X Maths PC 2005

Thème de l'épreuve Polynômes orthogonaux et application à la résolution d'équations différentielles
Principaux outils utilisés procédé d'orthogonalisation, séries entières

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Polynômes orthogonaux et équations différentielles

Première partie

Dans cette partie on désigne par E un espace préhilbertien réel, par ( | ) son 
produit scalaire
et par || || la norme correspondante. On note F J' le sous--espace vectoriel 
orthogonal d'une partie

Fde E.

1. Dans cette question on suppose E de dimension finie, on se donne un 
sous--espace vectoriel F
de E, un vecteur v de E n'appartenant pas à F, et un nombre réel 04 > 0. On 
note 7I le projecteur

orthogonal E --> F.

Construire un élément u de F et un réel À tels que l'élément u + Àv soit 
orthogonal à F et
satisfasse les deux conditions suivantes :

(u+Àvlv) >0, Hu+Àvll=a.

Démontrer l'unicité du couple (u, À) et comparer u + )«v avec la projection 
orthogonale de 21
sur Fi.

2. Soit n un entier, n 2 1. Soit (v0,v1,.... ,vn) une famille libre de vecteurs 
de E et soit
(ao,a1,. .. ,ozn) une famille de nombres réels strictement positifs. Pour tout 
p, 0 S p 3 n,
on désigne par Ep le sous--espace vectoriel de E engendré par la famille (vo, 
v1, . . . ,vp). Montrer
qu'il existe une unique base (wo, w1, . . . ,wn) de En vérifiant les conditions 
suivantes : wo EUR EO ;

pour tout p, 1 5 p 5 n,wp EUR Ep 0 EË_1 ; pour tout p, 0 S p 5 n, (wplvp) > 0 
et ||wp|| : ap.

Deuxième partie

Dans cette partie on désigne par [a, b] un intervalle fermé borné de R non 
réduit à un point, par
C([a, b]) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [a, b], par E 
le sous--espace vectoriel
de C([a, bl) formé des restrictions de fonctions polynomiales, et par En celui 
des restrictions de
fonctions polynomiales de degré 5 n. On se donne une forme linéaire go sur 
C([a,b]) telle que
g0( f ) soit positif ou nul si f est positive ou nulle, et strictement positif 
si de plus f n'est pas
identiquement nulle. On note encore (a0,a1, . . . ) une suite de nombres réels 
strictement positifs.

3. Démontrer les assertions suivantes :
a) La formule ( f | 9) = <,0( fg) définit un produit scalaire sur C ([a, b)].

b) Il existe une unique suite de polynômes (PO,P1, . . .) de E satisfaisant les 
conditions
suivantes :

0 P,, appartient a En et le coefficient de a:" dans P... qu'on notera k... est 
strictement positif ;
. @(PmPn) = 0 sim # n;
°%RÔ=QÂ

4.3) Montrer qu'il existe, pour tout n 2 2, des réels A... B... C... tels que 
l'on ait

P,,(æ) = (A..."E + Bn)Pn_1(oe) + CnPn_2(oe) .

b) Exprimer A,, en fonction de kn et kn_1, puis C,, en fonction de k... kn_1, 
kn_2, an_1, an_2.

5. On se propose ici de démontrer que, pour n 2 1, tous les zéros de Pn sont 
réels, simples et
contenus dans l'intervalle ouvert ]a, b[. Pour cela on examinera les deux 
possibilités suivantes :

a) Il n'existe aucun zéro de P... contenu dans ]a, b[, de multiplicité impaire; 
dans ce cas,
on calculera g0(Pn) ;

b) Il existe de tels zéros, que l'on note a1, . .. ,a,... (chacun étant compté 
une seule fois);
dans ce cas, on calculera cp(Qn) où Q,,(oe) = P,,(oe)(oe -- al) . . . (oe -- 
a,).

6. Dans cette question on fixe un entier n 2 1 ; on note 0,1, . . . ,an les 
zéros de P.,; pour tout G
de E2n_1, on écrit G = Q P,, + R la division euclidienne de G par P,,.

&) Vérifier que Q et R appartiennent a En_1.

b) On définit des polynômes L,,i = 1, . .. ,n, par

L,(oe)=H ""'"J' .

j#i""""j

Vérifier que l'on a

c) Déterminer des réels À1, . .. ,)... tels que l'on ait, pour tout G de E2n_1 :

(1) Quel est le signe de /\Z- ?

Troisième partie

1
Dans cette partie on prend [a, b] : ]--1,1],0... : 1 pour tout n 2 O, et ga(f) 
= / f(oe)doe
' --1
pour tout f de C([--1,1]). On considère les fonctions Fn définies par F0(æ) = 1 
et pour n 2 1,

Fn(oe) : %( = d--Î;(%) .

9. Vérifier que T(Fn) est proportionnel à Fn.

10. Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de l'endomorphisme de 
E... restriction de
T a En. '

11. On fixe un nombre réel fy et on s'intéresse aux solutions de l'équation 
différentielle

T (f ) -- 'Yf = 0 (1)
. +oe
qu1 sont développables en séries entières de la forme 2 ckæk.
k=0

&) Ecrire une relation de récurrence entre ck et ck+2.

(:) Décrire l'espace des solutions de (1) dans C2(] ---- 1, 1[).

(1) Que se passe--t-il si l'on remplace l'intervalle ouvert ] ---- 1,1[ par 
l'intervalle fermé
[--1,1]?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Fabrice Mathurin (ENS Cachan) et Walter Appel
(Professeur en CPGE) ; il a été relu par Arnaud Durand (ENS Cachan) et Vincent
Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Voici un sujet bien conçu dans sa progression, mais qui exige de bien maîtriser 
le
cours sur les projections orthogonales sous peine de sécher dès les premières 
questions.
Il se compose de trois parties, balayant un champ très large du programme de
classe préparatoire : algèbre linéaire, algèbre des polynômes, orthogonalité, 
intégration, équations différentielles, séries entières, ce qui en fait un 
excellent problème de
révision en fin d'année.
Il est nécessaire, pour pouvoir l'aborder dans de bonnes conditions, de prendre
beaucoup de recul par rapport aux questions, et de toujours se demander quelle 
est
l'interprétation géométrique des résultats demandés. Sans cet effort, de 
nombreuses
questions sont infaisables.
· La première partie traite de résultats généraux dans des espaces vectoriels 
euclidiens, concernant l'existence et l'unicité de bases orthogonales soumises à
des conditions données par l'énoncé. On redémontre ainsi quelques propriétés 
certainement vues en cours à propos de la méthode d'orthogonalisation de
Gram-Schmidt.
· La deuxième partie particularise l'étude de la première au cas d'espaces 
vectoriels de polynômes. Les questions ne font que très peu appel au programme :
seule la division euclidienne est véritablement nécessaire pour l'aborder. 
Néanmoins, de bonnes capacités de synthèse et un certain recul seront 
nécessaires
pour avancer.
· La dernière partie, plus orientée vers l'analyse, plus technique et plus 
calculatoire, ne requiert que peu de résultats des parties précédentes. Elle 
utilise des
raisonnements géométriques fondés sur du calcul différentiel et intégral, 
permettant de caractériser les vecteurs et les valeurs propres d'un 
endomorphisme
en dimension infinie. On en déduit les solutions sur ] -1 ; 1 [ d'une équation
différentielle.
Les questions les plus difficiles du sujet se trouvent dans cette dernière 
partie ;
notamment, la toute dernière question est manifestement là pour départager
les meilleurs candidats.

Indications
Partie I
1 Raisonner par analyse-synthèse. Introduire   , projecteur orthogonal sur F ,
puis utiliser l'égalité (après l'avoir justifiée) u + v =   (u + v).
2 Construire chaque vecteur en notant qu'il appartient à une droite vectorielle,
que l'on impose sa norme, et que sa direction est déterminée par la positivité
du produit scalaire (wk | vk ).
Partie II
3.a Rappeler la définition d'un produit scalaire.
3.b Appliquer le résultat de la question 3.a.
4.a Effectuer la division euclidienne de Pn par Pn-1 . Exploiter le fait que 
les Pi
forment une base orthogonale échelonnée en degrés, adaptée à (En )nN .
4.b Regarder les coefficients dominants de chaque polynôme dans l'égalité de la
question 4.a puis effectuer le produit scalaire avec Pn-2 .
5.a Étudier le signe d'un polynôme ne possédant pas de racine de multiplicité 
impaire sur un intervalle. Utiliser judicieusement le fait que Pn est orthogonal
à En-1 .
5.b Déterminer le signe de Qn .
6.a Énoncer le théorème de division euclidienne pour deux polynômes de R[X].
6.b Calculer Li (aj ) pour 1 6 i, j 6 n et comparer les racines des polynômes du
membre de gauche et du membre de droite.
6.c Démontrer que G(ai ) = R(ai ) pour 1 6 i 6 n.
6.d Considérer G = L2i et conclure.
Partie III
8 Montrer que (Fn | P) = 0 pour tout P  En-1 en effectuant n intégrations par
parties ; en déduire le résultat voulu.
9 Montrer que (T(Fn ) | P) = 0 pour tout P  En-1 .
10 Calculer T(Fn ) en développant son expression au moyen de la formule de 
Leibniz.
11.a Injecter la série formelle puis égaliser terme à terme.
11.c Effectuer une synthèse des résultats de la question 11.b.

P
P
11.d Dans le cas des solutions non polynomiales, montrer que
c2n et
c2n+1
divergent. Montrer que les séries paires et impaires divergent en -1 et en +1.
En considérant la parité de ces fonctions, en déduire qu'aucune combinaison
linéaire de ces deux séries n'admet de prolongement sur [ -1 ; 1 ].

I.

Procédé d'orthogonalisation

1 Comme c'est souvent le cas face à ce genre de questions qui demande de 
construire
des objets puis de déterminer leur unicité, il est astucieux de commencer par 
démontrer l'unicité : c'est souvent plus facile et cela permet d'avoir une idée 
des éléments
en jeu avant de se lancer dans la construction des objets demandés. On utilise 
donc
un raisonnement du type « analyse-synthèse ». On notera désormais   : E  F
le projecteur orthogonal de E sur F , c'est-à-dire que
  = Id E -
Analyse. Supposons qu'il existe un couple (u, ) vérifiant (u + v | v) > 0 et
ku + vk = , et tel que u + v soit orthogonal à F.
Alors

u + v =   (u + v)
=   (u) +    (v)

car u + v  F
car   est linéaire

Mais u  F donc   (u) = 0. Ainsi,
u + v =    (v), où   est le projecteur sur F .
En prenant la norme de chaque membre de cette égalité, et en notant que   (v) 
6= 0
puisque v 6 F, on obtient immédiatement

|| =

k (v)k
Il reste encore une incertitude sur le signe de , que l'on va lever dès 
maintenant.
En décomposant v sous la forme v = (v) +   (v), on obtient :
(u + v | v) = (  (v) | v) = k  (v)k2 + (  (v) | (v))
c'est-à-dire, en utilisant l'orthogonalité entre (v) et   (v) :
(u + v | v) =  k  (v)k2
Par hypothèse, (u + v | v) > 0 et  > 0, ce qui prouve que  est strictement 
positif,
et par conséquent :
=

Finalement

k  (v)k

u =    (v) - v = - (v)

Les deux dernières égalités montrent l'unicité du couple (u, ).
Synthèse. En utilisant les équations que doivent vérifier  et u de la précédente
analyse, on construit le couple (u, ) :

=
et
u = -v +   (v)
k  (v)k
Par construction, on a bien ku + vk =  ; u + v est le projeté orthogonal de v
sur F , donc ce vecteur est bien orthogonal à F ; enfin,
(u + v | v) = (  (v) | v) = k  (v)k2 > 0

Faire une figure ne saurait nuire à la compréhension de la question !

  (v)

v

v

u

(v)

2 Montrons d'abord l'existence et l'unicité de w0 . On cherche un vecteur w0 tel
que w0 appartienne à la droite vectorielle engendrée par v0 , et on impose la 
norme
de w0 : cela ne laisse donc que deux possibilités, qui sont respectivement
0
v0
kv0 k

et

-

0
v0
kv0 k

La condition (w0 | v0 ) implique que seul le premier choix convient. Ainsi, w0 
existe,
est unique et vaut
w0 =

0
v0
kv0 k

On peut étendre ce principe à la construction de tous les autres vecteurs. Soit
k  [[ 1 ; n ]]. La remarque essentielle est la suivante : l'espace Ek  E
k-1 est une
droite vectorielle ; elle est engendrée par k (vk ), où k : Ek  E
est
le
projecteur
k-1

orthogonal sur Ek-1 . Le cas k = 3 est représenté ci-dessous :
  (v3 )

v3

v2
v1

E2

E3  E
2
Puisque la norme de wk est imposée, on sait donc que wk ne peut être qu'un
seul des vecteurs k /kk (vk )k k (vk ) et -k /kk (vk )k k (vk ). Enfin, la 
condition de
positivité du produit scalaire (wk | vk ) implique que
wk =

k
  (vk )
k  (vk )k

Réciproquement, ce vecteur convient.