Mines Maths 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Équation de la chaleur
Principaux outils utilisés séries de Fourier, séries de fonctions, calcul différentiel
Mots clefs chaleur, principe du maximum

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2012 MATH II PC
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

Equation de la chaleur
Dans ce texte on note l'ensemble des nombres réels,
l'ensemble des nombres entiers

positifs ou nuls,

l'ensemble des nombres entiers strictement positifs et
l'ensemble des entiers relatifs.
Le problème est consacré à l'équation de la chaleur monodimensionnelle ; la 
fonction
inconnue  définie dans le domaine

à valeurs réelles est supposée
continue, et de plus indéfiniment dérivable par rapport à  sur
 et par rapport à  sur
 L'inconnue  est solution du système d'équations suivant :

  sur

(1)

conditions aux limites

(2)

condition initiale,

(3)

où  désigne une fonction définie sur l'intervalle
 Dans la suite on prendra comme
condition initiale la fonction  définie par
{

(4)

La variable  est la variable d'espace,  est la variable temporelle.

1

Un problème aux valeurs propres

On cherche ici à déterminer les valeurs de  (valeurs propres) pour lesquelles 
il existe
une solution non nulle de l'équation différentielle ordinaire

sur

(5)

(6)

Question 1 Montrer que si  est solution de (5)-(6) alors elle est de classe   
sur
que

( 
)

d
    d 

 et

en déduire que si  n'est pas identiquement nulle, alors  

Question 2 Pour  
déterminer l'ensemble des solutions de (5). En déduire que le
système d'équations (5)-(6) n'a pas d'autre solution que la solution nulle.
Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement 
si   
tel que   Pour  fixé, déterminer la dimension de l'espace des solutions et en 
expliciter
une base.

2

La série de Fourier de la condition initiale

On note  la fonction égale à  sur
tout entier.

impaire et prolongée par -périodicité à

Question 4 Tracer la courbe représentative de  sur  
de variation.

et en préciser le tableau

On note  (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée  sur 
chaque
intervalle de la forme

et prolongée par continuité sur
chaque intervalle   

Question 5 Dessiner le graphe de la fonction 
Soit  une fonction
pose

continue par morceaux et périodique de période 

on

   d  

(7)

Question 6 Démontrer que  

2

et  

Question 7 Calculer  

en déduire que

( )

(8)

et donner l'expression de la série de Fourier de  en fonction des  
Question 8 En déduire que la série de Fourier de  converge normalement.

3

Construction d'une solution de (1)-(2)-(3)
Pour tout  

on définit la fonction  sur le domaine

 par

(9)

et on note  la somme de la série de fonctions
 c'est-à-dire sous réserve de la convergence,

(10)

Question 9 Montrer que pour tout     est continue sur 
 indéfiniment
dérivable par rapport à  sur
 et par rapport à  sur
 et vérifie (1).

Question 10 Montrer que la série de fonctions
 est convergente sur

et que la somme  définit une fonction continue sur

Question 11 La série
  ( 

)

converge-t-elle ?.
 
Question 12 Soit 
montrer que la série de fonctions
 converge normalement
sur

  En déduire que la somme  définie selon (10) admet une dérivée partielle
par rapport à  sur

  et que

  sur

Question 13 La série de fonctions
Justifiez votre réponse.

converge-t-elle normalement sur

On admettra dans la suite (raisonnement analogue) que  admet des dérivées 
partielles
de tous ordres sur 
 et qu'elles s'obtiennent par dérivation sous le signe somme.
Question 14 Montrer que  est solution de (1)-(2)-(3).

4

Unicité de la solution
Soit  une fonction continue sur   

et indéfiniment dérivable sur  

Question 15 Quel est le signe de   et   si  atteint son maximum en    
Justifiez votre réponse.
On définit la dérivée à gauche   de  en  selon la formule

3

si la limite existe.
Question 16 Quel est le signe de   si  admet en  une dérivée à gauche et y 
atteint
son maximum ?
On choisit 

et on note

t

t

T

T

C

Di

F

x

x
¼

0

¼

0

Figure 1 ­ Partition du domaine

Soit 
(1)-(2)-(3).

on définit la fonction  par   

 où  est une solution de

Question 17 Montrer que  ne peut atteindre son maximum sur  en aucun point de
  .
Notons 

Question 18 Déduire de ce qui précède que  atteint son maximum sur 
Question 19 Conclure que la solution de (1)-(2)-(3) est unique.
Si  est une solution de (1)-(2)-(3) on pose

Question 20 Démontrer que    
l'unicité de la solution de (1)-(2)-(3).

d  

En déduire par un autre raisonnement

Fin de l'épreuve

4

(11)

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Romain Cosset (Professeur agrégé) et par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA).

Le sujet propose l'étude de l'équation de la chaleur
u
2u
(x, t) =
(x, t) sur ] 0 ;  [ × ] 0 ; + [
t
x2
C'est un problème très classique et très célèbre puisque c'est ce problème qui a
motivé le mathématicien et physicien Joseph Fourier à introduire les séries 
trigonométriques qui portent désormais son nom. L'épreuve se compose de quatre 
parties.
· Dans une première partie, on s'intéresse à la résolution d'une équation 
différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. On procède à une 
étude
qualitative des solutions en fonction d'un paramètre et on établit certaines 
propriétés sur l'énergie de la solution. Cette partie est indépendante des 
autres
même si certaines techniques qui y sont déployées réapparaissent à la toute
dernière question du problème.
· La deuxième partie propose une mise en oeuvre très classique de la théorie de
Fourier. On y établit des relations entre les coefficients de Fourier cn () 
d'une
fonction  avec ceux de sa dérivée généralisée. On procède alors au calcul de
ces coefficients et on précise le mode de convergence de la série de Fourier.
· Dans la troisième partie, on construit explicitement une solution à l'équation
de la chaleur avec condition initiale et conditions aux limites. La solution est
construite comme une série de fonctions dont on établit certaines propriétés.
Cette partie est hélas lourdement entachée de notions hors-programme alors
que les propriétés à démontrer peuvent s'obtenir en restant dans le cadre du
programme de PC.
· Dans la dernière partie, on démontre l'unicité de la solution de l'équation 
de la
chaleur avec condition initiale et conditions aux limites. Une première approche
consiste à mettre en oeuvre le principe du maximum en s'appuyant sur des 
techniques de calcul différentiel. Certaines questions sont très difficiles et 
requièrent
une grande aisance avec les notions du programme. Dans une dernière question,
une autre approche est suggérée, mais elle s'avère toutefois impraticable du 
fait
d'hypothèses non adaptées.
Le sujet est un peu décevant. L'enjeu du problème qu'est la résolution de 
l'équation de la chaleur est un défi passionnant mais les multiples maladresses 
de l'énoncé,
notamment les incursions hors-programme, dénaturent le travail de recherche du 
candidat. Cependant, ce sujet constitue un très bon problème d'entraînement et 
permet
d'apprendre à réagir face à des imprévus dans un énoncé.

Indications
Un problème aux valeurs propres
1 Écrire v  en fonction de v et raisonner par récurrence.
Utiliser une intégration par parties.
2 Distinguer  < 0 et  = 0.
3 Procéder par condition nécessaire et suffisante.
La série de Fourier de la condition initiale
6 Vérifier que  est C 1 par morceaux sur R.
7 Introduire la fonction paire  coïncidant avec  sur ] (2k - 1)/2 ; (2k + 1)/2 [
avec k  Z et nulle ailleurs.
Construction d'une solution de (1)-(2)-(3)
10 Pour (x1 , t1 ) et (x2 , t2 ) dans [ 0 ;  ] × [ 0 ; + [ , montrer que
|u(x1 , t1 ) - u(x2 , t2 )| 6
avec lim RN = 0.
N+

11 Considérer une sous-suite de

N
P

un (x1 , t1 ) - un (x2 , t2 ) + 2RN

n=1

un   
,0
.
t 2
n>1

12 Première question hors-programme puis remarquer que  > 0 est quelconque
pour la question suivante.
13 Question hors-programme.
Unicité de la solution
15 Supposer h () > 0 et aboutir à une contradiction.
17 Utiliser la nature topologique de D pour l'existence du maximum puis supposer
par l'absurde que celui-ci est atteint dans l'ouvert Di ou sur l'intervalle C. 
Établir
le lien avec les questions 15 et 16 pour obtenir une contradiction.
18 Comparer le maximum de u sur D avec le maximum de u sur F puis avec le
maximum de v sur F et faire tendre   0.

19 Si u et v sont deux solutions de (1)-(2)-(3), remarquer que u - v vérifie 
(1) ce
qui suffit pour appliquer le résultat de la question 18.

20 Les hypothèses du sujet sont insuffisantes pour répondre. On pourra alors se
permettre d'ajouter celles qui nous manquent.

1. Un problème aux valeurs propres
1 Par hypothèse, si v est solution de (5), alors v est deux fois dérivable sur 
[ 0 ;  ]
donc sur ] 0 ;  [ et on a
v  = -v

Comme v est deux fois dérivable sur ] 0 ;  [, il s'ensuit que v  est deux fois 
dérivable
sur ] 0 ;  [ et une récurrence immédiate permet alors de montrer que v est 
dérivable
sur ] 0 ;  [ à l'ordre 2n pour tout n  N. Il s'ensuit
v  C  (] 0 ;  [ , R)
On peut tenir le même raisonnement sur [ 0 ;  ] et obtenir v  C  ([ 0 ;  ] , R).
Comme (x 7 v(x)) est de classe C 1 sur [ 0 ;  ] car deux fois dérivable sur [ 0 
;  ], on
obtient en intégrant par parties
Z 
Z 

v  (x)v(x) dx = [v  (x)v(x)] 0 -
v  (x)2 dx
0

0

Or v(0) = v() = 0 et par conséquent
Z 
Z 
v  (x)v(x) dx = -
v  (x)2 dx
0

0

Comme v est solution de (5), on a v = -v et par suite
Z 
Z 

v (x)v(x) dx = -
v(x)2 dx

0

0

Si v n'est pas identiquement nulle, comme v est continue sur [ 0 ;  ], la 
fonction v 2
est continue positive non identiquement nulle sur [ 0 ;  ] et le caractère 
défini de
l'intégrale donne
Z 
v(x)2 dx > 0
0

Par suite

Z

0

Z 
Z 
2
v (x)v(x) dx = -
v(x) dx = -
v  (x)2 dx

0

soit

=

Z

0

Ainsi, on conclut que

0

 Z 
-1

2
2
v (x) dx
v(x) dx
0

>0

2 L'équation (5) est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à 
coefficients
constants. Son équation caractéristique est
r2 +  = 0
· Si  < 0, cette équation admet les solutions réelles distinctes
 < 0 = (, )  R2

| x  [ 0 ;  ]

v(x) = e

+
-

-. Par suite

-x

+ e -

-x

La relation (6) donne
v(0) = v() = 0

(

+
=0

e - + e - - = 0

1
1

0

=

0
e - e - -

soit
soit

1
1

= -2 sh ( -)
e - e - -

Pour  < 0, on a sh ( -) 6= 0 donc le système en (, ) est de Cramer et
(, ) = (0, 0) en est l'unique solution.
· Si  = 0, l'équation v  = 0 implique que v est affine c'est-à-dire
avec

 = 0 = (, )  R2

|

x  [ 0 ;  ]

v(x) =  + x

Les conditions v(0) = v() = 0 donnent immédiatement (, ) = (0, 0). En conclusion
Si  6 0, alors le système (5)-(6) admet la solution nulle pour unique solution.
Il n'est pas indispensable de résoudre (5) pour répondre à la question. Dans
la première question, on a démontré que pour v solution de (5)-(6)
v non nulle =  > 0
Par contraposée, v est nulle lorsque  < 0 et il ne reste que le cas  = 0 à
discuter.
3 Procédons par double implication. Par contraposée du résultat de la question
précédente, si le système (5)-(6) admet une solution v non nulle, alors  > 0.
Les racines de l'équation caractéristique de (5) sont complexes conjuguées
n  o
r2 +  = 0  r  +
-i 

Ainsi, il existe (, )  R2 tel que
x  [ 0 ;  ]

v(x) =  cos( x) +  sin( x)

Les conditions initiales donnent
v(0) = v() = 0

soit

(

 cos( ) +  sin( )

soit

(

 sin( )

=0
=0

=0
=0

Si le système (5)-(6) admet une solution non nulle, le système en (, 
) n'est pas de
Cramer sans quoi la seule solution serait la solution nulle. Ainsi, sin( ) = 0. 
Or,

sin( ) = 0

n  N |  = n2
Réciproquement, s'il existe n  N tel que  = n2 , il est immédiat que v(x) = 
sin(nx)
pour tout x  [ 0 ;  ] est une solution non nulle du système (5)-(6). En 
conclusion
(5)-(6) possède une solution non nulle  n  N |  = n2