X Maths PC 2007

Thème de l'épreuve Étude de quelques courbes planes
Principaux outils utilisés propriétés métriques des courbes paramétrées, séries de Fourier
Mots clefs Formule de Parseval, formule de Green-Riemann, intégrale curviligne, convexité, calculs d'aires

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Étude de quelques courbes planes

Première partie

On note F l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, périodiques 
de période 27I, et
E le sous--espace vectoriel de F constitué des fonctions de R dans R, 
périodiques de période 27I
et de classe C2. Pour f et g dans F on définit le produit scalaire

1 277
(f \ 9) = 2-- f(OE)9(OE)dOE-
77-- 0
Si H est un sous--espace vectoriel de F, on note
Hl={feF/(flh)=o,VheH} .
1. Exprimer, pour f E E, la série de Fourier de f" en fonction de celle de f. 
En quel sens la

série de Fourier de f converge--telle ?

Soit P : E --> F l'application linéaire définie par
P(f) = f + f" .

2. Déterminer le noyau de P, que l'on note Ker P.
3.a) Déterminer E*.

3.b) Pour f et g dans E, montrer l'égalité

(P(f) \ 9) = (f \ P(ÿ))-
3.0) En déduire que KerP : (Im P)L M E, où Im P désigne l'image de P.

4. On considère le sous--espace vectoriel de F,

G= {fEF/f(OE+W)+f(--fi) =f(Î)+f(0)7VOEER}'
Montrer que f appartient a G si et seulement si les coefficients de Fourier de 
f satisfont certaines
conditions que l'on explicitera.

Deuxième partie

Dans cette partie) on étudie certaines courbes du plan euclidien R2. On note 0 
l'origine et
(51, 52) la base canonique. Soit 15 E R. On note

ü} : cos t 51 + sin t 52 et "} : "'t+

wl>l

Soit f E E vérifiant les deux conditions suivantes :

i) f(t)>0,VteR,
ii) f(t)+f"(t) > 0, We R.

Pour toute fonction f de E satisfaisant i) et ii) et pour tout t E R, on pose
âÜ@=f®@+fææ.
et l'on considère la courbe décrite par le point M (15))
rf = {M(t) e R2/t e [0,27r]} .
5.3) Quelle est la courbe Ff si f est la fonction constante égale a 1 ?

5.b) Montrer que la courbe Ff admet en tout point M (15) une tangente dont on 
déterminera
l'équation cartésienne.

5.0) Quelle est la distance de cette tangente a l'origine ?

6. Soient & et b des nombres réels non nuls. On pose f (15) = \/0.2 cos2 t + 
(92 sin2 15.
On admettra que f satisfait i) et ii). Montrer que la courbe Ff est une ellipse 
centrée a l'origine.

On revient au cas général.

7.3) Montrer que

_ 2 / 2 f/(t) _. . f'(t) _,
OW(t) -- \/f(t) + f (15) {cos (t + Arctan f(t) )e1 + s1n (t + Arctan f(t) )e2] .

7 .b) En déduire que toute demi--droite d'origine 0 contient un point et un 
seul de la
courbe Ff.

8. Exprimer la longueur L( f) de la courbe Ff en fonction de la valeur moyenne 
de f
sur [O, 27r].

On note Q(f) la réunion des segments OM(t), t E [O, 27r].
9.a) Montrer que l'aire A(f) du domaine Q(f) est égale a 7T(P(f) \ f).

9.b) Exprimer cette aire en fonction des coefficients de Fourier de f.

10. Pour 0 > 0, on note EC le sous--ensemble de E constitué des fonctions f qui 
satisfont

27r
f(oe)doe : c .
0

Montrer que la fonction f l--> (P( f ) \ f) de EC dans R admet un unique 
maximum que l'on
déterminera.

Pour quelles fonctions de EC ce maximum est--il atteint ?

11. En déduire, pour f E E satisfaisant les conditions i) et ii)) l'inégalité

47T

Quelles sont les fonctions f qui réalisent l'égalité et les courbes Ff 
correspondantes ?

12. Soient f E E et h EUR Ker P. On suppose que les fonctions f et f +h 
vérifient les conditions
i) et ii).

12.21) Comparer L(f) et L(f + h), puis A(f) et A(f + h).
12.b) Comparer les courbes Ff et Ff+h.

13. Soit 7" un réel positif.

13.21) Comparer L(f) et L(f + 7").

13.b) Montrer la formule
A(f + r) = A(f) + L(f) r + wr'-

14. Soient 9 E R et D9 la droite engendrée par le vecteur %.

14.21) Montrer que la projection orthogonale de Ff sur D9 est un intervalle 
dont on déter--

minera la longueur EUR(9). C'est le diamètre apparent de la courbe dans la 
direction normale a
D9.

14.b) Caractériser les fonctions f pour lesquelles le diamètre apparent de la 
courbe Ff est
indépendant de @.

14.c) Exprimer alors L( f ) en fonction de EUR. Donner un exemple qui ne soit 
pas un cercle.

15. On revient au cas général. Soient M1 et M2 deux points de la courbe Ff. 
Montrer que le
segment M1M2 est inclus dans Q( f )

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X Maths PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Pierre Bel (Doctorant en mathématiques), Walter Appel (Professeur en
CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite principalement de courbes paramétrées, avec toute l'aide que 
peut
apporter la théorie des séries de Fourier. On étudie certaines courbes du plan 
dont
les équations paramétrées sont de la forme
--

OM(t) = f (t)-
ut + f  (t)-
vt

où -
u et -
v sont les vecteurs usuels du repère polaire. On montre notamment que,
t

t

sous réserve que f respecte certaines conditions, la courbe obtenue satisfait 
une inégalité dite isopérimétrique, à savoir une inégalité faisant intervenir 
la longueur et
l'aire de la courbe. Par ailleurs, le problème permet de montrer l'existence de 
courbes
fermées qui ont le même diamètre apparent quel que soit l'angle suivant lequel 
elles
sont regardées, sans pour autant être des cercles !
· La première partie est la plus abordable. Elle traite uniquement de fonctions
2-périodiques et de séries de Fourier. Son principal objectif est de prouver
quelques résultats utiles à l'étude des courbes réalisée dans la seconde partie.
Seule la dernière question est délicate, et son résultat ne sert que pour les 
toutes
dernières questions de la seconde partie.
· L'étude des courbes commence ensuite. Après quelques questions élémentaires,
les choses difficiles s'annoncent. Les questions suivantes nécessitent soit des
calculs compliqués, soit une bonne vision géométrique du problème. Il faut 
également utiliser les formules permettant de calculer l'aire de l'intérieur 
d'une
courbe fermée, que sans doute peu de candidats ont l'habitude de manipuler.
La difficulté en fin de problème est toutefois modérée, à l'exception de la 
dernière question.
Cet énoncé conforte la tendance actuelle de l'École polytechnique à produire des
énoncés atypiques, où l'on évalue davantage la finesse de l'élève que sa 
connaissance
des résultats du cours. Si certaines questions sont très faciles (à tel point 
qu'on
peut se demander s'il n'y a pas de piège), d'autres nécessitent d'avoir 
développé une
bonne intuition. Il est sans doute aisé de s'en sortir en récupérant des points 
sur les
questions simples (à condition de les repérer) mais traiter l'énoncé en entier 
dans le
temps imparti est une belle performance.

Indications
Première partie
1 C'est du cours.
2 Trouver le noyau revient à résoudre une équation différentielle linéaire du 
second
ordre à coefficients constants.
3.a Montrer que si f est dans E , alors tous ses coefficients de Fourier sont 
nuls.
3.b Effectuer une intégration par parties dans le terme (f  | g) et utiliser la
2-périodicité des fonctions f et g.
3.c Utiliser les résultats des deux questions précédentes.
4 Il s'agit de montrer que f est dans G si et seulement si ses coefficients de 
Fourier
d'indices pairs sont tous nuls, à l'exception de c0 (f ) égal à (f (0) + f 
())/2.
Deuxième partie
5.a Montrer qu'il s'agit d'un cercle.
--
5.b Montrer que le vecteur dérivé de OM(t) par rapport à t est non nul.
5.c Se servir de la formule classique qui donne la distance d'un point à une 
droite
à partir d'une équation cartésienne de cette droite.
6 Déterminer les coordonnées cartésiennes de M(t) et montrer qu'elles satisfont
une équation réduite bien connue d'une ellipse.
7.a Faire un raisonnement géométrique pour trouver un couple de coordonnées 
polaires du point M(t) (il est fortement suggéré de faire un dessin).
7.b Montrer que la fonction
g(t) = t + Arctan

f  (t)
f (t)

est strictement croissante sur [ 0 ; 2 ] et que son image est un intervalle de
longueur 2.
8 Faire intervenir la formule donnant la longueur d'une courbe paramétrée,
et remarquer que toutes les quantités intervenant dans celle-ci sont positives.
9.a Calculer l'aire de (f ) à l'aide de la formule suivante :

Z
--
1 2
d --
A(f ) =
det OM(t),
OM(t) dt
2 0
dt
9.b Utiliser la formule de Parseval.
10 À l'aide du résultat précédent, montrer qu'on peut majorer la quantité (P(f 
)|f )
2
par |c0 (f )| .
11 Calculer les coordonnées des points M(t) lorsque f est d'une forme qui 
satisfait
l'égalité de la question précédente, ainsi que les conditions i) et ii).
12.a Utiliser la forme des éléments de Ker P obtenue à la question 2 et les 
résultats
des questions 8 et 9.a.
12.b Étant donné la forme des éléments de Ker P établie à la question 2, 
calculer cette
fois-ci les coordonnées du point M(t) obtenu pour la fonction f + h, par rapport
à celui obtenu pour f .
13.a Même méthode qu'à la question 13.a.

13.b Utiliser à nouveau les résultats des questions 8 et 9.a.
14.a Noter (M)(t) le projeté orthogonal de M(t) sur D . Commencer par exprimer
. Puis faire une étude de fonction de sa coordonce vecteur en fonction de -
u

-

née g (t) selon u .
14.b S'appuyer sur le résultat de la question 4.
14.c Prendre un exemple de fonction qui ne satisfait pas les conditions de la 
question 4, tout en satisfaisant i) et ii). Pour prouver qu'il ne s'agit pas 
d'un cercle,
prendre 4 points de la courbe et montrer qu'ils ne sont pas cocycliques.
15 Considérer un point M du segment M1 M2 et l'unique point d'intersection M
de la demi-droite d'origine O et passant par M. Il faut alors établir que M
appartient au segment OM (faire un dessin).
Pour cela, montrer que tous les points de la courbe sont du même coté de
n'importe quelle tangente à f .

Première partie
1 On sait que l'on a, par intégration par parties, les relations
n2 cn (f ) = -cn (f  )

n  N,

ce qui donne notamment les séries de Fourier suivantes
P
S(f  ) = - n2 [cn (f )en + c-n (f )e-n ]
n

où l'on a noté en : t 7- eint . Le fait que f soit de classe C 2 assure par 
ailleurs que f
est notamment de classe C 1 par morceaux, et donc que
La série de Fourier de f converge normalement sur R.
Rappelons que si f est continue et de classe C 1 par morceaux, alors
n  N,

cn (f  ) = -in cn (f )

Notre première relation découle de cette propriété appliquée à f , puis à f 
lorsque f est de classe C 2 .
2 Le noyau de P est l'ensemble des applications f de R dans R deux fois 
dérivables
et 2-périodiques telles que
f + f  = 0
L'équation ci-dessus est une équation différentielle du second ordre à 
coefficients
constants. Les solutions sont de la forme
f : x 7- a cos x + b sin x
où a et b sont deux réels fixés et sont bien 2-périodiques. En d'autres termes,
Ker P = Vect {sin, cos}
Attention à ne pas oublier que les fonctions considérées doivent nécessairement 
être 2-périodiques. Le rapport du jury précise explicitement que les
candidats ayant oublié cet argument ont été légèrement sanctionnés.
3.a Soit f un élément de E et n > 1 un entier. Notons fn la fonction
x  R,

fn (x) = sin (nx)

Il est clair que fn est un élément de E. Par conséquent,
Z
1 2
(f |fn ) =
f (x) sin nx dx = 0
2 0
Remarquons alors que ce produit scalaire n'est autre que bn (f ). On a donc 
montré que tous les coefficients de Fourier (bn (f ))nN sont nuls. De la même 
manière,
la suite (an (f ))nN est nulle. Or l'application, qui à une fonction f 
appartenant à F
associe le couple ((an (f ))nN , (bn (f ))nN ), est injective sur F. Puisque f 
a les mêmes
coefficients de Fourier que la fonction nulle, il vient finalement que f est 
nulle, d'où
E = {0}