X/ENS Maths PC 2017

ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIERE PC

CONCOURS D'ADMISSION 2017

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (XEULC)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
  
Dans le probleme, n est un nombre entier naturel superieur ou egal a 2 et [[1, 
n]] designe l'ensemble
des nombres entiers compris entre 1 et n.
C designe le corps des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe z est 
note |z|.
Mn,m (C) (resp. Mn,m (R) ) designe l'espace des matrices a n lignes et m 
colonnes, a coefficients
dans C (resp. dans R). La matrice transposee d'une matrice M  Mn,m (C) est 
notee tM .
Cn est identifie a l'espace Mn,1 (C) des matrices colonnes a n lignes et a 
coefficients dans C. Les
coefficients d'un vecteur x  Cn sont notes x1 , . . . , xn . Dans tout le 
probleme, Cn est muni de la
norme || ||1 definie par
n
X
||x||1 =
|xi | .
i=1

Pour tous x  Cn et y  Cn , la matrice txy  M1 (C) est identifiee au nombre 
complexe

n
X

x i yi .

i=1

Le sous-espace vectoriel de Cn engendre par un vecteur v  Cn \{0} est note Cv.
Une matrice M  Mn,m (R) est dite positive (resp. strictement positive) lorsque 
tous ses coefficients
sont des reels positifs (resp. strictement positifs). Cette propriete est notee 
M > 0 (resp. M > 0).
Si A et B sont deux matrices de Mn,m (R), on notera A > B (resp. A > B) la 
propriete A - B > 0
(resp. A - B > 0). Ainsi, pour x et y dans Rn ,
x > y  i  [[1, n]] , xi > yi .
Lorsque m = n, on utilisera la notation
La matrice diagonale

1

0

 ..
.
0

Mn (C) (resp. Mn (R)) pour Mn,m (C) (resp. Mn,m (R)).

0 ... 0

.. ..
.
. 0

..   Mn (C)
.. ..
. . 
.
. . . 0 n

sera notee diag(1 , . . . , n ). On note In = diag(1, . . . , 1) la matrice 
identite d'ordre n.
Pour M  Mn (C), on pose
||M || =

sup

||M x||1 =

xCn ,||x||1 =1

||M x||1
·
xCn \{0} ||x||1
sup

(1)

Une matrice M  Mn (C) sera en general identifiee a l'endomorphisme M de Cn 
represente par
M dans la base canonique de Cn : pour x  Cn , M (x) = M x. On appelle spectre 
d'une matrice

1

M  Mn (C), et on note Sp(M ), l'ensemble des valeurs propres de M . Le rayon 
spectral de M ,
note (M ), est defini comme le maximum des modules des valeurs propres de M :
(M ) = max{||;   Sp(M )} .

Premiere partie
1. a) Pour toute matrice M  Mn (C) et tout nombre reel C > 0, montrer 
l'equivalence
kM k 6 C  x  Cn : kM xk1 6 Ckxk1 .
b) Montrer que l'application M 7- kM k est une norme sur Mn (C).
2. Montrer que pour A, B  Mn (C), ||AB|| 6 ||A|| ||B||.
3. Soit A  Mn (C). On note ai,j le coefficient de A d'indice de ligne i et 
d'indice de colonne j.
Montrer que
n

X
|ai,j | .
||A|| = max
16j6n

i=1

4. On dit qu'une suite (A(k) )kN de matrices de Mn (C) converge vers une 
matrice B  Mn (C)
lorsque
i  [[1, n]] , j  [[1, n]] , lim (ai,j )(k) = bi,j .
k+

Montrer que la suite (A(k) ) converge vers B si et seulement si

lim ||A(k) - B|| = 0.

k+

5. On considere dans cette question une matrice A  Mn (C) triangulaire 
superieure,

a1,1 a1,2 . . . . . . a1,n
 0 a2,2 . . . . . . a2,n 

 ..

.
.
.
.
.
.
.
.
. 
A=
 .
.
 ..
.
.
.
.. ..
.. 
 .

0
. . . . . . 0 an,n
On suppose que
i  [[1, n]] , |ai,i | < 1 . Pour tout reel b > 0, on pose Pb = diag(1, b, b2 , . . . , bn-1 )  Mn (R).
a) Calculer Pb-1 APb . Que se passe-t-il lorsqu'on fait tendre b vers 0 ?
b) Montrer qu'il existe b > 0 tel que
||Pb-1 APb || < 1 . c) En deduire que la suite (Ak )kN converge vers 0. Deuxieme partie 6. Determiner le rayon spectral des matrices suivantes 0 0 0 0 1 0 0 -1 , , , 0 1 1 0 0 0 2 0 , 3 2 . 1 2 7. Dire, en justifiant brievement la reponse, si les assertions suivantes sont exactes quels que soient A, B  Mn (C), µ  C. 2 i) (µA) = |µ|(A) . ii) (A + B) 6 (A) + (B). iii) (AB) 6 (A)(B). iv) Pour P  Mn (C) inversible, (P -1 AP ) = (A). v) (tA) = (A). 8. Montrer que pour toute matrice A  Mn (C), (A) 6 ||A|| . Dans les questions 9 a 11, on considere une matrice A  Mn (C). 9. Montrer que si (A) < 1, alors la suite (Ak )kN converge vers 0. 10. a) Montrer que, pour tout k  N , ||Ak || > (A)k .
b) On definit la partie de R+
EA = { > 0 |

lim

k+

 A k

= 0} .

Montrer que EA = ](A), +[.
11. Montrer la formule
lim ||Ak ||1/k = (A) .

k+

12.
Pour A  Mn (C) de coefficients ai,j , on pose A+ = (bi,j )16i,j6n , ou bi,j = 
|ai,j |. Montrer l'inegalite
(A) 6 (A+ ) .
Troisieme partie
Dans toute cette partie, A est une matrice strictement positive de Mn (R).
On se propose de demontrer les proprietes suivantes.
(i) (A) > 0, (A) est une valeur propre de A et toute autre valeur propre   C de 
A verifie
|| < (A). (ii) (A) est une racine simple du polynome caracteristique de A et ker(A - (A)In ) est engendre par un vecteur v0 dont toutes les composantes sont strictement positives. (iii) Si v est un vecteur propre de A dont toutes les composantes sont positives, alors v  ker(A - (A)In ). (iv) Pour tout vecteur positif non nul x, il existe c  R+ tel que limk+ 13. Soient z1 , . . . , zn des nombres complexes. Montrer que si |z1 + · · · + zn | = |z1 | + · · · + |zn | , 3 Ak x (A)k = cv0 . z1 |z1 | alors le vecteur  ...  est colineaire au vecteur  ... . |zn | zn 14. Soient x, y  Cn , , µ  C. Montrer que si  6= µ, alors on a l'implication suivante (Ax = x et t Ay = µy) = tx y = 0 . 15. On suppose qu'il existe un reel positif µ et un vecteur positif non nul w tels que Aw > µw.
a) Montrer que pour tout entier naturel k, Ak w > µk w. En deduire que (A) > µ.
b) Montrer que si Aw > µw, alors (A) > µ.
c) On suppose a present que dans le systeme d'inegalites Aw > µw, la k-ieme 
inegalite est stricte,
c'est-a-dire
n
X
akj wj > µwk .
j=1

Montrer qu'il existe  > 0 tel que, en posant wj = wj si j 6= k et wk = wk + , 
on a Aw > µw . En
deduire que (A) > µ.
16. Soit  une valeur propre de A de module (A) et soit x  Cn \{0} un vecteur 
propre de A
associe a . On definit le vecteur positif non nul v0 par (v0 )i = |xi | pour 1 
6 i 6 n.
a) Montrer que Av0 > (A)v0 , puis que
Av0 = (A)v0 .
b) En deduire que (A) > 0 et
i  [[1, n]] , (v0 )i > 0 .
c) Montrer que x est colineaire a v0 . En deduire que  = (A).
La propriete (i) est demontree.
17. En appliquant les resultats precedents a la matrice tA, on obtient 
l'existence de w0  Rn ,
dont toutes les composantes sont strictement positives, tel que tAw0 = (A)w0 . 
On pose
F = {x  Cn | txw0 = 0} .
a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Cn stable par A , et que
Cn = F  Cv0 .
b) Montrer que si v est un vecteur propre de A associe a une valeur propre µ 6= 
(A), alors v  F .
En deduire la propriete (iii).
18. a) On note  l'endomorphisme de F defini comme la restriction de A a F . 
Montrer que
toutes les valeurs propres de  sont de module strictement inferieur a (A). En 
deduire que (A)
est une racine simple du polynome caracteristique de A et que
ker(A - (A)In ) = Cv0 .
La propriete (ii) est demontree.
b) Montrer que si x  F ,

Ak x
= 0.
k+ (A)k
lim

c) Soit x un vecteur positif non-nul. Determiner la limite de
La propriete (iv) est demontree.

4

Ak x
lorsque k tend vers +.
(A)k