X Maths PC 2002

Thème de l'épreuve Étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d'une fonction appelée « commande » et recherche des commandes optimales
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires, théorème de Cauchy-Lipschitz, séries dans un e.v.n., calcul différentiel, espaces euclidiens
Mots clefs fonction commande

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC

' PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

L'objet de ce problème est l'étude de systèmes régis par une équation 
différentielle dépendant
d'une donnée appelée << commande >> et la recherche de << commandes optimales 
>>.

Pour tout p E N*, on note ]] - ]] la norme euclidienne sur Rp et (|) le produit 
scalaire
euclidien. La transposée d'une matrice réelle M est notée M *. On identifie un 
élément de Rp
avec une matrice à. p lignes et une colonne.

Dans ce problème, on appelle fonction bien continue par morceauæ sur un 
intervalle [O, T] de
R toute fonction cp continue par morceaux, continue a gauche sur [O, T] et 
continue a droite en
0, c'est--à--dire telle qu'il existe un nombre fini de points, to : 0 < 751 < . 
. . < tk_1 < tk : T tels

que 90 est continue sur [O,t1],]t1,t2], . .. ,]tk_2,tk_1],]tk_1, T] et que tlim 
te
Préliminaires

Soit Mp l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à p lignes. Pour M EUR 
Mp, on pose

]]MXH
M = sup .
... ... XeRP ]]X]|
X7£0

La) Vérifier que M EUR Mp |__} ]]]M]]] E R est une norme sur Mp.

b) Montrer que, pour toutes matrices M, N E Mp,

]]IMNIII < IHM... Ill--Wl-

n 1 .
2.3) Pour 77. E N, on pose Sn(M) = z ÜMk° Montrer que la suite (S,,(M))nEURN est
k=0 '

convergente dans l'espace vectoriel Mp muni de la norme ]]] . ]]].

On pose

1

b Montrer que la fonction t E R l----> etM E M est continue, dérivable et que
19

d
--etM=MeËM.

dt

d d
c) Calculer Æ(etM e_tM ) et, pour 8 E R, Æ(e(s+t)M e"tM ) En déduire que

EUR(s+t)M : EURSM etM _

Première partie

Soit T un réel > 0 et soit A E Mp. Soit B une fonction bien continue par 
morceaux sur
[O, T] à valeurs dans Rp , et soit XO EUR RiD . On pose, pour tout t E [O, T],

t
X(t) =etAxo+ / eAB(s)d3.
0

3.a) On suppose que B est continue. Montrer que t v--+ X (t) est l'unique 
fonction de classe
C1 sur [O,T] à valeurs dans Rp telle que X(O) = X0 et, pour tout t E [O,T],

d
EÊUÜ=AXOE+BOE. @)

On suppose maintenant et dans toute la Suite du problème que B est seulement 
bien continue
par morceauoe.

b) Montrer que t l--> X (t) est l'unique fonction continue, dérivable en tout 
point où B est
continue, et de classe Cl par morceaux sur [O, T] telle que X (0) : X0 et que 
la condition (1) soit

satisfaite en tout point où X est dérivable. Par convention, on dira encore que 
X est solution
de l'équation différentielle (l) sur [0,T ]

Soit q E N* tel que q < p et soit K une matrice réelle à ]) lignes et q 
colonnes. On désigne
par M l'espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur [O, T] à 
valeurs dans Rq.
A toute fonction U E M , on associe l'équation différentielle sur [O, T]

d

ÆX@=AXOE+KUOE, @

et l'on dit que U est la commande du système décrit par l'équation (2). On fixe 
XO E R10 . On
désigne par XU l'unique solution de (2) telle que XU(O) = X0.

4. Montrer que, pour tout V E U , il existe YV tel que, pour tout U E U et tout 
A E R, on

ait XU+AV -- XU : ÀYV. Préciser l'équation différentielle et la condition 
initiale satisfaites par
YV.

Soient &, fi, 'y des réels ; 0. On considère la fonction C : M --> R définie par

T
c = /0 (aHXUH2 +5llU(t)ll2)dt + +||XUH2,

modélisant un coût que l'on cherche a rendre minimal. Soient U, V E M et À E R.

5( Montrer que C (U + ÀV) ---- C (U ) est un polynôme du second degré en A et 
donner des
expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du 
coefficient de /\2 ?

6.a) Montrer qu'il existe une unique fonction ZU : [O,T] --> Rp, de classe Cl, 
telle que

ZU(T) = 2"y XU(T) et

%ZU(Û) = --A* ZU(t) -- 204 XU(t) -

T
b) Exprimer (Zy(T)|YV(T)) + 204 / (XU(t)IYV(t))dt par une intégrale de 0 à T 
fai-
0
sant intervenir K, V et ZU. [On rappelle que pour des fonctions Z et Y à 
valeurs vectorielles,

%(Z(t) Y(t)) = (%(t)iY(ü) + (Z OE)l%(vfi))-l

7.a) Déduire des questions précédentes que

C(U+ÀV)=/ÛT

i
dÀ

(K*ZU(t) + 25U(t)lV(t))dt .
À=O

b) Montrer que U0 E U vérifie la condition C(Uo) = infUEu C(U ), si et 
seulement si,
Vt & [O, T], K* ZUO (t) + 23 Uo(t) = 0.

Deuxième part ie

On conserve les notations de la première partie.

Soit J un intervalle fermé et borné de R, non réduit à un point, et soit J q le 
cube qu'il définit
dans Rq. On considère l'ensemble L! des commandes U EUR U telles que Vt E [O, T 
] , U(t) E J q.

8.a) L'ensemble Ü est-il un sous--espace vectoriel de U ?

A

b) Montrer que si U,V EUR Ü, A E [0,1], alors U+ À(V ---- U) E U.

9. Montrer que U0 EUR Ü vérifie la condition

C(Ug) : inf C(U)

A

UEU

si et seulement si, Vt EUR [O,T], VV EUR Ü,

(K* ZUo(t) + 25 Ug(t)|V(t) -- U0(t)) ; 0 .

Dans l'application qui suit, on prend ]) = 2 et q = 1. On choisit J = [--a, a], 
où a > 0. Soit
le une constante réelle, le > 0.

Si t +--> oe(t) est une fonction deux fois dérivable, on pose

,_dæ

oe _ ___d2a:
_ dt

, oe------.
dt2

Pour toute fonction U E Ü , on étudie les fonctions t F--> :c(t) de [O, T ] 
dans R, de classe Cl,
et de classe 02 par morceaux telles que :É(t) = --ku(t) en tout point 15 E [O, 
T] où à': est définie.

10.a) Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matrices A et K que l'on 
déterminera.
Soient 350 et vo des nombres réels. Montrer qu'il existe une unique fonction æu 
solution de ce
problème telle que oeu(0) = % et oe°u(0) = vo.

2 2
b) Trouver oz,fl,*y pour que C(u) = (oeu(T)) + (ÇÈU(T)) . Ces valeurs de a,fi,v 
sont

choisies dans toute la suite du problème.

c) Montrer que Z, est une fonction affine de t à valeurs dans R2.

11.a) Soit u0 EUR Ü tel que OEu0 (T) = 0 et Îuo (T) = 0. Montrer que C(u0) = 
infÀ C(u).
uEURU

b) Soit 11.0 EUR Ü tel que
(i} æuO (T) et 553...) (T) ne sont pas tous deux nuls;

(zi) C(u0) = ian C(u).

uEURU

Montrer que la fonction W est constante par morceaux.

T2 ka T
12. On suppose que % = 1 + ---2----(1 + ?), 710 = --5.

a) On considère ?... (t) telle que :

T T
u0(t)=asi0
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 PC 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Alexis Devulder (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce problème, constitué de deux parties dépendant l'une de l'autre et d'une 
courte
partie préliminaire, traite d'un problème d'optimisation, c'est-à-dire de 
minimisation
d'une quantité dépendant d'un paramètre. On y trouve donc, comme on peut s'y
attendre, quelques techniques de calcul différentiel. La quantité à optimiser 
dépend
en fait de la solution d'une équation différentielle linéaire, dont le second 
membre est
justement le paramètre susdit. Des techniques provenant des équations 
différentielles
(et notamment un usage intensif du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire) sont 
donc
également mises en jeu. Enfin, une application à un cas simple est proposée.
· La partie préliminaire sert essentiellement à rappeler quelques propriétés de
l'exponentielle d'une matrice.
· Dans la première partie, on étudie l'application qui, à une fonction U définie
sur un intervalle [ 0 ; T ] et à valeurs dans Rq , associe la solution XU à 
valeurs
dans Rp de l'équation différentielle
dX
(t) = A · X(t) + K · U(t)
dt
(où K est une matrice p×q constante) satisfaisant une condition initiale donnée.
Notamment, on dégage une condition nécessaire et suffisante pour que le coût
de cette solution (qui est une quantité quadratique) soit minimal par rapport
à l'ensemble des fonctions U continues par morceaux.
· Dans la seconde partie, on étend la condition précédente au cas où l'on 
astreint
q
la fonction U à prendre ses valeurs dans un compact de la forme [ a ; b ] .
Le candidat est bien guidé tout au long de cette épreuve ; les difficultés sont 
bien
réparties : il n'y a pas de question vraiment difficile, mais beaucoup de 
questions
demandent un peu de réflexion avant de se lancer dans les calculs. On y 
rencontre
un peu d'algèbre linéaire, peu de topologie, un peu d'algèbre bilinéaire, une 
série
à valeurs dans un espace vectoriel normé, bref, de quoi revoir une bonne partie 
du
programme de l'année.

Indications

Partie préliminaire
1.a Montrer que |||M||| 6 || |||M||| pour tout   C puis en déduire
|||M||| = || |||M|||

2.a Montrer, en utilisant une inégalité triangulaire, que la suite Sn (M) nN 
est de
Cauchy dans un espace vectoriel normé complet.
2.b Utiliser la convergence normale de la série dérivée pour dériver terme à 
terme.
2.c Montrer que M et etM commutent.
Première partie
3.a Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire relatif à un système 
d'équations différentielles de la forme X(t) = AX(t) pour montrer l'unicité de 
la
solution.
3.b Pour montrer l'unicité, la continuité de X permet d'imposer une condition 
initiale (originellement en t0 = 0) en t1 , t2 ,. . . jusqu'à tk .
4 En utilisant la question 3, établir une expression de XU et de XU+V .
En déduire une définition de YV .
6.a Penser encore à Cauchy-Lipschitz !
6.b Calculer la dérivée du produit (Z|Y) et se souvenir que la transposée d'une
matrice est l'équivalent matriciel de l'adjoint.
7.b Poser V = K ZU + 2U pour montrer le sens direct. Pour la réciproque, 
utiliser
le résultat de la question 5.
Deuxième partie
9 Montrer que, pour tout choix de V  Ub, le coefficient de  dans le polynôme
de la question 5 doit être positif. Puis procéder par l'absurde en supposant
l'existence de V  Ub et t  [ 0 ; T ] tels que

K ZU0 (t) + 2U0 (t) V(t) - U0 (t) < 0
Construire une application W égaleà U0 sauf dans un voisinage de t sur lequel
K ZU0 (s) + 2U0 (s) V(s) - U0 (s) < 0.

10.c Expliciter Zu et montrer que t 7- e-tA est affine par rapport à t.

11.b Montrer que K Zu0 est une fonction affine (à valeurs dans R) non 
identiquement
nulle. En déduire, en utilisant la question 9, que u0 est constante sur chaque
intervalle où cette fonction est de signe constant.
12.b Utiliser la caractérisation de la question 9.
12.c Calculer le coût d'une autre fonction constante par morceaux égale 
successivement à a et à -a ; minimiser ce coût.

Partie préliminaire

1.a Pour que l'application ||| · ||| soit une norme,
suivantes, que nous allons démontrer :

Positivité
M  Mp

 Séparation
M  Mp

Homogénéité
M  Mp   R

Inégalité triangulaire
(M, N)  Mp 2

elle doit vérifier les propriétés
|||M|||  R+
|||M||| = 0 = M = 0
|||M||| = || · |||M|||
|||M + N||| 6 |||M||| + |||N|||

Positivité. Elle se démontre de façon immédiate puisque kMXk et kXk sont tous
deux positifs pour tout X  Rp .
Séparation. Soit M  Mp tel que |||M||| = 0. Alors, pour tout X  C r {0}, on a
kMXk = 0 et donc MX = 0. Ceci implique que M = 0.
Homogénéité. Soit M  Mp (R). Pour tout   R et pour tout Y  Rp r {0}, on a
k(MY)k
kMYk
kMXk
k(M)Yk
=
= ||
6 || sup
kYk
kYk
kYk
XRn kXk
X6=0

donc, en passant à la borne supérieure sur Y, on obtient
  R

|||M||| 6 || |||M|||

Montrons l'inégalité inverse. Si  = 0, la propriété est évidemment vérifiée. On
suppose donc  6= 0 et on applique le résultat précédent à 1/ et A :
|||-1 (A)||| 6 ||-1 |||A|||
soit

|| |||A||| 6 |||A|||

On a donc bien

|||A||| = || |||A|||

Inégalité triangulaire. Pour tout X  Rp , on a
k(M + N)Xk 6 kMXk + kNXk
On en déduit

kMXk + kNXk
k(M + N)Xk
kMXk
kMXk
sup
6 sup
6 sup
+ sup
kXk
kXk
X6=0
X6=0
X6=0 kXk
X6=0 kXk
ce qui établit la dernière propriété.
En résumé

||| · ||| est bien une norme.

1.b Soient M et N deux matrices carrées d'ordre p. Remarquons la relation 
fondamentale
X  Rp

kMXk 6 |||M||| · kXk

()

Cette inégalité découle directement de la définition de |||M||| si X 6= 0 et 
elle est
immédiate si X = 0.
Soit X  Rp un vecteur non nul. La relation () nous permet d'écrire
k(MN)Xk = kM(NX)k 6 |||M||| · kNXk 6 |||M||| · |||N||| · kXk
Cette relation étant valable pour tout X  Rp non nul, on en déduit, en la 
divisant
par kXk et en prenant la borne supérieure, que |||MN||| 6 |||M||| · |||N|||.
 M, N  Mp

|||MN||| 6 |||M||| · |||N|||

P 1 k
M , montrons qu'elle de Cauchy.
k!
Tout d'abord, en utilisant le résultat de la question précédente, on a

2.a Pour montrer la convergence de la série

k  N

1 k
M
k!

=

1
|||M|||k
|||Mk ||| 6
k!
k!

(3)

P 1 k
M satisfait au critère de Cauchy.
k!
P |||M|||k
étant convergente, elle est de
Soit  un réel strictement positif. La série
k!
Cauchy ; il existe donc un entier N tel que
Montrons maintenant que la série

p, q  N

p > q > N =

q
X
|||M|||k
6
k!

k=p

L'inégalité triangulaire et l'inégalité (3) nous permettent alors d'écrire
p, q  N

p > q > N =

q
X
1 k
M
k!

k=p

6

q
X

k=p

1 k
M
k!

6

P 1 k
M est donc bien de Cauchy. Or, cette série est à valeurs dans Mp
k!
qui, muni de ||| · |||, est un espace vectoriel normé de dimension finie et, à 
ce titre, est
complet. Par conséquent :
La série

La série

P 1 k
M converge dans Mp .
k!

Nous sommes dans un cas particulier du théorème général : dans un espace
vectoriel normé complet, toute série normalement convergente est convergente. 
Cette propriété est d'ailleurs caractéristique des espaces complets.