CCP Physique 1 PC 2004

Thème de l'épreuve Analogies rhéoélectriques. Transferts thermiques dans un tube d'échangeur. Ébullition de l'eau en convection forcée.
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, diffusion, convection et résistance thermiques, changement d'état
Mots clefs effet Magnus

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2004 . PCP 1006

(ON(OURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants

***

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

***

PROBLEME 1
ANALOGIES RHEOELECTRIQUËS

1. Questions préliminaires
On considère l'écoulement plan, permanent, irrotationne1, d'un fluide parfait 
incompressible. Le

plan est muni d'un repère cartésien (e e ), e. et e y étant deux vecteurs 
unitaires. En tout point

x'y

V

du plan défini par les coordonnées (x,y), le vecteur vitesse du fluide sera 
noté 17 x .

vy

1.1. Donner sans démonstration l'équation de continuité. Indiquer la 
signification physique de cette
équation.

Quelles sont les conditions pour qu'il existe un potentiel de vitesse otel que 
V : grade) ?
Ecrire les relations liant les composantes du vecteur vitesse et le potentiel 
des vitesses.

1.2. Donner l'équation vérifiée par le potentiel de vitesse. Quel est le nom de 
cette équation ?

--O ---0

1.3. Après avoir défini la notion de ligne de courant, établir, dans le repère 
(ex , ey ), que l'équation

d'une telle ligne est donnée par :

1.4. On désignera maintenant par 1// une fonction, appelée fonction de courant, 
définie par : "
' 8 d
x = ----l/£ et vy : ------l//--.
dy dx
Après avoir écrit la différentielle de la fonction 1//, montrer que sur une 
ligne de courant, t// est une

constante.
Justifier brièvement que Al/I=O dans tout le champ de l'écoulement (on rappelle 
que

l'écoulement est irrotationnel).

V

1.5. On considère maintenant l'écoulement plan, permanent, irrotationnel, d'une 
lame de fluide
parfait incompressible. Soient deux lignes de courant définies par les valeurs 
1/1; et 1/12 de la fonction
de courant 1/1 (figure 1).

-- Figure 1 -

Ecrire l'expression du débit volumique élémentaire dQv par unité de hauteur de 
fluide à travers l'arc

_.

de courbe d£ tel que d£ % =dx Êx +dy Ëy, où T est le vecteur unitaire tangent à 
l'arc de courbe
( AA)--
Montrer que :
dz// : V.ñ d£
où ñ est le vecteur unitaire normal à d£ .

Montrer que le débit volumique par unité de hauteur de fluide, à travers l'arc 
(A,A2 ) , circulant entre

les deux lignes de courant, est donné par :
Qv : (ll/2 _ WI )

1.6. On admettra maintenant que le vecteur vitesse l7 est porté par le vecteur 
normal ñ.
Donner l'équation vérifiée par une ligne équipotentielle en fonction de $, des 
dérivées partielles de
$ par rapport à x et y, ainsi que de dx et dy.

Exprimer le produit scalaire V . '? en fonction de d£ et dç). Que vaut ce 
produit scalaire ?
En déduire l'orientation des lignes équipotentielles par rapport aux lignes de 
courant.
Tracer, sur un même schéma, un réseau de lignes de courant et 
d'équipotentielles de vitesse, en

_.

faisant figurer le vecteur vitesse V . On indiquera sur le schéma, pour chaque 
famille de lignes, la
mention « w= constante » ou « &: constante >>.

Il. Analogies rhéoélectriques

Un fluide au repos, conducteur de l'électricité, homogène et isotrope, de 
Conductivité a, est placé
dans une cuve rectangulaire (appelée cuve rhéoélectrique) de longueur L et de 
largeur e. La hauteur
du fluide est h. Les parois latérales de la cuve (A,C,E,H) et (B,D,F,G) sont 
des conducteurs parfaits
de l'électricité, la paroi (A,C,E,H) étant reliée à la masse et la paroi 
(B,D,F,G) étant portée, de
manière uniforme, au potentiel U = U ;. Les plans (A,B,G,H) et (C,D,F,E), ainsi 
que le fond de la
cuve (H,G,F,E), sont des isolants électriques. '

On supposera de plus, qu'en tout point de la cuve, le potentiel U est 
indépendant de la hauteur Z
(figure 2).

Soit} le vecteur densité de courant s'établissant dans le liquide.

1

>
w
3

--------- --- ---- ----------- ' (}
U=O »

(plaque conductrice)

U = U,
/ (plaque conductrice)

-- Figure 2 -

11.1. Ecrire l'équation vectorielle reliant Îà la conductivité 0'du fluide et 
au potentiel électrique U.

--»

Soit une surface S fermée, orientée vers l'extérieur par un vecteur unitaire 
normal N , délimitant le
volume conducteur T Ecrire l'expression de l'intensité du courant I traversant 
(en sortant) la

surface fermée S.
Ecrire, en la justifiant, l'expression locale de la conservation de la charge 
électrique sur la surface

fermée 5.
En déduire l'équation vérifiée par le potentiel électrique, analogue à une 
équation rencontrée en

mécanique des fluides. Ecrire cette équation.

11.2. Montrer que le vecteur ; se trouve dans le plan (x,y)f

Ecrire l'expression du courant élémentaire dl traversant un élément de surface 
dS de hauteur h,
soutendu par l'arc d£, tel que d£ appartient à un plan parallèle au plan (x,y) 
(figure 2).

Ecrire l'expression de dl en fonction de h, 0', U et d£.

Dans toute la suite du problème, le symbole « £ » désignera, non pas l'égalité 
formelle entre deux
quantités, mais l 'analogie entre ces deux quantités.

11.3. Pour que l'on puisse établir une analogie entre le potentiel de vitesse 
q)de la mécanique des
fluides et le potentiel électrique U, soit @ E U , montrer que la fonction de 
courant ([et l'intensité du

courant 1 doivent être reliées par :

On appellera cette analogie « analogie A ».

En utilisant les propriétés des fonctions $ et 1/1, on peut montrer que l'on 
peut établir une seconde

. . . ]
analogie (dite « analogie B ») telle que W 5 U et @ E ----}--l.
o
11.4. Décrire qualitativement les analogies A et B en termes d'équipotentielles 
de vitesse et
électriques, ainsi que de lignes de courant fluides et électriques.

111. Application à l'étude des écoulements autour d'un obstacle immobile
On s'intéresse à l'écoulement plan d'un fluide parfait incompressible autour 
d'un cylindre solide

immobile, de rayon a, de hauteur infinie et d'axe Oz.

III.]. Représenter schématiquement les lignes de courant d'un tel écoulement en 
indiquant les
points remarquables. Préciser la condition que doit satisfaire la vitesse Y sur 
les parois du cylindre.

III.2. On souhaite utiliser l'analogie A pour caractériser l'écoulement autour 
de ce cylindre. On
place donc un cylindre de rayon a dans la cuve rhéoélectrique décrite dans la 
partie Il. L'axe du

cylindre est disposé suivant l'axe éz de la cuve (figure 2). La simulation de 
l'écoulement du

fluide dans la cuve est assurée par l'application d'une différence de potentiel 
entre les deux
parois conductrices. Les dimensions de la cuve sont supposées grandes par 
rapport à celles du

cylindre.
A l'aide d'une sonde exploratrice, on est capable de déterminer la valeur du 
potentiel électrique en

tout point de la cuve.
On souhaite mener à bien l'analogie A. Quelle doit être la nature du matériau 
constituant le

cylindre : doit-il être isolant ou conducteur de l'électricité ? On justifiera 
la réponse.
Proposer un méthode pratique permettant de déterminer les lignes de courant à 
partir du relevé des

potentiels.

III.3. On souhaite maintenant employer plutôt l'analogie B, en utilisant 
exactement la même cuve

rhéoélectrique.
En justifiant la réponse, donner la nature du matériau avec lequel doit être 
constitué le cylindre :

doit--il être isolant ou conducteur de l'électricité ?

III.4. Pour chacune des analogies A et B, représenter sur un schéma dans le 
plan (x,y), la cuve, le
cylindre, les lignes de courant fluide simulées et le sens de l'écoulement 
simulé. On veillera à bien

préciser sur le schéma la position des deux plaques conductrices de la cuve.

On admettra que le potentiel des vitesses, en tout point M d'un écoulement 
uniforme d'air, de

vitesse VO , en présence d'un cylindre de rayon a, de hauteur infinie et d'axe 
Oz, est donné par :
2

(MM) =V0 r(1+%)cosâ

,.

r et 9 représentent les coordonnées polaires d'un repère orthogonal & ez centré 
en 0, centre du
cylindre ( figure 3). La pression de l'écoulement non perturbé par le cylindre 
sera notée Po.

' -- Figure 3 --

III.5. Déterminer les composantes polaires du vecteur vitesse V, et V3
On rappelle les composantes du gradient d'une fonction F en coordonnées 
polaires :

8F

57

1 BF
755

grad F

Préciser les points d'arrêt.
Donner, sans démonstration, les composantes Fx et F y de la force exercée par 
le fluide sur la surface

du cylindre par unité de hauteur de cylindre.

IV. Ecoulement autour d'un cylindre en rotation
On met maintenant le cylindre en rotation autour de son axe fixe avec une 
vitesse angulaire

a) uniforme, dans le sens horaire.
Pour tenir compte de l'effet de la rotation du cylindre sur l'écoulement du 
fluide, on ajoute dans

l'expression du potentiel des vitesses une singularité tourbillonnaire de 
circulation 17 La
circulation du vecteur vitesse V sur une courbe Q est définie par :

r=jgYai où di=dxèî+dy "à..

Le potentiel des vitesses devient alors :

2
o(M)=g--î-- + V() r(1+%]cosâ

IV.]. Le modèle adopté jusqu'ici, celui du fluide parfait, permet--il de rendre 
compte de l'effet de la
. rotation du cylindre sur l'écoulement du fluide ?

A quelle propriété du fluide doit--on faire appel ?

Donner les nouvelles expressions de V, et V9, ainsi que le module de la vitesse.

IV.2. En se plaçant aux pomts part1cuhers 6 = --et 6 : ----, donner, en le 
JUStlflâflt avec prec1s1on,

2 2
le signe de la circulation F (rappel : le sens de rotation du cylindre est 
horaire).

IV.3. Donner la condition d'existence de deux points d'arrêt sur la surface du 
cylindre.
De cette condition, déduire l'expression de la circulation F en fonction de 90, 
a et V0, où 90 est
l'angle géométrique localisant les points d'arrêt sur le cylindre.

IV.4. Etablir, en fonction de r, 6', VO, Po, a et F, l'expression de la 
pression P en tout point de la

surface du cylindre.
Etablir, en fonction de p, VO et P, la composante Fy, appelée portance, de 
l'action de l'air sur le

cylindre, par unité de hauteur de cylindre.
Donner quelques exemples d'application de cette force.

IV.5. On désire maintenant simuler cette situation dans la cuve rhéoélectrique. 
Le cylindre est

disposé dans la cuve tel que son axe soit parallèle à & . _
Exprimer la circulation F, définie à la question IV, uniquement en fonction du 
potentiel de vitesse

a

En se plaçant dans le cadre de l'analogie B, en déduire l'équivalent de la 
circulation F en grandeurs

électriques.
On désigne par I, l'intensité du courant traversant le contour fermé (C) d'un 
solide conducteur de

l'électricité placé dans la cuve rhéoélectrique. Déterminer une relation entre 
la circulation |F | le

courant I,, la conductivité aet la hauteur h du fluide dans la cuve.

IV.6. Comment, dans la pratique, peut--on simuler par l'analogie B, la 
circulation F qui apparaît
lorsque l'on met le cylindre en rotation ?

IV.7. Exprimer la résistance R du fluide entre les deux parois conductrices en 
fonction des
dimensions de la cuve e et L, de la hauteur de fluide h et de la conductivité 
alorsque le cylindre
n'est pas dans la cuve.

IV.8. Déterminer une relation d'analogie entre la vitesse V0, la longueur L de 
la cuve et le potentiel

U ;, en utilisant la notion de débit volumique.
Montrer que dans le cadre de l'analogie B, la force de sustentation par unité 
de hauteur, exercée sur

le cylindre, doit être analogue à :

IÆËpARUyÊ.

IV.9. Pour s'affranchir des problèmes de similitudes dimensionnelles, on 
définit le coefficient sans

dimension Cy, relatif à la force de sustentation Fy, par :
C _ |Fyl
y " 2
p V() a

Exprimer Cy en fonction de I,, e, a, R et U [_

IV.10. On désire simuler dans la cuve rhéoélectrique un écoulement tel que Cy : 
1. Donner la valeur
de I,pourR= 100 Q, 6 : Im, a= 10 cm et U]: 10 V.

Exprimer maintenant le coefficient C)) en fonction de la position angulaire 90 
des points d'arrêt.
Dans le cas où Cy : 1, calculer cet angle et représenter sommairement les 
lignes de courant.

PROBLEME 11

TRANSFERTS THERMIQUES DANS UN TUBE D'ECHANGEUR
EBULLITION DE L'EAU EN CONVECTION FORCEE

Dans ce problème, on se propose d'étudier les transferts thermiques dans un 
tube cylindrique
pouvant composer un échangeur thermique. Cet échangeur, appelé aussi tube 
vaporiseur, permet
de produire de la vapeur d'eau, laquelle peut servir à alimenter un processus 
industriel.

Dans l 'ensemble du problème, la pression est constante, égale à la pression 
atmosphérique.

I. Transfert thermique dans un milieu homogène -- Loi de Fourier
La loi de Fourier est une relation linéaire reliant en tout point d'un milieu 
matériel homogène, de

conductivité thermique À, le vecteur densité surfacique de flux thermique ; et 
le gradient de

température gradT par : _
; = --Â gradT

1.1. Justifier la présence du signe (--) en facteur du gradient de température 
dans la loi de Fourier.

1.2. Donner l'expression du flux thermique élémentaire dçD traversant l'élément 
de surface dS, de
normale extérieure n.

1.3. Les lignes de flux sont les courbes tangentes, à chaque instant, au 
vecteur densité surfacique de

flux thermique ; .
Montrer que les lignes de flux sont perpendiculaires aux isothermes.

1.4. Soit un solide indéformable de volume V, limité par une surface S. Ce 
solide a une conductivité

thermique /l , une capacité thermique massique c et une masse volumique ,a. On 
appelle p... (W m'3 )
la densité volumique de puissance thermique dégagée à l'intérieur du solide. 
L'application du

premier principe de la thermodynamique permet d'écrire la relation suivante :

mvpCÊ--ÎdV+flsîfid5= ...me dV

Préciser très clairement, en termes de production, stockage et échange, la 
signification physique des

3 termes de cette équation.
En utilisant la loi de Fourier, établir l'équation de la diffusion thermique.
Que devient cette équation dans le cas d'un milieu solide homogène et isotrope, 
dont la conductivité

thermique est indépendante de la température ?

1.5. Ecrite sous la forme (1), l'équation de la diffusion thermique fait 
apparaître un paramètre
habituellement noté a :

aôt Â

Quel est le nom et la dimension du paramètre a ? Exprimer a en fonction de À, p 
et c.

11. Trnnsfen thermique dans un tube
5011 un tube de rayon intérieur ;, et de rayon extérieur er infiniment long, de 
conductivité

thermique i Les conditions thermiques sont telles que 1' , en r: n et T: T1 en 
r: Yz (figure 1).

Figure 1

11.1. 1.' 'qumion de la diffusion thennrque à laquelle ubélt le champ de 
température à l'intérieur du
tube, est la suivante :

13 H
rdr drZ

Préciser les hypolhèses qui président n l'établissement de cette équation.
Déterminer T(r). En dedune l'cxprcssmn du flux thermiun «: à travers une 
surtaee cylindrique

coaxial: dc rayon ! (q 5 , 5 q) el de longueur L. Pnurquol ce flux est-ll 
constant ?
11.2. Par analogie avec la lui d'0hm, la résistance then...que R... du tube est 
définie pur la relonon ;
Ti *Tz : R... 0»

Donner l'expressmn de la réslstance R... et préciser son unité.

Donner une rcpréscnlallon schématique de cette relation, sous la forme d'un 
circuit élecmquc en
préclsnm elunernent l'anulogic entre courant et potentiel électriques, et 
température et flux
thermiques Cette flflfllOgle sera largement ullllsée dans la suite du pmblème.

11.3. Que devient l'équation de la diffusion thermique donnée à la question 
11.1 si une densilé de
puissance ,... (w rn") est produite dans le matériau formant le tube 7

La résoudre en uullsaul les mêmes conditions aux limites que précédemment.

Que devient la notion de résistance thermique 7

[1.4. A l'interface entre un solide et un fluide, les échanges lhen--mques 
convbcufs obéissen! à la loi
de Newton :

}, =h( (T,T,) rî

}; est le vecteur densité surfacique de flux thermique échangé entre la paroi à 
la température T,) et le
fluide dont la température loin de la paroi est Tf. ii est la normale àla paroi 
orientée vers le fluide. hc

est le coefficient d'échange convectif ; il dépend de la nature du fluide, de 
sa température et du type
d'écoulement.

En appliquant l'analogie électrique, montrer que la résistance RC équivalente à 
l'échange convectif
entre une paroi cylindrique de rayon r2, de longueur L, à la température Tp et 
un fluide de

température constante et uniforme Y}, est égale à :

R,=--L_.
' @2flgL

Montrer que si le coefficient d'échange convectif tend vers l'infini, la 
température de la paroi tend
vers T_,c. '

ILS. Aux échanges convectifs paroi--fluide on doit, dans certains cas, ajouter 
les échanges par
rayonnement thermique. Une façon simplifiée de prendre en compte le rayonnement 
est d'écrire que
la densité surfacique de flux radiatif échangée entre une paroi à la 
température Tp et un milieu

ambiant à la température Tam}; est donnée par :

Îray=8 O' (Tp4--ÎËnb) ñ

ñest la normale à la paroi orientée vers l'extérieur. EUR est un coefficient 
sans dimension, compris
entre 0 et l, appelé émissivité.
O' est la constante de Stefan égale à 5,67 10--8W m'2 K'4. Les températures 
sont exprimées en

Kelvin.
Lorsque les écarts de température entre TI) et Tamb sont « faibles », on peut 
linéariser le flux radiatif

et le mettre sous la forme :

Îray =hray (Tp "Tamb) ñ

amb

2

- T +T
Exprimer h...y en fonction de EUR, a: et de T... avec T... : --fl------

Avec 8: 0,6, T[) = 333 K, Tamb : 293 K et T,: Ta...b, calculer la densité de 
flux radiatif. La comparer

à la densité de flux convectif calculée avec hc : 5 W m'2 K"'.
En prenant en compte les échanges convectif et radiatif, établir le schéma 
électrique équivalent aux

échanges thermiques entre la paroi solide et le milieu ambiant.
Montrer que les échanges thermiques convectif et radiatif peuvent se mettre 
sous la forme d'une

seule résistance thermique, faisant apparaître un coefficient d'échange global 
h, que l'on exprimera
en fonction de hc et h....

II.6. Pour limiter les échanges d'énergie thermique, la paroi externe du tube 
est recouverte d'une

couche d'épaisseur e d'un matériau isolant de conductivité thermique /le et 
d'émissivité EUR = 0
(figure 2). Soit Te la température de la surface extérieure de la couche 
d'isolant. Montrer, dans le
cas où p... = O, que le transfert thermique entre la paroi interne à la 
température T1 et le milieu

extérieur à la température T/' est représenté par la mise en série de 3 
résistances thermiques que l'on
précisera.

Isolant

Figure 2.

11.7. Calculer, en fonction de T], T,-, n, @, EUR, À, Âe, L et h... le flux 
échangé entre la paroi interne et le

fluide ambiant, sur une longueur L de tube.
Expliquer pourquoi il existe une épaisseur optimale d'isolant et donner son 
expression en fonction

des paramètres du problème.

III. Ebullition de l'eau en convection forcée
Dans cette partie, on admettra que le tube est parfaitement isolé sur sa paroi 
extérieure, c'est à dire

en F : ï2.
Le tube de résistivité électrique &... est parcouru par un courant d'intensité 
[ (A) constante.

III.1. Calculer pj la puissance dissipée par effetjoule, par unité de longueur 
de tube.

III.2. La puissance dissipée par effet joule sert à réchauffer de l'eau qui 
s'écoule dans le tube avec
un débit volumique q. Soit Tec...(x) la température de l'eau que l'on supposera 
fonction uniquement

de la position x le long de l'axe de la canalisation. L'origine est prise dans 
la section d'entrée de
l'eau dans le tube. On néglige les pertes de charges dans la canalisation. La 
pression est constante et

égale à la pression atmosphérique P = P.......

Montrer que la température de l'eau obéit à l'équation suivante :

di"... : ,. &...
dx ][ ( r22 -- rl2 )

peau Ceau q

p... est la masse volumique de l'eau et c... sa capacité thermique massique. 
Ces grandeurs sont

supposées constantes.
Quel mécanisme de transfert thermique a été négligé pour établir cette équation 
? Pourquoi peut-on

le négliger ?

Avec TO : T...(x : 0) = 293 K, calculer la position x(. dans le tube, telle que 
T... = 393 K.
On donne: (1: 3,92 106 m3 s" ; âzec = 1350 p...Q cm ; [= 40 A ;p... =...3 kg 
m'3 ;
c... = 4.18103 J kg'l K'1 ;r1= 5 mm et r2 : 5.5 mm.

Que se passe-t--il pour x > x(, '?

III.3. Soit L,, = 2250 U kg"' l'enthalpie massique de changement d'état de 
l'eau à P = P....... Calculer
la longueur de tube d nécessaire pour obtenir de la vapeur. Tracer l'allure du 
profil de température
T...(x) de l'eau dans un tube de longueur totale égale à 20 m.

En fait, la longueur réelle de tube nécessaire pour obtenir de la vapeur est 
supérieure à celle calculée
ci--dessus. Pourquoi '?

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Matthieu Rigaut (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de deux problèmes.
· Le premier problème traite essentiellement de mécanique des fluides mais 
comporte quelques questions sur l'électromagnétisme. Il débute par une première
partie de cinématique consacrée à l'étude générale des lignes de courant dans
un écoulement. La deuxième partie dégage ensuite les analogies entre la 
mécanique des fluides et l'électrostatique et démontre qu'il est possible de 
caractériser l'écoulement fluide autour d'un obstacle par un dispositif 
électrostatique
simple. La fin du problème envisage, dans la troisième partie, l'application de
ces analogies à l'étude de l'écoulement autour d'un cylindre fixe, puis d'un
cylindre en rotation dans la quatrième. Ce sujet forme un ensemble original.
· Le deuxième problème, nettement plus classique, est consacré à l'étude 
thermodynamique d'un échangeur thermique. Une première partie comporte des
considérations générales sur la conduction thermique. Les résultats obtenus
sont développés dans la deuxième partie sur le cas particulier d'un tube 
cylindrique. On y introduit la notion de résistance thermique que l'on 
généralise
ensuite au transfert convectif et au rayonnement thermique. Bien que totalement 
indépendante des autres, la troisième partie est dans la suite logique du
problème. Le tube échangeur y est alors parcouru par un courant électrique et
l'effet Joule permet l'échauffement ou la vaporisation de l'eau qui le parcourt.
L'énoncé donne un résultat intermédiaire essentiel qui aide grandement à la 
résolution de cette partie. Il s'agit d'un bon problème d'application et de 
révision
des transferts thermiques.
Si l'énoncé est assez long, il apparaît que très peu de questions nécessitent de
longs calculs. Dans les deux problèmes, des raisonnements classiques et proches 
du
cours jouxtent des questions demandant plus d'analyse et une bonne compréhension
de l'énoncé. Cette épreuve s'inscrit bien dans l'esprit de la filière PC.

Indications
Premier problème
I.1 L'équation de continuité est l'équation locale de conservation de la masse.
I.2 Partir de l'hypothèse d'incompressibilité.

-

-
I.3 Un déplacement d le long d'une ligne de courant est colinéaire à V .

- -
I.4 Calculer rot V en coordonnées cartésiennes.
-

 -
-
I.5 Le débit volumique traversant une surface de vecteur dS est dDv = V · dS.

-
Exprimer n en fonction de dx et dy.
 
-
I.6 Projeter et calculer V · -
 d.
Justifier qu'un déplacement perpendiculaire à la vitesse est tel que d est nul.

II.1 Calculer dQ/dt en fonction de  puis de -
 et utiliser la formule d'Ostrogradski.
Utiliser les deux premiers résultats et faire l'hypothèse stationnaire.
-

II.2 Utiliser dI = -
 · dS.
II.3 Utiliser l'expression de d de la question I.5 pour démontrer, en corrigeant
l'énoncé,   -I/h.
III.2 Justifier que les lignes de courant électriques ne doivent pas pénétrer 
le cylindre.
III.5 La symétrie de l'écoulement a une conséquence évidente sur Fx et Fy .
IV.2 La rotation du cylindre peut renforcer ou diminuer la vitesse de 
l'écoulement.
IV.4 Utiliser le théorème de Bernoulli en précisant bien les hypothèses.
-

Intégrer la force de pression élémentaire -P dS 
er projetée selon -
ey .
IV.5 Justifier pour une circulation élémentaire d = d.
IV.8 Relier le débit Qv en l'absence d'obstacle à V0 d'une part et à la 
variation de
la fonction  entre les deux plaques d'autre part.
Second problème
--

-
I.3 Partir de dT = grad T · d.
I.4 Utiliser la formule d'Ostrogradski.
I.5 Identifier [a] à l'aide de la dimension des dérivées de T.

dT
1 d
II.1 Montrer que
r
= 0 et intégrer deux fois.
r dr
dr
II.4 Calculer le flux convectif c au travers de la surface considérée.
II.5 Exprimer Tp et Tamb en fonction de Tm et de T = (Tp - Tamb )/2. Utiliser
le développement de Taylor à l'ordre 1, (1 + u)4 = 1 + 4u.
Considérer l'association parallèle des résistances convective et radiative.
II.6 Faire une analogie entre le tube et l'isolant. Le rayon extérieur est r2 + 
e.
II.7 Montrer qu'il peut exister une épaisseur ec pour laquelle le flux  est 
maximal.

-

III.1 La puissance volumique dissipée par effet Joule est -
 · E.
III.2 Justifier que l'énergie dégagée par effet Joule pendant dt par un élément 
de
longueur dx est emportée par le fluide qui l'a traversé pendant dt.
III.3 Considérer l'écoulement diphasé entre xe et xe + d et adapter la question 
III.2
en reliant la variation d'enthalpie dh à la variation dX de la fraction massique
en vapeur.

I.

Analogies rhéoélectriques
I.

Questions préliminaires

I.1 L'équation de continuité traduit la conservation de la masse. Elle s'écrit

-

+ div ( V ) = 0
t
où  est la masse volumique du fluide. Comme le fluide est incompressible,  est 
une
constante et l'équation de continuité donne
-

div V = 0
Les deux propositions mathématiques suivantes sont équivalentes :
 --
-
 -

- -
 V = grad 
et
rot V = 0
La condition recherchée est donc que l'écoulement soit irrotationnel.
Pour une raison évidente, on parle aussi d'écoulement potentiel.
 --
-
-
-
En projetant V = grad  selon 
ex et 
ey , il vient
vx =

x

et

vy =

y

I.2 D'après l'équation de continuité,

-
div V = 0

vx
vy
+
=0
x
y
En remplaçant les composantes vx et vy selon le résultat de la question 
précédente,
soit

2 2
+ 2 =0
x2
y
d'où l'équation de Laplace

 = 0

--
On peut aussi écrire directement div grad  =  pour toute fonction .

-

-
I.3 La vitesse V et le déplacement élémentaire d le long d'une ligne de courant
sont colinéaires puisqu'une ligne de courant est tangente au vecteur vitesse en 
tout

point. Dans le plan (-
ex , -
ey ), il existe donc un réel k tel que

-

-
dx
vx
d = k V
soit
=k
dy
vy
Avec k = dx/vx et k = dy/vy , il vient bien
dx
dy
=
vx
vy

I.4 La différentielle de la fonction  s'écrit
d =

dx +
dy
x
y

d'où

d = -vy dx + vx dy

Or, selon la question précédente, le long d'une ligne de courant
donc

vx dy - vy dx = 0

d = 0

et on peut affirmer que la fonction  est constante le long d'une ligne de 
courant.
L'écoulement est irrotationnel donc, dans tout l'écoulement,

v
0
 x   x  

 -

- -

rot V = 0
soit
v
=
0

y

 y  
0
0
0

-

dans la base cartésienne, où V est une fonction de (x, y). La projection selon -
ez
conduit à
vy
vx
-
=0
x
y

soit

d'où

-

 2
2
-
=0
x2
y 2

 = 0

I.5 On considère la surface élémentaire dS = h d de hauteur h 
perpendiculairement
au plan de l'écoulement. Le débit volumique élémentaire traversant cette 
surface est
 -
 -
-
 
dDv = V · dS = V · -
n dS
-

où -
n est le vecteur normal et dS = dS -
n le vecteur surface. Alors, avec dDv = h dQv
et dS = h d, on obtient le débit volumique élémentaire par unité de hauteur :
 
-
dQv = V · -
n d

-

-
Par définition, les vecteurs d -
n et d = d 

sont perpendiculaires et de même norme. Selon la
figure ci-contre, on a alors

d -
n = dy -
e - dx -
e
x

d'où

y
dy

-

d = d -

y

dy

- -

V ·
n d = vx dy - vy dx

O

On reconnaît l'expression de la différentielle de 
trouvée à la question précédente et il vient bien

dx

dx

x

d -
n

-
d = V · -
n d
On détermine le débit volumique par unité de hauteur à travers l'arc (A1 A2 ) en
sommant le débit volumique élémentaire dQv le long de l'arc entre les points A1 
et
A2 . Ainsi,
Z A2
Qv =
dQv
A1