X Maths PC 2002

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC

' PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

L'objet de ce problème est l'étude de systèmes régis par une équation 
différentielle dépendant
d'une donnée appelée << commande >> et la recherche de << commandes optimales >>.

Pour tout p E N*, on note ]] - ]] la norme euclidienne sur Rp et (|) le produit 
scalaire
euclidien. La transposée d'une matrice réelle M est notée M *. On identifie un 
élément de Rp
avec une matrice à. p lignes et une colonne.

Dans ce problème, on appelle fonction bien continue par morceauæ sur un 
intervalle [O, T] de
R toute fonction cp continue par morceaux, continue a gauche sur [O, T] et 
continue a droite en
0, c'est--à--dire telle qu'il existe un nombre fini de points, to : 0 < 751 < . . . < tk_1 < tk : T tels que 90 est continue sur [O,t1],]t1,t2], . .. ,]tk_2,tk_1],]tk_1, T] et que tlim te
Préliminaires

Soit Mp l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à p lignes. Pour M EUR 
Mp, on pose

]]MXH
M = sup .
... ... XeRP ]]X]|
X7£0

La) Vérifier que M EUR Mp |__} ]]]M]]] E R est une norme sur Mp.

b) Montrer que, pour toutes matrices M, N E Mp,

]]IMNIII < IHM... Ill--Wl- n 1 . 2.3) Pour 77. E N, on pose Sn(M) = z ÜMk° Montrer que la suite (S,,(M))nEURN est k=0 ' convergente dans l'espace vectoriel Mp muni de la norme ]]] . ]]]. On pose 1 b Montrer que la fonction t E R l----> etM E M est continue, dérivable et que
19

d
--etM=MeËM.

dt

d d
c) Calculer Æ(etM e_tM ) et, pour 8 E R, Æ(e(s+t)M e"tM ) En déduire que

EUR(s+t)M : EURSM etM _

Première partie

Soit T un réel > 0 et soit A E Mp. Soit B une fonction bien continue par 
morceaux sur
[O, T] à valeurs dans Rp , et soit XO EUR RiD . On pose, pour tout t E [O, T],

t
X(t) =etAxo+ / eAB(s)d3.
0

3.a) On suppose que B est continue. Montrer que t v--+ X (t) est l'unique 
fonction de classe
C1 sur [O,T] à valeurs dans Rp telle que X(O) = X0 et, pour tout t E [O,T],

d
EÊUÜ=AXOE+BOE. @)

On suppose maintenant et dans toute la Suite du problème que B est seulement 
bien continue
par morceauoe.

b) Montrer que t l--> X (t) est l'unique fonction continue, dérivable en tout 
point où B est
continue, et de classe Cl par morceaux sur [O, T] telle que X (0) : X0 et que 
la condition (1) soit

satisfaite en tout point où X est dérivable. Par convention, on dira encore que 
X est solution
de l'équation différentielle (l) sur [0,T ]

Soit q E N* tel que q < p et soit K une matrice réelle à ]) lignes et q colonnes. On désigne par M l'espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur [O, T] à valeurs dans Rq. A toute fonction U E M , on associe l'équation différentielle sur [O, T] d ÆX@=AXOE+KUOE, @ et l'on dit que U est la commande du système décrit par l'équation (2). On fixe XO E R10 . On désigne par XU l'unique solution de (2) telle que XU(O) = X0. 4. Montrer que, pour tout V E U , il existe YV tel que, pour tout U E U et tout A E R, on ait XU+AV -- XU : ÀYV. Préciser l'équation différentielle et la condition initiale satisfaites par YV. Soient &, fi, 'y des réels ; 0. On considère la fonction C : M --> R définie par

T
c = /0 (aHXUH2 +5llU(t)ll2)dt + +||XUH2,

modélisant un coût que l'on cherche a rendre minimal. Soient U, V E M et À E R.

5( Montrer que C (U + ÀV) ---- C (U ) est un polynôme du second degré en A et 
donner des
expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du 
coefficient de /\2 ?

6.a) Montrer qu'il existe une unique fonction ZU : [O,T] --> Rp, de classe Cl, 
telle que

ZU(T) = 2"y XU(T) et

%ZU(Û) = --A* ZU(t) -- 204 XU(t) -

T
b) Exprimer (Zy(T)|YV(T)) + 204 / (XU(t)IYV(t))dt par une intégrale de 0 à T 
fai-
0
sant intervenir K, V et ZU. [On rappelle que pour des fonctions Z et Y à 
valeurs vectorielles,

%(Z(t) Y(t)) = (%(t)iY(ü) + (Z OE)l%(vfi))-l

7.a) Déduire des questions précédentes que

C(U+ÀV)=/ÛT

i
dÀ

(K*ZU(t) + 25U(t)lV(t))dt .
À=O

b) Montrer que U0 E U vérifie la condition C(Uo) = infUEu C(U ), si et 
seulement si,
Vt & [O, T], K* ZUO (t) + 23 Uo(t) = 0.

Deuxième part ie

On conserve les notations de la première partie.

Soit J un intervalle fermé et borné de R, non réduit à un point, et soit J q le 
cube qu'il définit
dans Rq. On considère l'ensemble L! des commandes U EUR U telles que Vt E [O, T 
] , U(t) E J q.

8.a) L'ensemble Ü est-il un sous--espace vectoriel de U ?

A

b) Montrer que si U,V EUR Ü, A E [0,1], alors U+ À(V ---- U) E U.

9. Montrer que U0 EUR Ü vérifie la condition

C(Ug) : inf C(U)

A

UEU

si et seulement si, Vt EUR [O,T], VV EUR Ü,

(K* ZUo(t) + 25 Ug(t)|V(t) -- U0(t)) ; 0 .

Dans l'application qui suit, on prend ]) = 2 et q = 1. On choisit J = [--a, a], 
où a > 0. Soit
le une constante réelle, le > 0.

Si t +--> oe(t) est une fonction deux fois dérivable, on pose

,_dæ

oe _ ___d2a:
_ dt

, oe------.
dt2

Pour toute fonction U E Ü , on étudie les fonctions t F--> :c(t) de [O, T ] 
dans R, de classe Cl,
et de classe 02 par morceaux telles que :É(t) = --ku(t) en tout point 15 E [O, 
T] où à': est définie.

10.a) Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matrices A et K que l'on 
déterminera.
Soient 350 et vo des nombres réels. Montrer qu'il existe une unique fonction æu 
solution de ce
problème telle que oeu(0) = % et oe°u(0) = vo.

2 2
b) Trouver oz,fl,*y pour que C(u) = (oeu(T)) + (ÇÈU(T)) . Ces valeurs de a,fi,v 
sont

choisies dans toute la suite du problème.

c) Montrer que Z, est une fonction affine de t à valeurs dans R2.

11.a) Soit u0 EUR Ü tel que OEu0 (T) = 0 et Îuo (T) = 0. Montrer que C(u0) = 
infÀ C(u).
uEURU

b) Soit 11.0 EUR Ü tel que
(i} æuO (T) et 553...) (T) ne sont pas tous deux nuls;

(zi) C(u0) = ian C(u).

uEURU

Montrer que la fonction W est constante par morceaux.

T2 ka T
12. On suppose que % = 1 + ---2----(1 + ?), 710 = --5.

a) On considère ?... (t) telle que :

T T
u0(t)=asi0