CCP Physique 1 PC 2006

Thème de l'épreuve Mesure de résistances. Production de froid.
Principaux outils utilisés électrocinétique, électrostatique, mécanique du point, thermodynamique générale, changement d'état, diagrammes binaires, machines thermiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 Pcmoos

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

.EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois que cela est .
possible. Le symbole SI désigne [ 'unité homogène à la grandeur physique 
considérée, dans le cadre
du Système International d'unités. '
***
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il a été

amené à prendre. -
***

PROBLÈME I +
MESURE DE RESISTANCES

Abréviations :

-- force électromotrice ' f.e.m.
-- apprdximation des régimes quasi-stationnaires -- A.R.Q.S.
- x très grand devant y x >> y

Données :
Dans un repère de coordonnées cylindriques (r, *9, z) rapporté au repère 
orthogonal

("é... êg, él), on rappelle les formules suivantes :

_:

X = X,è'r+X9êe+Xêz
ôf_, 18f_, ôfê,

., ___-->
Vf(f,9,Z) : gradf= a_rer+ raeee azeZ
_. 1 X 1X '

divX : _ô(r )+_d__9+ÊX_

r dr r 89 az

Af(r,9,z) ._ %â(r%f)+ï 92 f+ aaZ2----2f = div(fidf)

1.1 Mesure directe
Ondispose d'un résistor de résistance inconnue X .

-- 1.1.1 Pour déterminer X ,. on place en série un résistor de résistance 
connue r = 100 Q, un
générateur de tension e = 1,50 V et un ampèremètre A de résistance négligeable. 
Représenter

le circuit correspondant.

- 1.1.2 Montrer que la mesure de l'intensité I du courant traversant le circuit 
permet de remonter
à la valeur de X . L' incertitude sur la valeur de la résistance r et sur la 
valeur de la f.e.m e sont
respectivement de 0, 5% et 1% tandis que la lecture de l'ampèremètre donne 4, 
29 mA avec
0, 1% d'erreur. Donner la valeur de X ainsi que l'incertitude AX portant sur 
cette mesure.

- 1.1.3 Comment appelle-t-on un appareil fonctionnant sur ce principe '? La 
mesure est-elle
précise ?

1.2 Pont de Wheatstone

Figure 1

La résistance inconnue X est placée dans le montage (classique) de la Figure 1, 
appelé pont
de Wheatstone. Entre les homes B et D est placé un microampèremètre de 
résistance interne

négligeable, protégé par une résistance r = 100 S2. Les résistances R1, R2 sont 
des résistances
étalons et R., une résistance étalon variable (obtenue par exemple au moyen de 
boîtes de résistances
montées en série).

- 1.2.1 Déterminer dans le cas général, et en fonction de la f.e.m e et des 
différentes résistances,

l'intensité I traversant le microampèremètre.
Indication : on cherchera le générateur de Norton (ou de Thévenin) équivalent, 
entre les

bornes B et D, au réseau constitué du générateur et des quatre résistances R1, 
R2, R,, et X.

-- 1.2.2 Donner la condition sur R1, R2, R,, et X, pour laquelle le courant 
traversant le mi--
croampèremètre s' annule.

- 1.2.3 On choisit R1 = 100,0 Q, R2 = 1,000 kg et la mesure donne R,, = 2520 Q 
lorsque le
pont est équilibré. Les résistances R1, R2, RV Sont précises à 0, 1% près. Le 
générateur et la

résistance r sont les mêmes que ceux de la question 1.1.1.
Calculer la valeur de X et l'incertitude AX associée à cette mesure.

Aiguille

Sens de parcours du courant

Figure 2

- 1.2.4 Le microampèremètre n'est autre qu'un galvanomètre à cadre mobile. Le 
courant I à
mesurer circule dans un enroulement ayant la forme d'un carré de EUR = 2 cm de 
côté. L' enroule--
ment est un cadre plat contenant ns : 10 spires. Les portions du circuit 
parallèles à l'axe de
rotation sont plongées dans le champ magnétique d'un aimant de 0,1 T. Le champ 
magnétique
produit est stationnaire, contenu dans le plan du_circuit et perpendiculaire à 
l'axe de rotation
(colinéaire à ê}, voir Figure 2). Le cadre est maintenu par un ressort de 
torsion dont le couple
de rappel I' est proportionnel à_l'angle de déviation 0 : F : --k0 avec k = 2 
>< 10"8J.rad--l.
Déterminer l'angle de déviation associé à un courant I de 15 [AA.

-- 1.2.5 Faute de galvanorhètre, on se propose d'utiliser à la place le montage 
à amplificateur
opérationnel (A.O.) supposé idéal, représenté sur la Figure 3. Les conditions 
de fonction- -

nement en régime linéaire sont-elles remplies ?

Figure 3

- 1.2.6 Les bornes B et D du pont de Wheatstoné sont branchées respectivement 
aux bornes E
et F du circuit, duquel le microampèremètre et la résistance r ont été retirés. 
Les résistances
RE et RF sont égales à 100 kg. Un voltmètre mesure la tension de sortie Vs de 
l'A.O idéal
(remarque : en particulier la tension d'offset est nulle). Expliquer de quelle 
façon ce montage

peut remplacer le microampèremètre de la question 1.2.3.

I.3 Résistance d'un disque conducteur ohmique

- 1.3.1 Rappeler la relation entre la densité de courant Îet le champ 
électrique Ë régnant dans
un conducteur ohmique de conductivité 0". Donner la relation entre la 
résistivité p du matériau

et la conductivité O'. Quelles sont les unités de p et o '?

-- 1.3.2 Ecrire les équations de Maxwell dans un conducteur ohmique, dans 
l'approximation
A.R.Q.S. Que vaut la densité de charge électrique à l'intérieur du milieu 
conducteur ? En

déduire la valeur de divË dans le conducteur.

- 1.3.3 La distribution de charges et de courants est supposée stationnaire. 
Déduire de la ques-
tion précédente une équation pour le potentiel électrique V.

- 1.3.4 Un conducteur a la forme d'un mincecylindre d'épaisseur e et de rayon 
re (Figure 4).
Au centre du cylindre arrive un fil conduçteur qui forme un contact circulaire 
de rayon r,-- petit

devant re. Le disque est rapporté à un repère de coordonnées cylindriques (r, 
9, z). On suppose
valides les hypothèses suivantes : '

1. Les grandeurs physiques ne dépendent pas de z.

2. La zone cylindrique r 5 r,-- de rayon r,--, située juste sous le contact du 
fil conducteur, est
à potentiel constant V,-.

3. La circonférence extérieure du cylindre (ensemble des points de la surface 
latérale telle
que r : re), reliée àla masse du circuit, est à potentiel constant nul.

Déterminer en tout point du disque la valeur du potentiel V(r, 9).
Indication : on pourra utiliser le formulaire donné en première page d'énoncé.

- 1.3.5 Déterminer l'expression du champ électrique \Ë (r, 6).

-- 1.3.6 En déduire l'expression de l'intensité totale I traversant une surface 
cylindrique quel-
conque d'axe (Oz), de rayon r (avec r,-- < r < re) et de hauteur e. [ 
dépend-elle de r ?

- 1.3.7 Calculer la résistance R : V,--/I du disque. Montrer que cette 
résistance s'écrit sous la

forme r
K ln(--Ê)

ri

expression dans laquelle K estune constante qui sera déterminée en fonction des 
données de
l'énoncé.

- 1.3.8 On place maintenant deux fils identiques faisant contact près du centre 
du disque (Fi-
gure 5 à gauche). Les deux fils sont séparés d'une distance d petite devant re 
mais grande
devant r,-. Montrer que le potentiel qui, en tout point M, vérifie :

V(M) =Cln (___--"O_LM")
' IIO4MII

est une solution de l'équation à laquelle doit obéir V.

Trouver la valeur de la constante C pour laquelle les conditions aux limites 
V-- -- V1 à proximité
de __O_>1, et V: V4-- _-- ----V1 à proximité de 04 sont vérifiées (à proximité 
signifiant a une distance
||OM||-- -- r,-- du point, et on suppose dans le calcul que r,-- peut être 
négligé devant d).

En déduire la limite, pour r > d, du potentiel V(M )

d+--> _ d<_,

Figure 5

- "1.3.9 Quelle est la forme géométrique des équipotentielles de V(M ) ?

-- I.3.10 v Exprimer le champ électrique en tout point de la droite Q), 
médiatrice du segment

[0104] dans le plan du disque.

Indication : on déterminera au préalable par un argument de symétrie 
l'orientation du vecteur
Ë en un point de la droite Q). Pour cela, il faudra déterminer si le plan 
vertical contenant @
est un plan de symétrie ou d 'antisymétrie du système.

- I.3.11 Exprimer l'intensité totale 1 traversant le plan vertical contenant la 
droite D, et d'équation
9 = :h% dans le repèrede coordonnées cylindriques.

- I.3.12 Exprimer la résistance du dipôle équivalent situé entreles points de 
contact 01 et 04
en fonction de la résistivité p etdes longueurs d, r,-- et e, dans le cas où re 
>> d.

1.4 Mesures de résistivité à quatre fils

Un supraconducteur comme le plomb refroidi à la température de l'hélium liquide 
(4,2 K),
possède la propriété de conduire un courant continu sans perte par effet Joule, 
c'est--à-dire sans
chute de tension. On peut considérer que sa résistivité est nulle, ou que sa 
conductivité est infinie.

- 1.4.1 Un morceau de plomb est connecté à deux fils conducteurs de cuivre. A 
la température
de l'hélium liquide, le cuivre reste métallique et résistif. Le circuit formé 
du morceau de plomb
supraconducteur et des deux fils de cuivre constitue un dipôle dont on mesure 
précisément la
résistance. Pourquoi la résistance du dipôle ne s '-annule t- elle pas lorsque 
le plomb devient
supraconducteur ? '

- 1.4.2 Pour être sûr que la résistance du plomb est bien nulle, et non pas 
simplement faible, on
a recours à un système de mesure à quatre fils. Deux fils servent à injecter un 
courant dans
l'échantillon (le disque), tandis que les deux autres fils servent à déterminer 
la chute de tension
consécutive au passage, dans l'échantillon à mesurer, d'une densité de courant 
électrique Î.

On branche sur l'échantillon cylindrique mince de la partie 1.3 quatre fils de 
cuivre iden-
tiques, alignés et équidistants (Figure5 à droite, intervalle de longueur d / 3 
entre deux fils
consécutifs). Les fils intermédiaires 2 et 3 sont branchés aux homes d'un 
voltmètre sensible

de très grande résistance. Le plomb est dans l'état conducteur.
Exprimer la chute de tension V2 -- V3, d'abord en fonction de la différence de 
potentiel V1 --- V4,

puis de l'intensité I traversant les fils 1 et 4.
Que devient la tension V2 -- V3 lorsque l'échantillon devient supraconducteur ?

I.5 Résistance de contact
A l'interface entre deux corps conducteurs, ou entre un conducteur et un 
supraconducteur ap--

paraît une résistance de contact, proportionnelle àla surface de contact entre 
les deux substances.

- 1.5.1 Rappeler la valeur de la résistance d'un conducteur cylindrique de 
section 571, de longueur
EUR et de résistivité p. Dans l'expérience de la question 1.4.1, les fils de 
cuivre utilisés ont une
section de 1 mm de rayon, pour une longueur de 1 m. Le cuivre à 4,13 K possède 
une résistivité
de 2 >< 10"11 SI. La résistance observée est de l'ordre de 0,64 9. La 
résistance des fils de cuivre

peut--elle rendre compte, à elle seule, d'une telle valeur '?

- 1.5.2 Pour comprendre pourquoi des électrons passent difficilement d'un métal 
à l'autre, on
considère le mouvement unidimensionnel d'un ensemble de particules ponctuelles 
de masse
m, n'interagissant pas entre elles, et soumises à une marche de potentiel, 
c'est--à-dire à une

énergie potentielle :
0 si x--< 0

'V(x)= ---- si OSx_<_e
--U si x>8

Tracer l'énergie potentielle 'V (x) pour U > 0 et U < 0.
Cette énergie modélise l'interface entre deux conducteurs de nature différente, 
et la longueur 8

est supposée petite. Les particules arrivent en provenance des x négatifs avec 
une vitesse viêx.
Donner la vitesse finale VI» de ces particules en fonction de U. Discuter les 
cas possibles.
Quelle est la probabilité pour la particule de franchir l'obstacle constitué 
par la marche de

potentiel si la grandeur U est de signe positif '?

- 1.5.3 On sait, depuis le début du XXeme siècle, que les électrons, dans 
certaines situations,
doivent être considérés comme des ondes. Ainsi dans le cas présent, l'électron 
incident peut
être décrit comme une onde progressive 'P,--(oet -- k,--x), tandis que 
l'électron ayant franchi la
marche est décrit par 'lÿ(oet -- k fx). Le vecteur d'onde k,-- de l'électron 
incident est fonction de
v,-, le vecteur d'onde k f fonction de vf et la pulsation oe, fonction de 
l'énergie, reste inchangée.

En considérant une onde électromagnétique en incidence normale, calculer les 
coefficients de
_ transmission T et de réflexion R de l'énergie transportée par l'onde à 
l'interface entre_deux

milieux homogènes d'indices différents. Exprimer le résultat en fonction des 
indices n,- et n f

d'une part, et des vecteurs d'onde k,-- et k f d'autre part.

Remarque : Al 'expression des coeflîcients de transmission et de réflexion, 
fonction des vecteurs

d'onde k,-- et k f, ne dépend pas de la nature de l'onde.

Déduire du résultat obtenu que le caractère ondulatoire des électrons rend 
mieux compte que
le modèle classique de la possibilité, pour certains électrons, d'être 
réfléchis à la traversée
de l'interface séparant les deux métaux, même si leur énergie est suffisante. 
Ces réflexions

contribuent à la résistance de contact.

- 1.5.4

\
\
ä
\
\
\
\
\
\
\
\
\
È
\
%
%
\
\
\
\
\
\
\
\
\
&

Interface
Figure 6

Reprendre la question 1.5.2 avec des particules se déplaçant dans l'espace (x, 
y, z), en prove-
nance du demi--espace x < 0 et dotées d'une énergie cinétique EC.

Déterminer la vitesse finale Vf des particules, en fonction de U, de la masse 
m, de l'énergie
cinétique EC et de l'angle d'incidence i de la trajectoire avec la normale à 
l'interface.
Montrer que dans la limite où 8 ----> 0, les traject0ires sont identiques à 
celles de rayons lu-
mineux àla traversée d'un di0ptre séparant deux milieux d'indices respectifs m 
et n2.

Par analogie avec la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, exprimer le 
rapport n1/n2 en
fonction de U et de l'énergie cinétique EC des particules incidentes (Figure 6).

Remarque : Dans un supraconducteur, les électrons se propagent par paire, ce 
qui cause une
diflîculté supplémentaire pour une charge isolée de pénétrer dans le 
supraconducteur:

PROBLÈME II
PRODUCTION DE FROID

Données et notations : _
Les températures T sont en Kelvin, @ en degrés Celsius.

- Température de fusion de l'eau pure : 0 °C ou 273, 2 K.

- Rapport des coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et 
isochore, pour un gaz di--
atomique, constant dans le régime de température considéré : y = Cam/CV,... = 
7/5 = 1,40.-

- Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.mol"l.K_l.

- 1 bar : 105 Pa.

- Intensité du champ de pesanteur : g = 9, 81 ms
- Température d'ébullition du butane (C4H...), sous 1 bar : (% = --0, 5 °C.

- Température d'ébullition de l'ammoniac (NH3), sous 1 bar : G)}, = ----33, 5 
°C.
-- Masse volumique du butane liquide: pb-- -- 547 kg.m'°.

-- Masse volumique del' eau: pe= 1000 kg. m"°.

-- Masse molaire du butane . £Mb-- --- 58,1 g.mol"1 .

--2

11.1 Détente simple
Le diazote est assimilé à un gaz parfait diatomique.

' - II.1.1 Donner la relation entre pression P, volume V et température T d'une 
mole de dia-
zote N2 (équation d'état).

- Il.l.2 Que vaut la variation d'énergie interne AUOoC_.25oC d'une mole de N2 
entre 0 °C et
25 °C '?

- II.1.3 Une mole de N2 préalablement comprimée àla pression de 50 bars, et à 
la température
®,-- = 25 °C, subit une détente adiabatique, brutale et irréversible. La 
détente s'effectue contre

une pression extérieure constante Pe = 1 bar. En fin de détente, la pression du 
gaz est de
Pe = 1 bar. Calculer la température'8f du gaz en fin de détente, en degrés 
Celsius et en

Kelvin.

- II. 1.4 Comparer la température obtenue a la température @. quel' on aurait 
obtenue après une
détente adiabàtique réversible ou quasi- statique de 50 a 1 bar.

II.2 Détente de J oule-Thomson _
Un gaz parfait s'écoule à débit massique constant à travers une paroi poreuse, 
et sa pression

chute d'une valeur P,-- en amont, à une valeur Pf en aval de la paroi poreuse 
(Figure 7). Le tube
dans lequel s'effectue la détente est calorifugé, de sorte que les échanges 
d'énergie thermique avec
l'environnement sont négligeables. On démontre que la détente de Joule-Thomson 
est isenthalpique,
c'est--à-dire que l'enthalpie d'une masse donnée de gaz ne change pas après 
avoir traversé la paroi
poreuse. On se place en régime permanent, avec un débit massique constant.

piston co /;resseur paroi oreuse
1j" ////////////////////// / ////////////////////////

//////////////////////////////////////////////////A
Figure 7

- Il.2.1 Définir l'enthalpie H d'une mole de gaz diatomique et exprimer sa 
valeur en fonction
de'R et T. Comment évolue la température du gaz qui se détend _?

II.3 Fluide de Van der Waals v
Une mole de fluide de Van der Waals monoatomique est caractérisée par une 
équation d'état :

(P+--%)(V-b)=RT

tandis" que son énergie interne est :

U=ÎRT--î
2 V

avec V volume, P pression,T température, R constante des gaz parfaits.

- Il.3.l Interpréter physiquement les paramètres a et 1). Déterminer 
l'enthalpie H (V, T) fonction
du volume et de la température.

- II.3.2 Une transformation élémentaire V ----> V + dV, T ----> T + dT se fait 
à enthalpie constante.
Calculer le rapport dT/dV en fonction des dérivées partielles de H (V, T).
En déduire une expression pour la dérivée partielle (BT/8V)y à enthalpie 
constante.
Exprimer le résultat pour le gaz de Van der Waals.

- II.3.3 Pour décrire la détente de Joule--Thomson, il faut déterminer la 
dérivée (ôP/âT)y, qui
découle de l'expression de H (P, T), enthalpie fonction de la pression etde la 
température. On

admet la relation :
_ BH ôV
3T _ (W)T(Ê)T
8P H-- aH av + arr)
W T äî P a? v

Rappeler la définition du coefficient de compressibilité isotherme XT d'un gaz. 
En déduire le

signe de (3%) T. On ne demande pas de calculer ((%) T.

En admettant que le dénominateur de l'expression ci-dessus reste positif, 
montrer que pour .
un volume donné, il existe une température T,--...,(V) pour laquelle (ôT/ôP)H 
s'annule en
changeant de signe. ' '

Calculer cette température d'inversion Tinv(V). En déduire que pour T < T;..., 
la détente de
J oule-Thomson s'accompagne d'un abaissement de la température.

- Il.3.4 Application : calculer la température d'inversion î}nv,He pour le 
modèle de Van der

Waals de l'hélium : _
a = 3,46 >< 10--3 Pa.m6.mol_2, b = 2, 38 >< 10--5 m3.morl, v = 2,90 >< 10-3 
m3.morl. .

La valeur expérimentale est de l'ordre de 40 K. Cet efiet est mis à profit dans 
les procédés de
liquéfaction des gaz ( hélium liquide). '

' II.4 Réfrigération
Un type de réfrigérateur fréquemment utilisé dans l'industrie repose sur un 
cycle de transforma--
tion de l'ammoniac NH3 représenté sur la Figure 8 ci-dessous.

Liquide + Vapeur \

Figure 8

AB Compression adiabatique de la vapeur (sèche)

BC Condensation par échange avec la SourCe chaude (l'air ambiant, ou une 
circulation d'eau)
CD Détente du liquide au moyen d'une valve '

DA Vaporisation de l'ammoniac liquide

-- II.4.1 A quel endroit du cycle se produit l'absorption d'énergie thermique 
Q, énergie ther-
mique reçue de la part du système à refroidir '? Quelle est la valeur théorique 
du travail W reçu
par le fluide réfrigérant pour maintenir sa circulation ? Définir une notion 
d'efficacité pour ce

cycle.

11.5 Le réfrigérateur sans pièce mobile d'Einstein-Szilard

En 1930, Albert Einstein et Léo Szilard déposaient un brevet concernant un 
réfrigérateur sans
pièce mobile, et monobare (fonctionnant avec une pression unique P). Auparavant 
(1922) un brevet
similaire avait été déposé par Platen et Munters, suivant un principe 
légèrement différent.

Le réfrigérateur d'Einstein--Szilard utilise trois fluides : le butane, l'eau 
et l'ammoniac. Chacun
des trois fluides suit un cycle représenté sur la Figure 9. Les 
fluides'possèdent des miscibilités
différentes selon la température et la fraction molaire de chacune des trois 
espèces.

Dans l'évaporateur, de la vapeur d'ammoniac est injectée dans le butane 
liquide. Cela a pour
effet d'abaisser la pression partielle du butane, et provoque son évaporation. 
La vapeur (am-
moniac+butane) est dirigée vers une chambre CA (condenseur--absorbeur). Dans 
cette chambre,
on pulvérise de l'eau pauvre en ammoniac. Cette eau, ayant une forte affinité 
pour la vapeur
d'ammoniac dissout celle-ci. Privée d'ammoniac, la vapeur de butane, métastable 
ou instable, se
recondense. La solution d'eau, riche en ammoniac, qui n'est pas miscible avec 
le butane, se sépare-
de celui-ci et est entraînée au fond de la chambre. Le butane retourne dans 
l'évaporateur, tandis que
le liquide (eau+ammoniac) est c0nduit vers une chambre de distillation. Par 
chauffage, on réalise
une distillation du mélange (eau+ammoniac). La vapeur obtenue, riche en 
ammoniac retourne à
l'évaporateur, après avoir été préalablement refroidie. L'eau liquide, pauvre 
en ammoniac est re-
montée en hauteur grâce à une pompe à bulles jusqu'à un réservoir supérieur. Ce 
réservoir assure à
l'eau une pression suffisante pour être pulvéfisée à nouveau dans la chambre 
CA. '

Réservoir
supérieur

Evap'orateur

WW\AAMN
\/
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Ch ff V
au age v
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V
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. . - .
. - ...
. . -
..

- . 1

. .< .<
A.--------v0vv---vvovvv'04
....|||.......... .|. . . ... . .............<
.............-....-.....4
*.- -.- -..,',-.-.'.-,-,'.-.'.._'_-,'.','.'.'..A-

Circuit de l'ammoniac

{::} vapeur

Evaporateur

Circuit de l'eau

Pompe à bulles

Chambre CA

Circuit du butane

Distillateur

Figure 9

Le schéma présenté sur la Figure 9 est en fait simplifié. Pour accroître le 
rendement de la
machine, les concepteurs ont prévu un échangeur de chaleur entre la vapeur 
chaude d 'ammoniac
arrivant à [ 'évaporateun et la vapeur (ammoniac + butane) quittant celui-ci. 
Un autre échangeur
(non représenté sur le schéma) met en jeu l'eau destinée à être pulvérisée dans 
la chambre C et la
solution ( edu+ammoniac) se rendant dans le distillateun Enfin de la vapeur d 
'ammoniac présente
au sommet du réservoir supérieur est recyclée dans la chambre CA.

-- II.5.1 Etude de la pompe à bulles.

Des bulles, assimilées à des sphères de rayon 0,3 mm, apparaissent dans une 
solution d'eau de
viscosité n = 10"3 Pas. Quelle force permet aux bulles de remonter àla surface ?

_ Sachant que la traînée visqueuse d'une bulle sphérique de rayon R se 
déplaçant à vitesse 17
engendre une force FV : ----47mRîx', calculer la vitesse ascensionnelle va de 
la bulle en régime

permanent.
- II.5.2 Calculer le nombre de Reynolds associé au déplacement d'une bulle.

- [1.5.3 En supposant que lesbulles vont toutes àla vitesse va, qu'elles 
communiquent au fluide
environnant une vitesse du même ordre de grandeur, et que le tube cylindrique a 
un rayon de
2 mm, estimer l'ordre de grandeur du débit de la pompe à bulles.

-- II.5À Le mélange eau+butane liquide est-il un mélange idéal ?

- 1155 Soit le diagramme binaire liquide-vapeur d'un mélange idéal A-B dont le 
composant

A a une température d'ébullition®A supérieure à celle, 693, du composant B. 
Quel est le
composant le plus volatil ? Tracer l'allure du diagramme binaire isobare T(xA). 
fonction

de la fraction molaire xA et de la température T, et du diagramme binaire 
isotherme P(xA),
fonction de la fraction molaire xA etde la pression P. Qui, de A ou B joue le 
rôle du butane,

de l'ammoniac ?

- II. 5. 6 On considère une solution de A presque pure, et on note xA, xB les 
fractions molaires

des espèces A et B. Quelle est la dépendance en xB du potentiel chimique uA 
q,(T P ,xA,xB) en
phase liquide. Faire l'application au mélange A- B supposé idéal, et montrer 
que si [B] est la
concentration en moles par litre, alors la pression partielle de coexistence de 
A, exprimée en

bars, obéit à l'équation :

avec % masse molaire et ... masse volumique de l'espèce A, et po pression de 
vapeur satu-
rante de A à la température considérée.

- II.5.7 Application numérique : [B] : O,1_mol.L"l.

-- II.5.8 Dans la machine réfrigérante de Einstein et Szilard, à quel endroit 
se produit l'échange
de chaleur avec la source froide ? Sous quelle forme et à quel endroit doit--on 
fournir de

l'énergie pour faire fonctionner le cycle ?

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Cyril Ravat (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier est consacré à différentes techniques de mesure de résistances 
électriques. Après quelques calculs d'électrocinétique élémentaire, une 
sous-partie, plus
conséquente, aborde des points d'électrostatique. La fin se consacre à une 
étude de la
mise en évidence de la disparition du phénomène de résistance électrique dans 
les supraconducteurs. L'ensemble est assez directif et ne présente que peu de 
difficultés en
dehors d'une « indication » fournie par l'énoncé qui suggère d'utiliser un 
théorème. . .
hors-programme.
La production de froid fait l'objet du deuxième problème. Outre le recours à
des concepts de thermodynamique phénoménologique vus en première année, cette
partie comporte quelques questions qui demandent une certaine habileté pour 
manipuler les dérivées partielles. Ces calculs sont utilisés pour montrer la 
possibilité du
refroidissement d'un gaz qui suit le modèle de Van der Waals lors d'une détente 
de
Joule­Thomson. En dehors de ces questions un peu calculatoires, ce problème 
n'est
pas très difficile et il laisse parfois au candidat quelques initiatives en ne 
donnant
pas toutes les approximations utiles pour mener les calculs ou applications 
numériques demandées. Il se termine par une étude d'un réfrigérateur sans 
partie mobile
où se côtoient des notions de mécanique des fluides et de chimie via des 
diagrammes
binaires.
L'ensemble de ce sujet est assez long et fait beaucoup appel aux connaissances
acquises en première année, ce qui peut dérouter les candidats : plus fréquent 
en
filière MP, ce type de sujet était jusqu'ici rare en filière PC. C'est 
l'occasion de
souligner que le programme des concours est bien composé de celui des deux 
années
de formation. L'épreuve est en outre relativement calculatoire. On peut 
d'ailleurs
regretter que certains calculs demandés ne soient pas dans l'esprit des 
programmes
actuels. Le sujet est néanmoins bien guidé dans son ensemble et il ne devrait 
pas
poser de difficultés insurmontables pour qui maîtrise bien son cours : cela en 
fait un
assez bon problème d'entraînement.

Indications
Premier problème
I.1.2 Pour déterminer l'incertitude, calculer la différentielle et passer aux 
incertitudes en sommant les valeurs absolues des différents termes.
I.2.1 Les théorèmes de Thévenin et Norton sont hors-programme : orienter le 
circuit
et utiliser les lois de Kirchhoff. Écrire deux lois des noeuds en B et D et 
trois
lois des mailles indépendantes.
I.2.4 Appliquer le théorème du moment cinétique à l'équilibre en utilisant le 
moment
des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre et le couple de torsion.
I.3.4 Montrer d'abord, par une analyse des symétries, que le potentiel ne dépend
pas de .
I.3.8 Vérifier que la forme proposée est la somme de deux fonctions qui sont 
chacune
solution de l'équation de Laplace.
I.3.11 On donne l'intégrale
Z A

f  (x)
dx = Arctan f (A) - Arctan f (0)
2
0 1 + f (x)

I.4.2 Justifier que V3 = -V2 puis utiliser le potentiel établi à la question 
I.3.8 pour
déterminer V2 en fonction de V1 .

I.5.1 Le conducteur est supposé filiforme.
I.5.2 Appliquer le théorème de l'énergie mécanique à un électron. Attention, V 
est
une énergie potentielle, pas un potentiel électrostatique.
I.5.3 Traduire le fait que la fonction d'onde doit être au moins de classe C 1 
au
passage de l'interface. Ne pas oublier l'onde réfléchie r (t + k i x).

Deuxième problème
II.3.2 Utiliser l'expression de la différentielle d'une fonction de deux 
variables :
f
f
df =
dx +
dy
x
y
et traduire le caractère isenthalpique.
II.3.3 Le coefficient de compressibilité isotherme T est toujours positif.
II.4.1 Supposer que les transformations du cycle sont au moins quasi-statiques 
pour
définir le travail théorique reçu W.
II.5.1 Les bulles qui apparaissent sont des bulles de vapeur d'eau. Penser à la 
poussée
d'Archimède.
II.5.3 En régime permanent, on a en fait une vitesse d'écoulement de l'eau 
liquide à
la vitesse v a dans le tube.
II.5.6 À l'équilibre, le potentiel chimique de l'espèce A a la même valeur en 
phase
gazeuse et en phase liquide. La relation à démontrer n'est autre que la loi de
Raoult pour les mélanges idéaux.
II.5.7 Calculer le rapport pA /p0 car la pression de vapeur saturante du butane 
à la
température de fonctionnement n'est pas donnée.

Mesure de résistances

1.

Mesure directe

I.1.1 Représentons le circuit proposé sur un schéma :
X

r

A

I
e
I.1.2 La loi de Pouillet pour un circuit à une seule maille permet d'écrire
I=

soit

X=

e
X+r

e
- r = 250 
I

On évalue l'incertitude à partir d'un calcul différentiel
e
dX = d
+ dr
I
On calcule

d

On en déduit

e
I

=

e
dX =
I

e
I

de
dI
-e 2
I
I

de dI
-
e
I

+ dr

On passe aux incertitudes
X =

e I
-
e
I

+ r

On se place ensuite dans le cas « le plus défavorable » en sommant les 
différents
termes

e e I
X =
+
+ r = 4,3 
I
e
I

La méthode de calcul des incertitudes à partir de la différentielle en se
plaçant « dans la configuration la plus défavorable » ne permet pas un travail
précis sur l'incertitude mais seulement de déterminer un ordre de grandeur de
cette dernière. Un traitement sérieux ferait appel à des méthodes statistiques
qui ne sont pas au programme des classes préparatoires.
Vu que l'incertitude est évaluée à plusieurs ohms, il convient de ne pas
donner trop de chiffres significatifs sur l'application numérique de X.

I.1.3 Il s'agit du principe de l'ohmmètre (méthode dite volt-ampèremétrique).
Ce n'est pas très précis car cela repose sur la mesure d'une intensité faible 
qui contribue à rendre l'incertitude importante. Notons que ce n'est pas 
l'appareil utilisé qui
est en cause (un ampèremètre à 0,1 % près est un bon instrument) mais bien la 
méthode de mesure. Il est plus précis d'utiliser une technique où l'on cherche 
à détecter
un « zéro » que de devoir mesurer une valeur faible (comme c'est le cas dans les
questions suivantes).
2.

Pont de Wheatstone

I.2.1 Commençons par faire un schéma orienté
iv Rv

A
iX X

B R2
I
r
µA

i2
C
i1

R1

D

I0

e
Ce circuit présente six intensités inconnues dont une seule, I, nous intéresse. 
On écrit
les lois de Kirchhoff : d'abord deux lois des noeuds
en D :

i1 = iX + I

(N1 )

en B :

iv = I + i2

(N2 )

puis trois lois des mailles
maille eADC :

e = XiX + R1 i1

(M1 )

maille eABC :

e = Rv iv + R2 i2

(M2 )

maille BCD :

R2 i2 = R1 i1 + rI

(M3 )

Il reste à résoudre ce système. On procède par substitutions successives. On 
commence par reporter l'équation (N1 ) dans (M1 ) et (N2 ) dans (M2 ) pour en 
tirer les
expressions respectives de i1 et i2 :
i1 =

e + XI
X + R1

et

i2 =

e - Rv I
Rv + R2

On injecte ensuite ces résultats dans (M3 )
R2

Finalement,

e - Rv I
e + XI
= R1
+rI
Rv + R2
X + R1

R1
R2
-
Rv + R2
X + R1
I=
e
X R1
Rv R2
r+
+
X + R1
Rv + R2