglage et mesure

Deux prismes rectangles tronqués,

@@ fixe d'indice N = 1,6 , de même petit angle
{ /

A = 10 sont accolés par leurs faces
hypoténuses (Figure 6) de manière à

constituer une lame à face parallèle
d'épaisseur réglable au moyen d'un
glissement Ay , perpendiculaire à l'axe

optique Ox , commandé par une vis
X micrométrique.

L'ensemble est placé dans l'air.

Figure 6

5.2.a) Exprimer le rapport Ae/Ay en fonction de A .

- Exprimer en fonction de N , n , A et Ay , la différence de marche compensée 
ôC , c'est-à--dire
la variation du chemin optique lors d'un glissement Ay.

- En négligeant 8 dans la différence (N--n) , calculer ôC sachant que le 
réglage, effectué une
fois le vide fait, a entraîné un déplacement de la vis micrométrique Ay : 2796 
um .

5.2.b) En comparant les chemins optiques avant le vidage puis après les 
opérations de vidage et
de compensations, déterminer l'expression de 8 en fonction de L et de ôC . En 
donner la valeur
numérique.

5.3) Pour estimer la sensibilité sur la mesure de ôC , les compensateurs étant 
ôtés, il est
nécessaire de reprendre les calculs développés dans la question (4.3) de 
manière à tenir compte
du déphasage oc , introduit lors du vidage, sur le trajet passant par 
l'ouverture (a,b) .

5.3.a) Exprimer ce déphasage oc en fonction de ôC et %.

5.3.b) Exprimer la nouvelle vibration élémentaire résultante cÆ : cË + 65 sous 
la forme ci-
après, en précisant la valeur du coefficient K et l'expression f(y/À , 9 , oc) 
de l'argument du
cosinus : d_S= Kexp(ioc/2) cos{f(y/À , 9 , oc)} dy .

- Comme en (4.3), sommer toutes les vibrations issues des fentes dans la 
direction 9 puis
exprimer, de la même manière, la nouvelle intensité lumineuse résultante I(oc) .

5.3.c) Dans le cas où l'angle d'observation @ s'avère très petit, simplifier 
l'expression I(oc) .

- Comparer ce résultat avec son expression en l'absence du déphasage oc .

- En déduire, en fonction de ôC et D , l'angle de rotation Q que le déphasage 
oc impose à la
figure de diffraction. Calculer la valeur numérique de Q , en degrés.

5.4) Sensibilité -- Influence de la température et de la pression de l'air

La précision du goniomètre est telle que le plus petit angle de rotation 
mesurable est égal à
(AQ)min= 0,02O . Calculer la plus petite variation de ôC mesurable : (Aôc)min .

On peut admettre pour l'air, dans les conditions normales de température (273 
K) et de pression
(1013 hPa), que 8 est inversement proportionnel à la température absolue T et 
proportionnel à
la pression P . Préciser quel écart de température (à pression constante) puis 
quel écart de
pression (à température constante) provoquera une variation AôC a la limite de 
sensibilité du

goniomètre.
6/12

PROBLEME II - MISE EN EQUILIBRE THERMIQUE

Dans ce problème sont comparés deux procédés de chauffage au moyen d'une 
résistance
électrique, le premier dans le cas ou la résistance est alimentée en continu, 
le second dans le cas
d'une alimentation par intermittence mettant en oeuvre un capteur de 
température et un
multivibrateur. Le fonctionnement du capteur et celui du multivibrateur sont 
aussi étudiés.

]) Analogies

1.1) Donner, en conduction thermique, les grandeurs analogues aux grandeurs 
électriques
suivantes : potentiel V , intensité de courant I , résistance électrique R . 
Préciser leurs unités.

- En déduire un équivalent de la loi d'Ohm pour la conduction de la chaleur.

- Existe-t-il, en régime permanent, une loi de l'électricité analogue à la loi 
de Fourier pour la
conduction thermique ?

- Les matériaux bons conducteurs de l'électricité sont-ils, en général, bons 
conducteurs de la
chaleur, ou est-ce le contraire ? Proposer une explication.

1.2) Donner l'expression de la capacité thermique Cth d'un corps de masse m et 
de chaleur
massique à pression constante cp . Ecrire une loi de conduction équivalente à 
celle qui exprime,
en électricité, le courant de charge dq/dt d'un condensateur portant la charge 
q(t) en fonction
de la dérivée du potentiel à ses bornes. Quelle grandeur thermique est-elle 
l'analogue de la
charge électrique q emmagasinée dans ce condensateur ? Préciser les unités.

2) Mise en température d'une éprouvette

Une résistance électrique r = 10 ohms est incorporée dans la masse d'une 
éprouvette dont la
capacité thermique est Cth : 250 J/K . Cette éprouvette est enfermée dans un 
boîtier depuis
l'intérieur duquel on peut considérer qu'elle est en contact avec le milieu 
extérieur à travers une
résistance thermique égale à Rth : 8 W. Le milieu extérieur étant à 06xt : 20°C 
, on veut
porter l'éprouvette jusqu'à une température finale 000 = 40°C . Pour ce faire, 
on connecte la
résistance électrique r a une source de tension de manière à dissiper dans 
l'éprouvette une
puissance p . On supposera que la température 0(t) de l'éprouvette demeure 
uniforme dans
toute sa masse.

2.1) Le schéma électrique proposé Figure 1 est l'image du système thermique 
étudié.
2.1.a) Préciser la valeur numérique et l'orientation de la fem du générateur 
équivalent de tension

qui symbolise le milieu extérieur.

P e(t) Rth
, )-- :|-- _ _ , _
Element chauffant M111eu exter1eur
:: Cth ()
0°C
Figure 1

E Source de courant E Source de tension

7/12

2.1.b) Quelle loi de Kirchhoff appliquée au réseau électrique, traduit-elle le 
bilan thermique du
"réseau thermique" ?

2.1.c) Lorsque le régime permanent est atteint, expliquer pourquoi l'on peut 
faire abstraction de
la capacité Cth . En déduire directement, en fonction de Bext , de 900 et de Rth
exclusivement, la puissance (flux) thermique pOO nécessaire au maintien de la 
température
finale. En préciser la valeur numérique.

2.2) Première méthode de chauffage

La puissance thermique est maintenue constante, à la valeur pOO calculée 
précédemment.

2.2.a) A l'instant t = O , on connecte la résistance électrique r sur une 
source de tension
continue El . Quelle doit être la valeur de la tension El pour que la 
résistance r dissipe cette
puissance pOO ?

2.2.b) Afin d'étudier la montée en température de l'éprouvette sous l'action de 
ce chauffage,
effectuer un bilan thermique pour celle--ci, entre les dates t et t+dt . En 
déduire l'équation
différentielle régissant l'évolution de 9(t) .

- Exprimer l'évolution de la température 9(t) de l'éprouvette en supposant sa 
température
initiale égale à 90 : Bext : 20°C , lorsque le chauffage est mis en route.

2.2.c) Evaluer, en fonction de la constante de temps "C du système, le temps tT 
au bout duquel
la variation de température depuis le début de la chauffe atteint 95 % de la 
valeur théorique
nécessaire pour arriver au régime stationnaire.

- Calculer "C puis tr.

2.3) Deuxième méthode de chauffage

La température 9(t) de l'éprouvette est mesurée à l'aide d'un capteur 
électronique qui délivre
une tension u(t) : O,l 9(t) , les unités étant le volt pour u(t) et le degré 
Celsius pour 9(t) .
Cette tension u(t) est comparée à une tension périodique W(t) en dents de scie 
(Figure 2)
décroissant de U() = 4,5 volts a zéro pendant une période TO. Celle-ci est 
choisie suffisamment
petite pour considérer que, dans tout intervalle [nTO, (n+l)T0] , la 
température de l'éprouvette et
donc la tension u(t) demeurent pratiquement constantes.

tensions
UO=4,5V fifi fifi
W(t)
u(t) _ _
0 t* T tempst

Figure 2
Le chauffage de l'éprouvette s'effectue en reliant la résistance r a une source 
de tension
continue EQ , par l'intermédiaire d'un interrupteur électronique K . Cet 
interrupteur est
commandé (Figure 3) par un comparateur à amplificateur opérationnel (supposé 
idéal) dont la
tension de sortie Vont sature a i Vsat au moindre écart sensible entre W et u .
8/12

L'interrupteur K est fermé si Vont : + Vsat ; il est ouvert si V0... = -- Vsat .

-- l>
gl
_ + 00 l
/ K
M) W(Ù Vout
E2 () r = 109 Vch
Figure 3 "

2.3.a) Tracer la caractéristique V0... en fonction de la différence W--u , puis 
représenter en
fonction du temps la tension Vch appliquée à la résistance de chauffage r .

- Au cours d'une période [ 0, T0 ] , exprimer l'instant t>X< , lors du 
basculement de l'interrupteur,
en fonction de u , U0 et T0 . Pendant quel laps de temps le chauffage 
fonctionne-t-il ?

2.3.b) La puissance thermique moyenne dissipée dans la résistance r , calculée 
pendant une
période T0 , étant nommée Pm0y(9), l'exprimer en fonction de E2 , r , U0 et de 
9 .

En considérant que Pm0y(9) correspond a la puissance thermique dissipée dans 
l'éprouvette
lorsque celle-ci se trouve a la température 9 , écrire la nouvelle équation 
différentielle qui régit
la montée en température.

2.3.c) Préciser la valeur numérique de la tension EQ de sorte que Pm0y(9oe) 
soit égale à la
puissance pOO précédemment calculée en (2.1), lorsque 9 = 900 = 40 °C . Dans ce 
cas, résoudre
la nouvelle équation différentielle pour obtenir 9(t) .

- Déterminer la nouvelle valeur des temps t et tr . Définir l'avantage de cette 
deuxième
méthode par rapport a la précédente.

3) Etude du capteur de température

On considère une sonde, composée de deux diodes de mêmes caractéristiques, 
accolées de
manière à demeurer en très bon contact thermique. Ces diodes sont connectées, 
selon le schéma
donné, Figure 4 , a un dispositif contenant un amplificateur opérationnel. On 
mesure la tension

VM sur l'entrée inverseuse M de l'amplificateur.
D1

1
M«--È K} A

Dans cette partie, aucune

. . . . R
connatssance parttcultere |_1|
. , . I_I _ >
sur les dtodes n est requtse.

Leur fonctionnement est
simplement caractérisé par

le courant qui les traverse et R3
dont l'expression est () EO
donnée dans le texte. - B

/7Ë Figure 4
9/12

L'amplificateur opérationnel est alimenté au moyen de deux sources symétriques 
(--15 volts, 0)

et (0, +15 volts). On supposera qu'il est idéal et qu'il fonctionne en régime 
linéaire.
Les tensions en tout point du schéma seront référencées par rapport a la masse.

Dans le sens passant, moyennant une bonne approximation, on peut écrire que la 
diode D] est
traversée par un courant d'intensité :

e(VA_VM)

I1 % IS exp 2 kT

e = 1,602 10--19 C est la charge élémentaire.

k = 1,38 10"23 ]/K est la constante de Boltzmann.

T représente la température absolue du boîtier contenant les diodes.

Le coefficient IS dépend de la température T , mais est indépendant des 
tensions.

3.1) Exprimer l'intensité 12 traversant la diode D2 , par analogie avec 
l'expression de Il , en
faisant apparaître la différence (VB -- VM) .

3.2) Exprimer, en fonction de (V A--VB) , de la température T et des constantes 
e et k ,
le rapport 11/12 des intensités de courant dans les diodes. En déduire une 
expression de (V A--VB)

fonction de la température T , des résistances R1 et R2 du montage et des 
constantes e et k ,

mais indépendante du coefficient IS .
3.3) Etablir une deuxième expression de (V A--VB) . En déduire la tension VM , 
mesurée au

noeud M , en fonction de la température T , de la tension E0 , des résistances 
du réseau et des
constantes e et k.

3.4) On impose à l'entrée une tension négative EO : -- 15 volts et l'on fixe la 
valeur des

résistances R1 = 10 kg et R2: 20 kQ . Quelle valeur faut--il choisir pour R3 si 
l'on veut
obtenir une tension VM nulle à 0°C ? On prendra T = 0 + 273,15 .

Quelle est, dans ces conditions, l'expression numérique de la tension VM en 
fonction de la
température 0 exprimée en °C ?

3.5) On souhaite réaliser un capteur délivrant une tension proportionnelle à la 
température
Celsius à raison de 1 volt pour 10°C , soit : u = 0,1 0 . Pour ce faire on 
câble le montage
schématisé Figure 5 où l'amplificateur opérationnel (supposé idéal et utilisé 
en régime linéaire)
mesure la tension VM sans prélèvement de courant. Calculer la valeur de la 
résistance R5
sachant que R4 = 10 kQ.

u=0,19

Figure 5

10/12

4) Etude du multivibrateur à amplificateur opérationnel
Pour obtenir un signal de la forme de w(t) représenté figure 2, on peut 
utiliser le multivibrateur

schématisé Figure 6. On y notera en particulier une source de courant I 
orientée de manière à
abaisser le potentiel VC : V_ , référencé par rapport à la masse.

Cette source de courant débite, dans le sens de la flèche, un courant 
d'intensité I = 10 MA.
La capacité du condensateur branché entre la borne inverseuse de 
l'amplificateur opérationnel et

la masse, a pour valeur C = 1 |JF .

On supposera ici, pour simplifier, que la diode D se comporte comme un 
interrupteur qui est
fermé Ûil sans résistance) dans le sens passant et ouvert (résistance infinie) 
dans le sens inverse.

Modélisation de la diodeD

Figure 6

4.1) A un instant que nous choisirons pour origine du temps (t = O') , partons 
d'une situation
où V + = 0* et V_ : 0+ , ce qui entraîne que la tension de sortie de 
l'amplificateur opérationnel

soit en saturation négative : VS : -- Vsat . La diode D ne conduit pas. 
Cependant, dès l'instant

t : 0+ , la source de courant I rend le potentiel V_ sensiblement négatif, ce 
qui suffit pour faire
basculer l'amplificateur opérationnel en saturation positive : VS : + Vsat .

4.1.a) Quelle est la différence de potentiel VS -- V + entre les bornes du 
condensateur C() au
temps t: 0* ? En déduire au temps t : 0+ la valeur de cette différence de 
potentiel puis la

valeur de V+.
4.1.b) Ecrire l'équation différentielle qui régit la croissance du potentiel V 
+ au cours du temps

puis la résoudre, sachant que R0 = 1 kQ , C0 : 1 MF et Vsat : 15 volts.

4.2) Le courant traversant la diode dès l'instant t : 0+ étant nettement 
supérieur au courant I ,

le condensateur C se charge alors progressivement sous une tension VC : V_ 
croissante à
partir de zéro. Ecrire l'équation différentielle qui régit l'évolution du 
potentiel V_ au cours du

temps puis la résoudre, sachant que R = 1 kg , C = 1 "F et V 15 volts. Pour ce 
faire, on

sat :
fera abstraction (Figure 6) de la source de courant I dont le débit (10 "A) est 
très faible.

4.3) Représenter sur un même graphe l'évolution des tensions V + et V- en 
fonction du temps
puis déterminer le temps t0 au bout duquel ces deux tensions s'égalisent, ainsi 
que leur valeur

numérique commune en cet instant. Que se passe--t--il immédiatement au--delà de 
ce temps ?

11/12

4.4) La diode cessant maintenant de conduire, la source de courant I agit seule 
; elle abaisse
alors très lentement le potentiel VC depuis la valeur calculée précédemment 
jusqu'à la limite
atteinte pendant cette évolution par le potentiel V + . Cette limite 
correspondra à une tension
nulle, si la tension V + tend beaucoup plus rapidement vers zéro que V,. Il 
sera donc nécessaire
de vérifier a posteriori que la constante de temps ROC0 est bien négligeable 
devant le temps At
nécessaire a la décharge complète du condensateur C.

4.4.a) Expliquer pourquoi la décroissance de la tension VC est linéaire en 
fonction du temps.

- A partir des valeurs numériques données (1 = 10 uA ; C = 1 uF), calculer la 
valeur numérique
de l'intervalle de temps At .

- Montrer qu'immédiatement franchie la date t0 + At , la tension VC tend à 
devenir légèrement

négative , ce qui ramène à la situation décrite initialement au temps t = O* .
Que se passe-t--il alors ?

4.4.b) Expliquer pourquoi, dans l'intervalle de temps [ tO ; t0+At ] , le 
potentiel V+ tend vers
zéro avec une constante de temps égale à ROCO et vérifier que cette constante 
de temps est bien
négligeable devant At.

4.4.c) Comparer At au temps t() . En déduire la période T0 des dents de scie 
obtenues.

4.5) Tracer l'évolution au cours du temps de la tension VC aux bornes du 
condensateur C à
l'échelle de quelques secondes, en négligeant l'intervalle de temps [ O , t0 ] .

4.6) Expliquer comment obtenir la tension W(t) décrite sur la figure 2, a 
partir du montage
dessiné sur la figure 6. Faire un schéma du montage additif ayant pour entrée 
la tension VC .

Fin de l'énoncé

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Georges Rolland (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Cyril Ravat (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants.
Le premier problème traite de la diffraction des ondes lumineuses par une, puis
deux fentes d'Young. Lorsque l'on établit le vide sur le chemin emprunté par la 
lumière incidente sur l'une des fentes, la figure obtenue subit une rotation 
dont l'analyse
permet d'accéder à l'indice de l'air.
Les questions restent assez proches du cours, seule la fin étant un peu 
calculatoire.
Il faut cependant prendre garde à respecter scrupuleusement les notations de 
l'énoncé
(la définition des angles est par exemple modifiée entre les questions 3 et 4) 
et se laisser
guider par les questions posées, qui sont très directives.
Le deuxième problème, plus original, traite de deux méthodes de mise en 
température d'une éprouvette : soit par un chauffage à puissance constante ; 
soit par
une alimentation à découpage, qui autorise une chauffe plus rapide en diminuant 
la
puissance moyenne fournie à l'approche de la température de consigne. L'étude du
générateur de rampe à vibrateur astable, au coeur de cette alimentation, est 
menée
dans une seconde partie.
Cette étude nécessite une bonne compréhension des phénomènes de transfert de
chaleur et de leur analogie électrique. Là aussi, l'énoncé est directif.
Cette épreuve assez longue demande beaucoup de rigueur dans les calculs :
les questions s'enchaînent à l'intérieur de chaque partie, et les erreurs se 
répercutent.
Le grappillage de points est ici très difficile si la logique du sujet n'est 
pas comprise.
Signalons enfin que l'énoncé regorge de sous-questions non numérotées, et qu'il 
faut
donc être attentif pour ne pas en oublier le jour du concours.

Indications
Problème I
4.4.b La courbe (4) comporte cinq directions, réparties entre 0 et /2, telles 
que
l'intensité soit maximale. Écrire en conséquence que D cos / varie entre 0
et 4 lorsque  varie de 0 à /2.
Pour déterminer l'interfrange, déterminer quelle est la partie de la fonction 
I() responsable des franges (celle qui varie le plus rapidement).
5.2.a Raisonner sur un triangle d'angle A dont on fait varier la hauteur de y à 
A
constant. Ne pas oublier l'air dans le calcul de la différence de marche.
5.3.a Prendre garde au signe du déphasage.
5.3.c Calculer l'angle sous lequel se retrouve le maximum d'intensité, qui était
précédemment dans la direction  = 0.
5.4.c Utiliser le fait que C est proportionnel à P/T, et prendre la 
différentielle
logarithmique de l'équation obtenue.
Problème II
1.2 Écrire la variation d'enthalpie d'un corps dont la température varie de T.
2.1.b La puissance thermique se répartit entre l'éprouvette et le milieu 
extérieur.
2.2.b La chaleur fournie par la résistance pendant un instant dt échauffe 
l'éprouvette et est partiellement transmise à l'extérieur.
2.3.c Si A(t) satisfait une équation différentielle du premier ordre de 
constante de
temps  , alors A(t) peut s'écrire sous la forme
A(t) = A + (A0 - A )e-t/
où A0 et A sont les valeurs initiales et finales de A(t) : A0 = A(t = 0),
A = A(t = ).
3.5 Reconnaître un diviseur de tension.

Les conseils du jury
Dans son rapport, le jury dresse un rapide bilan de l'épreuve et rappelle
quelques conseils généraux.
« S'il est à noter que la longueur du sujet n'a pas permis à beaucoup
de candidats de tout aborder, en revanche, l'ensemble étant très modulaire,
aucune question n'est restée sans bonne réponse, un petit nombre de fois
tout au moins. Cependant seul le premier problème a été traité aussi 
correctement qu'espéré, les candidats ayant été majoritairement déroutés par le
bilan thermique du second problème ; beaucoup ont cru ainsi devoir utiliser
un laplacien et les résultats sont un peu en retrait par rapport à ceux de l'an
dernier, pour une épreuve au demeurant plus facile. »
« Plus fréquemment que l'an passé, la présentation a été trop négligée, 
écriture illisible, présentation non structurée. Réponses données sans
un schéma explicatif ! On regrette aussi les déficiences du langage : manque
de précision qui traduit des connaissances lacunaires, fautes de syntaxe et
de grammaire, fautes d'orthographe tant pour les mots d'usage courant que
pour les noms propres. »
« Le programme de la filière PC insistant sur la nécessité de développer
chez l'étudiant le goût de l'expérience et du concret, on ne pourra s'étonner
que de nombreuses questions se terminent par une application numérique,
rémunérée chaque fois par quelques précieux points ! Attention cependant :
une application numérique sans unité ou avec une unité incorrecte ne rapporte
pas de point. Une réflexion du type « ce résultat est sûrement faux » doit être
accompagnée d'une justification. Juger un résultat numérique « trop grand »
ou « trop petit » ne peut se faire qu'en comparant la valeur obtenue à un
ordre de grandeur connu. »

I. Fentes d'Young
1.

Questions préliminaires

1.1 Un faisceau de lumière parallèle se disperse à la traversée d'un petit trou 
(phénomène de diffraction), alors que l'optique géométrique prédit en sortie un 
faisceau
toujours parallèle et de la même section que le trou.
Le rapport mentionne « beaucoup de fausses justifications limitant la validité
de l'optique géométrique à l'approximation de Gauss ».
1.2 Chaque point P d'une surface atteinte par la lumière se comporte comme une
source secondaire émettant à son tour une onde sphérique (Huygens). L'amplitude
de cette onde est proportionnelle à celle de l'onde incidente et à l'aire dP 
autour
de P, sa phase et sa pulsation sont celles de l'onde incidente (Fresnel).
Déception du jury : « Très peu savent énoncer le principe de HuyghensFresnel, a 
fortiori opérer la distinction entre les contributions de Huygens
et de Fresnel, alors qu'il s'agit du premier élément du cours. [...] On confond
notamment sommation des amplitudes avec sommation des intensités ou
bien diffraction avec diffusion, interférences avec diffraction, voire principe
d'Huygens-Fresnel avec théorème de Malus. »
1.3 La diffraction à l'infini s'observe sur un écran éloigné, ou placé dans le 
plan
focal image d'une lentille convergente.
1.4 Deux ondes peuvent interférer si elles ont même pulsation et si leur 
déphasage
garde une valeur constante. Ceci peut être obtenu en pratique si les deux ondes
proviennent de la même source et si leur différence de marche est inférieure à 
la
longueur de cohérence de la source. Les deux ondes sont alors dites cohérentes.
2.

Réglage du goniomètre

2 Le réglage s'effectue en trois étapes :
· Régler L3 pour avoir une image nette du réticule R (à l'infini pour un oeil
normal).
· Placer le miroir plan en face de la lunette, déplacer L2 jusqu'à avoir l'image
nette de R dans le plan de R (méthode d'autocollimation). R est alors dans le
plan focal de L2 .
· Bifente enlevée, viser la fente F à travers le collimateur, jouer sur L1 pour 
en
former une image nette, dans le plan focal de L2 . Le système est alors réglé.
3.

Observation du faisceau diffracté par une fente très fine

3.1.a D'après le dessin ci-contre, la différence de marche m entre
les rayons issus de C et O vaut
m = z cos 
On en déduit le déphasage correspondant
=

2 m
2 z cos 
=

C
z

O m