CCINP Physique 1 PC 2006

SESSION 2006 Pcmoos

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

.EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois que cela est .
possible. Le symbole SI désigne [ 'unité homogène à la grandeur physique 
considérée, dans le cadre
du Système International d'unités. '
***
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il a été

amené à prendre. -
***

PROBLÈME I +
MESURE DE RESISTANCES

Abréviations :

-- force électromotrice ' f.e.m.
-- apprdximation des régimes quasi-stationnaires -- A.R.Q.S.
- x très grand devant y x >> y

Données :
Dans un repère de coordonnées cylindriques (r, *9, z) rapporté au repère 
orthogonal

("é... êg, él), on rappelle les formules suivantes :

_:

X = X,è'r+X9êe+Xêz
ôf_, 18f_, ôfê,

., ___-->
Vf(f,9,Z) : gradf= a_rer+ raeee azeZ
_. 1 X 1X '

divX : _ô(r )+_d__9+ÊX_

r dr r 89 az

Af(r,9,z) ._ %â(r%f)+ï 92 f+ aaZ2----2f = div(fidf)

1.1 Mesure directe
Ondispose d'un résistor de résistance inconnue X .

-- 1.1.1 Pour déterminer X ,. on place en série un résistor de résistance 
connue r = 100 Q, un
générateur de tension e = 1,50 V et un ampèremètre A de résistance négligeable. 
Représenter

le circuit correspondant.

- 1.1.2 Montrer que la mesure de l'intensité I du courant traversant le circuit 
permet de remonter
à la valeur de X . L' incertitude sur la valeur de la résistance r et sur la 
valeur de la f.e.m e sont
respectivement de 0, 5% et 1% tandis que la lecture de l'ampèremètre donne 4, 
29 mA avec
0, 1% d'erreur. Donner la valeur de X ainsi que l'incertitude AX portant sur 
cette mesure.

- 1.1.3 Comment appelle-t-on un appareil fonctionnant sur ce principe '? La 
mesure est-elle
précise ?

1.2 Pont de Wheatstone

Figure 1

La résistance inconnue X est placée dans le montage (classique) de la Figure 1, 
appelé pont
de Wheatstone. Entre les homes B et D est placé un microampèremètre de 
résistance interne

négligeable, protégé par une résistance r = 100 S2. Les résistances R1, R2 sont 
des résistances
étalons et R., une résistance étalon variable (obtenue par exemple au moyen de 
boîtes de résistances
montées en série).

- 1.2.1 Déterminer dans le cas général, et en fonction de la f.e.m e et des 
différentes résistances,

l'intensité I traversant le microampèremètre.
Indication : on cherchera le générateur de Norton (ou de Thévenin) équivalent, 
entre les

bornes B et D, au réseau constitué du générateur et des quatre résistances R1, 
R2, R,, et X.

-- 1.2.2 Donner la condition sur R1, R2, R,, et X, pour laquelle le courant 
traversant le mi--
croampèremètre s' annule.

- 1.2.3 On choisit R1 = 100,0 Q, R2 = 1,000 kg et la mesure donne R,, = 2520 Q 
lorsque le
pont est équilibré. Les résistances R1, R2, RV Sont précises à 0, 1% près. Le 
générateur et la

résistance r sont les mêmes que ceux de la question 1.1.1.
Calculer la valeur de X et l'incertitude AX associée à cette mesure.

Aiguille

Sens de parcours du courant

Figure 2

- 1.2.4 Le microampèremètre n'est autre qu'un galvanomètre à cadre mobile. Le 
courant I à
mesurer circule dans un enroulement ayant la forme d'un carré de EUR = 2 cm de 
côté. L' enroule--
ment est un cadre plat contenant ns : 10 spires. Les portions du circuit 
parallèles à l'axe de
rotation sont plongées dans le champ magnétique d'un aimant de 0,1 T. Le champ 
magnétique
produit est stationnaire, contenu dans le plan du_circuit et perpendiculaire à 
l'axe de rotation
(colinéaire à ê}, voir Figure 2). Le cadre est maintenu par un ressort de 
torsion dont le couple
de rappel I' est proportionnel à_l'angle de déviation 0 : F : --k0 avec k = 2 
>< 10"8J.rad--l. Déterminer l'angle de déviation associé à un courant I de 15 [AA. -- 1.2.5 Faute de galvanorhètre, on se propose d'utiliser à la place le montage à amplificateur opérationnel (A.O.) supposé idéal, représenté sur la Figure 3. Les conditions de fonction- - nement en régime linéaire sont-elles remplies ? Figure 3 - 1.2.6 Les bornes B et D du pont de Wheatstoné sont branchées respectivement aux bornes E et F du circuit, duquel le microampèremètre et la résistance r ont été retirés. Les résistances RE et RF sont égales à 100 kg. Un voltmètre mesure la tension de sortie Vs de l'A.O idéal (remarque : en particulier la tension d'offset est nulle). Expliquer de quelle façon ce montage peut remplacer le microampèremètre de la question 1.2.3. I.3 Résistance d'un disque conducteur ohmique - 1.3.1 Rappeler la relation entre la densité de courant Îet le champ électrique Ë régnant dans un conducteur ohmique de conductivité 0". Donner la relation entre la résistivité p du matériau et la conductivité O'. Quelles sont les unités de p et o '? -- 1.3.2 Ecrire les équations de Maxwell dans un conducteur ohmique, dans l'approximation A.R.Q.S. Que vaut la densité de charge électrique à l'intérieur du milieu conducteur ? En déduire la valeur de divË dans le conducteur. - 1.3.3 La distribution de charges et de courants est supposée stationnaire. Déduire de la ques- tion précédente une équation pour le potentiel électrique V. - 1.3.4 Un conducteur a la forme d'un mincecylindre d'épaisseur e et de rayon re (Figure 4). Au centre du cylindre arrive un fil conduçteur qui forme un contact circulaire de rayon r,-- petit devant re. Le disque est rapporté à un repère de coordonnées cylindriques (r, 9, z). On suppose valides les hypothèses suivantes : ' 1. Les grandeurs physiques ne dépendent pas de z. 2. La zone cylindrique r 5 r,-- de rayon r,--, située juste sous le contact du fil conducteur, est à potentiel constant V,-. 3. La circonférence extérieure du cylindre (ensemble des points de la surface latérale telle que r : re), reliée àla masse du circuit, est à potentiel constant nul. Déterminer en tout point du disque la valeur du potentiel V(r, 9). Indication : on pourra utiliser le formulaire donné en première page d'énoncé. - 1.3.5 Déterminer l'expression du champ électrique \Ë (r, 6). -- 1.3.6 En déduire l'expression de l'intensité totale I traversant une surface cylindrique quel- conque d'axe (Oz), de rayon r (avec r,-- < r < re) et de hauteur e. [ dépend-elle de r ? - 1.3.7 Calculer la résistance R : V,--/I du disque. Montrer que cette résistance s'écrit sous la forme r K ln(--Ê) ri expression dans laquelle K estune constante qui sera déterminée en fonction des données de l'énoncé. - 1.3.8 On place maintenant deux fils identiques faisant contact près du centre du disque (Fi- gure 5 à gauche). Les deux fils sont séparés d'une distance d petite devant re mais grande devant r,-. Montrer que le potentiel qui, en tout point M, vérifie : V(M) =Cln (___--"O_LM") ' IIO4MII est une solution de l'équation à laquelle doit obéir V. Trouver la valeur de la constante C pour laquelle les conditions aux limites V-- -- V1 à proximité de __O_>1, et V: V4-- _-- ----V1 à proximité de 04 sont vérifiées (à proximité 
signifiant a une distance
||OM||-- -- r,-- du point, et on suppose dans le calcul que r,-- peut être 
négligé devant d).

En déduire la limite, pour r > d, du potentiel V(M )

d+--> _ d<_, Figure 5 - "1.3.9 Quelle est la forme géométrique des équipotentielles de V(M ) ? -- I.3.10 v Exprimer le champ électrique en tout point de la droite Q), médiatrice du segment [0104] dans le plan du disque. Indication : on déterminera au préalable par un argument de symétrie l'orientation du vecteur Ë en un point de la droite Q). Pour cela, il faudra déterminer si le plan vertical contenant @ est un plan de symétrie ou d 'antisymétrie du système. - I.3.11 Exprimer l'intensité totale 1 traversant le plan vertical contenant la droite D, et d'équation 9 = :h% dans le repèrede coordonnées cylindriques. - I.3.12 Exprimer la résistance du dipôle équivalent situé entreles points de contact 01 et 04 en fonction de la résistivité p etdes longueurs d, r,-- et e, dans le cas où re >> d.

1.4 Mesures de résistivité à quatre fils

Un supraconducteur comme le plomb refroidi à la température de l'hélium liquide 
(4,2 K),
possède la propriété de conduire un courant continu sans perte par effet Joule, 
c'est--à-dire sans
chute de tension. On peut considérer que sa résistivité est nulle, ou que sa 
conductivité est infinie.

- 1.4.1 Un morceau de plomb est connecté à deux fils conducteurs de cuivre. A 
la température
de l'hélium liquide, le cuivre reste métallique et résistif. Le circuit formé 
du morceau de plomb
supraconducteur et des deux fils de cuivre constitue un dipôle dont on mesure 
précisément la
résistance. Pourquoi la résistance du dipôle ne s '-annule t- elle pas lorsque 
le plomb devient
supraconducteur ? '

- 1.4.2 Pour être sûr que la résistance du plomb est bien nulle, et non pas 
simplement faible, on
a recours à un système de mesure à quatre fils. Deux fils servent à injecter un 
courant dans
l'échantillon (le disque), tandis que les deux autres fils servent à déterminer 
la chute de tension
consécutive au passage, dans l'échantillon à mesurer, d'une densité de courant 
électrique Î.

On branche sur l'échantillon cylindrique mince de la partie 1.3 quatre fils de 
cuivre iden-
tiques, alignés et équidistants (Figure5 à droite, intervalle de longueur d / 3 
entre deux fils
consécutifs). Les fils intermédiaires 2 et 3 sont branchés aux homes d'un 
voltmètre sensible

de très grande résistance. Le plomb est dans l'état conducteur.
Exprimer la chute de tension V2 -- V3, d'abord en fonction de la différence de 
potentiel V1 --- V4,

puis de l'intensité I traversant les fils 1 et 4.
Que devient la tension V2 -- V3 lorsque l'échantillon devient supraconducteur ?

I.5 Résistance de contact
A l'interface entre deux corps conducteurs, ou entre un conducteur et un 
supraconducteur ap--

paraît une résistance de contact, proportionnelle àla surface de contact entre 
les deux substances.

- 1.5.1 Rappeler la valeur de la résistance d'un conducteur cylindrique de 
section 571, de longueur
EUR et de résistivité p. Dans l'expérience de la question 1.4.1, les fils de 
cuivre utilisés ont une
section de 1 mm de rayon, pour une longueur de 1 m. Le cuivre à 4,13 K possède 
une résistivité
de 2 >< 10"11 SI. La résistance observée est de l'ordre de 0,64 9. La résistance des fils de cuivre peut--elle rendre compte, à elle seule, d'une telle valeur '? - 1.5.2 Pour comprendre pourquoi des électrons passent difficilement d'un métal à l'autre, on considère le mouvement unidimensionnel d'un ensemble de particules ponctuelles de masse m, n'interagissant pas entre elles, et soumises à une marche de potentiel, c'est--à-dire à une énergie potentielle : 0 si x--< 0 'V(x)= ---- si OSx_<_e --U si x>8

Tracer l'énergie potentielle 'V (x) pour U > 0 et U < 0. Cette énergie modélise l'interface entre deux conducteurs de nature différente, et la longueur 8 est supposée petite. Les particules arrivent en provenance des x négatifs avec une vitesse viêx. Donner la vitesse finale VI» de ces particules en fonction de U. Discuter les cas possibles. Quelle est la probabilité pour la particule de franchir l'obstacle constitué par la marche de potentiel si la grandeur U est de signe positif '? - 1.5.3 On sait, depuis le début du XXeme siècle, que les électrons, dans certaines situations, doivent être considérés comme des ondes. Ainsi dans le cas présent, l'électron incident peut être décrit comme une onde progressive 'P,--(oet -- k,--x), tandis que l'électron ayant franchi la marche est décrit par 'lÿ(oet -- k fx). Le vecteur d'onde k,-- de l'électron incident est fonction de v,-, le vecteur d'onde k f fonction de vf et la pulsation oe, fonction de l'énergie, reste inchangée. En considérant une onde électromagnétique en incidence normale, calculer les coefficients de _ transmission T et de réflexion R de l'énergie transportée par l'onde à l'interface entre_deux milieux homogènes d'indices différents. Exprimer le résultat en fonction des indices n,- et n f d'une part, et des vecteurs d'onde k,-- et k f d'autre part. Remarque : Al 'expression des coeflîcients de transmission et de réflexion, fonction des vecteurs d'onde k,-- et k f, ne dépend pas de la nature de l'onde. Déduire du résultat obtenu que le caractère ondulatoire des électrons rend mieux compte que le modèle classique de la possibilité, pour certains électrons, d'être réfléchis à la traversée de l'interface séparant les deux métaux, même si leur énergie est suffisante. Ces réflexions contribuent à la résistance de contact. - 1.5.4 \ \ ä \ \ \ \ \ \ \ \ \ È \ % % \ \ \ \ \ \ \ \ \ & Interface Figure 6 Reprendre la question 1.5.2 avec des particules se déplaçant dans l'espace (x, y, z), en prove- nance du demi--espace x < 0 et dotées d'une énergie cinétique EC. Déterminer la vitesse finale Vf des particules, en fonction de U, de la masse m, de l'énergie cinétique EC et de l'angle d'incidence i de la trajectoire avec la normale à l'interface. Montrer que dans la limite où 8 ----> 0, les traject0ires sont identiques à 
celles de rayons lu-
mineux àla traversée d'un di0ptre séparant deux milieux d'indices respectifs m 
et n2.

Par analogie avec la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, exprimer le 
rapport n1/n2 en
fonction de U et de l'énergie cinétique EC des particules incidentes (Figure 6).

Remarque : Dans un supraconducteur, les électrons se propagent par paire, ce 
qui cause une
diflîculté supplémentaire pour une charge isolée de pénétrer dans le 
supraconducteur:

PROBLÈME II
PRODUCTION DE FROID

Données et notations : _
Les températures T sont en Kelvin, @ en degrés Celsius.

- Température de fusion de l'eau pure : 0 °C ou 273, 2 K.

- Rapport des coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et 
isochore, pour un gaz di--
atomique, constant dans le régime de température considéré : y = Cam/CV,... = 
7/5 = 1,40.-

- Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.mol"l.K_l.

- 1 bar : 105 Pa.

- Intensité du champ de pesanteur : g = 9, 81 ms
- Température d'ébullition du butane (C4H...), sous 1 bar : (% = --0, 5 °C.

- Température d'ébullition de l'ammoniac (NH3), sous 1 bar : G)}, = ----33, 5 
°C.
-- Masse volumique du butane liquide: pb-- -- 547 kg.m'°.

-- Masse volumique del' eau: pe= 1000 kg. m"°.

-- Masse molaire du butane . £Mb-- --- 58,1 g.mol"1 .

--2

11.1 Détente simple
Le diazote est assimilé à un gaz parfait diatomique.

' - II.1.1 Donner la relation entre pression P, volume V et température T d'une 
mole de dia-
zote N2 (équation d'état).

- Il.l.2 Que vaut la variation d'énergie interne AUOoC_.25oC d'une mole de N2 
entre 0 °C et
25 °C '?

- II.1.3 Une mole de N2 préalablement comprimée àla pression de 50 bars, et à 
la température
®,-- = 25 °C, subit une détente adiabatique, brutale et irréversible. La 
détente s'effectue contre

une pression extérieure constante Pe = 1 bar. En fin de détente, la pression du 
gaz est de
Pe = 1 bar. Calculer la température'8f du gaz en fin de détente, en degrés 
Celsius et en

Kelvin.

- II. 1.4 Comparer la température obtenue a la température @. quel' on aurait 
obtenue après une
détente adiabàtique réversible ou quasi- statique de 50 a 1 bar.

II.2 Détente de J oule-Thomson _
Un gaz parfait s'écoule à débit massique constant à travers une paroi poreuse, 
et sa pression

chute d'une valeur P,-- en amont, à une valeur Pf en aval de la paroi poreuse 
(Figure 7). Le tube
dans lequel s'effectue la détente est calorifugé, de sorte que les échanges 
d'énergie thermique avec
l'environnement sont négligeables. On démontre que la détente de Joule-Thomson 
est isenthalpique,
c'est--à-dire que l'enthalpie d'une masse donnée de gaz ne change pas après 
avoir traversé la paroi
poreuse. On se place en régime permanent, avec un débit massique constant.

piston co /;resseur paroi oreuse
1j" ////////////////////// / ////////////////////////

//////////////////////////////////////////////////A
Figure 7

- Il.2.1 Définir l'enthalpie H d'une mole de gaz diatomique et exprimer sa 
valeur en fonction
de'R et T. Comment évolue la température du gaz qui se détend _?

II.3 Fluide de Van der Waals v
Une mole de fluide de Van der Waals monoatomique est caractérisée par une 
équation d'état :

(P+--%)(V-b)=RT

tandis" que son énergie interne est :

U=ÎRT--î
2 V

avec V volume, P pression,T température, R constante des gaz parfaits.

- Il.3.l Interpréter physiquement les paramètres a et 1). Déterminer 
l'enthalpie H (V, T) fonction
du volume et de la température.

- II.3.2 Une transformation élémentaire V ----> V + dV, T ----> T + dT se fait 
à enthalpie constante.
Calculer le rapport dT/dV en fonction des dérivées partielles de H (V, T).
En déduire une expression pour la dérivée partielle (BT/8V)y à enthalpie 
constante.
Exprimer le résultat pour le gaz de Van der Waals.

- II.3.3 Pour décrire la détente de Joule--Thomson, il faut déterminer la 
dérivée (ôP/âT)y, qui
découle de l'expression de H (P, T), enthalpie fonction de la pression etde la 
température. On

admet la relation :
_ BH ôV
3T _ (W)T(Ê)T
8P H-- aH av + arr)
W T äî P a? v

Rappeler la définition du coefficient de compressibilité isotherme XT d'un gaz. 
En déduire le

signe de (3%) T. On ne demande pas de calculer ((%) T.

En admettant que le dénominateur de l'expression ci-dessus reste positif, 
montrer que pour .
un volume donné, il existe une température T,--...,(V) pour laquelle (ôT/ôP)H 
s'annule en
changeant de signe. ' '

Calculer cette température d'inversion Tinv(V). En déduire que pour T < T;..., la détente de J oule-Thomson s'accompagne d'un abaissement de la température. - Il.3.4 Application : calculer la température d'inversion î}nv,He pour le modèle de Van der Waals de l'hélium : _ a = 3,46 >< 10--3 Pa.m6.mol_2, b = 2, 38 >< 10--5 m3.morl, v = 2,90 >< 10-3 m3.morl. . La valeur expérimentale est de l'ordre de 40 K. Cet efiet est mis à profit dans les procédés de liquéfaction des gaz ( hélium liquide). ' ' II.4 Réfrigération Un type de réfrigérateur fréquemment utilisé dans l'industrie repose sur un cycle de transforma-- tion de l'ammoniac NH3 représenté sur la Figure 8 ci-dessous. Liquide + Vapeur \ Figure 8 AB Compression adiabatique de la vapeur (sèche) BC Condensation par échange avec la SourCe chaude (l'air ambiant, ou une circulation d'eau) CD Détente du liquide au moyen d'une valve ' DA Vaporisation de l'ammoniac liquide -- II.4.1 A quel endroit du cycle se produit l'absorption d'énergie thermique Q, énergie ther- mique reçue de la part du système à refroidir '? Quelle est la valeur théorique du travail W reçu par le fluide réfrigérant pour maintenir sa circulation ? Définir une notion d'efficacité pour ce cycle. 11.5 Le réfrigérateur sans pièce mobile d'Einstein-Szilard En 1930, Albert Einstein et Léo Szilard déposaient un brevet concernant un réfrigérateur sans pièce mobile, et monobare (fonctionnant avec une pression unique P). Auparavant (1922) un brevet similaire avait été déposé par Platen et Munters, suivant un principe légèrement différent. Le réfrigérateur d'Einstein--Szilard utilise trois fluides : le butane, l'eau et l'ammoniac. Chacun des trois fluides suit un cycle représenté sur la Figure 9. Les fluides'possèdent des miscibilités différentes selon la température et la fraction molaire de chacune des trois espèces. Dans l'évaporateur, de la vapeur d'ammoniac est injectée dans le butane liquide. Cela a pour effet d'abaisser la pression partielle du butane, et provoque son évaporation. La vapeur (am- moniac+butane) est dirigée vers une chambre CA (condenseur--absorbeur). Dans cette chambre, on pulvérise de l'eau pauvre en ammoniac. Cette eau, ayant une forte affinité pour la vapeur d'ammoniac dissout celle-ci. Privée d'ammoniac, la vapeur de butane, métastable ou instable, se recondense. La solution d'eau, riche en ammoniac, qui n'est pas miscible avec le butane, se sépare- de celui-ci et est entraînée au fond de la chambre. Le butane retourne dans l'évaporateur, tandis que le liquide (eau+ammoniac) est c0nduit vers une chambre de distillation. Par chauffage, on réalise une distillation du mélange (eau+ammoniac). La vapeur obtenue, riche en ammoniac retourne à l'évaporateur, après avoir été préalablement refroidie. L'eau liquide, pauvre en ammoniac est re- montée en hauteur grâce à une pompe à bulles jusqu'à un réservoir supérieur. Ce réservoir assure à l'eau une pression suffisante pour être pulvéfisée à nouveau dans la chambre CA. ' Réservoir supérieur Evap'orateur WW\AAMN \/ v Ch ff V au age v v V '-I V * < : Z : V d > ' 4
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