X Maths PC 2006

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Polynômes à coefficients 1 ou --1

Les polynômes étudiés dans ce problème ont été introduits lors de recherches 
sur la spectroscopie
multi--fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en 
combinatoire, théorie
des codes, analyse harmonique, et a de très nombreuses applications en optique,
télécommunications, théorie des radars et acoustique.

Toute affirmation devra être soigneusement justifiée. La précision, la clarté
et la concision des raisonnements seront particulièrement appréciées.

Soit EUR un entier au moins égal à. 1. Dans ce problème, un vecteur @ de Re 
sera appelé séquence
de longueur EUR si chacune de ses EUR coordonnées vaut 1 ou ----1. Les 
coordonnées d'une séquence _a_

de longueur EUR seront numérotées de 0 à EUR -- 1, a = (ao, a1, . . . ,ag_1). 
On notera 8g l'ensemble des
séquences de longueur 6. On appellera simplement séquence, tout vecteur qui est 
une séquence

de longueur 6, pour un certain entier EUR > 1.

On dira que des séquences a et Q forment une paire complémentaire si elles ont 
même longueur
K (qui sera appelée dorénavant longueur de la paire) et si elles vérifient, 
dans le cas où EUR > 1,
pour tout entier j tel que 1 < j { EUR -- 1, la j--ième condition de corrélation : Æ--1--j z (az--a...-- + b,--b,--+j) = @. i=0 Par convention, tout couple de séquences de longueur 1 est une paire complémentaire. Ainsi, pour tout entier EUR > 1, la complémentarité d'une paire de longueur EUR 
implique EUR -- 1 conditions

de corrélation.

Première partie

On désigne par E l'ensemble des entiers EUR pour lesquels il existe au moins 
une paire complé--
mentaire de longueur EUR . Autrement dit, L est l'ensemble des longueurs de 
paires complémentaires.
Dans cette partie, on se propose d'étudier certaines propriétés de l'ensemble £.

1. Montrer que 2 appartient a £ et que 3 n'appartient pas a [...

Soit EUR un entier au moins égal à 1. Pour toute séquence, Q = (cm, (il, . .. 
,ag_1), de longueur
EUR, on définit le polynôme Pg_ par la formule

ê--1
PQ(X) = z a,;X' .
i=0
Un tel polynôme est appelé polynôme séquentiel.

2.3) Soient g,_ et Q des séquences. On considère la fonction définie pour au 
réel, a: # 0, par
50 '--> Pg(OE)Pg_(OE_1) + PQ(OE)Pg(OE_1) -

Montrer que si g_ et Q ne sont pas deux séquences de même longueur, cette 
fonction n'est pas
bornée sur ]0, +oo[.

Montrer que deux séquences _C_L_ et Q de même longueur forment une paire 
complémentaire si
et seulement si cette fonction est constante. Exprimer cette constante en 
fonction de la longueur

EUR de la paire complémentaire _a_, Q.

2.b) Montrer que si Q et Q sont des séquences de même longueur, PQ (1) et Pg(1) 
sont des
entiers de même parité. En déduire que tout élément de £ peut s'écrire comme la 
somme de deux
carrés d'entiers.

2.c) Montrer que le complémentaire de E dans N est un ensemble infini [on 
pourra étudier
le reste de la division par 4 d'un carré d'entier].

3.a) Soient Q et Q des séquences de même longueur. On pose U = %(ngPg) et V = 
%(PQ--PQ).
Montrer que Q et Q forment une paire complémentaire si et seulement si la 
fonction

oe +----> U(æ)U(oe"') + V(oe)V(af')

est constante sur son domaine de définition.

3.b) Les séquences, de longueur 10,
g = (1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1)

et
Q = (1,1,--1,1,1,1,1,1,--1,--1)

forment--elles une paire complémentaire ?

4. Démontrer, pour toute séquence @ de longueur paire 2m (m E N, non nul), 
l'équivalence
des assertions suivantes :

(i) 4 divise la somme % + m + ' - - + v2m_1,

(ii) le nombre de coordonnées de @ égales à --1 a la même parité que m,

(iii) 'U() 111 ° ° ' Uzm_1 = (_1)m_

5. Soit EUR E E, EUR > 2, et soient g et Q des séquences qui forment une paire 
complémentaire de
longueur EUR. Pour tout entier i, 0 { i EUR EUR -- 1, on pose oe,-- = a,b,--.

5.a) Montrer que, pour tout entier j , 1 { j { EUR -- 1,

Ë--1--j
,_.
H OEkOEk+j = (--1) ?
k=0
[considérer la somme des coordonnées de la séquence (ago,--, . . . , ag_1_ 
jag_1, bobj, . . . , bg_1_ jbg_1)].

5.b) En déduire que, pour tout entier j, 0 < j EUR EUR -- 1, OEjOEg_1_j = ----1 . 5.0) Montrer que tout élément EUR de £, EUR > 2, est pair.

Deuxième partie

Si deux polynômes séquentiels sont associés à des séquences qui forment une 
paire complé--
mentaire, on dit qu'ils forment une paire complémentaire de polynômes. Cette 
partie est consacrée
à l'étude de certaines paires complémentaires de polynômes, dites paires de 
Rudin-Shapim.

On définit deux suites de polynômes (Pn)neN et (Qn)nEURN par les conditions 
initiales
P0(X) = Q0(X) = 1
et les relations de récurrence

Pn+1(X) : Pn(X) + X2nQn(--X)v (1)

Qn+1(X) = P,,(X) --X2nQn(X)- (2)
6.21) Calculer P1 et Q1, puis P2 et Q2.

6.b) Calculer les valeurs respectives de P,,(1), Q,,(1), P,,(--1) et Q,,(--l) 
en fonction de
l'entier n.

7. Démontrer que, pour tout entier positif n, les polynômes P,, et Q,, sont des 
polynômes
séquentiels et qu'ils forment une paire complémentaire. Qu'en déduire 
vis--à--vis de l'appartenance
des entiers de la forme 2h, pour k entier positif ou nul, à l'ensemble £ ?

8. Démontrer, pour tout entier positif ou nul n et tout nombre complexe non nul 
2 E C,
l'égalité
Qn(z) = (--1)"z2n_an(--z_l).

_ 9.a) Soit T un polynôme quelconque de C[X], de degré exactement d, d > 1, 
qu'on écrit
T (X ) = to +t1X +- - -+thd (avec td non nul). Montrer que les racines de T 
sont toutes majorées
en module par la quantité 1 + sup0