X Maths 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Pfaffien d'une matrice antisymétrique
Principaux outils utilisés matrices symétriques, antisymétriques et orthogonales, réduction, formes n-linéaires alternées, produit scalaire, adjoint
Mots clefs déterminant, forme n-linéaire alternée, pffafien

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***
Pfaffien d'une matrice antisymétrique

Le but du problème est d'étudier une application définie sur les matrices 
antisymétriques
réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant.

Toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. Une matrice d'ordre 
p, p E N*, est
une matrice carrée à p lignes et 1) colonnes. On désigne par id E l'application 
identité d'un espace

vectoriel E, par Ip la matrice identité d'ordre p et par Op la matrice 
nulle\d'ordre 19. On note Ap
l'espace vectoriel des matrices antisymétriques d'ordre p.

\ Première partie .;

1. Montrer que si A est une matrice antisymétrique d'ordre impair, DetA = O.

2. Soit D une matrice diagonale d'ordre m, m E N*. Oalculerén fonction des 
coefficients

diagonaux de D le déterminant de la matriced'ordre 2m, (%" BD).
. \ ' m

Soit (E', ( | )) un espace vectoriel euclidien. Dans tout le problème f est un 
endomorphisme
de E tel que

f* = --f .
où f* désigne l'adjoint de f.

3. On suppose que f2= 0. Montrer que f = O.
4. On suppose que f2 + idE = 0.

&) Montrer que f est un automorphisme orthogonal de E.

b) Montrer que la dimension de E est paire.
c) Soit ?) E E. À quelle condition les vecteurs U et f (v) sont--ils 
linéairement indépendants ?

_ (1) Soit F l'orthogonal du sous--espace vectoriel de E engendré par 1) et 
f(v). Montrer que
f(F) c F.

e) Soit n = 27ri;m ; 1, la dimension de E. Montrer qu'il existe une famille 
(,U1, . . . ,v...) de
vecteurs de E telle que (vl, . .. ,v..., f(v1), . .. , f (cm)) soit une base 
orthonormale de E. Quelle
est la matrice de f dans cette base ? '

5.a) Montrer que f2 est diagonalisable dans R. On nOte À1, . .. ,Àk les valeurs 
propres
distinctes de f 2 et E; l'espace propre correspondant à la valeur propre Àz-, 1 
< 'à < k. Montrer
qu'on a une décomposition en somme directe orthogonale,

b) Montrer que, pour tout 72 tel que 1 < 2' { k, Ài < 0.
c) Montrer que, pour tout 73 tel que 1 < 72 < lc, f (EZ) C Ed.

6.a) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour 
toute matrice
A E A2..., il existe une matrice orthogonale Q d'ordre 2m et une matrice 
diagonale D d'ordre m

telles que

b) En déduire que pour toute matrice A E A2..., il existe une matrice M d'ordre 
2m telle

que A = tMJg...M, où J2m = (I 0 ).
m ...

Deuxième partie

Soit E un espace vectoriel réel et q un entier > 2. On appelle forme 
q-lz'néaire alternée sur
E une application ou : Eq --+ R satisfaisant les conditions suivantes : ,

(A) si a:1, . .. ,a:q sont des vecteurs de E et s'il existe un entier 73, 1 < i 
< q_-- 1, tel que
:ci = sul--+1, alors
w(oe1,.... ,oeq) =0;

en d'autres termes, l'application s'annule Si deux arguments consécutifs sont 
égaux;
(B) pour tout entier 72, 1 { i < q, si a:1,. . . ,oei_1, axe-+1, . . . ,oeq 
sont des vecteurs quelconques

' de E, l'application de E dans R définie par oe +----> w(æ1, . . . ,a:i_1, a:, 
OEi+1, . . . ,:cq) est linéaire; en
d'autres termes, l'application ou est linéaire par rapport a chaque variable.

On note Altq(E) l'ensemble des formes q--linéaires alternées sur E.

)

7 .a) Soit au EUR Altq(E). Montrer que, pour tout entier z' tel que 1 < i < q 
-- 1, on a l'identité

w(OE1,.... ,OEi_1,OEi+1,oei,æi+2,... ,OEq) : -- M(OE1,.... ,OEq) ,

pour tous au, . .. ,æq dans E; en d'autres termes ca change de signe si l'on 
permute deux argu--
ments consécutifs.

b) Soit ou E Altq(E). Montrer que s'il existe des entiers z' et j,z' ;£j, 1 < 
72 { q, 1 < j < q,
tels que a:,-- = a:,, alors ...
w(æ1,.... ,a:q) =D ..

c) Montrer que, pour tout entier g > 2, Altq(E) est un espace vectoriel réel.

d) On admet que si E est de dimension n, la dimension de Altn (E) est égale à 
1. Donner
une base de cet espace vectoriel.

Soit au EUR Alt2(E). On définit une suite w(p), p entier > 1, par larécurrence 
suivante : w... = w,
et si 19 > 2, ' '

w (331, . .. ...--2...) = P(A) Detg(oe1, . .. ,OE2...) ,
pour tous 331, . . . ,oe2m E E, oùDetB désigne le déterminant dans la base 
canonique de R2m. Le

nombre P(A) est appelé pfaflîen de A.

b) Calculer P(A) lorsque A E A4, en fonction des coefficients 611,2, (11,3, 
a1,4,
a2,3. a2,4, a3,4 de A--

c) Lorsque A : (03 BD), où D est une matrice diagonale d'ordre m, calculer P(A)
m

en fonction des coefficients diagonaux de D, et déterminer un nombre réel 0: 
indépendant de D

tel que
P(A) = & DetD .

Troisième partie

11. Soit A E A2... et soit M une matrice d'ordre 2m.
&) Montrer que tM AM EUR A2....
b) Montrer que P('MAM)= Det(M)P(A ).

12. En utilisant le résultat de la question 6.a), montrer que, pour A E A2...,
(P(A))2 = Det(A) ./

13. Soit H : A2... --> R une application telle que Il(tM AM ) : Det(M)H(A), 
pour tout
' A E A2... et pour toute matrice M d'ordre 2m. Montrer qu'il existe un nombre 
réel K: tel que,

pour tout A E A2..., H(A) : æP(A).

14. Soit M une matrice d'ordre 2777. telle que tMJZmM= .72..., où .72... est la 
matrice définie
à la question 6. b). Montrer que Det(M ) -- 1.

__t . '
15.8) Soit B une matrice d'ordre m et soit A : <%" 0 B). Exprimer P (A) en 
fonction
- m
de Det(B).

b) Soient m1 et m2 des entiers> 1, A1 EUR A2...1, A2 EUR A2m2, et soit

A1 02m 2m
A = 17 2 ,
(02m2 ,2m1 A2

où 0... ml désigne la matrice nulle a m lignes et m' colonnes. Exprimer P(A) en 
fonction de P (A1)
et de P(A2).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par
Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et David Lecomte (Université de Stanford).

L'étude de l'application déterminant est une partie importante du programme
des classes préparatoires scientifiques. Le problème présenté par l'École 
Polytechnique y ajoute la notion de pfaffien d'une matrice antisymétrique, dont 
la propriété
fondamentale est d'avoir le déterminant pour carré.
· Une première partie est consacrée à des exercices d'introduction sur les 
matrices antisymétriques répondant à certaines propriétés, qui se termine par la
présentation d'une forme particulièrement simple de matrice congruente à toute
matrice antisymétrique.
· La deuxième introduit les formes n-linéaires alternées et plus 
particulièrement
le pfaffien, ainsi que plusieurs de ses propriétés dans des cas particuliers.
· La troisième partie permet enfin de démontrer la formule principale (le carré
du pfaffien est le déterminant) et de faire des approches par réduction qui
permettront le moment venu de calculer réellement sa valeur.
Le problème n'est pas insurmontable, même s'il comporte des questions très 
techniques, en particulier la dernière. Il permet de manipuler des notions 
inhabituelles
(formes n-linéaires alternées, pfaffien) et d'en établir quelques propriétés 
intéressantes.

Indications
Première partie
2 Il faut échanger des vecteurs colonnes pour simplifier le déterminant.
4.e Considérer une famille orthonormée (v1 , . . . , vp , f (v1 ), . . . , f 
(vp )) de cardinal
maximal et montrer qu'alors p = m.
6.a Penser à traiter séparément les sous-espaces propres de f 2 , comme le 
suggère la
question 5. Comme f 2 est une homothétie sur chacun d'entre eux, des résultats
similaires à ceux de la question 4 (dans laquelle f 2 = I2m ) permettent de 
trouver
la base demandée sur chaque sous-espace propre de f 2 , et il ne reste plus qu'à
reconstituer la base demandée en recollant les bases obtenues sur chaque 
sousespace.
Deuxième partie
7.b La question demande d'admettre que la dimension de Altn (E) est 1. Il suffit
donc d'exhiber une forme n-linéaire alternée non nulle pour avoir une base.
8.b Faire une démonstration par récurrence. La propriété (A) pour  (p+1) doit 
être
traitée séparément suivant que l'on est dans le cas x1 = x2 ou dans le cas
xi = xi+1 avec i > 2.
10.b D'après la définition du pfaffien, on a
(x1 , x2 , x3 , x4 )  E4

f (2) (x1 , x2 , x3 , x4 ) = P(A) detB (x1 , x2 , x3 , x4 )

où B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) est la base canonique de R4 . Évaluer cette 
expression en
(e1 , e2 , e3 , e4 ).
10.c Utiliser la même méthode que ci-dessus en calculant (f )(m) (e1 , . . . , 
e2m ) où
(e1 , . . . , e2m ) est la base canonique de R2m .

11.b Utiliser l'égalité x
l'adjoint.

Troisième partie

f gf (y) = f (x) gf (y) , résultant de la définition de

12 Utiliser les questions 2, 6.a, 10.c et 11.b.
15.b Procéder par récurrence. La formule recherchée est :
P(A) = P(A1 )P(A2 )

Première partie
1 Soit A une matrice d'ordre n impair. D'après le cours, A et sa transposée ont 
le
même déterminant. Ainsi,
det A = det(t A) = det(-A) = (-1)n det A = - det A
d'où

det A = 0

2 Soit D une matrice diagonale d'ordre m dont les coefficients diagonaux sont 
notés
d1 , . . ., dm . Posons

0m -D
A=
D 0m
On va calculer le déterminant de A. Pour tout j compris entre 1 et m, on 
échange la
j-ième colonne de A avec la (m + j)-ième. Chacune de ces opérations change le 
signe
du déterminant de A et après les avoir toutes appliquées, on obtient
det A = (-1)m

-D 0m
0m D

Cette matrice étant diagonale, son déterminant est simplement le produit des 
éléments diagonaux :
m
m
 m 2
det A = (-1)m  (-di ) ×  di = (-1)2m  di
i=1

i=1

i=1

2

det A = (det D)

Il faut résister à la tentation d'écrire
A B
= det(A) det(D) - det(B) det(C)
C D
Cette formule est fausse : par exemple, ici elle donnerait
0 -D
= - det(D) det(-D) = (-1)m+1 (det D)2
D
0
ce qui est tout à fait inexact dans le cas où m est pair.
Notons, par contre, que si C = 0, on peut écrire
A B
= det(A) det(D)
0 D
et on a le même résultat avec B = 0.
On démontre cette formule en remarquant que

A B
I 0
A B
=
×
0 D
0 D
0 I
et en écrivant que le déterminant d'un produit de deux matrices carrées est
le produit des déterminants.
3 Utilisons le fait que f  = -f et f 2 = 0 :

x  E
||f (x)||2 = f (x) f (x) = f  f (x)
ce qui montre que

f =0

x = - f 2 (x)
| {z }

=0

x =0

4.a On suppose maintenant que f  = -f et f 2 = - id E , ce qui se réécrit
IE = -f 2 = f f  = f  f
f est donc inversible, d'inverse son adjoint f  . D'après le cours,
f est un automorphisme orthogonal.
4.b (det f )2 est un carré dans R, donc un réel positif. Par ailleurs,
0 6 (det f )2 = det(f 2 ) = det(- id E ) = (-1)dim E
d'où l'on déduit que

E est de dimension paire.

4.c Soit v un vecteur non nul de E. Comme f est un automorphisme orthogonal
d'après la question 4.a, on a
||f (v)|| = ||v|| 6= 0
De plus, f (v) et v sont orthogonaux,

v f (v) = f  (v) v = - f (v) v = - v
d'où

v

f (v) = 0

f (v)

Ainsi, v, f (v) est une famille orthogonale dans laquelle ni v ni f (v) n'est 
nul. Elle est
donc libre. On en conclut que
v et f (v) sont linéairement indépendants si et seulement si v n'est pas nul.
4.d Soit v un vecteur non nul de E. Notons E1 le sous-espace de E engendré par v
et f (v), et F l'orthogonal de E1 . On remarque alors que
f  (v) = -f (v)  E1
et

f  (f (v)) = -f 2 (v) = v  E1

Ainsi, E1 est stable par f  et il s'ensuit, d'après le cours, que F est stable 
par f .
f (F)  F
4.e On suppose que E est de dimension n = 2m avec m  N . Considérons l'ensemble

F = B = {v1 , . . . , vp }  E
p  N et

v1 , . . . , vp , f (v1 ), . . . , f (vp ) est orthonormée

D'après la question 4.c, si v est un élément de E, de norme 1, (v, f (v)) est 
une
famille
 orthonormée. Donc F n'est pas vide. De plus, si {v1 , . . . , vp } appartient 
à F ,
alors v1 , . . . , vp , f (v1 ), . . . , f (vp ) est une famille libre, 
puisqu'elle est orthonormée ;
comme E est de dimension finie 2m, le cardinal de cette famille, 2p, est 
inférieur à 2m.
Choisissons {v1 , . . . , vp } un élément de F de cardinal maximal (inférieur à 
m) et
notons

H = Vect v1 , . . . , vp , f (v1 ), . . . , f (vp )