CCP Physique 1 PC 2005

Thème de l'épreuve L'ascenseur spatial. Optique physique et photographie.
Principaux outils utilisés mécanique céleste, mécanique des fluides, mécanique du solide, induction, optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2005 PCPIOO5

A

CONCOURS COMMUNS POLYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. Les deux problèmes sont indépendants. On 
fera l'application
numérique chaque fois que cela est possible. Le symbole SI désigne l'unité 
homogène à la

grandeur physique considérée, dans le cadre du Système International d'unités.
***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il a été

amené à prendre.
***

PROBLÈME I
L'ASCENSEUR SPATIAL

L'ascenseur spatial appartient au domaine de la science-fiction. Le concept, 
imaginé en 1960 par
l'ingénieur soviétique Youri N. Artsutanov, fut popularisé par le romancier 
anglais Arthur C. Clarke
en 1979 ("The fountain of paradise"). L'idée consiste à envoyer un câble très 
résistant au dessus de
l'équateur et à s'en servir pour lever des charges en direction de l'orbite 
terrestre, tel un ascenseur
géant. Le but de ce problème est d'étudier quelques aspects physiques d'une 
telle réalisation.
Données: Masse de la Terre MT = 5, 98 >< 1024 kg, rayon équatorial de la Terre 
RT = 6, 38 >< 106 m,
constante de gravitation g = 6, 67 >< 10"11 m3.s"2.kg"1, accélération de la 
pesanteur moyenne àla
surface de la Terre (équateur) g = 9, 78 m.s'1, vitesse angulaire de rotation 
de la Terre par rapport
aux étoiles lointaines Q = 7, 29 >< 10'"5 rad.s"'.

1.1 Mouvements orbitaux

La Terre est assimilée à un corps de symétrie sphérique. On néglige ici la 
masse et l'influence
de la Lune, considérée comme un satellite léger. Les distances radiales r sont 
mesurées par rapport
au centre de la Terre.

-- 1.1.1 Trouver la valeur du champ de gravité GO régnant àla surface de la 
Terre en fonction de
Q , MT et RT. On pourra appliquer, par exemple, le théorème de Gauss pour GO 
àla surface de
la Terre. Y a-t-il une différence entre GO et g ?

- 1.1.2 Rappeler la relation entre le rayon r de l'orbite circulaire d'un 
satellite et sa période 7'
de révolution. Exprimer ce rayon en fonction de GO.

-- 1.1.3 Calculer, en jours, la période de révolution de la Lune, en assimilant 
son orbite à un
cercle de rayon 384 000 km.

-- 1.1.4 Pour quelle distance Ras un satellite est--il immobile dans le 
référentiel de la Terre RT ?
Comment s'appelle cette orbite ?

Figure 1

L2 Equilibre du câble

Le câble de l'ascenseur (Figure 1) possède une masse par unité de longueur u(r) 
qui peut
éventuellement dépendre de l'altitude (dans le cas où la section du câble 
varie, ou si le câble est
élastique). Le câble est positionné exactement à la verticale de l'équateur. On 
supposera qu'un
équilibre stable du câble est possible, résultant d'un équilibre entre la force 
de gravité, la force
d'inertie de rotation dans le référentiel Terrestre RT, et la force tensile T 
(7°) du câble.

-- 1.2.1 Rappeler la différence entre le référentiel géocentrique R} et le 
référentiel Terrestre RT.
Lequel des deux est le plus proche d'un référentiel Galiléen ?

- 1.2.2 Donner dans un repère de coordonnées sphériques (Figure 1), lié au 
référentiel RT,
l'expression de la force d'inertie d'entraînement EQ", 9) et de la force de 
gravité terrestre

Ë;(r) en fonction de la distance ,,. d'un objet de masse m.

- 1.2.3 En tout point N d'altitude r, la partie supérieure du câble exerce sur 
la partie inférieure

une force T(r) : T(r)ê}, où T(r) est une fonction de signe positif, dont 
l'effet est de
s'opposer à un allongement du câble. Montrer que l'équilibre du câble implique 
l'équation
suivante: , R2

T(r + dr) -- T(r) + ,u(r)dr (TQZ --- Clg--7%) : 0

- 1.2.4 Le câble se termine à une altitude Rt0p supérieure à Rgg par une masse 
Mtop. En
supposant la masse linéique ,u du câble constante, calculer la valeur de la 
tension T (7°) en
fonction de Mm}, et Rtop, pour toute valeur supérieure à Rbase : RT : 6380 km.

-- 1.2.5 Montrer que si la masse Mt0p est trop faible, ou l'altitude Rt0p 
insuffisante, la tension
T (7°) prendra une valeur négative. Cette valeur négative, synonyme de travail 
en compression,
se traduirait vraisemblablement par un effondrement du câble. En déduire donc 
un critère de
stabilité du câble de l'ascenseur. On s'appuiera sur l'étude des variations de 
la fonction T (7)

- 1.2.6 Un câble de hauteur R..., = 145 000 km est-il stable en l'absence de 
masse MtoP '?

1.3 Masse et résistance du câble

Le câble possède un rayon rc et une section A : 7rrî. On appelle contrainte E, 
la valeur de la
force T (7°) par unité de section (m2) du câble. La résistance d'un matériau 
-hOmOgènedépend de la"
valeur de E qui ne doit pas dépasser une valeur critique EC propre à chaque 
matériau. L'application
d'une contrainte supérieure à EC entraîne une déformation non--élastique, 
irréversible du matériau,
puis éventuellement ensuite sa rupture.

- 1.3.1 En quelle unité bien connue s'exprime Z?

- 1.3.2 Le matériau a une masse volumique p. Exprimer la masse linéique en 
fonction de p et
A puis de p et rc.

-- 1.3.3 On considère un câble, de section'bonstante, dont la tension est 
toujours positive. Mon--
trer que la tension du câble passe par un maximum. En déduire que l'équilibre 
du câble im--
plique que le matériau doit résister à une contrainte au moins égale à E...,, 
que l'on exprimera
en fonction des données du problème. Comment le rayon du câble rc influe--t-il 
sur la solidité

de l'édifice '?
-- 1.3.4 Les valeurs numériques de p et EC sont respectivement:

* Acier: p = 7800 kg.m'3et EC 2 109 SI.
* Kev1ar: p = 1440 kg.m"3 et EC : 3, 6 >< 109 81.

La résistance de l'acier et du kevlar vous semble-t--elle suffisante pour 
assurer la stabilité de
l'édifice ? Le module de Young de l'acier est de 200 GPa et celui du kevlar de 
35 GPa (1GPa :
109 Pa). Calculer dans chaque cas l'allongement relatif 6Ë/Æ qu'impliquerait un 
câble utilisant
ces matériaux au voisinage de Emacs.

- 1.3.5 Les espoirs actuels sont fondés sur les nanotubes de carbone, supposés 
résister àE...OE :
100 >< 109 81, pour une masse volumique d'environ 1300 kg.m"3. Un câble spatial 
en nanotubes
de carbone serait-il assez solide ?

-- 1.3.6 Pour fabriquer un câble de masse optimale, il suffit de faire varier 
la section A du câble
avec la hauteur 7" de façon à ce que la résistance du câble soit juste 
suffisante pour supporter
une tension T (7°) En faisant intervenir la contrainte critique EC et la masse 
volumique ;) du
matériau, montrer que la masse linéique ,u(r) devient proportionnelle à la 
tension T.

-- 1.3.7 Ecrire et résoudre l'équation différentielle de 1.2.3 dans cette 
situation.

-- 1.3.8 Tracer l'allure de la fonction T(r) obtenue en fonction de r. T(r) 
peut--elle devenir
négative '? On estime que pour lever une charge de 10 tonnes, la tension du 
câble doit être au
moins égale à 106 N, de sorte que la surcharge dûe à la masse supplémentaire ne 
dépasse pas
10% de T au sol. Calculer le rapport entre la tension maximale du câble et la 
tension du câble
au niveau du sol dans le cas de l'acier et d'un câble en "nanotubes".

Nota Bene : les plus longues fibres de nanotube de carbone actuelles ne 
mesurent pas plus
de 1 mn de long, et l 'e'pissage d'un câble de nanotubes nécessite encore une 
révolution tech-
nologique.

I.4 Stabilité du dispositif

Figure 2

-- 1.4.1 Pour étudier la propagation des vibrations le long du câble, nous 
assimilons celui-ci à
une corde homogène de masse linéique constante ,u et de tension constante T. La 
gravitation
ne perturbe pas les oscillations transverses du câble. La déviation 50", t) du 
câble par rapport
àla verticale ê} (Figure 2) obéit à l'équation :

2 "* 2 "
,,âfi _ Tâfi : ,
Ôt2 Ôr2

A quelle vitesse les ondes se propagent-elles le long du câble ?

- 1.4.2 La base et l'extrémité du câble, à la hauteur Rtop : 50 000 km sont 
supposées fixes
(si nécessaire au moyen d'un dispositif stabilisateur en haut du câble). Pour 
simplifier, on

suppose que T et ,u sont constantes et que le rapport T / ,u vaut 6 >< 107 SI.

Trouver la fréquence fondamentale de vibration du câble. Quelles sont les 
autres fréquences
de vibration possibles '?

- 1.4.3 Comparer ces fréquences au phénomène périodique des marées lunaires (de 
période
environ 12 heures). Quel phénomène physique est susceptible de se produire si 
les périodes
de vibration propres du câble sont trop proches de 12 h ?

- 1.4.4 Effet du vent : un vent de vitesse u = 100 km/h souffle régulièrement 
sur le câble entre
le sol et H = 5000 m d'altitude Si le câble mesure d = 10 cm de diamètre, 
sachant que
la masse volumique de l'air est pa == 1, 3 kg.m"3, et sa viscosité de 77 = 1, 
85 >< 10"5 Pas,
calculer le nombre de Reynolds Re de l'écoulement autour du câble. On montre 
qu'à Re de
l'ordre de, ou inférieur à l'unité, la force de friction de l'air Sur le câble 
est de :

47muH

F... = 0.5 + ln(4/Re)

alors qu'à nombre de Reynolds élevé, la force de friction de l'air est environ :

2
Fvent : OOE >< (ÊE'âL) >< dH avec C,, N1

Choisir l'expression adéquate et calculer la force exercée par le vent sur le 
câble, l'inclinaison
qui en résulte et le déplacement induit à l'altitude H = 5000 m. Prendre T/,u : 
107 SI au

voisinage du sol, et un câble de masse volumique p = 1300 kg.m"3.

-- 1.4.5 Séisme : lors d'un séisme, un train d'ondes d'amplitude 1 m est 
engendré à la base du
câble pendant 10 5. Sur quelle longueur s'étend le train d'ondes ? Considérer 
la même valeur
de T / ,a, de diamètre et masse volumique du câble qu'à la question précédente.

-- 1.4.6 L'énergie mécanique (cinétique et potentielle) du câble vaut, par 
unité de longueur,

&?Ë2+ÏQË2
° 2813 287"

L'ébranlement est sinuso'1'dal de fréquence 1 Hz. Quelle est l'énergie moyenne 
totale du train
d'ondes '?

1.5 Freinage électromagnétique

Nous venons de voir que l'un des problèmes est de dissiper l'énergie associée 
aux vibrations du
câble (marées, séismes, tempêtes. . . ). L'idée est de mettre à profit 
l'existence du champ magnétique
permanent de la Terre pour créer dans le câble des courants induits "de 
Foucault". Le câble est donc
parcouru de fils de cuivre de conductivité 0 = 5, 9 >< 107 Q"l.m"l, ou, de 
façon équivalente, de
résistivité pEUR == 1, 7 >< 10"8 Q.m. La section totale du fil de cuivre est 
supposée égale à S = 2 cm2, et
on néglige l'influence du cuivre sur la masse linéique du câble, de diamètre d 
= 10 cm et de densité

p = 1300 kg.m--3.

-- 1.5.1 La dynamo Terrestre engendre un champ magnétique ressemblant à un 
dipôle magnétique
orienté suivant l'axe de rotation de la Terre. Dessiner l'allure des lignes de 
champ magnétique

autour de la Terre.

- 1.5.2 Dans un repère de coordonnées sphériques dont l'axe 2 coïncide avec 
l'axe de rotation
de la Terre, la valeur du champ magnétique est :

--» M .. . ..

B : _}î(2 cos(0)e, + sm(9)eg)
Sachant que l'intensité du champ magnétique Terrestre est de l'ordre de HËH : 5 
>< 10"5 T
à Paris (500 de latitude Nord), calculer la valeur de M. Donner la valeur en 
tesla de HB à

l'altitude Egg, dans le plan équatorial.

-- 1.5.3 On appelle y l'axe Nord--Sud et sa l'axe Est--Ouest du plan tangent à 
la surface du sol,
au voisinage de la base du câble (cf Figure 2). La déviation à la verticale 
s'écrit h(r, t) :
h,,(r, t)ë} + hy(r, t)é'y. Le champ magnétique est localement uniforme et 
dirigé suivant @.

Donner l'expression du champ électromoteur Êem induit par un déplacement du 
câble ÔÂ/Ôt.

-- 1.5.4 Calculer l'intensité [ induite dans le câble conducteur de section 8 
par ce déplacement,
en supposant que le champ électromoteur est seul présent.

- 1.5.5 En considérant la force de Laplace, justifier que l'équation pour hx 
devienne :

6%. 32h. ah,.(r, t)
"au "Ta--2 "K Ôt

avec K que l'on déterminera. Que devient l'équation pour hy '?

-- 1.5.6 Calculer la puissance de la force de Laplace pour un segment de câble 
compris entre r et
7" + dr. Que devient cette puissance ? Comparer la puissance dissipée à 
l'énergie mécanique
donnée ci--dessus, dans le cas d'un ébranlement sinuso'1'dal (question 1.4.6). 
Sur quelle échelle
de temps caractéristique ce mode d'amortissement agit-il ? Les vibrations 
suivant ê'y sont--elles
amorties ?

- 1.5.7 En fait, la dynamo Terrestre n'est pas exactement ali gnée suivant 
l'aXe de rotation de la
Terre. Il en résulte que le champ magnétique possède une petite composante 
verticale suivant
ë}. Justifier que les équations pour hoe(r, t) et hy(r, t) deviennent couplées.

Notes finales : Les problèmes techniques liés à une telle réalisation sont 
multiples. Citons entre
autres la résistance aux débris spatiaux, la corrosion due aux radicaux libres 
de la haute almo--
sphère, la mise en place du câble . .. L 'hypothèse d'une décharge de la haute 
atmosphère par un
câble conducteur a été évoquée, et doit être évitée.

PROBLÈME II
OPTIQUE PHYSIQUE ET PHOTOGRAPHIE

Données : célérité de la lumière dans le vide 0 = 3 >< 108 m.s"1, constante de 
Planck

h = 6,62 >< 10--34J.s, h : h/27r, perrnittivité diélectrique du vide eo : 8,85 
>< 10"12 F.m"l,
perméabilité magnétique ...) : 47r >< 10"7 H.m"1. L'espace est rapporté à un 
repère orthonormé
direct (MO, ë}, EUR.... 62).

11.1 L'énergie lumineuse

Une onde plane monochromatique de longueur d'onde A = 0,6 nm se propage dans le 
vide. Le
champ électrique en un point (cc, y, z) et à l'instant t est, en notation 
complexe :

Ê(a:, y, z, t) : EO ei B, de constante 
cinétique l--c, où
A désigne le réactif, B le produit et 7 un photon. On suppose que l'on peut 
traiter les photons
comme une espèce chimique de concentration ..._ La réaction est élémentaire, et 
sa cinétique est du
second ordre. Le milieu est soumis à une irradiation constante de la part d'un 
faisceau lumineux, de
sorte que la "concentration" [7] peut être considérée comme constante et 
proportionnelle àla valeur

moyenne du carré du champ électrique (Ê2).

-- 11.2.1 Ecrire une équation cinétique pour les concentrations [A] (t) et [B] 
(t) des espèces A et
B. '

- 11.2.2 A l'instant t = 0, la concentration de A est [A]... uniforme, et [B]O 
== 0. On appelle
T le temps d"exposition, c'est-à--dire le temps durant lequel la réaction 
photochimique a lieu.
Exprimer les concentrations [A](T) et [B](T) des espèces A et B en fonction de 
[A]... T, ... et

k.

- Il.2.3 La réaction 7 + A -----> B provoque le noircissement d'un film 
photographique. On ap--
pelle "opacité" du film, après déve10ppement, le rapport entre l'intensité 
lumineuse transmise
à travers le film et l'intensité lumineuse incidente. Le développement du film 
ne révèle une ex-
position que si la concentration {B] est supérieure à une valeur de seuil b, et 
on fait l'hypothèse
que l'opacité est proportionnelle àla différence [B] -- b. Un film non exposé 
présente toujours
un léger voile d'opac--ité égale à 1}. Montrer que ce modèle rend compte 
qualitativement de la
courbe de noircissement d'un film photographique schématisée sur la Figure 3.

Op cité

Exposition [y}ç
Figure 3

11.3 Montage

Un laser de longueur d'onde A est utilisé dans le montage de la Figure 4 
ci--dessous. Un dispositif
optique forme une onde plane monochromatique, puis une lame 
semi--réfléchiSsante (en A) sépare
le faisceau endeux. Après une réflexion en B, le faisceau numéro 2 vient 
interférer en M avec le
faisceau numéro 1. On néglige le déphasage dû àla lame semi--réfléchissante sur 
le trajet du faisceau
numéro 1, et on admet que les réflexions en A et B ne changent pas la phase du 
faisceau numéro 2.
On introduit les distances L : AM et d = AB. Tous les effets dûs à la 
polarisation de la lumière
sont négligés et le champ électrique est traité comme un champ scalaire.

Figure 4

-- Il.3.l Qu'observe--t--on sur l'écran ? Illustrer par un schéma.

- II.3.2 Pourquoi utilise--t-on une seule source de lumière et une lame 
semi--réfléchissante plutôt
que deux sources de lumière pour les rayons l et 2 ?

-- [1.3.3 Soit le point MO de coordonnées y = 0 et z = 0. Calculer la 
différence de marche
entre le rayon 1 (AM) et le rayon 2 (AB et BM). En supposant que les faisceaux 
1 et 2 sont
des ondes planes monochromatiques dont les directions font entre elles un angle 
9 (Figure 5),
calculer la différence de phase % -- çbl entre les deux ondes pour un point de 
coordonnées

(y, z) voisin de M. Démontrer que :

çb2--@1=C--y/a

où a est une longueur que l'on exprimera à l'aide de A et 9.

Figure 5

-- [1.3.4 Le champ électrique en y vaut

E(y) : E0REUR (ei(d>i(y)--wt) + EURi($z(y))--wtl)

Calculer l'intensité lumineuse moyenne, proportionnelle à <Ê(y)2>, en un point 
M (y, z)
proche de Mo. On notera 10 : Eâ.

-- 11.3.5 On place sur l'écran un film photographique. Après développement, le 
film présente
une succession de bandes transparentes et opaques. Combien de bandes 
transparentes par
millimètre apparaissent sur le film ? Application : 9 : 30°.

11.4 Dispersion de la lumière

Le film photographique de la question 11.3.5, après développement, est éclairé 
par l'arrière (à
gauche sur la Figure 6) par un faisceau monochromatique cohérent de longueur 
d'onde À. On
s'intéresse à l'onde transmise (à droite sur la figure), et on applique le 
théorème de Huy ghens-Fresnel
à la surface du film. Chaque point du film se présente comme une source 
secondaire cohérente
d'amplitude :

A(y, z) = C + D cos (@)
Py

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-- II.4.1 Justifier que l'onde transmise est équivalente à une superposition de 
trois ondes planes,
l'une se propageant horizontalement, les deux autres respectivement suivant un 
angle 04 et --a
avec l'horizontale. Indication : on pourra, soit faire un calcul, soit 
considérer 1 'amplilua'e du
champ électrique que produiraient ces trois ondes dans le plan (M, y, z) en ! 
'absencè du film.

-- 11.4.2 On remplace le faisceau de longueur d'onde À par un faisceau de 
longueur d'onde /\'
différente. Montrer que l'angle oz est modifié en a' . Ecrire une relation 
entre À, À', oz et a' .
En déduire que ce film photographique possède le pouvoir de disperser la 
lumière blanche ou
polychromatique. Comment s'appelle un tel dispositif optique ?

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Iglésias (ENS Ulm) ; il a été relu par
Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Benoît Lobry (Professeur en CPGE).

Le sujet comporte deux problèmes complètement indépendants.
Le premier problème s'intéresse à une idée de science-fiction, l'ascenseur 
spatial.
Il s'agit d'utiliser un câble résistant entre l'équateur terrestre et une 
orbite cible, et
de se servir de ce câble pour lever des charges. L'étude se décompose en cinq 
parties :
· La première partie est la plus simple. Elle met en jeu les connaissances de 
base
de la mécanique céleste sur les planètes et les satellites.
· La deuxième partie est très calculatoire. Son but est de déterminer un critère
de stabilité de l'ascenseur spatial. Elle utilise la mécanique dans les 
référentiels
non galiléens.
· Ensuite, l'étude est orientée vers la résistance de l'ascenseur aux 
contraintes et
aux forces internes. La difficulté est raisonnable et l'accent est mis sur les 
applications numériques. Les conclusions qui en découlent sont très 
intéressantes.
· Pour entrer dans le détail, le sujet propose dans la quatrième partie 
d'étudier la
stabilité du dispositif vis-à-vis de différentes perturbations extérieures : 
séismes
et vent. Les études sont menées en grande partie en ordre de grandeur et les
rares calculs sont plutôt faciles.
· Le problème s'achève sur des questions d'induction. Le principe de cette 
cinquième partie est d'utiliser les phénomènes inductifs pour aider à la 
stabilisation de l'ascenseur par rapport aux diverses perturbations vues dans 
la partie
précédente.
Le second problème, très calculatoire, aborde la photographie du point de vue de
l'optique ondulatoire. Il est divisé en quatre parties de difficultés inégales :
· Le problème débute par une étude de l'énergie lumineuse, en travaillant en
particulier sur la dualité onde-corpuscule de la lumière.
· La deuxième partie peut être déconcertante puisqu'elle traite de cinétique 
chimique. Elle ne comporte pas de difficultés physiques ou mathématiques.
· Ensuite, on est amené à étudier en détail un dispositif optique 
d'interférences
à deux ondes. La deuxième partie est alors exploitée pour expliquer comment
afficher une figure d'interférences sur un écran.
· La dernière partie, calculatoire, demande de bien comprendre le principe de
diffraction de Huygens-Fresnel.
Le sujet est donc très complet car de nombreuses parties du programme sont
abordées (mécanique du solide et des fluides, induction, optique). Il est de 
difficulté
moyenne, mais requiert une très bonne compréhension des phénomènes mis en jeu
pour pouvoir être traité efficacement dans le temps imparti, sous peine de se 
perdre
dans des calculs inutiles.

Indications
L'ascenseur spatial
I.1.4 Réduire les forces s'exerçant sur le câble aux seules forces de 
gravitation et
d'inertie centrifuge dans le référentiel Rt .
I.2.3 Penser à isoler un tronçon de câble de longueur infinitésimale, puis à 
lui appliquer le principe fondamental de la dynamique.
I.2.4 Pour calculer la constante d'intégration, penser à isoler la masse Mtop 
et à lui
appliquer le principe fondamental de la dynamique.
I.2.5 La question est un peu libre : il s'agit de trouver un critère et non le 
critère.
Choisir par exemple de prendre la masse Mtop nulle.
I.3.4 Là encore, il faut montrer un esprit d'initiative pour l'application 
numérique.
Choisir des valeurs numériques pertinentes pour les constantes. On peut penser
à prendre Mtop = 0.
I.4.1 Faire attention au fait qu'il existe deux définitions de la vitesse pour 
une onde.
Montrer que ces définitions donnent la même vitesse et conclure.
I.4.2 Résoudre l'équation différentielle.
I.4.3 Penser au phénomène de résonance en électricité.
I.4.4 Justifier que seules les forces du vent et de tension du câble jouent un 
rôle dans
la déviation du câble. Déterminer alors cette inclinaison à partir de ces deux
forces.
Optique physique et photographie
II.1.4 Se souvenir que la puissance électromagnétique traversant une surface 
est le
flux du vecteur de Poynting au travers de cette surface.
II.1.5 Penser à la dualité onde corpuscule. Introduire la densité volumique de 
photons, et calculer de deux façons différentes la puissance surfacique 
transportée
par l'onde.
II.3.1 Les fentes d'Young...
II.4.1 Faire appel à la fonction sinus cardinal qui ne prend de valeur non 
nulle qu'au
voisinage de 0.

I. L'ascenseur spatial

I.1.1 Le champ de gravité -
g0 de la Terre a la symétrie de sa source : la symétrie
sphérique. Il est radial et ne dépend que de la distance radiale r. 
L'application du
théorème de Gauss à la surface de la Terre (supposée sphérique) donne
ZZ

-

-
2
4  RT g0 (RT ) =
g0 · d S
=

ZZZ

div -
g0 dV

4  RT 2 g0 (RT ) = - 4  G MT
d'où la valeur du champ de gravitation G0 :
G MT

G0 = k-
g0 (RT )k =
= 9, 80 m.s-2
RT 2
Il y a une différence entre g et G0 car g est la valeur du champ de pesanteur
et non de gravitation : il faut ajouter la force centrifuge. Le champ de 
gravitation à
l'équateur G0 est alors réduit d'un terme :
2 RT = 0, 03 m.s-1
Le champ g vaut donc environ 9, 77 m.s-1 , ce qui est compatible avec la valeur 
donnée
par l'énoncé.
Le calcul de G0 est en fait plus compliqué : il faut tenir compte de la 
nonsphéricité de la Terre.
I.1.2 La relation entre le rayon r d'une orbite circulaire d'un satellite et sa 
période
de révolution  est la troisième loi de Kepler :
2
4 2
=
3
r
G MT
En utilisant le résultat de la question I.1.1, on obtient la relation
2
4 2
=
= 9, 89.10-14 s2 .m-3
3
r
G0 RT 2
I.1.3 Appliquons la formule de la question I.1.2, en supposant que la Lune est 
un
objet ponctuel suivant une trajectoire circulaire de rayon r = 384 000 km :
s
4 2
=
r3 = 2, 37.106 s soit 27, 4 jours
G0 RT 2
Ce résultat est en accord avec la valeur traditionnelle de 28 jours.
I.1.4 Considérons le système S constitué du satellite de masse M, dans le 
référentiel
RT de la Terre. Ce référentiel n'est pas galiléen, car la Terre est en rotation 
par
rapport aux étoiles lointaines. Le satellite subit donc des forces d'inertie 
s'ajoutant à
l'attraction gravitationnelle. Ces forces peuvent lutter contre l'attraction de 
la Terre
(comme la force centrifuge) et stabiliser un satellite, l'immobilisant dans RT .

!= !
ez
!
ey

Supposons que la rotation de la Terre soit de
vecteur instantané de rotation constant, c'est-à-dire
de direction fixe et de période constante. La force
d'inertie d'entraînement agissant sur le satellite de
masse M est alors réduite à la force centrifuge :

-
 
-
----
Finertie = - M   (   -
r)

= M 2 r sin  -
ex

Point M

!
er

!
ex
!
e

Supposons aussi que nous recherchions la distance RGS , si elle existe, d'un 
satellite
immobile dans RT . La force d'inertie de Coriolis est donc nulle :
-----

-  -

FCoriolis = -2 M   -
v = 0
Le satellite est soumis uniquement à son poids, via l'attraction 
gravitationnelle, et
à la force centrifuge. D'après le principe fondamental de la dynamique, le 
satellite
est à l'équilibre dans RT si la somme de ces deux forces est nulle, ce qui 
donne la
colatitude du satellite,  = /2, et sa distance au centre de la Terre :
G MT M
= M 2 RGS
RGS 2
soit

RGS =

G MT
2

= 42 200 km

Cette orbite particulière s'appelle l'orbite géostationnaire. Le satellite est 
toujours à
la verticale du même point de la surface de la Terre (situé sur l'Équateur). 
L'altitude
de cette orbite est h = RGS - RT = 35 800 km, valeur compatible avec la valeur
usuelle de 36 000 km.
Une autre méthode consiste à utiliser les principes énergétiques. Dans le
référentiel RT , l'énergie totale du satellite est conservée. Et la position 
d'équilibre du satellite est celle qui minimise son énergie totale E par 
rapport aux
variables r et  (analogue des principes thermodynamiques).
E(r, ) = Ecinétique + Epotentielle + Ecentrifuge
G MT M 1
- M 2 (r sin )2
r
2
La minimisation par rapport à  et r donne
E
= - M 2 r2 sin  cos 
0=

E
G MT M
2
0=
=
- M 2 r (sin )
r
r2
dont les solutions stables sont justement la colatitude  et la distance r = RGS
trouvées précédemment.
= 0-

Nous indiquons enfin une dernière méthode, de loin la plus astucieuse.
Il s'agit de considérer le satellite évoluant dans un référentiel galiléen. Si 
l'on
néglige le mouvement de la Terre, alors ce satellite subit uniquement une force
centrale : la gravitation. On connaît sa période de révolution (T = 1 jour),
donc d'après la troisième loi de Kepler
 2
T G MT
RGS =
4 2