CCP Physique 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Optique géométrique et physique. Propagation dans une ligne coaxiale.
Principaux outils utilisés optique géométrique, interférences, électrocinétique en régiment permanent
Mots clefs prismes, franges d'égale inclinaison, cable coaxial

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

SESSION 2004 l . PCP2009

CONCOURS (OMMUNS POlYTE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants.

***

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision
de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

***

PROBLEME I - OPTIQUE GEOMETRIQUE ET PHYSIQUE

A. Optique géométrique.
On considère un rayon lumineux incident situé dans un milieu 1 d'indice de 
réfraction n,, venant
frapper un dioptre plan qui le sépare du milieu 2 d'indice de réfraction riz.

A.]. Lois de Snell -- Descartes.

A.1.1. Enoncer les lois de la réflexion, accompagnées d'un schéma succinct.
A.1.2. Enoncer les lois de la réfraction, accompagnées également d'un schéma.
A.1.3. Expliquer brièvement les phénomènes de réflexion totale et d'angle 
limite.

A.2. Réfraction dans un prisme - Mesure de l'indice d'un verre.

On considère un prisme d'angle A, transparent, homogène et isotrope d'indice n 
plongé dans l'air
d'indice 1 (cf. Fig. 1). Les angles apparaissent sur la figure 1 et 
correspondent aux conventions

traditionnelles.

Fig. 1 : Vue en coupe du prisme perpendiculairement à son arête.

A.2.1. Montrer qu'un rayon incident pénètre forcément dans le prisme.

A.2.2. Ecrire les lois de Descartes aux points I] et 12.

A.2.3. Montrer la relation entre les angles A, r], et r2.

A.2.4. Définir l'angle de déviation, noté D, et l'exprimer en fonction des 
angles A, il et l2.

A.2.5. On constate expérimentalement que l'angle D prend une valeur minimum 
D... lorsque l'on
fait varier l'angle d'incidence il.

Montrer que lorsque D = D... alors il : i2 : i... et r] : r2.

Démontrer que l'indice n est donné par la relation : n : sin[(D...+A)/2] / 
sin(A/2)

A.3. Application à la mesure de l'indice d'un verre.

La technique du minimum de déviation permet de mesurer expérimentalement 
l'indice du verre
d'un prisme. Cette mesure est effectuée à l'aide d'un goniomètre (cf. Fig. 2.) 
constitué d'un plateau
mobile gradué en degrés et en minutes, sur'lequel est placé le prisme. Un 
collimateur, constitué
d'une source lumineuse ponctuelle monochromatique, placée au foyer d'une 
lentille convergente,
permet d'envoyer sur le prisme un faisceau de rayons lumineux parallèles. Une 
lunette de visée,
réglée à l'infini et placée sur un bras mobile, permet l'observation des 
faisceaux émergent ou

réfléchi.

Collimateur

Plateau
mobile gradué

Fig. 2 : Goniomètre -- Mesure de A.

A.3.1. Mesure de l'angle A du prisme.
Le prisme est placé vis à vis du collimateur de façon à ce que ses deux faces 
reçoivent à peu près

autant de lumière (cf. Fig. 2). Avec le viseur on relève les angles ou et ocz 
des faisceaux réfléchis par
les deux faces.

Exprimer A en fonction de ou et 0t2.
A.N. : Expérimentalement on relève ou : ll9°58' et OL2 : 240°O4' ; calculer A.

A.3.2. Mesure de D....
On dispose l'ensemble plateau-prisme de façon à observer le minimum de 
déviation ; on relève

alors l'angle B; indiqué sur la Fig. 3.
On recommence la même opération en faisant entrer le faisceau incident par 
l'autre face du prisme ;

on relève alors l'angle BZ.

Source '

Collimateur

Fig. 3 : Mesure de D....

Exprimer D... en fonction de [31 et 52- _
A.N. : [32 = 218042' et B] = 141016' ;calculer Dm.

A.3.3. En déduire l'indice n du verre utilisé pour fabriquer le prisme.

A.3.4. Incertitude.
On considère que l'erreur de mesure est identique pour les angles A et Dm et 
telle que AA : AD... : 2'.

En déduire l'incertitude absolue An sur la mesure de n.

B. Théorie électromagnétique de la lumière.
Les vecteurs sont notés en caractères gras.

B.1. Le champ électromagnétigue dans le vide.

B.1.1. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et 
de courants.

B.1.2. En déduire les équations vérifiées par le champ électrique E et le champ 
magnétique B.
Que peut-on alors affirmer concernant le champ électromagnétique (E,B) ?

B.1.3. Dans quel(s) référentiel(s) les équations obtenues sont--elles valables 
'? Quelle en est la
conséquence et quel nom porte la théorie qui en découle ?

B.2. Onde électromagnétigue dans le vide.
L'espace est rapporté au repère cartésien orthonormé (O ; ex, ey, ez).

On considère un champ électrique E solution de l'équation obtenue en B.1.2., 
sous la forme
E : EO cos(oet -- kz - (p) ey où E0 et (p sont des constantes.

B.2.1. Caractériser complètement l'onde associée à ce champ électrique.

B.2.2. Etablir la relation de dispersion du vide et donner l'expression du 
vecteur d'onde k. Le vide
(supposé illimité ici) est--il un milieu dispersif '? Justifier.

B.2.3. Rappeler la structure de l'onde plane progressive et en déduire 
l'expression du vecteur
champ magnétique B associé à cette onde.

B.2.4. Déterminer le vecteur de Poynting R de l'onde.

B.2.5. Que représente la moyenne dans le temps du flux de R à travers une 
surface S
perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde '? L'exprimer.

B.3. Ondes lumineuses et interférences dans un milieu.

On caractérise une onde lumineuse en un point P d'un milieu diélectrique, 
linéaire, homogène et
isotrope (DLHI), à la date t, par une grandeur lumineuse scalaire s(P,t) 
associée au vecteur champ
électrique E de l'onde.

En notation complexe, on écrira: s(P,t) : so exp[i(k.r + (p -- oet)] où sa est 
l'amplitude supposée
constante. k le vecteur d'onde, r : SP (S étant le point source lumineux) le 
vecteur position et (p la
phase à l'origine.

B.3.1.
a) Rappeler l'expression du vecteur d'onde k en fonction de À, longueur d'onde 
dans le milieu de
propagation de l'onde.

b) Que représente physiquement le terme exp(i k.r) présent dans l'expression de 
_s_(P,t) ?
c) Quelle particularité possède ici la phase à l'origine (p ?

B.3.2. On considère, en un point P du milieu DLHI, la superposition de deux 
ondes issues de deux
sources ponctuelles SI et 82 monochromatiques (pulsations respectives (Ù1 et 
(Dz, phases à l'origine
respectives (pl et (pz ). On appelle n l'indice du milieu dans lequel on opère.

a) Ecrire, au point P, les grandeurs lumineuses complexes sl(P,t) et _s_2(P,t) 
associées aux deux
ondes. On prendra la même amplitude so pour les deux grandeurs lumineuses.
En déduire la grandeur lumineuse complexe _s_(P,t) résultant de la 
superposition des deux ondes.

b) Calculer alors l'intensité lumineuse 1 que l'on définit simplement ici par I 
= < _s_.s*>, _s_* étant le
complexe conjugué de @. On notera 10 = < s02 >.

EUR) En déduire les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences.

d) Donner l'expression de 1, lorsque ces conditions sont réunies, en fonction 
de 10, n, ?... la longueur
d'onde dans le vide et des distances SIP et SzP.

C. Interférences.

C.1. Figure d'interférences créée par deux sources monochromatiques cohérentes.

On considère deux ondes de même amplitude so, émises par deux sources 
ponctuelles
monochromatiques situées dans le vide, 51 et 82, distantes de la longueur a, 
ces deux sources étant
cohérentes et en phase. On négligera la variation des amplitudes en fonction 
des parcours r1 et r2_

(3.1.1. On considère un plan d'observation parallèle à la droite des sources et 
situé à une distance D
de celle--ci (cf. Fi g. 4), le point courant P décrivant l'axe OX. On suppose 
que D>>a et D>>X.
X

P(X)

Fig. 4 : Plan d'observation parallèle à la droite des sources.

Exprimer I en fonction de X, position du point P de l'écran.

C.1.2. Définir et exprimer l'interfrange i.

C.1.3. On considère maintenant un plan d'observation perpendiculaire à la 
droite des sources et
situé à une distance D de leur point milieu (cf. Fig. 5). On suppose que D>>a 
et D>>p.

P(D)

D

Fig. 5 : Plan d'observation perpendiculaire à la droite des sources.

a) Exprimer la différence de marche 8 en fonction de a et 9.
b) Justifier la figure d'interférences observée à l'écran.
c) Exprimer l'intensité I au point P de l'écran.

D. Applications.

D.1. Franges d'égale inclinaison.

D.1.1. Franges de Pohl -- Source ponctuelle.
L'utilisation d'une lame mince en verre ou en mica à faces parallèles d'indice 
n permet d'observer

un phénomène d'interférences connu sous le nom de «franges d'égale 
inclinaison». La figure 6
présente le dispositif expérimental pour une source ponctuelle monochromatique 
de longueur

d'onde ?... (dans le vide).

P(O)

Fig. 6 : Dispositif à franges de Pohl.

L'écran est situé parallèlement à la lame à une distance D de celle--ci, la 
source S étant située à une

distance d de la lame (d << D). Deux rayons issus de S interfèrent en P situé à 
la distance p de O.
Le premier se réfléchit sur la face avant de la lame, ce qui rajoute un 
déphasage supplémentaire de

K. Le second se réfléchit sur la face arrière sans introduire de déphasage.

a) Décrire la figure d'interférences observée à proximité de O.

b) Exprimer le chemin optique (SP)] parcouru par le rayon issu de S et se 
réfléchissant sur la face
avant de la lame, en fonction de d, D, p, et À0/2.

c) Exprimer le chemin optique approché (SP)2 parcouru par le rayon issu de S et 
se réfléchissant sur

la face arrière de la lame, en fonction de d, D, p, e, et n.

Nota : On considèrera que les angles étant très faibles, les trajets 
représentés au sein de la lame
d'indice n (Fig. 6) sont quasiment parallèles à la direction OS.

d) En déduire la différence de marche 6 ainsi que l'ordre p d'interférence 
entre les deux rayons.

e) En supposant que les deux ondes interférant en P sont d'amplitude semblable, 
exprimer I,
intensité lumineuse en P.

D.1.2. On réalise expérimentalement le dispositif des franges de Pohl en 
utilisant une source

ponctuelle monochromatique de longueur d'onde ?... : 0,58um (dans le vide) 
située à une distance
d = 25 cm d'une lame de mica d'indice n = 1,617 et d'épaisseur e : 13pm. 
L'écran est situé à une
distance D : lm de la lame.

a) Calculer l'ordre d'interférence po au point O de l'écran. Conclure.

b) On note pl l'ordre d'interférence du premier anneau brillant. Donner la 
valeur de pl. En déduire
l'expression de son rayon pl et le calculer.

ième

c) On considère le m anneau brillant d'ordre d'interférence p... et de rayon 
p.... Exprimer p... en
fonction de pl et de m. Calculer les rayons p5 et p6 des cinquième et sixième 
anneaux brillants.

(I) Comment caractérise-t--on un anneau sombre ? Calculer le rayon p1' du 
premier anneau sombre.

D.1.3. Source étendue.
a) Que constate--t-on si on déplace la source S, parallèlement à l'écran, d'une 
distance L ?

b) On substitue à S une source large (sa largeur étant considérée parallèlement 
à l'écran). Est--il
toujours possible d'obtenir une figure d'interférences à l'écran ?

Quelle est la largeur maximale de la source permettant d'observer distinctement 
les cinq premiers
anneaux lumineux ?

c) Si l'écran est placé à grande distance de la lame, que se passe-t--il ? Que 
peut--on en déduire sur
l'utilisation d'une source large ?

d) Proposer un dispositif pratique permettant d'observer le phénomène 
d'interférences à l'infini.
Faire un dessin et justifier le nom donné à la figure d'interférences observée: 
"Franges d'égale
inclinaison".

PROBLEME Il -- PROPAGATION DANS UNE LIGNE COAXIALE

La transmission des signaux électriques dans les câbles est sujette à des 
limitations dues aux eflets
Joule liés & l'imperfection des matériaux utilisés, qu'ils soient considérés 
conducteurs ou isolants.
En outre, l 'analyse de Fourier montre que les signaux de formes quelconques ne 
peuvent être
transmis sans déformation que si le traitement subi par chaque composante 
spectrale est
indépendant de la fréquence. La première partie de ce problème est limitée à 
l'étude de la
transmission en régime continu. La seconde aborde, en régime sinusoïdal, 
l'optimisation du
comportement fréquentiel d'un câble coaxial.

Préliminaire : adaptation d'impédance

Un générateur de fem e(t) : Em cos(oet) d'impédance interne 20 = R0 + jXO 
alimente un réseau
d'utilisation d'impédance Zu : Ru + qu (j est le nombre complexe tel que j2 = 
----1).

a) Déterminer la puissance active fournieau réseau d'utilisation en fonction de 
E... et des

caractéristiques des impédances.
b) Les caractéristiques du générateur étant imposées, quelles sont les 
conditions sur Xu puis sur Ru

qui permettent d'obtenir une puissance active maximale. Exprimer Zu en 
conséquence.

1. Modélisation de la ligne coaxiale en régime continu
Un générateur équivalent à une source de tension V0 en série avec une 
résistance RO est branché à

l'entrée (à l'abscisse x = 0) d'une ligne continue de longueur X. Lorsque cette 
ligne présente, par
unité de longueur, une résistance longitudinale r et une conductance 
transversale g, elle est
modélisable selon le réseau en échelle dessiné figure [1], chaque maillon 
correspondant à une
section d'épaisseur infiniment petite dx.

Fig.[1]

1.1. On désire établir le modèle équivalent de Thévenin du montage de la figure 
1, en regard vers la
source, à l'abscisse x+dx, en fonction de celui correspondant à l'abscisse x 
(cf. Fig. [2]).

1.1.a. Rappeler l'énoncé du théorème de Thévenin (fem et résistance 
équivalentes).

1.1.b. Détermination de la résistance équivalente de Thévenin R(x) :
Exprimer la résistance équivalente de Thévenin R(x + dx) en fonction de R(x) et 
des caractéristiques

de la ligne.
En effectuant un développement limité au premier ordre en dx, écrire une 
équation différentielle du
premier ordre en R(x). On posera r = g RC2.

Montrer alors que R(x) peut s'écrire sous la forme :
alebx + a2e_

alebX --a2e_

bx

R(x) = R c bx

où a 1, a2 et b sont des constantes à préciser en fonction des caractéristiques 
de la ligne.

u--a
+Cte

On donne: --------- :_ ln

du 1
u2 --a2 23

u+a

1.1.c. Détermination de la tension équivalente de Thévenin U(x) :
Par un raisonnement analogue, établir l'équation différentielle du premier 
ordre régissant la tension

de Thévenin U(x). Exprimer alors cette tension U(x).
b bu
1

u ....
a e +a e
Ondonne:]1 b 2 --b du=--ln
816 u--826 u b

211 EURbu --82 EUR--bu + CtEUR

1.2. On adapte la résistance RO du générateur de manière à rendre la résistance 
R(x) indépendante
de la longueur de la ligne. Exprimer dans ce cas R0 et R en fonction de RC puis 
exprimer U(x).

2. Adaptation de la charge au maximum de puissance
La condition précédente étant réalisée, de sorte que R(x) soit bien 
indépendante de x, quelle

résistance doit--on brancher à l'extrémité X de la ligne pour en extraire le 
maximum de puissance
active '? Cette charge étant mise en place et V(x) désignant la tension en un 
point d'abscisse x,
montrer que la relation V(x) : U(x)/2 est vérifiée en tout point de la ligne. 
Exprimer alors V(x) en
fonction des paramètres VO, RC et g.

3. Modélisation de la ligne coaxiale en régime sinusoïdal ; pupinisation
Pour étudier le comportement réel de cette ligne on doit ajouter, par unité de 
longueur, une auto--

inductance longitudinale [ et une capacité transversale c. Le schéma d'un 
maillon élémentaire est

dessiné figure [3].

Fig.[3]

La ligne est maintenant alimentée par un générateur basse fréquence qui délivre 
une tension
sinusoïdale que l'on écrira sous forme complexe : 60 = V() eÏOEÎ. L'impédance 
complexe interne du

générateur est notée 20. On utilisera la notation complexe dans toute cette 
partie.

3.1. Simplifier le schéma électrique de l'élément de ligne de longueur dx en 
regroupant les deux
éléments en série sous forme d'une seule impédance écrite dZ : z dx et les deux 
éléments en
parallèle sous forme d'uneseule admittance écrite dY : y dx.

Préciser z et y en fonction des données.

3.2. Les résultats de l'étude en régime continu vus à la question 1, restent 
valables pour le régime
sinusoïdal à condition de remplacer résistances par impédances.

La relation r = g RC2 étant à remplacer par 2 = y ZC2, exprimer ZC en fonction 
des données.
Z(x) se substituant à R(x), en déduire l'impédance complexe 20 du générateur 
permettant d'obtenir

une impédance complexe de Thévenin Z(x) indépendante de x.
Quelle doit être alors l'impédance complexe à brancher en sortie de ligne afin 
d'extraire de celle-ci

le maximum de puissance active ?

\

3.3. Les paramètres r, 6, g et c peuvent être optimisés de manière a rendre 
l'impédance ZC

indépendante de la fréquence. Etablir la condition r/g : f(Æ/c) correspondante. 
Simplifier dans ce cas

les expressions de ZC et de 20.

3.4. On note V(x,t) : V(x) eJ°Jt la tension à la position x de la ligne et 
U(x,t) : U(x) ei")t la tension
de Thévenin à la même position x de la ligne.
Lorsqu'on connecte en sortie de ligne une résistance RC : (r/g)V2, la tension 
V(x) reste toujours

égale à U(x)/2 quel que soit x. En s'appuyant sur la condition et les résultats 
précédents, donner
alors l'expression de V(x,t) en fonction des paramètres VO, r, g, @, c et (1).

Montrer qu'il y a propagation d'une onde électrique et caractériser cette 
pr0pagation. Exprimer la
vitesse de phase et l'atténuation. L'onde est-elle dispersive ? Est--elle 
filtrée ?
La pupinisation est un procédé pratique, utilisé dans le but de réaliser la 
condition établie en (33).

On intercale des bobinages, de distance en distance, afin d'augmenter 
globalement l'auto--inductance EUR .

Quel effet produit ce procédé sur la vitesse de propagation de l'onde ?

3.5. Les données pour un câble coaxial, dont le conducteur axial possède un 
rayon a et le
conducteur périphérique possède un rayon b, sont :

g=_eg_...3 C=M ., ,____1_ ae(ï.i)
27z a b 272 20" a b
ln--
a

Permittivité du vide 80 : 1/(36 % 109) F/m - Perméabilité du vide ...) = 4 n 
10"7 H/m - Permittivité
relative de l'isolant EURr : 2,1. La résistance par unité de longueur dépend de 
la conductivité G des

conducteurs, mais aussi de la pulsation ou, à cause de l'effet de peau.

Le paramètre g répondant à la condition établie en (3.3), rechercher une valeur 
du rapport b/a qui
minimise le facteur d'atténuation de la ligne.

Quelle est alors la valeur de l'impédance caractéristique de la ligne, 
c'est-à--dire la valeur de

l'impédance ZC qui, branchée en bout de câble, permet de fonctionner dans ces 
conditions ?

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par
Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet, qui se présente en deux parties, comporte en réalité trois exercices
totalement indépendants.
· La partie A du premier problème est un exercice d'optique géométrique sur
les prismes. Il n'est pas difficile mais nécessite absolument de faire des 
dessins.
Il constitue une bonne révision du TP-cours sur le goniomètre.
· Les parties B, C et D du premier problème forment un exercice d'optique 
ondulatoire. Les questions sont de difficultés assez inégales, des questions 
très
simples et proches du cours pouvant côtoyer de longues questions calculatoires.
Par ailleurs, on peut regretter un manque de rigueur de l'énoncé quant aux
suppositions faites dans la partie D.
· Le deuxième problème traite de l'adaptation d'impédance sur une ligne 
coaxiale, pour laquelle il présente une méthode élégante de résolution. Il 
nécessite
un peu d'astuce par endroits, mais les questions sont dans l'ensemble bien 
guidées.
Ce sujet est hétérogène et parfois incomplet ; il est en outre très long. 
Certaines
questions sont nettement calculatoires et nécessitent une bonne familiarité 
avec les
constructions géométriques. Il constitue néanmoins une bonne révision de 
l'optique
géométrique, de l'électrocinétique et de l'optique ondulatoire, même si des 
imprécisions peuvent rendre la compréhension délicate.

Indications
Optique géométrique et physique
A.2.1 Supposer que l'indice du prisme est supérieur à 1.
A.2.3 Utiliser une relation de base dans un triangle bien choisi.
A.2.4 Relier d'abord D à i2 et un autre angle, et travailler dans le triangle 
formé
par I1 , le sommet du prisme et le point de croisement du rayon incident avec
l'autre face du prisme, s'il continuait tout droit.
A.2.5 Utiliser les questions précédentes pour aboutir à une relation ne faisant 
intervenir que les cosinus des angles ; utiliser un argument mathématique pour
conclure quant à l'égalité des angles deux à deux.
A.3.4 Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir l'erreur.
 --
-

-
- - -
B.1.2 Utiliser la formule d'analyse vectorielle rot rot A = grad div A -  A .

-
B.3.2.d Quelle est l'orientation de k1 ?
D.1.1.c Utiliser le fait que les angles sont petits pour égaler sinus et 
tangente ; utiliser les relations de réfraction pour exprimer la tangente de 
l'angle incident
en fonction de e et de la distance entre les deux points de passage sur la
face avant.
D.1.1.d Développer au premier ordre en 2 .
D.1.2.b Faire attention au sens de variation de  avec .
D.1.3.b Considérer que la source étendue n'a pas de cohérence spatiale.
Propagation dans une ligne coaxiale

EI
,
2
où I est le complexe conjugué de I, et E et I sont les amplitudes complexes.

a Utiliser la formule de la puissance en notation complexe P = Re

1.1.b Utiliser le fait que R(x) - Rc ne peut pas changer de signe pour éliminer 
les
valeurs absolues.
2 Considérer R (x), la résistance à droite de x, et en raisonnant par analogie 
avec la question 1.1.b, puis en utilisant la question 1.2, montrer que
R (x) = R(x).
3.5 Ne pas chercher à résoudre analytiquement l'équation sur a/b, ce n'est pas
possible.

I.

Optique géométrique et physique
A.

Optique géométrique

A.1.1 D'après les lois de la réflexion,
· le rayon incident et le rayon réfléchi
sont dans un plan contenant la normale
au dioptre ;
· l'angle du rayon réfléchi par rapport à
la normale est le même que celui du
rayon incident.

r
i

Avec les notations du schéma, cela s'écrit
r=i
A.1.2 Avec les notations de la figure cicontre, les lois de la réfraction 
s'énoncent
ainsi :
· le rayon incident et le rayon réfracté
sont dans un plan contenant la normale
au dioptre ;
· l'angle du rayon réfracté par rapport à
la normale vérifie

i2
i1
n1 n2

n1 sin i1 = n2 sin i2
où i1 et i2 sont respectivement l'angle du rayon incident par rapport à la 
normale et
celui du rayon réfléchi, et n1 et n2 sont les indices respectifs de réfraction 
des milieux.
A.1.3 Si n1 est supérieur à n2 , on peut voir qu'au-delà d'un certain angle 
limite
tel que
sin lim =

n2
n1

donc

sin i2 = 1

on ne peut plus trouver d'angle i2 solution de l'équation de la réfraction. 
Cela implique
physiquement que la totalité du rayonnement incident est réfléchi : c'est le 
phénomène
de réflexion totale.
A.2.1 Dans le cas général, l'indice du prisme est supérieur à 1 ; quelle que 
soit la
valeur de l'angle d'incidence, il existe une solution pour l'angle réfracté. Il 
n'y a pas
de réflexion totale.
En fait, il s'agit bien d'une supposition, puisque rien n'interdit à un milieu
d'avoir un indice inférieur à 1 ; cela implique seulement que la vitesse de
phase de la lumière y est supérieure à c. En pratique, pour la lumière visible
et des matériaux courants, ce n'est jamais le cas ­ cela se peut produire,
par exemple, dans des plasmas. En revanche, si l'on s'intéresse aux 
ultraviolets lointains ou aux rayons X, ce phénomène est plus courant. Pour du
verre, on a toujours n > 1.

A.2.2 Les lois de la réfraction aux points I1 et I2 s'écrivent
et

sin i1 = n sin r1

sin i2 = n sin r2

A.2.3 Nommons S le sommet du prisme. On a alors dans le triangle SI1 I2
[
[
I[
1 SI2 + I2 I1 S + SI2 I1 = 
Par ailleurs, les angles r1 et r2 valent respectivement

[
et
r2 = - SI
r1 = - I[
2 I1 S
2 I1
2
2
On en déduit

A = r1 + r2

A.2.4 L'angle de déviation est l'angle
entre le rayon incident et le rayon
émergent. Sur la figure ci-contre, il est
repéré par la lettre D. On a de plus

 = - i1
2

+ =
et i2 =  + D
2
Puis, la somme des angles dans le triangle SI1 I2 donne

S

A

i1
I1

D = i1 + i2 - A

A.2.5 Les extremums de la déviation s'obtiennent quand
dD
=0
di1
c'est-à-dire, en utilisant la question précédente, quand
1+

di2
=0
di1

En dérivant les relations trouvées à la question A.2.2, on obtient
1=n

On a donc

dr1 cos r1
di1 cos i1

et

di2
dr2 cos r2
=n
di1
di1 cos i2

dr1 cos r1
dr2 cos r2
+
=0
di1 cos i1
di1 cos i2

Par ailleurs, d'après la question A.2.3, on a toujours
dr1
dr2
+
=0
di1
di1
On en déduit

i2
D

++A=
On en déduit

I2

cos r1
cos r2
=
cos i1
cos i2