CCP Physique 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude d'un transformateur d'impulsions. Étude des guides d'onde diélectriques.
Principaux outils utilisés électrocinétique, transformateur, diodes, propagation d'ondes électromagnétiques, relation de dispersion

Corrigé

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SESSION 2001 PCOO8

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE 2

DURÉE : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée -Les deux problèmes sont 
indépendants

PROBLEME I - ETUDE D'UN TRANSFORMATEUR D'IMPULSIONS

Le transformateur étudié sert à déclencher la conduction des thyristors dans 
les montages

d'électronique de puissance.
Le primaire et le secondaire ont chacun le même nombre de spires N. Les 
caractéristiques de

chaque enroulement, inductance propre et résistance, sont L = 2 mH et r = 1,2 
mQ.
Pour deux bobines couplées, si les courants il et i2 ont le même sens par 
rapport aux bornes

marquées (homes homologues -- figure 1), l'inductance mutuelle L12 est positive.

i A i

l 2

r----+--'

L. É -L On note |L12| : |L21| : M
.

Fig. 1

Le couplage entre les enroulements est parfait, c'est--à-dire L = M (M étant 
l'inductance

mutuelle).
Le noyau du transformateur est en ferrite dont on idéalisera la caractéristique 
d'aimantation

par la courbe donnée sur la figure 2.

Fig. 2 H [Nm]

(l)(t) représente le flux magnétique à travers une section droite du circuit 
magnétique.
Les inductances propres L et mutuelle M ne sont définies qu'en dehors de la 
zone de

saturation.

Tournez la page S.V.P.

1.1 Etude à vide (iS : 0)

Les notations sont définies sur la figure 3.

Fig. 3

V est une tension positive fixe et l'interrupteur k est réalisé par un 
transistor bipolaire.

1.1.1 A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur k. Exprimer la tension up(t) 
et le courant ip(t), en

déduire le flux (l)(t) et la tension secondaire us(t) en fonction de V et des 
caractéristiques du
transformateur. On négligera pour cette étude la résistance de l'enroulement et 
on considérera qu'à
t = O, ip : iS : 0 (conditions initiales).

1.1.2 Le flux croît alors jusqu'à saturation du circuit magnétique.

Exprimer le produit (V.tmax) en fonction de 4).... Le fabricant donne V.tmax : 
400 V.us. En déduire la
valeur de tmax pour V = 10 V et calculer la valeur de ipmax qui correspond à 
t,....

1.1.3 On veut prévoir ce qui se passerait si l'interrupteur k restait fermé 
au--delà de t...ax. Quelle serait
alors la valeur de uS ?

Montrer qu'il est nécessaire de tenir compte de r pour calculer ip ; quelle est 
la valeur de ip ?

1.1.4 A l'instant tl : t...... on ouvre l'interrupteur k. La diode D a une 
tension de seuil VS : 0,8 V et
une résistance interne négligeable (figure 4).

u diode idéale 3

Fig. 4

Donner le schéma équivalent du circuit qui permet de calculer ip(t) pour t _>_ 
tl (on prend en
considération la résistance de l'enroulement). -

1.1.5. Ecrire la loi des mailles dans ce circuit. En déduire l'expression de 
ip(t) pour t 2 tl.

1.1.6 A l'instant t2 le courant ip s'annule. Donner l'expression de td : t2 -- 
tl. Calculer la valeur
numérique de td.

1.1.7 On ajoute une diode zener en série avec D, ce qui a pour effet 
d'augmenter le seuil de
conduction à la valeur (VS + V,). Calculer td pour VZ : 6,8 V. Conclure.

1.1.8 Dans ce cas, calculer uS(t) et représenter pour t E [O, 100 us] l'allure 
des courbes ip(t), up(t) et
us(t). '

1.2 Etude en charge pour t 5 t1

Le montage à étudier est donné dans la figure 5 .

L=2mH
r=1,2m£2
R=lOOQ
V=IOV

M = L (couplage parfait)

Fig. 5

D est une diode de commutation idéale. A t = 0, on ferme l'interrupteur k.

1.2.1 Ecrire la loi des mailles pour le primaire et le secondaire du 
transformateur avec
ip(O--)=is(O-)=O

1.2.2 Le flux magnétique (1) étant une fonction continue de t, montrer que 
ip(o+) : is(o+). Déterminer
ip(o+) en utilisant les équations de 1.2.1.

1.2.3 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par ip(t).

1

1.2.4 On note 1: = ---- ( Mr

r+R

+ L). En déduire ip(t) et is(t).
r

1.2.5 Exprimer us(t). Calculer us(t) pour t : t1 : 40 ps. Conclure.

1.2.6 L'interrupteur k est ouvert à l'instant tl ; expliquer le rôle de la 
diode D1 pour t 2 tl, en
s'appuyant sur le résultat de la question 1.1.8 concernant us.

Tournez la page S.V.P.

PROBLEME II - ETUDE DES GUIDES D'ONDE DIELECTRIS 2UES

Le développement des communications avec des fibres optiques confère aux guides
diélectriques une importance croissante.

Le guide d'onde diélectrique plan est beaucoup utilisé en optoélectronique pour 
réaliser des
coupleurs, des circuits résonants, etc.

Les guides diélectriques sont des guides ouverts, pour lesquels la propagation 
des ondes

\

électromagnétiques monochromatiques a lieu pour une fréquence supérieure a une 
fréquence de

seuil.

A l'extérieur du guide plan a lieu la propagation d'une onde de surface, à 
distribution
exponentielle dans une section transversale, onde qui se concentre à la surface 
de séparation des
milieux au fur et à mesure que la fréquence augmente.

Les nombres d'onde critiques sont fonctionde la fréquence de travail.
Toutes ces propriétés seront illustrées dans ce qui suit.

On considère une plaque diélectrique dans l'espace vide (figure 1).

O'], O'2 et O'3 : conductivités électriques
Er : permittivité relative
80 : permittivité absolue du vide

,u0: perméabilité absolue du vide

Fig. 1

La composante EZ du champ électrique Ê=Eyuy +E,ü, d'une onde électromagnétique

monochromatique de pulsation (0 se propageant dans la direction uZ s'écrit 
généralement sous la
forme :

Eze'"z cos< oet -- BZ) = Réel {Eze'<""mz e' °° '}
Onnote Ï =a+jB avec a>o et B>o

: constante de propagation

constante d'atténuation

!
a :
B = constante de phase

et _EZ : Ez(y)e _ÏZ est l'image complexe de Ez(y,z,t)

Pour une onde non atténuée y : jB (a = o).

11.1 A partir des équations de Maxwell, déterminer l'équation aux dérivées 
partielles satisfaite par le
champ électrique Ë et montrer que l'équation différentielle satisfaite par 
l_E_Z dans le domaine (1)
s'écrit :
d2...Ezl 2 v - -

2 + k] E21=0 k1 : nombre d onde cr1t1que
dy _

Expliciter kÎ en fonction de y,oe,8, ,un.

II.2 Déterminer E en fonction de deux constantes A1 et A2 en considérant kÎ > o.

__zl

11.3 Justifier sans calcul que E_Zz(y) et E_z3(y) satisfont chacune à une 
équation différentielle

analogue à En (y) où k1 est remplacé respectivement par k2 et par k3.

On choisit k2 : k3 =jK avec K > 0.
Déterminer les expressions de Ezz(y) pour y > a (domaine 2) en fonction d'une 
constante A2 et de

EZ3( y) pour y < 0 (domaine 3) en fonction d'une constante A3.
Justifier le choix de k2 et k3.

11.4 En considérant les expressions de fdtÊ et f(ÏtË, avec Ë=Bxux, déterminer

Eyl'-Bxl ; Ey2,fixz ; Ey3,_läx3, images complexes des composantes du champ 
électrique Ë et du

/ - _. - \ , , . .. a .
champ magnétique B. On cons1dere les ondes non attenuees su1vant uz, donc -à-- 
----> -- JB. On
2

conservera A1, A2, A3, A4, k1 et K comme paramètres de l'onde de pulsation 0).

11.5 Ecrire les conditions de passage en y = a et y = 0 pour les composantes EZ 
et Ey du champ
électrique.

II.6 De la question ILS, déduire le système linéaire vérifié par A1 et A3. 
Montrer que pour obtenir
des valeurs non nulles pour A1 et A3, il est nécessaire que les nombres 
critiques satisfassent la
relation :

k1
KS

,.

on posera tg (p : --

[1.7 On note {lea : q7r
Ka : m

Montrer que q et r doivent satisfaire le système :

' 2

2 2 (la
= ---- --1
q+r LÂ](Er )

0

75 Cl
t ----=---
gq2 r8

,...

Tournez la page S.V.P.

\ C 2 1
ou XO = --9-- avec c() =

f EUR0"0

7t0 = longueur d'onde dans le vide d'une onde plane monochromatique de 
fréquence f.

11.8 Pour q = n (entier impair > O), déterminer la valeur de r et en déduire la 
plus petite fréquence fS
et la plus grande longueur d'onde kos pouvant encore se propager dans le guide, 
en précisant pour

quelle valeur de n elles sont obtenues.

11.9 Si on note 7tod : Ji, montrer que la longueur d'onde % = % d'une onde non 
atténuée se
8I'

propageant dans le guide, pour f > fs, s'écrit :

11.10 Utilisant les questions antérieures (ILS, 11.6, 11.7), déterminer les 
composantes de E et de E
dans les trois domaines, en fonction de la constante que multiplie sin k1y dans 
l'expression de
EZ], de r, q, Xo,c0, EUR,.

11.11 Que deviennent ces composantes pour r = 1 et f : fs ? Quels types d'ondes 
se forment dans les
domaines (2) et (3) ?

Fin de l'énoncé

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CCP Physique 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) et Jean-David
Picon (École Polytechnique) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et 
Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon).

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
· Le premier problème étudie un transformateur d'impulsions destiné à 
déclencher la conduction des thyristors dans les montages électroniques de 
puissance.
La première partie caractérise les propriétés du transformateur à vide, 
c'est-àdire quand l'intensité dans le secondaire est nulle. La seconde utilise 
les résultats
de la première partie pour l'étude complète du transformateur.
· Le second problème est consacré à l'électromagnétisme et plus précisément à
l'étude d'un guide d'onde diélectrique.
On étudie un guide d'onde plan. Le guide étant limité transversalement, l'onde
qui s'y propage ne peut être plane. On suppose par conséquent que l'amplitude

-

-
des champs B et E dépend de y.
On utilise alors les équations de Maxwell pour déterminer la forme de cette
dépendance. Puis, grâce aux conditions de passage, on trouve les fréquences
qui peuvent se propager dans le guide et on achève le calcul des constantes
d'intégration.
Le sujet n'est pas particulièrement difficile mais sa résolution est rendue plus
compliquée par quelques incohérences dans l'énoncé.

Indications
Premier problème
I.1.1 Le flux s'écrit a priori  = Lip + Mis mais is est nul et L = M.
I.1.4 Montrer que la diode D est passante après ouverture de l'interrupteur.
I.2.1 Attention, is a changé de sens ! Le flux dans la bobine du primaire 
s'écrit désormais 1 = Lip - Mis et celui dans la bobine du secondaire 2 = -Lis 
+ Mip .
L'hypothèse L = M assure 1 = 2 .
I.2.2 Montrer que la diode D1 est passante à t = 0+ . Soustraire les deux 
relations
obtenues au primaire et au secondaire pour trouver une relation entre ip et is .
I.2.3 Dériver par rapport au temps l'équation précédente et reporter le 
résultat dans
la relation obtenue au primaire.
I.2.5 us vaut simplement Ris .
Deuxième problème

- - -
II.1 Calculer rot rot E pour déterminer l'équation de propagation.
Remplacer ensuite le champ électrique dans l'équation de propagation par la
forme donnée dans l'énoncé.
II.2 Intégrer l'équation différentielle obtenue à la question précédente sous 
la forme
d'une combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus.
II.3 Dans les milieux 2 et 3, r vaut 1.
Intégrer ensuite les deux équations différentielles et justifier qu'on supprime 
les
termes exponentiels croissants.

-

- -
E
pour en déduire Bx et Ey à
II.4 Expliciter l'équation de Maxwell rot B = µ0 
t
partir de Ez déterminé à la question précédente.

-
II.5 Les composantes tangentielles du champ électrique E sont égales de part et
d'autre de l'interface entre deux diélectriques tout comme les composantes nor
-
males du vecteur champ de déplacement D .
II.6 Éliminer A2 et A4 dans le système obtenu à la question précédente.
Pour que le système ne soit pas de rang 2, il faut que son déterminant soit nul.
De plus
2
tan x = 
x -1
x
tan
- tan
2
2
II.7 Utiliser la question précédente et les définitions de q et de r.
II.8 Connaissant r, on déduit de la deuxième équation établie à la question 
précédente la valeur de 0 en fonction de q.
II.9 Exprimer  à partir de la définition de k1 .
II.10 À l'aide du système obtenu à la question II.5, exprimer A1 , A3 et A4 en 
fonction
de A2 et des constantes du problème.

I.

Étude d'un transformateur d'impulsions

I.1

Étude à vide (is = 0)

I.1.1 À la fermeture de l'interrupteur, la tension up (t) est égale à la 
tension V :
up (t) = V
Dans le cas où l'on néglige la résistance interne de la bobine, up et ip sont 
reliés par :
up = L

On en déduit que

ip =

dip
dt

V
t
L

Dans les conventions de signe explicitées ci-dessous, le flux dans la bobine
du primaire a pour expression :
1 = Lip + Mis
et le flux dans la bobine du secondaire :
2 = Lis + Mip
ip

is

up

us

Dans cette partie, is étant nul, 1 vaut simplement Lip et 2 est égal à
Mip . De plus, L et M sont égaux, donc 1 est égal à 2 ; l'énoncé note  leur
valeur commune.
En conséquence,  et us =

d2
ont pour expression :
dt
(t) = Vt

us (t) =

M
V=V
L

I.1.2 V.tmax s'exprime simplement en fonction de sat :
V.tmax = sat
Application numérique :

tmax = 40 µs

ipmax = 0, 2 A

I.1.3 Au-delà de tmax ,  est égal à sat . Alors :

us =

d
=0
dt

Si l'on ne tient pas compte de r :
d
=0
dt
On aboutit donc à une contradiction : il faut tenir compte de r. On en déduit :
V=

ip =
Application numérique :

V
r

ip = 8330 A

Cette valeur très importante de l'intensité fait qu'on a tout intérêt à ce que
le flux magnétique dans la bobine n'arrive pas à saturation. Cette situation
est prise en compte dans la question suivante où l'on ouvre l'interrupteur à
t = tmax .
I.1.4 ip est égale à ipmax qui est positive, donc la diode D est passante. Le 
schéma
équivalent est alors :

ip
r
Vs

L

I.1.5 La loi des mailles donne :
rip + L

dip
= -Vs
dt

dip
Vs
r
ip +
=-
L
dt
L

ou encore

La solution de cette équation est constituée de deux termes :
 r 
· un terme exponentiellement décroissant A exp - t qui est solution de l'équaL
tion
dip
r
+ ip = 0
dt
L
Vs
solution particulière de l'équation différentielle.
r
sat
Pour trouver A, il suffit d'écrire que ip vaut ipmax =
en t = t1 :
L

r 
sat
Vs
A=
+
exp
t1
L
r
L
· un terme constant -